时间：2022-05-23 11:12:18
导语：在应用概率统计论文的撰写旅程中，学习并吸收他人佳作的精髓是一条宝贵的路径，好期刊汇集了一篇优秀范文，愿这些内容能够启发您的创作灵感，引领您探索更多的创作可能。
一、正确理解现实中的随机性和规律性
我们熟知许多科学定律，例如牛顿力学定律，化学中的各种定律等。但是在现实中，事实上很难用如此确定的公式描述一些现象。比如，人的寿命对于个人来说是难于事先确定的。就个体来说，一个有很多坏习惯的人（比如吸烟、喝酒、不锻炼的人）可能比一个很少得病、生活习惯良好的人活得更长。实际上活得长短是受许多因素影响的，有一定的随机性。这种随机性可能和人的经历、基因、习惯等无数说不清的因素都有关。总体来说，人的平均年龄非常稳定。一般而言，女性的平均寿命比男性多几年。这就是规律性。一个人可能活过这个平均年龄，也可能活不到这个年龄，这是随机性。但是总体来说，平均年龄的稳定性，却说明了随机之中有规律性。又比如你每天见到什么人是比较随机的，但规律就是：你在不同的地方一定会见到不同的人，你在课堂上会见到同班同学，你在宿舍会碰到同寝室的室友，你去打球会见到球友，这两种规律就都是统计规律。
二、巧借实例自然引入新概念
着重培养学生的数学应用意识，教师在教学中的示范作用很重要。概率统计课程的概念是教学的难点，教师上课如果直接写出来，则学生会感到很突兀，很抽象且难于接受。一个教学经验丰富的教师应当重视概念引入的教学设计，从学生的认知规律出发，先使学生对概念形成感性认识，揭示概念产生的实际背景和基础，了解概念形成的必要性和合理性。例如极大似然估计的概念教学，一般引入的第一个例子是有个同学和一个猎人去打猎，一只野兔从前方经过，只听一声枪响，野兔就倒下了，这发命中目标的子弹是谁打的？同学们一定会推断是猎人，你们会说猎人命中目标的概率比同学的大，这个例子说明了你们形成了极大似然估计的初步思想。极大似然估计的思想是在已经得到实验结果的情况下，应该寻找使这个结果出现的可能性最大的那个θ作为θ的估计θ∧。极大似然估计法首先由德国数学家高斯于1821年提出，英国统计学家费歇于1922年重新发现并作了进一步研究。第二个例子是两个射手打靶，甲的命中率为0.9，乙的命中率为0.4，现靶面显示10中6，且是一个人所为，请问是谁打的？一开始学生中会形成不同意见，有的说是甲，有的说是乙，有的不知如何判断。表面看，甲的命中率高，如果说是甲好像低估了甲的水平，乙的命中率低，如果说是乙又高估了乙的水平，但现在要作一个合理推断，我们建立一个统计模型：有一个总体为两点分布，参数为P（0.9或0.4侍定），现有样本X1，X2，…，Xn（n=10），其中有6个观察值为1，4个为0，设事件A={10枪6中靶心}若是甲所射，则A发生的概率为P1（A）=C610（0.8）6（0.2）4=0.088，若是乙所射，则A发生的概率为P2（A）=C610（0.8）6（0.5）4=0.21，显然，P1（A）＜P2（A），故可认为乙所射的可能性较大。从这两个实例中教师再引出极大似然估计的原理：在已经得到试验结果的情况下，我们应该寻找使这个结果出现的可能性最大的那个θ作为真θ的估计，显得水到渠成。
三、合理假设形成模型意识
概率统计学科本来就是为了解决实际问题而产生的，它的起源是对赌博问题的研究。要培养学生的应用意识更应加强模型意识。数学模型是指应用数学的方法和语言符号对现实事物进行数学的假设和合理简化，可以理解为现实事物在数学世界的抽象存在，也是人们对实际问题的原型进行的数学抽象，它的目的是便于应用适当的数学工具得到对问题的量化研究。在概率统计教学中建立的数学模型应当选择问题的主要要素，模型相对比较简单并且易于教学推理和分析。
四、循序渐进培养应用能力
数学应用能力是一种综合能力，应循序渐进，慢慢培养。在现实中我们要注意：（1）概率是指某件事情发生的可能性大小。例如在天气预报中会提到晴天与雨天，预报明天下雨，只是说雨天可能性很大，这种概率不可能超过百分之百。（2）有些概率是可以估计的。比如掷骰子，你得5点的概率应该是六分之一，但掷骰子的结果还只可能是六个数目之一。这个已知的规律就反映了规律性，而得到哪个结果则反映了随机性。（3）应当在大量重复试验中出现的频率来估计生活中随机事件出现的概率。（4）多学习一些统计软件，充分利用一些直接的或间接的数据来源。
五、结语
数学应用意识的培养是一个长期的过程，不要期望通过一门课程或短时期就会立竿见影，这个过程需要经历渗透、交叉、反复、螺旋上升，然后才能逐级递进、不断深化。总之，在教学中我们要构建师生合作互动的平台，培养交流与合作精神，逐步提高学生的数学应用意识和能力。
作者：熊淑艳 单位：湖北工业大学
摘 要：在校园数字化建设发展快速的背景下，本文提出了在应用型人才培养模式下，概率统计课程进行网络平台建设的必要性和建设的内容以及建设的意义。
关键词：网络教学平台；概率统计；课程平台；考核平台；实训平台
一、引言
近年来，校园数字化建设在我国已有迅猛发展，已基本建设成了以高速校园网为核心，以开展远程教育为辐射功能的数字化教育系统。随着校园网络化的进程，网络教学平台的建设也引起普遍重视。伴随着2012年慕课（“MOOC”）元年的到来，这是一种旨在增强知识传播，由具有分享和协作精神的个人或者学校组织的开放课程。这种开放课程需要借助课程教学的网络教学平台来实现，由此也再次掀起了网络教学平台构建的热潮。
二、构建概率统计网络教学平台的必要性分析
概率统计（probability statistics）又称数理统计方法，是研究自然界中随机现象统计规律的数学方法。概率统计随着现代工农业、近代科技的发展而不断发展，因而形成了如随机过程、信息论等许多重要分支，可以说其应用渗透到各个领域，与我们的生活息息相关。而概率统计课程作为理工科和经济类学生的必修基础课程，在研究生的入学考试中，数学一和数学三必考的科目，受到V大师生的重视，然而传统的课堂授课，课下练习的教学模式存在着很多弊端，教师以课堂讲授为主，学生学习兴趣缺失，课堂学习效率不高，为了应付考试不得不硬着头皮死记硬背公式等等。而在当今网络发展迅猛的情况下，有必要充分利用网络优势，与传统教学模式互相融合，取长补短，开发适应于概率统计教学特点的网络教学平台显得尤为重要。
三、构建概率统计网络教学平台的内容与步骤
概率统计课程以随机现象的观察试验取得资料作为出发点，以概率论为理论基础来研究随机现象。结合概率统计课程的特点，在构建概率统计教学平台时，我们将着重考虑建设概率统计的课程平台，考核平台和实训平台。
（一）课程平台
课程平台主要包括课堂教学全程录像、电子教案、演示文稿PPT、教材与参考书、学习指导书、作业库、文献库等，主要为了便于学生在课下能通过课程的教学平台了解和学习课程的内容，使学生的学习不拘泥于课堂上的学习，而可以在课下自主安排学习的时间，即使在课堂上没有完全理解的内容，可以在课程平台上找到相应的内容进行自主学习。
（二）考核平台
考核平台主要用于考察学生学习的效果，其中包括网络作业空间、试题试卷空间、随机在线测试空间三部分，实现了学生的自我管理、自我监督和自我水平测试，同时也为课堂教学的作业和测试提供了平台保障。
（三）实训平台
实训平台针对学生在完成课堂和在线学习的前提下，适当参与实训教学的环节，时序平台包括案例实践教学平台、实验实践教学平台和竞赛实践教学平台三个实训平台。案例实践教学平台提供给学生针对不同专业背景的案例，使学生学习概率统计课程有的放矢，而不是空洞的学习一些理论。实验实践教学平台通过在网络平台上引入数学实验，让学生更快掌握统计计算和分析方法。竞赛实践教学平台使学生不仅“学数学”，还要“赛数学”，在平台上开放和组织学生参与数学建模竞赛和大学生创新项目，推动学生创新能力的培养。
四、构建概率统计网络教学平台的意义
（一）有利于培养学生学习概率统计课程的兴趣
由于互联网的普及，学生更愿意在相对宽松的环境下自主选择学习的时间，安排学习内容和计划，通过网络教学平台的构建，学生可以不必拘泥于课堂教学的90分钟，而灵活安排自己的学习时间，通过借助网络平台了解更多概率统计学科的应用，使得学习不是为了考试而学习，变成为了掌握更多的知识和技能而学习，从而让学生对课程的学习产生兴趣。
（二）有利于提高教师素质，提高教学质量和教学水平
概率统计教学平台的构建，可以更好地发挥教师在教学中的主导作用，从而使教学活动始终处于活跃进取的状态，不断推陈出新，提高教学质量和教学水平。
（三）有利于理论和实践紧密结合，培养学生的多元思维及处理实际问题的应变能力
案例教学平台为学生设置了结合专业的问题，在处理实际问题的过程中，需要分析、思考、判断甚至决策，学生可以从中学到掌握应对复杂问题的思路、步骤、程序和方法，在这个过程中可以培养学生学习概率统计的兴趣；实验网络教学平台完成概率统计课程与计算机网络技术的融合。传统教学的功能都可以通过网络来实现。
摘要：在现代数学学科基本理论的发展路径之中，微积分基本理论为概率论与数理统计基本理论的快速有序发展，创造和提供了坚实的支持条件，切实做好微积分理论内容在解决概率论与数理统计问题过程好的应用，对于有效提升我国概率论与数理统计数学理论的发展水平，具备极其深刻的现实影响意义。
关键词：概率论与数理统计；微积分；应用
现代数学学科理论构成体系中的概略伦和数理统计理论内容，能够针对自然界中出现的随机事件的统计学规律展开严谨的数学运算处理。从数学学科理论体系中不同知识内容之间的相互关系角度展开具体分析，微积分理论不仅是概率论与数理统计理论的基础，而且概率论与数理统计理论，和高等数学中的微积分理论之间还具备着表征鲜明的相互关联和相互制约关系，在现代天文科学、生物科学、经济学、应用工程学、化学，以及物理力学快速有序发展的历史背景之下，微积分理论和概率论与数理统计理论之间的相互关系呈现了日渐紧密的发展变化特征，为一系列具体化随机问题的科学化解决创造和提供了坚实的支持条件。有鉴于此，本文将会围绕概率统计中微积分的应用问题展开简要阐释。
