时间：2022-10-15 08:44:52
导语：在等腰三角形的性质的撰写旅程中，学习并吸收他人佳作的精髓是一条宝贵的路径，好期刊汇集了九篇优秀范文，愿这些内容能够启发您的创作灵感，引领您探索更多的创作可能。
命题：等腰三角形底边上（或其延长线上）的任意一点，到两腰上的距离之和（或差）等于一腰上的高.
已知：如图1，在ABC中，AB=AC，D是底边BC上的任意一点，DEAB于E点，DFAC于F点，BG是腰AC上的高.
求证：BG=DE＋DF.
证明：连接AD.
SABC =SABD ＋SACD，
AC•BG= AB•DE＋ AC•DF.
AB=AC，
AC•BG= AC•DE＋ AC•DF.
即AC•BG=AC•（DE+DF）.
BG=DE＋DF.
即DE＋DF是一个定值，它等于腰上高的长.
如图2，在ABC中，已知AB=AC，D是底边BC延长线上的任意一点，DEAB于E点，DFAC的延长线于F点，CG是腰AB上的高，则有DE－DF=CG.（请同学们完成证明）
即DE－DF是一个定值，它等于腰上高的长.
例1 如图3，在矩形ABCD中，O是对角线AC，BD的交点，AB=3，AD=4，P是AD边上的一个动点，且PEAC于E点，PFBD于F点，则PE＋PF=.
分析： 因为四边形ABCD是矩形，所以OAD是等腰三角形，P点恰好是底边AD上的任意一点，且PEAC于E点，PFBD于F点，根据命题，可得PE＋PF等于腰OD上的高AG.在RtABD中，利用面积就能求出AG的长.
解：作AGBD于G点.
在RtABD中，BD= = =5.
ABD是直角三角形，且AG是斜边BD上的高，
SABD = AB•AD= BD•AG，AG= = .
由四边形ABCD为矩形，可知OA=OD，即OAD为等腰三角形.
P是底边AD上的任意一点，且PEAC于E点，PFBD于F点，
PE＋PF=AG.即PE＋PF= .故填 .
例2 如图4，在ABC中，已知∠A=90°，D是AB上一点，且BD=CD，过CB延长线上的任意一点P，作PEAB的延长线于E点，PFCD的延长线于F点.已知AD∶DB=1∶3，BC=4 ，求PF-PE的值.
分析： 显然CDB为等腰三角形，P恰好是底边CB延长线上的任意一点，且PEDB的延长线于E点，PFCD的延长线于F点.根据命题，可得PF－PE等于腰BD上的高AC.在RtACD中，利用勾股定理表示出AC与AD的关系，再在RtACB中利用勾股定理，即可求AC的长.
解：设AD=x，则BD=CD=3x.
在RtACD中，AC2=CD2-AD2=9x2-x2=8x2.
在RtACB中，AB2＋AC2=BC2，即（4x）2＋8x2=（4 ）2.
解得x=2（负值已舍去）.所以AC=2 x=4 .
由BD=CD，知CDB为等腰三角形.
根据命题，可得PF-PE等于AC的长，即PF－PE=4 .
点评：这类从习题中总结出来的命题，考试中可能不能当定理使用，但对于分析图形作用很大.等腰三角形还有其他性质，比如，等腰三角形两底角的平分线相等，两腰上的高相等，两腰上的中线相等，底边中点到两腰上的垂线段相等，等等.
练习题
1. 如图5，在ABC中，已知∠BAC=150°，AB=AC=4 cm，D是底边BC延长线上的任意一点，且DEBA的延长线于E点，DFAC的延长线于F点，则DE－DF=.
（答案：2 cm）
1、 理解并掌握等腰三角形的判定定理及推论
2、 能利用其性质与判定证明线段或角的相等关系.
教学重点： 等腰三角形的判定定理及推论的运用
教学难点： 正确区分等腰三角形的判定与性质，能够利用等腰三角形的判定定理证明线段的相等关系.
教学过程：
一、复习等腰三角形的性质
二、新授：
I提出问题，创设情境
出示投影片.某地质专家为估测一条东西流向河流的宽度，选择河流北岸上一棵树(B点)为B标，然后在这棵树的正南方(南岸A点抽一小旗作标志)沿南偏东60°方向走一段距离到C处时，测得∠ACB为30°，这时，地质专家测得AC的长度就可知河流宽度.