一、微积分理论和概率论与数理统计理论的基本概述
不难理解，概率论与数理统计理论，是在微积分基本理论基础上发展形成的现代数学理论分支，能够针对随机事件发展演化规律和外在表现特征的准确考量和描述，由于在具体开展概率论和梳理统计计算分析处理过程中，本身需要充分引入运用大量的微积分学数学运算知识呢运算技巧，因而导致微积分理论知识内容的掌握和运用质量，对于概率论和数理统计工作实际获取的文预期效果，具备深刻的影响和制约作用。
从具体涉及的知识内容角度展开分析，所谓概率论与数理统计数学理论，其实质就是针对自然界中存在的不确定现象和不确定事件，以及具备结果不确定特征的，或者是具备偶然性表现特征的现象，以及上述现象在实际出现和发展过程中所表现的集体性规律展开初始刻画描述，并在此基础上遵照概率论、以及梳理统计分析的数学处理方法，具体统计分析相关数据要素的规律性表现特征。
对于微积分学而言，其核心的理论内容，在于针对函数的微分以及积分，和函数相关概念以及应用问题展开详细的数理分析，其理论体系的建构基础要素在于实数、极限，以及函数等。微积分理论在建立处理过程中，将现代数论值具备观化表现特征的无穷小量视作其直接基础，因而在基本理论的发展路径层次具备鲜明的不稳固性。在数学家柯西、维尔斯特拉斯创立形成的极限数学理论，以及数学家康托尔创立形成的实数数学理论基础上，有效促进了现代微积分数学理论的基础内容不断发展严密。
从概率论与数理统计基本理论的历史发展路径角度展开具体分析，微积分理论中相关知识内容的不但发展成熟，为现代概率论与数理统计理论的成熟化和公理化发展，创造和提供了稳定为且坚实的实践支持条件，现代概率论与数理统计理论的系统化和科学化发展，c微积分理论的发展成熟，具备不容忽视的因果关系。
二、概率论与数理统计过程中微积分知识内容的具体应用
为清晰认识概率论与数理统计理论的基本内涵，以及微积分理论的基本内涵，同时清楚分析概率论与数理统计理论和微积分理论之间的相互关系，应当从一系列的实际案例出发，为有关知识内容认识水平的不断提升，以及有关数理计算分析方法掌握水平的不断提升，创造和提供坚实的支持条件，本文将试举几例展开简要揭示：
第一，已知有M个好朋友在一张圆形桌子的周围随机就坐，假若有两个朋友是必须要坐在相邻的作为之上的，则计算求解这一在随机性研究视野之下，这一事件的发生概率？、
第二，在针对书架上的书实施整理过程中，已知可以将编号为1、3，以及3的三本书在书架上以随机顺序实施排列，如果在所有的排列顺序中，至少保证有一本书的由左到右的空间排列顺序，与该书编号相同，求解这一事件的发生概率是多少？
第三，一批产品的次品率为5%，从中任取三件进行检查，每次取一件，检查后放回，求：（1）三件中恰有一件次品的概率；（2）三件都是正品的概率；（3）三件中次品不超过一件的概率；（4）至少有一件次品的概率。
三、微积分计算分析方法在求解概率论与数理统计问题中的实际应用
（一）级数求和方法
级数是现代高等数学基础性学科内容构成体系中的重要组成内容，是表述初等函数解析式的基本方法。在运用裂项相消求解函数级数过程中，其最为关键的实施环节，在于如何针对级数运算过程中涉及的通项结构实施针对性的拆开处理，并促使其形成可以实施前后相消计算处理的算术项，而通常运用的计算处理方法，往往涉及了分子有理化、分母有理化，以及三角恒等变换等数学处理应用方法，这些方法与微积分中的基本理论具备不容忽视的相互关联特征。
在针对三角函数形式的无穷级数实施求和处理过程中，需要应用微积分学的有关处理方法，针对基础的三角极级数公式实施展开处理，通过恰当的函数表达式形式转化手段，将其转化为两项不定式之间的差值，为后续开展级数求和过程创造支持条件。
（二）极限问题的求解
极限问题也是一种比较典型的概率问题，其本身作为现代微积分学理论的重要基础，对在微积分学基本理论发生发展的全过程中发挥了不容忽视的重要作用，在具体引用极限法求解数列和问题过程中，要运用微积分学基本理论，对数列通项公式展开针对性的变形处理，确保实际求解过程能够顺利取得预期效果。
四、结语：
针对概率统计中微积分的应用问题，本文具体选取微积分理论和概率论与数理统计理论的基本概述、概率论与数理统计过程中微积分知识内容的具体应用，以及微积分计算分析方法在求解概率论与数理统计问题中的实际应用三个具体方面展开了简要的论述分析，旨意为相关领域的研究人员提供借鉴。
【摘要】文章围绕应用型人才培养目标，着眼案例教学，启动实验教学，实施网络教学，对概率统计课程的原有教学模式进行改革，构建了概率统计实践教学平台.平台的构建使概率统计教学内容可视化，概率统计计算软件化，概率统计方法现实化，培养学生动手能力、科学思维能力和创新能力.特别是实践教学网络平台的建设，使概率统计教学由静态封闭的课堂讨论到动态开放的突破时空限制的网上交流；由师生的双向沟通到师师、师生、生生等团队的多向沟通.实现概率统计与现代信息技术的无缝对接，适应数字化环境下应用型人才的培养.
【关键词】概率统计；案例教学；实验教学；网络教学；实践教学平台
一、引言
随着信息化、数字化、智慧化与产业的融合，促使许多高校转型为以应用型人才培养为主.紧紧围绕应用型人才培养模式的基本构成要素――素质、知识、能力三个方面，科学地构建以能力培养为主线，分层次、多模块、相互衔接的概率统计实践教学平台是当前概率统计课程教学改革的重要任务.
二、概率统计课程的教学现状
概率统计教学存在下列普遍问题，如内容陈旧，一本教材多专业通用，例题与习题不能较好地结合学生专业，致使学生不了解概率统计课程对后续专业课程的影响和作用，学生学习时缺乏热情和主动性；同时，概率统计课程教学手段单一，一些教师过度依赖多媒体课件，课件内容固定，学生处于被动听课状态；现有教材多关注概率统计理论，对如何操作软件解决实际问题介绍的很少，由于受学时限制，教师也将主要精力放在理论知识讲解和计算上，造成理论与实践相脱节.
三、概率统计教学平台的构建
为解决概率统计教学中存在的教学问题，有效提高概率统计课程的教学效果，激发学生学习的主动性，培养应用型本科专业人才，我们构建三个实践教学平台，对概率统计课程的原有教学模式进行改革，研究内容如下.
（一）案例教学平台的构建
构建案例实践教学平台，将学习者引入教育实践的情境中.案例的质量是教学成功的基本条件.教师应根据讲授的内容和相关知识要点选用或自行设计教学案例，建立具有专业特色教学案例库.[1]教学案例的来源可以是教师深入企业实际工作中收集的，也可以是教师依据教学内容、参考有关资料、结合社会经济的实际情况设计的，还可以是由与学校有合作关系的企业提供的.教师根据所教学生专业的特点，结合各专业背景的案例作为基本教学材料，这样能较好地让学时了解该课程对后续专业课程的影响和作用.比如给金融、国贸专业的学生讲授数学期望和方差的概念，不妨通过一个风险投资的案例来帮助学生理解.通过教师引导学生对实践案例进行讨论研究，培养学生三种能力――动手能力、科学思维能力和创新能力，开辟教学两条途径――课堂教学实践化、实践教学网络化，提升实践教学的学理层次[2]，拓展实践教学的内涵.
（二）实验教学平台的构建
了解概率论与数理统计基本原理是当代经济与科技时代对于大学生的基本要求，更重要的就是要拥有能运用概率论与数理统计知识建立数学模型、解决实际问题的能力[3]，此外，随着大数据时代的到来，运用信息技术对海量数据进行定量分析、计算结果、写出有一定分量的科技报告，更是大学生必须有的素质，因此在理论教学同时，构建实验实践教学平台，通过数学实验软件的应用，实现基础性、提高性、创新性三级实践教学目标，使实践教学全方位、多渠道、多形式展开和梯级化推进，使学生在学习相关理论的基础上，掌握统计计算和分析，实现理论到实践的转化.
通过向我校各专业学生介绍Excel，Matlab等各种科学计算软件，加强应用概率论与数理统计问题的编程计算能力.如Excel电子表格数值函数计算、运筹模型求解、Excel电子表格随机问题求解、Excel电子表格宏命令编程；Matlab科学计算编程、初步图形与统计分析、统计工具箱―数据分析、Matlab金融工具箱―金融分析，以上内容既可灵活穿插在概率论与数理统计课程中选讲（4课时），也可在数学实验全院选修课中针对不同专业学生讲授.具体来说可以是教师在课堂上选择一些题目进行简单的操作，向学生展示概率计算和统计分析的基本步骤.课后提供相应的练习，促使学生在学习中较自然地掌握计算机的实现过程，解决了实践与教学相脱节的问题.
（三）网络教学平台的构建
借助数苑网研发的数学网络教学平台，构建概率统计课程网络教学实践平台.利用网络平台整合优秀的教学资源，加强教学资源标准化建设.突破传统的以“课堂、课本、教师”为中心的教学模式，转向以学生为中心，重能力培养，激发学生的学习积极性、主动性和创造性的教学模式，实现学习个性化、民主化、终身化.平台内容主要包含精品课堂、网络视频、知识检索、网络作业、算法演示、在线答疑、在线测试、概率案例和数学欣赏等版块，为学生自主学习营造了全方位的网络空间.特别是使用在线答疑系统、MathQ即时数学交流平台和网络考试系统，扩展了传统的面对面的课程问题平台，解决了师生沟通受时间、空间限制的问题，实现了师生沟通不受地域限制的无缝衔接，完成了概率统计课程与计算机网络技术的完全融合.概率统计网络教学平台的构建，实现了该课程的可视（观看网络教学视频）、可学（学习系列教学资源）、可搜（知识自动检索）、可聊（mathQ即时在线答疑）、可用（应用数学实验平台）、可练（在线练习网络作业）、可测（在线进行网络测试）、可赏（欣赏数学文化）、可管（第二课堂的过程化管理）的建设目标.