学生们很想知道，这样估测河流宽度的根据是什么?带着这个问题，引导学生学习“等腰三角形的判定”.
II引入新课
1.由性质定理的题设和结论的变化，引出研究的内容——在ABC中，苦∠B=∠C，则AB= AC吗?
作一个两个角相等的三角形，然后观察两等角所对的边有什么关系?
2.引导学生根据图形，写出已知、求证.
2、小结，通过论证，这个命题是真命题，即“等腰三角形的判定定理”(板书定理名称).
强调此定理是在一个三角形中把角的相等关系转化成边的相等关系的重要依据，类似于性质定理可简称“等角对等边”.
4.引导学生说出引例中地质专家的测量方法的根据.
III例题与练习
1.如图2
其中ABC是等腰三角形的是 [ ]
2.①如图3，已知ABC中，AB=AC.∠A=36°，则∠C______(根据什么?).
②如图4，已知ABC中，∠A=36°，∠C=72°，ABC是______三角形(根据什么?).
③若已知∠A=36°，∠C=72°，BD平分∠ABC交AC于D，判断图5中等腰三角形有______.
④若已知 AD=4cm，则BC______cm.
3.以问题形式引出推论l______.
4.以问题形式引出推论2______.
例： 如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，求证这个三角形是等腰三角形.
分析：引导学生根据题意作出图形，写出已知、求证，并分析证明.
练习：5.(l)如图6，在ABC中，AB=AC，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点F，过F作DE//BC，交AB于点D，交AC于E.问图中哪些三角形是等腰三角形?
(2)上题中，若去掉条件AB=AC，其他条件不变，图6中还有等腰三角形吗?
练习：P53练习1、2、3。
IV课堂小结
1.判定一个三角形是等腰三角形有几种方法?
2.判定一个三角形是等边三角形有几种方法?
一、由于题目条件的不确定性引发结论不惟一
例1已知等腰三角形的一个内角为65°则其顶角为（）
A、50° B、65°C、115° D、50°或65°
解析65°角可能是顶角，也可能是底角。当65°是底角时，则顶角的度数为180°－65°×2=50°；当65°角是顶角时，则顶角的度数就等于65°。所以这个等腰三角形的顶角为50°或65°。故应选D。
温馨提示对于一个等腰三角形，若条件中并没有确定顶角或底角时，应注意分情况讨论，先确定这个已知角是顶角还是底角，再求解。
例2已知等腰三角形的一边等于3，另一边等于4，则它的周长等于_________。
解析已知条件中并没有指明3和4谁是腰长，因此应由三角形的三边关系进行分类讨论。当3是腰长时，这个等腰三角形的底边长就是4，此时等腰三角形的周长等于10；当4是腰长时，这个三角形的底边长就是3，则此时周长等于11。故这个等腰三角形的周长等于10或11。
温馨提示对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪是底哪是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论。
温馨提示这里求出来的解应满足三角形三边关系定理。
二、由于题目条件得出的图形不确定性引发结论不惟一
例4等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为55°，求这个等腰三角形的顶角的度数。
解析依题意可画出图1和图2两种情形。图1中顶角为35°，图2中顶角为145°。
例5某中学为美化环境，计划在校园的广场用30m2的草皮铺设一块一边长为10m的等腰三角形绿地，请你求出这个等腰三角形绿地的另两边长。
温馨提示三角形的高是由三角形的形状决定的，对于等腰三角形，当顶角是锐角时，腰上的高在三角形内；当顶角是钝角时，腰上的高在三角形外。
例6在ABC中，AB=AC，AB的中垂线与AC所在直线相交所得的锐角为45°，则底角∠B=____________。
解析按照题意可画出如图1和如图2两种情况的示意图。
故这个等腰三角形的底角为67.5°或22.5°。
那么，等腰三角形的对称轴是不是一定要用折叠法来寻找与验证呢？是不是非得用透明纸操作呢？是否存在一种既落实“四基”，又能体现“快乐数学”理念的创新设计？本人在教学实践中，认为可以走出认定顶角平分线的思维定式。
下面就“2.1等腰三角形”中轴对称性部分谈谈我优化后的教学设计。
画一画：如图，在网格中，你可以找到多少个以BC为底边的格点等腰三角形？（格点三角形是指在正方形的网格中，以方格的顶点为三角形顶点的三角形）
给学生充分的时间思考动手，紧接着，设计了五个问题：
（1）如图，你可以找到几个这样的格点，使ABC是以BC为底边的等腰三角形？请画出来。
（2）观察这些格点A，它们在分布排列上有什么规律？
（3）这条直线与线段BC是什么关系？
（4）线段的垂直平分线有什么性质？
（5）等腰三角形是否是轴对称图形？如果是，请画出它的对称轴，并描述。
当然，学生找到的这些格点A在PPT里要同步演示出来，他们会有更加直观的认识。在得到“等腰三角形是轴对称图形，底边的中垂线是它的对称轴”之后，可以根据中垂线的性质得到ABD≌ACD（如图），从而得到线段AD也是等腰三角形ABC的顶角平分线，也是底边的中线和高，同时也为下一课时讲授“三线合一”这个重要性质作好坚实的铺垫。
这个设计充分体现了学生的主观能动性，经历了动脑猜想，动手验证来总结数学规律的过程，使学生感受到新知识的学习是建立在已有认知经验的基础上的。学生们积极地找到了那些格点，并且非常顺利地得出等腰三角形的轴对称性，并且准确描述“底边的中垂线是它的对称轴”。由于完全是学生自己的智慧，在课堂上他们觉得自信满满，得心应手。在接下来的课堂时间里，表现得十分出色，积极动脑，精彩不断。这样，实现了将学生从不易于接受的数学知识的学术形态转化为易于学生接受的教育形态，通过例题的教学，使原本枯燥的“在等腰三角形中腰上找对称点”的活动显得富有生命活力，整节课让学生在轻松愉悦的氛围中进行，且学生的课后作业证实了学生对等腰三角形的轴对称性基本过关，真可谓是“快乐学数学”。
以上的教学设计与处理，很显然绕开了先入为主的顶角平分线，避免了强迫学生用折叠法验证等腰三角形的轴对称性，而是在学生已有的认知基础上，通过直观的找格点等腰三角形和观察这些新格点的分布排列规律，逐步诱导学生找到那条隐藏着的对称轴，并且“三线合一”的性质定理已经呼之欲出了。
【关键词】分类思想；教学
【案例描述】
一、教学目标
（1）知识与技能目标：掌握等腰三角形相关知识解决数学问题。
（2）过程与方法目标：让学生在解决问题的过程中体验分类的方法，渗透分类讨论数学思想，培养学生分析和解决数学问题的能力。
（3）情感与态度目标：让学生经历解决问题过程中的分类思想，激发学习兴趣。
二、教学重难点
（1）教学重点：等腰三角形基础知识及在等腰三角形的基础知识解决数学问题过程中的分类思想渗透。
（2）教学难点：分类这种数学思想方法的渗透及体会。
三、教学准备PPT课件和学习活动单
四、教学设计
1.等腰三角形基础知识回顾
如图，在ABC中，
（1）若AB=AC，∠A=40°，则∠B= 70°；
（2）若∠B=∠C，AB=5，则AC= 5 ；
（3）若AB=AC，AD平分∠BAC，则∠B=70°；
①若BD=3，则BC= 6 ；
②若BC=6，ABC的面积为24，则AD= 8 。
通过几个简单的小问题，让学生回顾之前学习的等腰三角形的相关知识，包括：
（1）在同一个三角形中，等边对等角；
（2）在同一个三角形中，等角对等边；
（3）等腰三角形三线合一。
而这些知识的巩固正为本节课后续解决等腰三角形中的问题作好了准备。
2.通过问题的解决渗透分类思想这一重要的数学思想
问题1：已知等腰三角形的两边分别是4和5，则它的周长是________。
问题2：已知等腰三角形有一个角为30°，则它的底角度数为____°。
通过问题1、问题2的解决让学生体会到利用等腰三角形的两边相等、两角相等即可解决这两个问题，但问题1中在不确定4和5那边为腰时，问题2中不确定30°为顶角还是顶角时需要进行分类讨论。之后进一步提出，此类问题是否一定有两个答案，存在只有一个答案的可能吗？再让学生去改题目得到一个答案的情r，最后做小结。设置这两个题目的目的是让学生在解决一些比较简单的问题时体会分类思想的方法，为后续解决较难问题做好铺垫。