四、结束语
通过以上三个实践教学平台的建设，实现概率统计课程多平台、立体化、全方位的实践教学大平台，为学校应用型人才的培养提供优质的成长环境，为省内同类高校概率统计课程实践教学体系建设和改革起到一定的借鉴作用.
摘 要：国际经贸是一个无硝烟的战场，各方之间都是为了利益而进行互相利用。在信息化时代，信息的生产如此迅速，导致信息不对称出现几率大幅增加，而信息的不对称就是经贸合作风险出现的主要原因。本文认为基于或然率和事物规律的概率统计可以应用于国际经贸合作风险的决策，并通过概率统计在风险合作应用中的原理、意义以及案例来论证其适用性。
关键词：概率统计；国际经贸合作；风险决策；应用
一、引言
国际经贸合作风险决策指的是在国际经贸合作的世界贸易环境中，针对合作行为及其原因、过程与结果可能出现的潜在风险进行决策，甚至预测。国际经贸是一个无硝烟的战场，各方之间都是为了利益而进行互相利用。在信息化时代，信息的生产如此迅速，导致信息不对称出现几率大幅增加，而信息的不对称就是经贸合作风险出现的主要原因。概率统计是基于或然性，预测必然性的数学工具，它在管理、工程、建筑、博彩等行业中起到了一定的作用，其实，概率统计也可以在国际经贸合作风险的决策中发挥巨大的作用。
二、概率统计在国际经贸合作风险决策中应用的原理
1.概率统计原理
概率也称作或然率，表明了事物不确定性。概率统计则是在广泛地分析不确定性背后支撑事物分布的规律。一枚硬币有两面，抛一次，出现的结果一般只有两个，正面和反面，并且每一面每一次出现的概率都为0.5。但是我们连续抛三次都是正面，并不能得出一枚硬币怎么抛都是正面的结论。因此，概率统计是要基于一定数量的重复、一定数量的事件作为分析基础，才能得出具有科学性、预测性的规律。
2.国际经贸合作风险决策中的概率统计
如前所说，国际经贸合作决策的风险来源于决策双方信息的不对称、不透明，当然不可否认也会来自社会环境的变化。风险决策是是在不确定的情况下，对于至少2个以上的行动方案作出决策的一种概率行为、风险行为。每一种行动方案都可能存在风险，这是必然性的风险，但是风险决策的风险是来自于选择的风险，这种在信息不对称的情况下，以概率的形式进行分布。决策风险分为概率型决策和不定型决策，二者的主要区别在于事物的统计规律和特性是否被深刻、准确地掌握。
三、概率统计在国际经贸合作风险决策中应用的意义
1.确定风险决策的类型
如前所f，风险决策分为概率型和不定型，并且二者的区别主要是在于事物的统计规律和特性是否被深刻、准确地掌握。不同的风险决策类型最终采取的解决措也相差甚远。因此，在实际操作过程中，如果在国际贸易合作风险决策中，能够掌握合作方的规律，那么在进行风险决策时，就会大幅提高准确率，降低损失。比如中国和哈萨克斯坦的国际贸易合作。中国与哈萨克斯坦经贸合作中遇到的风险可分为两大类以及其他小类，具体情况如下：
分析不同类型的风险，我们可以发现，非经济风险的可能性比经济风险要低一些。在1997年-1999年，以石油作为主要贸易国的哈萨克斯坦由于石油市场价格的萎靡而导致国内的石油市场价格的变动，一定程度上导致国内经济风险的出现。2008年的全球性的经济危机再一次导致石油国的经济风险，同样影响了中国的市场的经济稳定。
2.概率统计在国际经贸合作风险决策中的最优化选择
风险决策的条件是必须至少有2个可以备选的情况，那么概率统计在准确认识事物的基础上，就可以得出在至少2种及其以上情况中得到一个最优化选择。以中国的对外的多边贸易为例，中国是一个外贸大国，与多个国家进行了国际经贸合作。国家间交往的一切行动都是为了国家利益，因此把国家看作是追求利益的理性选择体。具体以中国与美国和英国之间的经贸合作为例。
据统计，2004年中美两国的贸易总额达到1696亿美元，并且在2001年-2003年间，美国对中国出口贸易增长了76个百分点，同时，对其他国家的出口下降9个百分点。可以看出，中美两国之间的经贸合作是互利的，呈现互相倾向的态度。在2015年，中国对美国出口3960亿元，进口1590亿元，美国是中国的第二大贸易伙伴；美国对中国出口1240亿元，美国自中国进口4666亿元，中国是美国第二大贸易伙伴。
那么，中国在国际经贸合作中，具有一定程度的自主选择权，但是这种自主选择权必须是基于科学的规律基础上。以中国与美英两国的经贸合作为例，我们看到中美之间的经贸一直处在持续增长的增段，而和英国之间的经贸增速总体呈现下降趋势，在2015年甚至出现了负增长。在二者（美英）及以上的多重因素中，基于概率统计的风险决策起到了这样的指导作用：保持、加速与美国的经贸合作，尽量维持与英国的经贸合作，最终区分了在二者之间的风险决策的最优结果。
当然，由于概率统计的准确性与多边经贸的复杂性之间，存在一定的张力，而且多边贸易不是你死我活的零和博弈，而是双赢局面。但是，问题在于一个国家的经贸水准、资源拥有量等在一定时期内是相对稳定的，因此经贸资源有限，只能选择更有优势的一方，进一步降低国际经贸的决策风险。
四、结束语
本文通过简化多变国际经贸关系，利用概率统计原理、特性对中国与美英之间的国际经贸的决策风险进行了探讨和分析，最终得以证明了基于或然率和事物特性的基础上的概率统计对国际经贸风险决策的重要应用意义。在这一具有开拓性领域中，如何进一步论证概率统计的应用范围及其合理性，值得探讨。
摘要：本文利用基于国际上非常流行开源软件R和python进行实验设计给出圆周率的实验设计让同学们感受学习概率论与数理统计如何解决实际问题，这样的实验课教学实验设计教学都有非常好的借鉴意义，还探讨了软件在概率论与数理统计课程实验教学中应用有几个应该注意问题，这些都有利于概率论与数理统计教学效果的提高和教学目标的实现。
关键词：课程设计；R软件；Python软件
一、大类招生背景下软件在概率论与数理统计课程教学中应用需求分析
概率论与数理统计课程教学改革随着大学从专业招生到大类招生的转变，课程教学诸多改革逐步展开，为了激发同学们的学习兴趣，克服概率论与数理统计抽象难懂的特点，借助软件进行数学实验课的引入显得尤为突出。关于数学实验课的教学不少专家进行了研究[1]，早在本世纪初，西安邮电大学李昌兴、史克岗[2]（2003）在总结西安邮电学院多年的数学实验和建模教学的基本内容上探索出了较好的数学实验课的教学方法，近年来随着统计软件的发展和推广，相信软件的加入会对数学课程的教学增加新的活力和创新性的方法；朱旭[3]（2004）在文献中也探讨了如何通过开展数学实验教学来加强学生科学素质培养，如何通内容体系和教学方式的改革、通过在数学实验的教学实践中充分发挥课程的育人作用培养提高学生的科学素质；赵礼峰[4]（2011）研究了数学实验课程在实际中对大学生素质培养的一系列重要作用；张序萍、韩晓峰、吕亚男[5]（2011）研究了煤炭院校大学数学实验教学体系的构建，谈到了概率论与数理统计等课程实验教学的组织实施。《概率论与数理统计》作为重要公共课程数学类的课程之一，是全国研究生入学课程的考试课程之一，也是今后工科类、经济类、医学类等领域的重要基础课程，如何借助统计软件加深对概率论与数理统计教学概念、方法的认识，引导更加科学的教学方法就要借助较好的教学工具才能激发学生的学习兴趣，培养学生的学习热情，进而养成好的学习习惯，这就为能力的培养奠定基础。
现在流行的软件非常多，比如商用软件统计软件SAS、SPSS、Stata，还有开源软件R、Python，通用数学软件matlab等，商用软件进行统计分析效果好，但是对学生来说负担太重并不可取，我们想借助国际上比较流行的两款开源软件R、Python，结合具体的内容比如如何引导学生编程来实现圆周率的计算，圆周率最早由我国古代数学家祖冲之求出较为精确的数值，后来西方数学家也计算出圆周率，那么我们就想引导学生自己通过这两款软件编程实现圆周率的近似计算，同时也对近似概率加深了理解。
二、以基于R、Python芍秩砑编程实现圆周率的计算为例引导学生进行兴趣学习
1.基于Python软件的圆周率编程计算分析。Python是1989年由荷兰人Guido van Rossum研发的一种面向对象的解释型计算机程序设计语言，早在1991年就有公开发行版问世。其语法既简洁又清晰，它的库非常丰富和强大。它能够把用其他语言制作的各种模块轻松地联结在一起。Python的官网地址：https：///，Python可以从其官方网站获取各种资源，且大多数都是免费的，有利于学生们的安装及下载。（1）圆周率计算机软件近似计算的建模分析。在学生学习随机事件和随机数的基础之上，给学生强调我们计算机产生的随机数和物理方法得到的随机数还是有一些不同，但通过仿真模拟可以达到所要求的精度，所以我们可以通过伪随机数进行仿真模拟实验。设X、Y独立并且都在（0，1）区间上服从均匀分布，首先我们定义示性变量I：I=1，X+Y≤10，其他，则E（I）=P（X+Y≤1）。根据几何概率论所学概念我们知道随机点落在四分之一圆内的概率即为P（X+Y≤1）=π/4，而概率我们可以用大量重复事件的频率来近似代替，进而计算出圆周率的近似值，随实验次数的增多可以达到要求的精度。（2）圆周率计算机软件近似计算的Python编程分析。Python有3.5版和2.7版，本程序可用2.7.11版本完成，进入python官方网站可以下载Python的2.7.11版进行免费安装，调用python的numpy、random、pandas等模块后就可以运行如下的程序得到近似的计算值，精度要求可通过改变模拟次数达到，如果模拟次数是千万次级的运行比较快但精度稍差，如果模拟次数是亿次级或更高的得到的精度就比较高，但是运行的时间比较慢，实践教学中希望教师引导学生各种情况都尝试一下，激发他们的学习兴趣。程序中充分利用了Python提供的求和函数sum，并且程序非常简洁，程序如下：[1]import numpy [2]import pandas [3]import random [4]from random import random [5]n=10**8 [6]pi=sum（1 if random（）**2+random（）**2
2.基于R软件的圆周率编程计算分析。（1）R语言产生发展简介。R语言产生于1980年前后，在统计领域使用广泛，R语言是源于S语言，两者有着千丝万缕的联系。AT&T贝尔实验室开发了S用来进行数据探索、统计分析和作图。后来Robert Gentleman和Ross Ihaka（新西兰奥克兰大学）及其他志愿人员一起开发了一个R语言系统，由“R core team”进行研发。由于R语言的开源性和广泛的兼容性使得R在国际学术及研究机构快速流行起来，官方网址是：https：///，可以从R官方网站获取各种资源，大多数都是免费的，有利于学生们的安装及下载，下面我们就基于R软件的圆周率编程计算分析进行探讨。即首先用计算机可以计算出落在四分之一圆内的模拟点数，它与所有落在正方形内的点数之比，当模拟次数非常多时，即近似为π/4，模拟频率的四倍就是π近似的计算值。（2）圆周率计算机软件近似计算的建模分析。（3）圆周率计算机软件近似计算的R程序模拟500次的近似结果是3.112（程序略）。
通过实际的计算机编程模拟学生会对概率中的相关概念比如：随机事件、概率与频率的关系、大数定律与中心极限定理、如何把所学知识糅合在一起，而且有了更深刻的理解，为将来解决实际问题打下好的基础。
三、软件在概率论与数理统计课程教学中应用注意的问题及结论
1.应用软件帮助学生理解难点，突出教师的主导与学生主体相结合，不论是单开数学实验课还是在教学中穿插引用，教学手段上都离不开突出软件的吸引力，使学生学习更加有兴趣、更加易于激发学生创新能力。
2.现在流行的软件都有比较好的界面、可视化功能更加强大，更易于抽象问题形象化；但也要注意基础完整理论体系的学习仍然非常重要，不能过分依赖软件，运用软件要和实际结合，比如进行实际数据的统计分析，不能简单地运用软件求出数值结果，要结合实际意义去进行解释；引导学生发掘自我的创造性。
3.无论是验证式教学还是探索式教学，都要选择选择合适的软件，我们推荐的两款软件都可以非常方便地下载安装，如果是慰式课程就要认真设计好组织考核，好的组织考核形式也是督促同学们学好基础知识的重要方法。
总之，通过这些方法培养学生的求知欲，带着问题通过自己编程独立地解决实际问题；大类招生下，由于没有分具体的专业，大一学年是刚入学的大学生必须抓住的重点学年，尤其是大学的教学和管理体制和中学差异非常大，引导学生自主独立地去学习、去解决困难更值得提倡，这也使概率论与数理统计的教学更加易于理解、更加利于接受，从而使教学效果全面提高。
摘要 对普哇松分布的概率计算中的POISSON函数的应用及注意事项进行阐述，在POISSON函数的提示框中最后选项如果选“false”，则结果是显示P（X=x）的概率，而当最后一项选择“true”，则显示的概率是P（X≤x） 。普哇松分布的概率计算上来看，Excel统计分析功能略胜于SAS和SPSS。
关键词 Excel；生物统计学；普哇松分布；POISSON函数
生物统计学是研究数据资料的收集、整理、分析、解释的一门科学[1]，也是畜牧、兽医、农学、微生物、医学等领域中不可缺少的统计工具，越来越多的数据分析离不开生物统计学的原理。在生物统计学中的上机实习是提高学生动手能力和解决问题能力的重要环节，在本次的教学改革与实践中，已经把二项分布、正态分布、普哇松分布等的概率计算纳入生物统计学的实践教学中。一方面可以让学生针对不同数据清楚其分布类型，针对不同分布类型选用不同的Excel函数模块，另一方面通过不同分布的概率计算，可以将课本上所学的知识很好地应用于实践数据分析。本文主要介绍利用Excel中的POISSON函数来计算普哇松分布的概率，现就POISSON函数的具体应用情况及注意事项进行介绍。
1 普哇松分布
普哇松分布（Poisson，也称泊松分布）是二项分布的一种极端形式，就是说某种试验结果或某种事件发生的概论极低（P很小）。因此，在应用中很容易将普哇松分布与二项分布混淆，普哇松分布的特点就是λ=π=σ2。普哇松分布的概论函数为[1]：
2 普哇松分布的概率计算示例
例题：已知某地区的牛群中每年出现怪胎的次数服从普哇松分布，每年出现怪胎的次数的平均数为2，计算该地区一年中出现3次怪胎的概率以及出现3次和3次以下怪胎的概率。对于这一问题，很显然牛群中每年出现正常胎和怪胎2种结果，而且怪胎出现的概率极低（平均2次），因此其属于普哇松分布。由于已经知道“每年出现怪胎的次数的平均数为2”，即就有λ=μ=2，因此该地区为出现3次怪胎的概率为：
2.1 出现3次怪胎的概率
利用以上公式可以直接计算普哇松分布的概率，但是因为需要记住公式，并且需要手动来计算，所以还是比较烦琐的。对于这一问题，可以借助Excel中的函数来快速计算出其概率。
首先在Excel中，选定空格按照以下顺序：插入―fx函数―统计―POISSON，出现图1提示框，在提示框中从上到下依次输入3、2、false，点击确定。就可以获得该地区出现3次怪胎的概率为0.180 4。
2.2 出现3次及3次以下怪胎的概率
首先在Excel中，选定空格按照以下顺序：插入―fx函数―统计POISSON，就会出现图2提示框，在提示框中从上到下依次输入3、2、true，点击确定。就可以获得该地区出现3次及3次以下怪胎的概率为0.857 1。
3 结语
随着计算机技术的发展，已经有更多的软件被应用于生物统计学，如Excel[2]、SAS[3]、SPSS[4-5]等，但是不同统计软件具有着不同的统计特点，如Excel统计功能更为简单，适合生物统计学的初学者。SAS统计功能比较宽广些，因其统计模块的限制，所以更适合能够自己编写程序的学者。SPSS的统计功能更为强大，几乎具备了所有的统计分析功能，操作相对简单、直观[6-8]。
虽然从统计分析上来看，SAS和SPSS的统计分析功能略胜于Excel，但是Excel也具有其独特的地方，如对二项分布、正态分布、普哇松分布等常用分布的概率计算来说Excel就显得简单多了。在普哇松分布的概率计算中虽然就是一个POISSON函数，但是针对不同问题这个函数里最后面的选项却不同，在POISSON函数的提示框中最后选项如果选“false”，则结果是显示P（X=x）的概率，而当最后一项选择“true”，则显示的概率是P（X≤x）[9-11]。
摘要：在我们这个经济迅速发展的信息时代，经济全球化已经实现，因此经济分析中越来越重视概率和数理统计的应用，这是一门数学的学科，但是它的主要研究对象是一些没有固定规律的统计规律，并且可以演绎和归纳出经济中出现的随机现象的统计规律，因此对于如今经济发展迅猛的我们来说，在经济分析中进行概率和数理统计的应用成了十分重要和不可缺少的东西。
关键词：经济分析；概率；数理统计
对于把概率和数理统计应用到经济分析中完全是为了可以更好地为经济发展做贡献，这是因为概率和数理统计在经济分析中有高效、实用和简洁的效果，可以大大提高经济分析的准确性，便于我们对于经济进行统计和分析，帮助我们在了解经济、分析经济的走向中起到重要的作用。
一、概率与数理统计的含义
概率与数理统计是属于数学中的一个具有特点的分支，它研究的对象都比较独特，有自己独特的思考方法，同时它又与许多的学科尤其是经济学科有很密切的联系，内容深刻而丰富，是数学的重要组成部分之一，如今已经得到了广泛的关注和使用。就目前来说，概率与数理统计已经可以独立地去看成一个学科，因为它在我们生活中的各个方面都有很大的用处，不管是工业、农业还是对于信息技术要求严格的军事和科技方面，概率与数理统计都得到了广泛的应用，并且有了很好的效果出来；同时它又不是完全独立的一门学科，它同时都和很多的基础学科有相合渗透的作用。因为概率与数理统计涉及的方面比较广泛，不能逐一的进行解释，在这里我们主要讲到的是概率与数理统计在经济分析中的应用，以及我们对它的应用评价，简单地说就是了解和分析在经济分析中为什么我们要重视概率与数理统计的应用。
二、概率与数理统计对防范金融风险的作用
（一）在管理决策中的应用
经济属于一种活动，虽然具有一定的自发性，但是对于各个公司来说，经济的走向和规律是可以进行探究的，研究出了有利于自己公司的经济规律就可以很好的发展自己的公司和发展经济，因此需要做好公司的经济决策和管理工作，在帮助公司做好管理和决策的过程中，概率与数理统计起到了不可替代的作用。例如我们熟悉的正态概率分布，它的作用是用来描述连续性随机变量的概率，这个概率被普遍运用在经济的管理中，因为通过这个概率就可以迅速而有效地找到与这个概率有关的各个方面的信息，而这些信息都是帮助公司的管理阶层明白市场经济状况，自家公司的经济规律的现状，从中可以分析出许多有关经济的信息，而通过这些信息的辅助，我们可以更好地制定或是调整自己公司的决策和计划，灵活变通。
（二）在预防投资风险的作用
经济市场是多变的，不会一成不变地维持原本的样子，但是在一般情况下这个变化又不会太过离谱，也就是说在进行经济分析中，我们不能忽略的一个重点就是经济投资具有一定的风险性，是赚还是赔并不总是固定，但是我们总能够找到办法来解决我们的困难，而对于经济投资的风险，要想预防经济投资的风险或者是降低这个风险，我们都会使用到概率与数理统计的方法。就拿股票的投资来说，通过概率的计算我们可以很明确和清晰地看出投资的股票数量越多，那么赢得利润的概率要比买的股票数量少的大得多，这些都是可以用概率和数理统计计算出来的，所以在经济分析中进行和股票投资有关的各种决策时，大部分有能力的人都会选择投资尽量多的股票来分散风险，这样就可以使自己获得利润的可能性大大增加了。当然，从股票投资的这个例子就可以看出来，概率与数理统计在经济分析中的作用是比较有用的。
三、概率与数理统计对控制产品质量的作用
现在的人们都过上了比较好的生活，我们开始要求质量而不仅仅是要求数量，在经济中 同样也是这样，我们的消费者在面对各个商品和消费品时已经更多地考虑到了质量是否合适的要求，因此企业要想打败竞争对手顺利地在经济市场上站稳脚跟，那么他们企业的产品质量就需要进行严格的控制和保证，因此就需要重视概率与数理统计在进行产品质量合格检测的过程中所起到的作用，这是因为现在科技发展迅速的时代企业进行生产的时候大部分都已经进入了机器自动化生产的时代，这个时候利用概率与数理统计的应用可以定向进行质量控制或者是利用得到的数据进行图形的分析，清晰明了地反映产品的数量和质量合格的数量或是概率的变化等和产品质量有联系的各种数据的结果。例如我们都知道的每个产品在出厂时的重量是有要求的，并且这个重量要是超了就会导致生产成本增大，减少了企业的利润，但是若是少了就会损坏了顾客的利益影响企业的信誉，所以要尽力使产品的重量达到标准，像上面所说的一样利用概率与数理统计将平均值描绘成条形图，这样就可以很清晰地看出产品的重量是否有超出限定的最高值或者是没有达到限定的最低值。