问题3：已知一个三角形的三个内角分别为20°，40°，120°，你能把这个三角形分成两个等腰三角形吗？画一画，并标出各角的度数。
这个问题学生在之前的学习中可能有过接触，对大部分学生来说还是比较简单的，只要把120°分出20°或者分出40°都能解决问题。在此基础上，进一步提出这个三角形好，它能分成两个等腰三角形，你能否画一个三角形使它也具备这种功能，可以分成两个等腰三角形。让学生在尝试画的过程中找到只要三角形的内角之间存在特定的关系就一定能分成两个等腰三角形，它们分别是直角三角形或一个角是另一个角的2倍以及一个角是另一个角的3倍。在讨论过程中，让学生更深入地体会如何分类才能不漏不重。
问题4：能否找到一个等腰三角形，使它能分成两个等腰三角形，若有，请求出该等腰三角形的顶角度数。
这个问题在等腰三角形中是一个比较经典的问题，但解决起来比较难，但在问题3解决的基础上，进一步提出问题4，利用问题3的结论来解决问题4，该问题会变得简单很多。只需在问题3中已分好的三类的基础上进一步让原三角形成为等腰三角形即可解决，并在过程中渗透了方程思想。
3.课堂小结
本节课主要利用了4个问题的解决来渗透分类思想这一重要的数学思想，让学生在过程中亲身体验分类的具体方式和方法，为今后的学习打好基础。
五、作业布置
求等边三角形的面积公式：s=1/2a^2sin60°。等边三角形（又称正三边形），为三边相等的三角形，其三个内角相等，均为60°，它是锐角三角形的一种。等边三角形也是最稳定的结构。等边三角形是特殊的等腰三角形，所以等边三角形拥有等腰三角形的一切性质。
三角形是由同一平面内不在同一直线上的三条线段‘首尾’顺次连接所组成的封闭图形，在数学、建筑学有应用。常见的三角形按边分有普通三角形（三条边都不相等），等腰三角（腰与底不等的等腰三角形、腰与底相等的等腰三角形即等边三角形）；按角分有直角三角形、锐角三角形、钝角三角形等，其中锐角三角形和钝角三角形统称斜三角形。
（来源：文章屋网 ）
分析 这道题出来，学生明显不适应，有些同学虽能找到一两个点但找不全，而有些同学甚至无从下手，不禁问到：“这样的点到底在哪儿?”其实解决这道题只需从轴对称的性质与等腰三角形的相关性质来进行分析与讨论，就能将满足条件的点都找出来.如图2，由于直线l是等边ABC的一条对称轴，故直线l是ABC的边BC的垂直平分线，而线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，所以只要点P在l上(除中BC点外)BCP均是等腰三角形，所以在找点P时就无需考虑BCP了，而对于ABP与ACP总是关于直线l对称，所以ABP≌ACP，故对于这两个三角形只需考虑其中一个就行，当ABP是等腰三角形时，ACP必是等腰三角形.
解 在直线l上存在这样的点P，使得ABP、BCP、ACP均为等腰三角形.
由上面的分析可知：只要点P在l上且ABP是等腰三角形，则BCP、ACP也均为等腰三角形.而对于等腰ABP现只知其一边AB，故边AB可能是等腰ABP的底，也可能是它的腰.所以我们分以下情况进行讨论：
⑴当边AB为等腰ABP的底时，PA=PB，所以点P一定在线段AB的垂直平分线上，又由点P在l上，所以点P一定在线段AB的垂直平分线与直线l的交点处(如图3)，记该点为P1.
⑵当边AB为等腰ABP的腰时，点A与点B均可能为等腰ABP顶角的顶点，所以此处又要分类讨论：
①当点A为等腰ABP顶角的顶点时，PA=AB，故该点可以这样找：以点A为圆心，AB为半径画圆，与直线l有两个交点(如图4)分别记为P2、P3.
②当点B为等腰ABP顶角的顶点时，PB=AB，故该点可以这样找：以点B为圆心，AB为半径画圆，与直线l也有两个交点，其中一个就是点A另一个记为P4(如图5)，而点A不符合要求故舍去.
综上所述，在直线l共有四个点P1、P2、P3、P4满足要求(如图6).
延伸1 如图7，ABC是等边三角形，在平面内是否存在点P，使得ABP、BCP、ACP均为等腰三角形?如果存在，请在图中找出来.
通过上述例子的讲解，可以非常容易地找到在等边三角形的三条对称轴上均可以找到四个满足要求的点，是否就有12个这样的点呢?其实不然，其中有三点重合即这3点均为三角形的外心P1，所以在对称轴上总共可以找到10个满足要求的点.那么是否还有除这10个在对称轴上的点外还有其他的点呢?