结语
概率与数理统计在经济分析中的作用是显著的，这一点从我们这篇文章中所提到的各种内容中可以看出来，概率与数理统计在经济分析中不仅仅是一种辅助的工具，同时也是经济分析的一个重要分析手段，在概率与数理统计的帮助下，对于经济的各种走向、过程、制造效果等和经济有挂钩的各种方面都成了我们进行经济分析所要去分析的对象。如今我国的经济发展势头已经不如之前的发展速度快，开始趋于平缓，因此我们应该利用好概率与数理统计做好经济分析，帮助我国经济发展可以持续稳定地继续发展。
作者简介：
何志华（1964.10- ），男，四川南充，工学学士，讲师，研究方向：数学在证券、金融、管理、计算机等领域的应用。
摘 要 “概率论与数理统计”是最重要的公共基础课程之一，其理论严谨，应用广泛。采用案例教学法，能充分调动学生的学习积极性。本文讨论了案例教学法应用于“概率论与数理统计”课程的意义，方法与步骤以及案例的选用准则。
关键词 概率论与数理统计 案例教学法 准则
0引言
“概率论与数理统计”是一门研究随机现象规律的学科。它用统计的思维和方法探索不确定性的客观世界，用随机性思维认识人类社会中各个领域的非确定性事物。它特有的探索思想渗透于现代生活的方方面面，成为众多学科领域不可替代的常用分析工具。通过学习该课程，学生既可以获得概率论与数理统计较为全面的基础知识和方法，又能学到观察客观世界的随机性思维方式，掌握处理不确定性问题的随机分析、统计分析和数据处理技术，培养用随机性思维分析、解决问题的能力。
目前，在该课程教学中，仍存在“填鸭式教学”现象，教师占据着绝对权威地位，学生则被动接受。而“概率与数理统计”这门课程具有理论方法独特、抽象的特点，使得这门学科的思维方式与以往学生们接触的数学基础课程有较大的区别。若一味机械地进行定义、定理等讲解，会让学生感到该课程枯燥乏味，无法取得良好的教学效果。
怎样激发学生的积极性与主动性，培养能把理论与实践相结合，具有创新精神的人才，是我们必须面对的重要课题。在上世纪初，美国教育学家杜威针对传统教育的弊端，提出了“明了―联想―系统―方法”教学四个阶段的创造性观点，注重培养学生发现问题、解决问题的技能，即“确定问题情境―提出解决方案―搜集资料验证、假设―得出结论。”强调将实际案例融入到教学中，通过让学生紧密合作来解决实际案例问题，再学习案例背后隐藏的科学知识，形成解决现实问题的技能，并培养自主学习能力。案例教学法起源于上世纪20年代，最早由哈佛商学院提出，当时他们采用的案例都是来自经济管理中的真实事件。到了20世纪80年代，由于美国卡内基小组于1986年提出了《准备就绪的国家：二十一世纪的教师》报告，报告中特别指出了案例教学法在师资培育课程的价值，并提出案例教学法是一种相当有效的教学模式，案例教学法才得到重视。案例教学法于1990年起开始在我国教育界受到重视，发展至今已颇具成效，现在我国每年还举办全国应用统计专业硕士案例大赛。下面就案例教学法的意义、步骤及选用标准进行阐述。
1 案例教学法的意义及作用
案例教学法主要有三个作用：一是激发学生的学习兴趣和主动性；二是提高学生解决实际问题的能力；三是提高学生的创新能力及团队合作能力。总之，它是一种既能提高学生的综合素质，又能将理论与实践相结合的有效教学模式。①
（1）激发学生的学习兴趣和主动性。案例教学法将现实世界中的实际案例带入课堂，让学生独立思考与分析，此时教师已转变了角色，教师不再是绝对权威者，成为学生主动学习的引导者，这样不仅能激发学生的学习动力，还能培养学生的学习兴趣。
（2）提高解决实际问题的能力。“概率论与数理统计”课程的许多内容都与生活和生产实践紧密相关，案例教学法不仅能使学生更加深入地理解理论知识，还能促使学生把所学的理论知识运用于实践。针对实际案例，结合统计计算软件，从而能提高学生解决实际问题的能力。
（3）提高创新能力及团队合作能力。案例教学法应用于课堂的过程中，学生的主体地位得到了尊重，教师则起到引导作用。一般情况下教师将学生分成若干个学习小组，每个小组围绕教师提供的实际案例展开讨论，各成员进行积极思考与发言，在教师的引导下提出解决问题的有效方法。这样不仅可以培养学生的团结协作能力，又可以从不同角度理解掌握理论知识，最终获得创新能力与团队协作能力的提高。
2 方法及步骤
2.1 案例精选
教师要结合“概率论与数理统计”课程中的理论知识点，有针对性地精选现实世界中典型的案例，再在教学中以恰当的方式展示给学生，激发学生的积极性及主动性，让学生带着案例去理解消化课本中的理论知识，有效提升学习效果。在精选案例后，教师要注意三个方面的内容：一是确定案例的展示形式，以使学生能充分理解案例内容；二是教师要根据案例设置出能体现教学重点及难点的问题，让学生容易将课本理论知识融入案例中，去发现问题、提出问题，进而提出解决问题的方法；三是教师结合案例提出的问题要能体现课本中的知识点，要易于学生接受。问题要由浅入深地展示给学生，使得课本中的理论知识充分融入案例教学中。
2.2 案例讨论
实施案例教学法的关键是激发学生主动参与案例讨论。教师在教学前精选一个典型案例，然后依据教学目的，整理出相应问题，调动学生的探讨兴趣，促使学生利用课内外所学的理论知识对案例展开积极讨论。每个人在讨论过程中要发表各自的思想与观点，然后各组或班级对讨论的结果进行总结，最后教师对学生的讨论结果进行点评，从而使学生得到启发，培养了学生解决实际问题的能力。
2.3 案例总结
教师总结是实施案例教学法的最后一步，也是关键一步。在案例总结中，教师要及时评价学生的优缺点，分析案例的疑难点，有针对性地进行扩展分析。教师要从不同角度对学生讨论中存在的问题加以指导，用不同方法来解决案例中的问题，结合常用的统计软件（R、SAS等）编程来解决问题，再总结出最佳方案。希望通过案例总结，使学生学会运用所学知识来解决问题，最终让学生能举一反三、触类旁通，使所学到的理论知识得以延伸及应用，解决现实中的相关问题，也可以提高学生的计算能力。
3 选用准则
3.1 趣味性
兴趣是最好的老师。概率论与数理统计中有很多有趣的典故和例子都来源于生活。教师可以引用实际案例，激发学生的学习兴趣。比如在讲古典概型时，可以给学生举赌徒分赌金的例子：甲、乙两赌徒分别下赌金500，约定谁先赢5局，谁就能获得全部赌金。赌了半天，甲赢了4局，乙赢了3局，他们不想赌下去了，应该怎样公平地分配赌金？有些例子可以用玩游戏的方式呈现出来，例如关于有奖竞猜的蒙提霍尔问题。教师可以给学生设置场景，假如学生在参加一个电视有奖竞猜节目，教师给学生三个箱子，编号分别为A、B、C，其中有一个箱子里有奖（教师知道哪个箱子有奖），学生选择了其中一个箱子（假如是A箱），教师打开了B箱，并让学生看到B箱里没有奖，此时教师可以问学生：“给你一次机会，你改变自己的主意，会选C箱吗？”这些是有趣的例子，学生期待找到答案，学习动力会更足。
3.2 典型性
案例是为教学目标服务的，所选案例应该与相应的理论知识有直接联系，因此它应该具有典型性。比如讨论抽签公平性问题，讲古典概型时可以提问题：盒中有a个黑球，b个白球，把球随机地逐个取出（不放回），那么事件A：“第k（1≤ k ≤ a+b）次取到黑球”的概率？讲解条件概率时，可以提问：5张签中有3张“有”，2张“无”，5人依次抽签（不放回），那每人抽到“有”的概率是多少？ 所以教师应该精心选择有代表性的案例，并且给学生归类总结，举一反三，会达到事半功倍的效果。
3.3 知识性
有一些概率统计问题，可利用别的数学知识来加以分析解答。反过来，其它一些数学问题，也可以利用概率统计的知识来解决。因此教师可以列举一些表面上不属于概率统计范畴内的问题，利用概率统计的思想方法，建立适当的概率模型，通过统计软件编程去解决这些问题。如利用概率统计模型可以求解很难直接计算的积分、极限等数学问题，增加概率论与数理统计的知识性，激发学生的学习兴趣。
3.4 实用性
在案例选取过程中，还要注意增加与实际生活贴近的例子，如：电影院设座问题、捕鱼问题、诸葛亮与臭皮匠问题、库存与收益问题、彩票中奖率问题等。对这些案例的背景、解决方法、所涉及的知识点等进行讲解，再介绍用统计软件解决这些实际问题，不仅能提高学生的积极性，也能使学生明白概率统计是建立在现实生活基础上的一门应用性很强的学科，从而使学生认识到这门课的重要性。引入案例后，要引导学生对每一个案例进行分析，思考下列问题：（1）要解决的问题是什么？（2）有些什么方法可以来解决这个问题？（3）怎样运用这些方法来解决问题？（4）如何用统计软件编程来解决实际问题？这样能使学生理清思路，从整体上把握概率统计的基本思想。
4 小结
总之，在“概率论与数理统计”课程中应用案例教学法，无论是在教学内容上，还是在教学形式、方法和手段方面，都是对传统数学教学模式的一种发展和补充。案例教学法充分体现和尊重了“从实践到认识，再从认识到实践”的发展规律，使抽象的理论易于接受和理解，是教学改革中的有益尝试。
摘 要：概率与统计是最能反映数学应用的教学内容，在注重数学应用能力培养的当下，对教学设计提出了更高要求。通过基础概念、数学模型、解题方法、实际应用的逐层深入教学，能帮助学生由浅入深地进入学习角色，从而实现数学能力的提升和数学逻辑的养成。
关键词：高中数学 概率 统计 教学策略
概率与统计作为高中数学的重要教学模块，是数学逻辑、数学能力的重要载体。同时概率与统计知识作为生活实际的数学抽象与科学升华，也是解决实际问题的重要方法。随着教学改革对借助数学思维解决实际问题能力要求的提升，概率与统计问题越发受到师生的重视。通过对苏科版高中数学教材中概率与统计内容的研究，我发现，本部分内容涵盖概念性内容多，介绍的统计方法全，整合的概率模型广，这对于学习与教学而言，难度大、任务重、教学矛盾突显。然而，概率与统计知识的规律性强，方法普适，所以我提倡在教学中注重教学层次的剖析，以促进内容教学的逻辑性和框架感，实现知识的内化。