我们可以这样假设：在对称轴外存在一点P，使得ABP、BCP、ACP均为等腰三角形，若AP、PB、PC三条线段中有两条相等，不妨设PA=PB，则点P在线段AB的垂直平分线(即ABC的一条对称轴)上，与假设矛盾.则PA、PB、PC必定两两不等，而ABP、BCP、ACP均为等腰三角形，所以不妨设PA=AB，则PA=AC，而PB与PC必有一个等于BC，由于AB=AC=BC，所以PB与PC必有一个等于PA，则说明点P在ABC的对称轴上，与假设矛盾.可见满足条件的点P必在ABC的对称轴上.故满足条件的点共有10个(如图7).
图8拓展1 如图8，四边形ABCD为正方形，在平面内是否存在点P，使得ABP、BCP、CDP、ADP均为等腰三角形?如果存在，请在图中找出来.
分析 通过上述例子的分析讲解中，我们可以先考虑这个正方形的一条对称轴l1(如图8)，此时，l1是线段AD、BC的中垂线，故l1上的任一点P均有AP=DP、BP=CP，所以l1上的任一点P(除l1与AD、BC的交点)均可以，ADP与BCP为等腰三角形，而ABP≌DCP，所以对于l1上的点P，我们只需考虑它能否使ABP成为等腰三角形即可.故有以下讨论：
图9解 (如图9)直线l1为正方形ABCD的一条对称轴，在直线l1上存在点P，使得ABP、BCP、CDP、ADP均为等腰三角形.
由分析可知，只要点P在l1上且使ABP为等腰三角形，则BCP、CDP、ADP均为等腰三角形.而对于ABP，现在只知道它的一条边为AB，故边AB可能是等腰ABP的底，也有可能是它的腰，所以可以这样进行讨论：
⑴当边AB为等腰ABP的底时，PA=PB，所以点P一定在线段AB的垂直平分线上，又由点P在l上，所以点P一定在线段AB的垂直平分线l2与直线l1的交点处(如图9)记该点为P1.
⑵当边AB为等腰ABP的腰时，点A与B点均可能为等腰三角形ABP顶角的顶点，所以此处又要分类讨论：
①当点A为等腰ABP顶角的顶点时，PA=AB，故该点可以这样找：以点A为圆心，AB为半径画圆，与直线l1有两个交点(如图9)分别记为P2、P3.
②当点B为等腰ABP顶角的顶点时，PB=AB，故该点可以这样找：以点B为圆心，AB为半径画圆，与直线l1也有两个交点(如图9)分别记为P4、P5.
由于正方形的对称性，其对称轴l1与l2具有平等性，故在直线l2上也能找到5个符合要求的点P1、P6、P7、P8、P9，而两个P1是相互重合的，所以在l1与l2上共可以找到9个符合要求的点(如图9).
除l1与l2上9个点外，是否还有其它满足条件的点吗?我们可以假设：在对称轴l1与l2外存在一点P，使得ABP、BCP、CDP、ADP均为等腰三角形，则若PA=PB、PB=PC、PC=PD、PD=PA中有一成立，则点P必在对称轴l1或l2上，所以上述等式均不成立，即不妨设PA=AB、PC=CD，此时由于AB=BC=CD=AD，所以PA=PC，即点P在AC的垂直平分线BD上，而在直线BD上满足PA=PC=AB的点P只有B、C两个点，显然B、C两个点不符合要求，所以在平面内只存在9个满足要求点P(如图9)，使得ABP、BCP、CDP、ADP均为等腰三角形.
通过上述两个例子，大家一定可以总结出一些解决这类问题的方法：
其实这类问题的解决关键就是：对已知等腰三角形一边(不妨设为AB)与其第三个点(不妨设为P)所在直线(不妨设为l)，来确定等腰三角形的第三点P的位置(即确定三角形的形状).而对已知一边的等腰三角形，根据等腰三角形的特殊性可分以下情况讨论：⑴该边(AB)是等腰三角形的底边，则第三点P一定在该边的垂直平分线上，所以一定在AB的垂直平分线与直线l的交点处；
⑵该边AB是等腰三角形的腰，此时又可对该边的两个端点进行讨论：
①当点A为等腰三角形顶角的顶点时，则第三个点P必在以A为圆心，AB为半径的圆上.