一、借助生活实践，渗透基本概念
教材中关于概率和统计的内容可划分为两个章节，对于相关知识点的介绍较为全面，其中相关概念较多。概率与统计所涉及的概念具有表述相似性高、概括性强的特点，很容易混淆。基于概率与统计实质源于生活又高于生活的特点，我建议在概念型知识的讲解中，应广泛借助生活经验的规律，以辅助概念理解。因此，在备课阶段，教师要对概念性的内容进行深入剖析，掌握其实质与内涵，简化为数学模型；然后甄选出生活中的常识与现象，结合数学模型进行科学演化，实现概念与尝试的有机结合；最后利用生动的语言及动画演示来辅助教学，实现概念的教学。
例如，所谓简单随机抽样是指从个体数为N的总体中不重复地取出n个个体（n
在课堂教学活动中，对随机抽样概念中涉及的总体、个体、抽样方法和要求进行“对号入座”。通过经历抽样过程，帮助学生更直观地理解概念。在讲解的过程中，教师可通过多媒体向学生列举生活中的抽样过程。如煮饺子时，通过试吃来判断整锅的成熟度；如质检员对产品质量抽检的过程，等等，以此帮助学生加深对概念的掌握和理解。
摘要： 讨论了案例式教学法在概率论与数理统计课程教学中的应用，并给出了几个具体的教学案例。
0 引言
概率论与数理统计是理工科各专业的一门重要的基础课程，其理论方法独特，抽象，既有严密的数学基础，又与众多学科有着密切的联系，其理论方法已广泛应用于自然科学，社会科学及人文科学的一切领域。随着科学技术的迅速发展，它在经济，管理，工程，技术，金融，物理，化学，地理，天文，生物，环境，教育，语言，国防等领域的作用愈益显著。随着计算机的普及，概率统计思想方法已成为信息处理，制定决策，试验设计等的重要理论与方法。可以说，凡是有数据出现的地方，都不同程度地应用到了概率统计提供的模型与方法。为了更好地促进学科的发展，适应经济，社会迅速发展的需要，文献[1，2]对本课程的改革与实践做了一些探索。本文对案例式教学法在概率论与数理统计课程的教学改革作一些探讨。
1 概率论与数理统计课程的特点
概率论与数理统计课程是研究随机现象统计规律性的数学分支。其理论方法独特，抽象，它建立在公理化结构之上，理论严密，体系完整，同时，它的实践性又很强，很多重要的统计思想，方法都是来自于实践，又运用于实践。概率论与数理统计课程的这种实践特点决定了在本课程的教学过程中有必要通过引入案例分析，以问题解决为驱动，提高学生的以发现问题、分析问题、解决问题为主的实践能力。
2 案例式教学法
现在，有一种流行的教育教学方法称为“案例教学”。“案例教学”就是通过实际问题的描述、假设、建模与求解，演示理论与方法的应用过程。数学上，这样的教学方式就是所谓的“问题解决”的数学建模的思想。这种方法不拘泥于对理论和方法的阐述，更注重对理论与方法的实际应用过程的展示：包括问题的描述、所涉及的变量及其相互关系、问题的假设与简化、问题的数学模型的建立与求解。即案例式教学是以问题为中心的一种教学方法，以问题为主线，发现问题，分析问题，解决问题，以问题开始，以解决问题结束。通过这种教学方式，可强化学生对基本概念、方法的理解，激发学生的学习兴趣。
3 案例式教学法在概率论与数理统计课程中的应用
在概率论与数理统计课程教学中，在介绍完每一章的基本概念、理论、方法之后，适当的引入一些相关的教学案例，可以激发学生的学习兴趣，加深学生对所学基本知识的理解，通过对案例的深入分析，可以强化学生发现问题、分析问题、解决问题的能力。下面介绍几个在本课程中使用的案例。
3.1 运气问题 此问题通过对日常生活中的运气问题的分析，加深了大家对古典概型中相关知识与方法的理解[3，4]。问题如下：日常生活中，我们经常遇到某件事（结果）连续发生，如打牌时连续摸到好牌（或臭牌），是否存在我们所说的运气？下面运用古典概型相关方法对此进行深入分析，以使学生对此问题有更深入的理解。
我们运用掷硬币试验对打牌问题进行描述：第i次掷出正面表示第i次得到好牌，用“1”表示；第i次掷出反面表示第i次得到臭牌，用“0”表示。
【摘要】随着科学的发展，数学在生活中的应用越来越广泛，生活的数学无处不在。数学期望同样在生活中的众多领域都有着重要的而应用。本文通过一系列的生活实例来说明数学期望从理论到实践上都具有重要意义！
【关键词】概率统计；数学期望；风险决策
面对随机现象，优化决策的正确通常是指随机变量的均值，面对决策方案即将数学期望最大的方案作为最佳方案加以决策。如果知道任意方案Aj（j=1，2…，m）在每个自然状况（影响因素）Si（i=1，2…n）发生的情况下，实施方案Aj所产生的盈利值P（Si，Aj），及各自然状况发生的概率P（Si），则可以比较各个方案的期望盈利：EP（Aj）=选择其中期望盈利最高的为最佳方案。
一、风险决策问题
例1、某商场要根据天气预报来决定节日是在商场内还是场外开展促销活动。统计资料表明，每年国庆节商场内促销可获经济效益2万元，场外促销活动中遇到有雨天气则带来经济损失4万元，无雨可获得经济效益10万元，9月30日气象台预报国庆节当地有雨的概率是40%，商场应该选择哪种促销方式？
二、投资决策问题
例2：某人有10万元，有两种投资方案：一是购买股票，二是存入银行获取利息。买股票的收益取决于经济形势，假设可分三种状态：形势好、形势中等、形势不好（即经济衰退）。若形势好可获利4万元，若形势中等可获利1万元，若形势不好要损失2万元。如果是存入银行，假设年利率为8%，即可得利息8000元，又设经济形势好、中、差的概率分别为30%、50%和20%，试问选择哪一种方案可使投资的效益较大？
三、方案决策问题
例3、某冷饮店需要制定某种冷饮在七、八月份的日进货计划。该品种冷饮的进货成本为每箱30元，销售价格为每箱50元，当天销售后每箱可获利20元，但如果当天剩余一箱，就要因冷藏费及其他原因而亏损10元。现有前两年同期共120天的日销售量资料，其中日销售量为130箱有12天，日销售量为120箱有36天，日销售量为110箱有48天，其余24天的日销售量也达100箱。请对于进货量分别为100箱、110箱、120箱、130箱四个方案给予决策。
根据前两年同期日销售量资料，进行统计分析，可确定不同日销售量的概率。
四、求职决策问题
中国社会市场化进程越来越快，用人单位在招聘人才时，除了明确所招人员的学历条件和能力之外，一般还会重点申明所招不同岗位人员的年薪值.而当今社会的价值取向主流是，劳动者尽其所能付出劳动后，希望获得尽可能大的薪酬回报，我们认为这是推动社会向前发展的重要因素.现在大学毕业生以年薪期望值作为择业决策的主要依据正是这种价值取向主流的具体体现. 大学生在求职面试多个机会过程中，其年薪期望值是一个动态数据，只有在其择业决策做出后才能相对确定下来，因此，做出好的择业决策就显得相当的重要.以下为了说明问题，通过一个已简单化了的实例，通俗说明如何把握这个动态的年薪期望值来准确做出择业决策的方法.。
例4：有三家公司都为硕士毕业生李宏提供了就职面试的机会，按面试的时间顺序，这三家公司分别记为A、B、C，每家公司都可提供极好、好和一般三种职位，每家公司将根据面试情况决定给予求职者何种职位或拒绝提供职位，若规定求职双方在面试以后要立即决定提供、接受或拒绝某种职位，且不容许毁约。咨询专家为李宏的学业成绩和综合素质进行评估后认为，他获得极好、好、一般职位的可能性分别为0.2、0.3、0.4。三家公司的工资数据如下：
五、试验决策问题
例5：某新工艺流程如投产成功可收益300万元，但投产之前，必须经过小型试验和中型试验，试验经费分别需2万元和36万元，小型试验的成功率为0.7，如果连做两次小型试验，则成功率可提高到0.8，在小型试验基础上的中型试验的成功率为0.7，如果直接搞中型试验的成功率为0.5，应该如何决策，才能获利最多？
作者简介
1.李桂范（1963--），女，黑龙江哈尔滨人，副教授。
2.苏敏（1963--），女，黑龙江哈尔滨人，副教授。
摘要：本文以吉林农业科技学院为例，对应用型本科院校《概率论与数理统计》课程的教学模式从教学思想、教学内容、教学方法、手段等方面进行了探索和研究。
关键词：应用型本科；概率论与数理统计；教学模式
从目前每年毕业的本科院校毕业生学历层次上来看，本科的教育不再是精英教育，而是大众化教育，培养出来的大学生也不再是高级人才，而更趋向于应用型人才。在某种程度上来说，本科教育培养出来的毕业生是职业型人才。
《概率论与数理统计》课程是大学重要的基础课程之一，有着深刻的实际背景，在自然科学、社会科学的几乎所有分支都有广泛的应用。在发达国家，《概率论与数理统计》是一门几乎所有的大学生都必须学习的基础课。《概率论与数理统计》是研究随机现象的数量规律性的学科，不同于高等数学、线性代数等研究确定性现象的数学分支，有其鲜明的特殊性。
作为应用型本科院校，《概率论与数理统计》已有教学模式并不适用，也不能满足培养应用型人才的要求，这就需要进行相应的教学改革，来更好的为国家及地方培养应用型人才，使《概率论与数理统计》发挥出更好的作用。本文希望对《概率论与数理统计》教学模式进行研究，来探索应用型本科院校如何进行《概率论与数理统计》教学模式进行改革，使其更适用于应用型人才的培养。
一、教学思想的转变
以往在本科院校的《概率论与数理统计》的教学过程中，教师的教学理念还停留在“重理论、轻应用”，“重讲授、轻互动”等思想。仍然将教师做为教学的主体，以传授知识为主，强调理论的严谨性，教师常常在课堂上花大量时间用于定义的讲解，定理的证明，方法的推导和习题的演算，只注重知识的传授，往往缺乏重要数学思想的传递，特别是知识的应用，如果在教学中，教师不让学生了解概率论与数理统计在他们所在学科专业的应用，不加强学生用概率论与数理统计知识解决实际问题的能力，这显然不符合应用型本科院校培养高水平应用型人才的目标，也不可能培养出合格的应用型人才。
所以在学校转型的过程中就需要我们第一线的教师先要转变教学思想，将课程还给学生，以学生为主体，考虑到的不是我要讲什么，而是学生需要什么样的知识，如何将这些知识应用到他们的专业中去。当然，我们也要注意不要过犹不及，要注重理论与实际的结合，强化培养学生的应用能力.
二、教学内容改革
1、调整概率论与统计之间的教学比例，增加统计学比重
由于学时等原因，传统的《概率论与数理统计》的教学中，讲授的内容主要是以概率论的知识为主，关于统计部分的内容只是涉及到一部分，像方差分析和回归分析等内容更是没有涉及到。而统计才是与现实联系最为密切的，哪里有数据，哪里就有统计，它已广泛应用于各个学科，特别是方差分析和回归分析更是无处不在的重要统计分析方法。所以在转型的过程中应该适当地减少概率论部分的理论性和难度，在讲数理统计部分应增加参数估计、假设检验，特别是方差分析和回归分析的比重，着重介绍方差分析和回归分析这两种统计方法的思想和原理，培养和加强学生分析和处理数据的能力。
2、对不同专业进行分类教学
从学生的专业性质来看，各专业对学生数学知识的要求也不一样.我校信息、机械、食品、经管等专业的后续课程和专业研究与《概率论与数理统计》联系比较紧密，对学生分析处理数据的能力的要求相应的也较高，即使是这些专业中，不同学科专业对《概率论与数理统计》的要求也是不一样的。为了适应不同专业对统计学知识的需求，我们对不同专业的学生进行分类教学。学时设60学时和40学时两种模式供各专业进行选择，期末分开进行考核。教学内容根据不同专业的需求进行调整，以满足各不同专业的需要。
3、加强教材建设
学校转型以来，原有的传统教材已经不能适应教学的需求，为了更好的适应应用型本科院校的需求，《概率论与数理统计》课程组于2015年编写并出版了由杜宇静主编，上海交通大学出版社出版的《概率论与数理统计》教材。该教材在内容上调整了概率论与统计的比例，加重统计学知识的讲解，增加了实践应用的内容，加强了理论与实际的结合，强化培养学生的应用能力。
4、将统计建模的思想融入到《概率论与数理统计》教学过程中
数学家李大潜指出：如果数学建模的精神不能融合进数学类主干课程，仍然孤立于原有数学主干课程体系之外；数学建模的精神是不能得到充分体现和认可的；数学建模思想的融入宜采用渐进的方式，力争和已有的教学内容有机地结合，充分体现数学建模思想的引领作用；为了突出主旨，也为了避免占用过多的学时，加重学生负担，对数学课程要精选数学建模内容。《概率论与数理统计》课程是一门应用性很强的课程，涉及到随机因素的实际问题都可以利用《概率论与数理统计》的相关知识进行建模并进行求解，但很多学生在处理分析实际问题数据时，不管什么数据，不研究其统计意义，只知道直接利用统计软件的模块程序进行分析，根本不知道用的是什么基本统计知识.这样对数据进行分析处理，得到的结果，其正确性和可信度是令人怀疑的。所以，教师在《概率论与数理统计》教学时，有必要融入统计建模思想，把基本知识和应用联系起来，如敏感性问题调查、随机库存问题等都是《概率论与数理统计》在建模中的重要应用。
三、教学方法、手段的改革
关于教学方法，在课堂教学中要突出“教师为主导，学生为主体”教学理念，在启发式教学思想的指导下，针对不同的教学内容采用与之相适应的教学方法，如“案例教学法”、“类比教学法”、“问题教学法”、“形象化教学法”等。例如：在假设检验和方差分析时，可以引用与所教专业相关的数据，让学生对所得结论进行统计分析，这样既可以激发学生的学习兴趣，调动学生的学习积极性，同时有利于培养学生的统计思想和应用 利用统计知识分析和解决问题的能力。
在教学手段上，引进多媒体教学。《概率论与数理统计》教学过程中是否利用多媒体进行教学一直颇有争议。其实用多媒体进行教学并没有问题，问题是如何用，多媒体应该用来辅助教学，他有板书不可比拟的优势。多媒体辅助教学可以加大课堂信息量，节约板书时间；另外，能达到课本文字达不到的直观、动态效果，使难以理解的抽象理论形象化、生动化，将学生带入模拟场景，增强学生学习兴趣。如：全概率公式应用演示、正态分布、多维正态分布的分布等问题的直观演示等。
什么样的《概率论与数理统计》教学模式更适用应用型本科院校的需求，这需要我们经历长期的教学实践和教学研究。在这里我们只是对教学思想、教学内容、教学方法和手段进行了初步的探索和研究。
概率统计指的是研究自然界中随机现象的统计规律的数学方法，这是一个从生活中高度概括总结出来的数学知识体系，因此它是以生活为基本点的，所以概率统计必然是要回归于生活、服务于生活的，在生活实践中也必然会发挥着不可或缺的巨大的作用.在苏教版高中数学的知识体系中，概率统计也是相当重要的一个组成部分，作为教师的我们一定要教会学生们学以致用.巧用概率统计知识可以简单解决生活中的中奖问题，活用概率统计知识可以灵活应对生活中的优化选择问题，而妙用概率统计知识又可以轻松列举生活中的选购方案问题.这三个与生活紧密相关的问题无一不在印证着概率统计的知识在生活实践中发挥的重大作用.
一、巧用知识，简单解决中奖问题
中奖问题是生活中再为平常不过的问题了，而我们也都必然了解中奖问题是离不开概率统计的知识的，只要先攻破理论方面，让学生们学好概率统计的知识，并巧用知识，一定可以简单解决生活中的中奖问题，让知识真正服务于生活.
在苏教版高中数学教材必修三第三章中我们会讲解到第一节《随机事件及其概率》和第二节《古典概型》以及选修当中《数学期望》的知识，这两节的知识就可以让学生们非常简单地解决生活中的中奖问题.比如在这样一个生活问题中：集市上有一个人在摆摊“摸彩”，他手中有一个黑色的袋子，袋子中有完全相同的20只白球，且编号为1-20，还有一只红球，每花1元钱可以摸一次球，且先在纸上写下一个号码，如果摸到红球奖5元，摸到号码球与所写号码相同的奖10元，那么这个时候我们就需要利用所学概率统计的知识来思考摸球对我们而言是不是有利.经过简单的分析计算，我们可以得出我们可能中奖的概率为2/21，很明显这对我们是不太有利的，但是真正得到结论的还是对数学期望值的计算.计算之后，我们得出我们平均每次的收益为1/21×5+1/21×10-19/21=-4/21，而这个数很明显是小于0的，这也就是说，我们平均每摸彩一次，就会损失4/21元，所以这个游戏对我们不利.这样一来，经过一个简单的分析计算，我们对这个摸彩游戏就掌握得非常透彻了，经过利用所学知识进行理性分析，我们还得出了我们平均每次游戏要损失多少钱.概率统计的知识在生活实践中的运用在这个例子中就被很好地体现了出来.
在这个生活实践问题当中，通过巧用概率统计的知识就让我们变得非常理性，而不是同以往一样被中奖问题的表面利益所蒙蔽就去参与对自己无益的中奖环节，概率统计知识的作用在中奖问题中体现的非常明显，起到了不可或缺的重要作用.
二、活用知识，灵活应对优化选择
优化选择问题更是生活中非常普遍而且没那么简单的问题，在生活中遇到有时候我们可能会觉得手足无措，但是如果学会活用概率统计的知识，我们一定可以灵活应对优化选择问题，让概率统计在生活实践中发挥巨大作用.
在学习高中数学苏教版必修三第二章和第三章的内容时，我们一定会讲到画树状图来列举所有等可能事件的结果的知识，也就是古典概型.在这样一个优化选择的生活问题中，就通过画树状图来灵活解决了，问题是这样的：小华和小明在用一个罐子做游戏，罐子中装着四个一样大小的球，两个黑色、两个白色，其中一个人使劲摇罐子，使其中的小球位置打乱，小球落定之后，如果球是黑白相间排列就是甲方赢，否则乙方赢，这个时候问题就出现了，应该选择当甲方还是乙方胜的几率大一些.这时候这样一个优化选择的实践问题就需要用到概率统计的知识了，我们可以先给每个球进行编号以方便表示，然后我们可以通过画树状图来表示小球的位置排列方式，通过画树状图我们可以得到小球排列方式共有24种等可能的结果，其中黑白相间占8种，这个结果出来之后我们就可以轻易知道应该选择乙方胜的几率大一些.这样一来，这个问题又被灵活地解决了，概率统计的知识也得以在生活实践中得以充分应用，真正做到了学以致用.
在上面的这个例子中，如果没有概率统计的知识，可能会让人觉得一头雾水，无从下手，但是通过活用概率统计的知识，这个优化选择问题就被灵活解决，而这又一次体现了概率统计在生活实践中的作用，体现了学以致用的重要性.
三、妙用知识，轻松列举选购方案
选购方案问题在生活中无处不见，对于生活中的实践问题，我们通常会面临不只一种情况，这时就需要列举各种选购方案并对每种方案加以分析，而概率统计知识在这时又会起到非常重要的作用.