②当点B为等腰三角形顶角的顶点时，则第三个点P必在以B为圆心，AB为半径的圆上.
进而再根据点P所在直线l的位置，可以确定点P为圆与直线l的交点.
掌握了这些规律，解决这类问题就易如反掌，没有任何困难了.以上结论供大家参考，并附练习题两道：
1.如图10，AB∥CD，BC=AD，AB=2，CD=10，∠C=∠D=45°.平面内有一点P，使得APB、BPC、CPD、APD都是等腰三角形.
⑴在图中作出点P的位置；
⑵求出点P到CD的距离.
图10 图112.如图11，A、B在方格纸的格点位置上，请再找出一个格点C，使它们所构成的三角形为轴对称图形，这样的格点C共有( )
A.8个 B.9个 C.10个 D.11个
以现代教育思想观念武装头脑，是探索数学研究性学习的关键。现代教育思想观念要求，在探索研究性学习时，要以现代化教育思想观念武装自己的头脑，要能跳出数学看数学。新课标的教育理念认为，创新意识和创新能力不是教出来的，而是通过独立的思考和有利于创造性思维的环境激发出来的。要在课堂教学中合理渗透过程是探索数学研究性学习的突破口。
案例：《等腰三角形性质定理二》探讨课
1.提出问题
等腰三角形，除了两个底角相等的性质外，还有哪些性质呢？
2.实验探索
先用一张长方形纸片剪一个等腰三角形。将等腰三角形对折，使两腰重合，然后打开对折的三角形，观察折痕，猜想折痕有哪些性质，等腰三角形有哪些性质？
3.设置问题
（1）这个猜想是等腰三角形所特有的吗？不等边三角形会不会也有这些特点呢？
（2）是不是所有的等腰三角形都具备这个特点呢？
4.推理论证
（1）出示一个不等边三角形（用《几何画板》），画出同一边上的高线、中线、角平分线，观察三线并不重合。
（2）慢慢拖动三角形一顶点，将不等边三角形转化为等腰三角形，发现底边上的高线、中线、顶角的平分线互相重合。
（3）在教师的指导下，由学生证明发现的结论。
5.得出结论
本节探讨课变直接给出定理为发现定理，让学生人人参与定理的发现过程，活跃学生的思维。
一、数学开放题是实施数学研究性学习的载体
例如，怎样测量学校旗杆的高度。针对各种不同的实际情况，设计出不同的测量方法。
这是一道综合开放题，其条件、策略、结论都是开放的。（1）条件的开放性。可考虑的各种不同的条件大致有：旗杆的大小，旗杆周围的地理环境和测量者能涉足的位置、测量工具。（2）策略的开放性。可考虑的各种不同的策略大致有：直接测量、利用勾股定理进行计算。利用相似三角形的比例关系进行计算，利用三角函数进行计算等。通过这样的活动不但使学生巩固了解直角三角形的有关知识，而且使学生体会了数学的应用，以及如何创设条件将一个现实问题转化为一个数学问题。
二、注重用数学知识和数学方法处理周围的社会生活问题是研究性学习的延伸
教师在注重对学生的基础知识、基本技能进行教学的同时，更应重视学生数学思想和方法的学习以及数学能力的提高，要让学生多思、多想、多探索、多领悟，引导学生增强自己理解、分析、归纳等处理问题的能力。让学生凭借自己的智慧和能力，积极、独立地思考问题，主动探索知识，创造性地解决社会生活实际问题。
如，裁缝师傅要想在一块三角形的布料上剪出一个半径尽可能大的圆做裙子，应该如何剪才能符合要求？这个问题可归纳为怎样作一个圆和三角形的三边都相切的问题。又如，木工把一块直角三角形的木板加工成一张正方形桌子的台面，方法有很多，但若要求台面的面积最大，他应该怎么做呢？这个问题归结为二次函数的最大值问题。
关键词：数学复习课；小组合作；实践
数学复习课的主要目的任务是巩固和加深已学的基础知识，并使之系统化；熟练已有技能，提高学生已有知识的能力；引导学生运用所归纳的知识去解决新的问题，在新问题解决的过程中进行科学方法的训练；也可以引导学生不断总结和联想知识之间的相关性，对所学知识迁移再加工，将原来死知识加工成规律性好、条理性强的活知识。只有将知识纵横联系，才会在做题时融会贯通。可见数学复习课的任务是繁重的。一个人的力量是有限的，由于每个学生所处的文化环境、家庭背景和自身的思维方式不同。美国的韦伯斯特曾说过：“人们在一起可以做出单独一个人所不能做出的事业；智慧+双手+力量结合在一起，几乎是万能的。”因此开展小组间的合作学习，能够实现优劣互补，促进知识的建构。在合作学习过程中，学习任务由大家共同分担，集思广益，各抒己见，人人都尽其所能，这样问题就变得较容易解决了。
一、小组合作数学复习课中知识结构的创建和知识网络的形成。
数学的特点是由大量的概念、定理、公理组成的知识体系，新教材的编排是把知识点分散到各个阶段。在复习课中要求学生对所学知识有一个整体的认识，希望通过复习课把所学知识串联起来，让学生在今后的学习和解决问题的过程中知道它们的联系。通过小组合作交流能加深学生的印象，特别对于一些学困生有一定的帮助。
例如在“等腰三角形”的复习课中，教师开始设置以下问题：1、什么样的三角形是等腰三角形？2、等腰三角形具有什么样的性质？3、怎样判定一个三角形是等腰三角形？4、有哪些特殊的等腰三角形？5、它们分别具有哪些特殊性？学生围绕这五个问题进行小组合作交流学习。首先小组长督促每一个小组成员在自己的笔记本上借助于课本或上新课时的笔记分别完成以上问题，然后以小组长为主持进行合作交流。例如一个小组的做法，小组长问：等腰三角形具有什么样的性质？一个组员回答：“等边对等角”、“三线合一”。组长及时就问：“三线”指的是哪三线？几个组员同时回答：底边上的中线、底边上的高、顶角的角平分线。组长在准备问下一个问题的时候，一个组员说：好像还有轴对称性。一石击起千层浪，其他的组员纷纷接话：等腰三角形是轴对称图形、等腰三角形的其它性质就是因为是轴对称才得到的等等。十分钟左右，各个小组完善好每一个问题后，教师提出下一个问题：能不能把这一些分散的问题用一个图表或提纲的形式把它们串起来？小组又开始了第二轮合作讨论。三、四分钟后，有小组画出了等腰三角形的知识结构图：
在整个过程中，每一个学生都积极地参与了学习中，特别是那些平时学习有点困难的学生，一方面他们在小组长的监督下，翻书或笔记把所学的知识点抄了一遍，另一方面，在交流和讨论的过程中他们耳濡目染了学习的知识。所以或多或少有一些复习的效果。
事实也证明，那些原本对几何题不知从何下手的学生，在后面的测验中有了明显的好转。由于他们有了比较清晰的知识结构，他们知道从题目中的条件写出它们相对应的结论。其实这对后进生的转化是一个良好的开端。
二、小组合作数学复习课中典型例题的研究
在复习课中，例题的设置至关重要，一道好的例题能以点带面，能让学生在掌握该题的同时可以掌握这一类型的解题方法；或是能通过该题掌握一系列的问题的解法；或是通过一道例题培养学生很多方面的能力。因此让学生对例题的研究是很有价值的。然而每个学生的知识结构和知识层面各有不同，因此他们研究的方向和深度也就大有差异。小组合作学习能补促其中的缺陷。
教师首先设置典型的例题，然后设置一系列的问题引导学生合作研究的方向。
1.例题的设置
复习课的例题既应具有基础性、典型性、启发性、综合性、应用性、开放性、创新性等特点，又能把知识、技能、思想、方法联系在一起，更重要的是能在小组合作学习中起到以点带面的作用。例如在复习“等腰三角形”的时候，教师设置了一组例题：
如图1，在ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=26°，求∠B和∠C的度数。
这是一道根据等腰三角形的性质求其中某些角的度数的问题。
第一，题目本身可以训练学生对“等边对等角”这一性质的
运用，具有基础性和典型性；第二，要解决该题，要利用三角形的
内角和定理及三角形的外角定理，具有综合性和应用性；第三，此题很容易进行变式、拓展，比如：把∠BAD=26°这个条件换成AC=BC，此时就需要运用方程的思想。这样的题对学生来讲，具有代表性，有思考的空间，有利于学生在合作交流的过程中发现问题、拓展思维和归纳方法。
又如在复习全等三角形的时候，教师设置的例题：
2.问题的设置