在苏教版高中数学教材必修三第二章和第三章中，我们会讲解到统计学与概率论的知识，而选购方案问题则会综合运用到各种知识，选购方案问题与生活实践紧密相关，因此只要妙用概率统计知识，一定可以轻松列举选购方案，达到学以致用的效果.比如这样一个问题：某公司有A、B、C三个型号的甲品牌电脑，还有D、E两个型号的乙品牌电脑，已知每个电脑的价格，某学校要选购甲乙两种品牌的电脑各一种型号，列举出所有的选购方案.通过概率统计知识，所有选购方案可以轻松列举完全，这个步骤虽然简单，但是列举选购方案只是解决生活实践问题的一个基础，而且只要解决好这个问题，后面的问题无论多难都可以用概率统计的知识加以解决，所有与这个选购方案有关的生活实践问题都可以迎刃而解.在这个选购方案的问题中，只要轻松列举出所有选购方案并进行分析，所有问题都会迎刃而解，因此妙用概率统计知识在生活实践中的作用不言而喻.
在这个案例中，通过学以致用，妙用概率统计的相关知识，不但轻松列举并分析了所有选购方案，而且快速解决了生活中的更多更复杂的问题，真正做到了学以致用，因此概率统计在生活实践中的作用在这里便被完全凸显出来了.
综上所述，巧用概率统计知识可以简单解决生活中的中奖问题，活用概率统计知识可以灵活应对生活中的优化选择问题，而妙用概率统计知识又可以轻松列举生活中的选购方案问题.通过从不同方面来分析概率统计的学以致用，更可以多角度立体地体现出概率统计在生活实践中的重要作用，这也更加体现了学以致用的重要性.概率统计的知识是这样，别的知识也是这样，因此作为教师的我们一定要教会学生们学以致用，要教会他们运用概率统计的知识，乃至更多的知识来解决生活实践中的问题，将学以致用贯彻到每一点知识中去，真真正正做到学以致用！
摘 要 《概率论与数理统计》课程内容抽象课程，学员缺乏兴趣。案例教学法使《概率论与数理统计》课堂教学变得通俗易懂，贴近生活，趣味十足，增进学员对课程的深入理解，提高课堂效率，活跃数学思维，提高学习兴趣，从而改善教学效果，提高教学质量。
关键词 案例教学法 概率论与数理统计 课程教学
《概率论与数理统计》是一门从数量上研究随机现象统计规律性的科学。该学科与生活紧密联系，是很多前沿学科的基础，直接影响着我们的生活。但该课程普遍存在课程内容抽象、教学方式单一、授课过程枯燥、学员缺乏兴趣等问题。很多学员都认为该课程的基本概念难以理解，对那些定理“从哪儿来，要到哪儿去”更是不解，解题的时候无从下笔，毫无头绪，因而学员提不起兴趣。基于这种状况，我们从生活化和直观化对概率论课堂教学进行改革，加强案例教学法，以使概率论与数理统计课堂教学变得通俗易懂，贴近生活，趣味十足，增进学员对概率论的深入理解，提高课堂效率，活跃数学思维，提高学习兴趣，从而改善教学效果，提高教学质量。
案例教学法是指教员为达到教学目的，完成教学任务，根据学员的实际情况，精选案例，再课堂上组织学员对案例进行分析、讨论和解答，提高学员的认知能力、综合解答实际问题的能力，培养学员的创新能力和团队协作能力。《化归思想在概率论教学中的运用》讨论了以连续型随机变量的概率教学为例，探讨化归思想方法在数学专业课程教学中的运用。《在概率论课程的教学中培养学员能力的探讨》总结了作者多年从事概率论教学的经验，提出了培养学员观察与分析能力、逻辑推理能力的一系列措施，包括恰当选择教学内容、讲授方式、思维方式的训练等。《在概率论的教学中加强与实际的联系》探讨了教学与实际的联系，由数学的特点决定，数学与实际的联系，是数学发展的必然.在概率论教学中加强与实际的联系，使学员树立理论联系实际的学风，提高对现实的认识，提高解决问题的能力。《概率论教法初探》通过《概率论》教学方法研究和教学实践，总结出全概率公式和贝叶斯公式教法模式，取得较好的教学效果，深受学员欢迎。
1案例教学法的作用
俗话说兴趣是最好的老师，有兴趣，学习积极性自然高。案例教学法的使用，不仅能培养学员分析问题和解决问题的能力，而且能提高学员的创新能力与团队协作能力。在课堂上注意观察学员的表情，了解学员掌握内容的情况，尽量以幽默的语言帮助他们克服困难，鼓励他们在听不懂时不要过于急躁，带他们走出畏难情绪。课堂上注意调节学习气氛，调整课堂节奏，在每一节的内容讲解完后，稍作停顿，让学员理清思路，慢慢吸收，再接着给例题。关于讲解例题的方式可以采用多种形式可以由教师讲解，也可以与学员共同做，或先由学员讨论，再讲解，或是直接请学员作答，再总结，等等。总之，案例教学法注重学员能力的培养，提高学员的综合素质。因此我们在教学过程中应增加案例教学，增强学员学习的积极性，使学员由怕学到乐意学，由被动接受到主动思考。
1.1抽象概念要以具体事物为依托
可以说数学是抽象的，正因为它抽象才有广泛的应用，数学来源于实践，是由实际问题升华出来。因此，要学习数学又害怕接触抽象概念，正如学工程的人不愿接触实际操作一样，是无法学好的。在教学过程中，在讲解概念中，始终要抓住概念的本质。
例如，讲授概率的定义、性质和运算法则，首先考虑的是概率这个概念的直观性，从日常生活中能感受到的现象出发，引导学员去发现新的规律，归纳出一个数学模型（或称概率模型），而不能从抽象的东西谈起。而讲概率的加法公式和乘法公式时，引导学员将概率的加法公式和事件的加法的区别弄清楚，讲清两个加法公式和乘法公式，再引导学员自己推导多于两个事件的加法公式和乘法公式，指出“容斥原理”即为加法公式所依托的思考方法。
1.2 提高学员应用数学的能力
数学本身就是实践的抽象，正好案例还原了数学的应用性。这时数学就不再是抽象的符号，而是具体的问题。课堂上举出日常体验中容易引起人错觉的例子可以激发学员的好奇心。例如同月同日出生是很难得的缘分吗？先抽签占便宜吗？体检时结果是阳性真的可怕吗？这些问题留给学员去思考，让他们课后去找出正确答案，激发学员的探究欲望。通过对这些直觉误区的解决和澄清，学员对概率的认识也会得到相应的提高，同时培养了学员发现问题、分析问题和解决问题的能力。
当介绍基本概念时，尽量用通俗易懂的语言表述，同时配以直观的图示或者形象的例子。比如，随机试验是人们认识随机世界的手段，随机试验的结果称为随机事件，如“明天的最高温度为℃”，“某夫妇的胎儿是男孩”，“向一个水平桌面抛掷一颗均匀骰子”等等都是随机事件。在介绍概率论应用时，可以举二战期间的一个例子：1943年以前，美英运输船队在大西洋上常常受到德国潜艇的袭击，损失惨重。有何法子减少损失呢？一位美国海军将领请教了几位数学家。数学家运用概率论分析后认为，舰队与敌潜艇相遇，从数学角度来看，是一个随机的问题。船只被击沉的概率，与船队数目成正比，与船队规模成反比。美国海军对过去的舰队编队和编次规则作了重大调整，命令船队在指定海域集合，再集体通过危险海域。结果奇迹出现了：美英舰队遭遇德国潜艇并被击沉的概率大幅减少，由原来25%下降到1%，大大减少了损失，保证了物资的及时供应。针对这类问题，学员通过独立思考，学生之间相互交流讨论，培养学员灵活运用所学的数学知识解答实际问题，提高了学员应用数学的能力。
1.3提高学员观察思维能力和自主学习能力
通过对案例的独立思考和分析，激发学员学习的内在动机，调动学员学习的主动性和积极性，此时教员不再是纯粹的知识传输者，而是学员学习的引导者，引导学员感知知识、认知知识。本课程内容既具有数学的严谨性，又具有随机性。因此，正确处理严谨性与生动直觉之间的关系，让学员既有严谨的抽象思维能力， 对能对随机性产生敏感，具有概率统计的直觉，是教员在教学过程中应该处理好的重要问题。这不仅有助于培养学员的观察思维能力，而且能提高自主学习的能力。
比如在介绍概率中的公理化定义时，学生可能觉得这个定义很怪、难以理解，教师就在课堂上还原概率论发展的历史背景：贝特朗悖论推翻了之前概率所有的定义，包括统计定义、古典定义和几何定义等等，原有的概率论理论大厦岌岌可危。1933年，前苏联数学家柯尔莫哥洛夫给出了概率的公理化定义，即通过规定概率应具备的基本性质来定义概率。柯尔莫哥洛夫提出的公理为数很少且极为简单，但在此基础上建立起了概率论的宏伟大厦，有了这个背景，学员对概率的公理化定义就容易理解了。
1.4提高学员表达能力和团队协作能力
传统教学法主要是以教员在课堂上传授知识为主进行的，此时学员完全处于被动状态，如果传授的知识量大，学员就可能会“消化不良”，时间久了，会出现恶性循环，教学效果、学习效果都不理想。在整个教学活动中，学员个体是被灌输者，完全谈不上自我表达和团队协作。
案例教学法以培养学员解决问题的综合能力为目标。采用案例教学法，体现了“学员为主，教员为辅”，教员整个教学过程中起引导作用，给出案例，学员可以通过独立思考，踊跃发言，也可以分小组（一般四至六人为佳）团结协作共同作战，然后选派代表发言，其余组员辅助补充。这种方式让学员能够自由地与不同性格的人交流、协作，提高团队协作能力。
2《概率论与数理统计课程》案例教学举例
数学是一种工具，用这一工具发现实际现象背后的规律，并解释和说明实际现象，从而最终解决实际问题。用实例的讲解知识是培养学员运用数学知识解决实际问题的一种重要方法。概率论是一门应用性很强的学科，在概率论教学过程中加强案例讲解是非常必要的。这一方面可以增强学员应用数学知识的意识；另一方面可以增加学员的学习兴趣，提高课堂教学效果。
在讲授《概率论与数理统计》课程的时候，教师会把案例融入相应的知识点中进行讲解。比如，在讲解小概率事件时，可以引入“过马路需小心”这个应用实例。对于每个人来讲，每次过马路出现事故的概率，即 p 值是很小的，但每个人在一生中过马路的次数，即n是很大的。每次过马路都可以被看作一个随机试验，在一生中过马路的情形可以被看作一个 n 重贝努里概型，那么一生中出现事故的期望值为 np。为了减少出现事故，可以采用两种方法。一种是减少过马路的次数，另一种是减小过马路出现事故的概率。显然，减少过马路的次数似乎不太现实，所以我们必须增加自己的安全意识，从而减少过马路出现事故的概率。
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