在小组合作学习中的问题要能够引导学生研究的方向。例如在上述例题的合作学习中，教师设置以下问题：（1）例题的用意何在？它主要是要让学生运用哪些知识点，怎样用？（2）解决此类问题的突破口在哪里？有哪些解题方法？（3）在原题的基础上能否改变题目的一个条件或结论，形成新的有创意性的问题，问题又将如何解决？
3.小组合作学习
学生的潜能是激发出来的，“三个臭皮匠赛过诸葛亮”，能够正确地引导他们，小组合作能带给教师很多的惊喜。特别是数学基础不好的学生，在小组合作的学习中大有收获，一个小组中的一个组员，刚进初一的时候，每次数学考试都在30分左右。自从实行小组合作学习以来，他都会跟着其他的同学去思考。当看到别的学生做得出来每一个题的时候，开始是羡慕，后来慢慢跟着他们一起去听，当遇到自己不会的问题的时候也能够去问本组的同学，而且发现本组的同学还挺乐意帮助他。在讲解的时候还特别投入。
三、小组合作数学复习课中的课堂小结
课堂教学是一门艺术，懂得适时课堂小结更是一门艺术。“编篓编筐，重在收口”，良好的课堂小结设计可激起学生的思维，产生画龙点睛、余味无穷、启迪智慧的效果。数学复习课课堂小结是课堂教学环节中的重要一环，不但可以帮助学生掌握知识和技能。还可促进认知结构的形成，新知识模块的建立，解题技能的优化和思想方法的提炼。教育心理学理论告诉我们，每堂课的结尾都存在着后摄效应，即“故事的结尾往往是最容易被记住的”。然而教育心理学理论还告诉我们，在课堂教学接近尾声之际，正是学生精力开始减弱的时刻，这个时刻，学生开始疲劳，记忆力开始下降。特别是数学复习课，内容多，任务重，如果在这个时刻教师帮学生做小结，效果不是很好。
新课程理念也强调课堂应以学生为本，尊重学生的主体性，张扬学生的个性，把学生从传统的“认知体”提升到“生命体”。小组合作学习能体现学生的主体地位。在合作学习过程中，小组中每个成员都能积极参与到学习活动中。把学生从一节课的疲劳中给带出来，极致地发挥出他们的潜能。
1.合作小结复习的重要知识点
数学复习课，知识点比较多，而且比较散。学生在小结的过程中往往容易遗漏。在小组合作的过程中，以小组中心发言人为主，回忆归纳所复习到的知识，其他组员认真地核对。中心发言人讲完后，组员轮流发表自己的收获，把小结过程中遗漏的知识点逐一补充完整。在展示结果的时候，小组间又一次核对和补充。让所复习的知识在短短的几分钟里多次地经过每个学生的大脑，大大地加深了对所学内容的记忆。而且在这种轻松地环境下，前面所感觉到的疲劳也就不再存在了。
2.合作小结课堂中的解题方法和技巧
一堂数学复习课中的核心是解题方法和技巧。学困生之所以学困，就是在遇到数学问题的时候不知从何下手。换一句话说，就是不知道用什么样的方法和技巧解题。如果在一节复习课后能把所用的方法和技巧归纳起来，学生在遇到相同问题的时候一般还是能做得出来。在小组合作的时候，教师可以引导小组中成绩优秀的成员归纳小结，让基础不好的学生在旁边耳濡目染，并要求他们认真地在相应的题目旁边做好笔记。提高了中下生的解题能力，更为培养优秀学生打下了基础。比如在“等腰三角形的复习”课中，教师在小结的时候引导：“在等腰三角形的问题解决中通常会遇到哪些解题思想？”其中一个小组归纳：在等腰三角形中没有给出顶角、底角的情况下，要分两种情况；小组中另外一个学生也有所领悟说：在等腰三角形中没明确腰和底的情况下也要分两种情况；其中一个学生就立即提出：还要考虑三角形的三边关系。另一个小组归纳：在等腰三角形的求角问题中，如果给出了某个角的度数，就从这个已知角出发，如果没有给出角的度数，设未知数比较简单；还有的学生讲到证明两条边相等或两个角相等时，如果在同一个三角形中，优先考虑等腰三角形的判定或性质；如果不在同一个三角形中，则优先考虑所在的三角形全等等等。不管是在小组讨论的过程中还是在小组间展示的过程中，学生都表现出高度的积极性和学习的激情。效果要比教师小结好的得多。
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