时间：2022-07-26 05:36:30
导语：在勾股定理证明方法的撰写旅程中，学习并吸收他人佳作的精髓是一条宝贵的路径，好期刊汇集了九篇优秀范文，愿这些内容能够启发您的创作灵感，引领您探索更多的创作可能。
一、定理引入
课堂教学开展之初，应利用一些生动有趣的故事引入，让学生对所学知识产生兴趣.
在教学勾股定理时，我用《九章算术》中的一题引入：如图1，有个一丈见方的水池，在这个池中生长着一株植物，植物形似芦苇，恰好伸出水面一尺长，假如把这株植物弯向岸边，直到其与地面相连时，可否得出这一池水的深度，以及这株植物的长度？
图1在方案设计时融入故事和趣味问题，主要的意图是通过这些妙趣横生的情境来激发学生的想象力，让他们对学习勾股定理产生兴趣，从而调动起他们的探究热情.
图2二、定理探索
定理的探索是一个发现的过程，主要分为以下两步.
1.直角三角形的三边数量关系的猜想
结合图2，若图中小方格的单位面积为1.问题（1）：如何求出三个正方形的面积？问题（2）：三个正方形的面积之间有什么等量关系？问题（3）：你能否得出直角三角形三边的数量关系？
2.猜想验证
首先作出八个全等的直角三角形，它们的两个直角边和斜边分别设定为a、b、c，再作三个正方形，它们的边长分别为a、b、c.然后按照图3所示，将它们拼成两个大的正方形.我们从两个大正方形中可以发现，它们的边长均为a+b，因此可以断定它们的面积等同.即.
图3通过上述验证探索我们可以得知，直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方（即勾股定理）.
三、定理应用
在验证完上述定理之后，还需要针对学生掌握的情况进行解题尝试，让学生可以进一步应用定理. 以上述《九章算术》的习题为例，让学生尝试求出池水的深度以及这株植物的长度.
因为学生此时已经大致了解了勾股定理，因此在理解题意的基础上，可以整理出AB2=AC2+BC2，再将有关代数式代入等式中，通过解方程可以得出水深12尺，这株植物的长度为13尺.
四、定理证明
图4 当学生完成了对勾股定理的猜测、验证和应用后，最后还要对勾股定理进行证明.对此，我们将学生分为几个小组，让学生组内合作进行定理的证明.当然，勾股定理的证明方法有很多，所以针对不同的小组，让他们采用不同的方法加以证明.就拿拼图法来说，除了像图3那种方法外，也可以用图4来证明.
这一部分的操作意图是为了让学生之间的互动交流得以加强，使他们对勾股定理的原理和认知能够得到全面的巩固.
五、习题巩固
针对学生对勾股定理的掌握情况，教师安排一些有针对性的习题进行一系列的巩固练习，这在强化学生应用能力的同时，也加深了他们对该定理的认知，从而让知识变得真实易懂，融入自身.
定理
【中图分类号】 G633.6
【文献标识码】 A
【文章编号】 1004―0463（2016）
21―0111―01
一、用“格点”教具，提高学生计算能力，突破勾股定理的导入瓶颈
在小学，格点面积的相关计算是学生能力方面的一个要求，学生通过观察不规则图形在方格中的位置，通过割、补、拼等手段，以及巧算“格点”图形的面积，就可计算出图形的面积。在初中阶段，勾股定理就是在“数”图形面积的过程中发现并引入的，“数”面积也是勾股定理证明、应用的关键。为了达到较好的教学效果，在教具上，重点突出格点图形面积的计算应用。首先用小木质黑板，画好20×20的方格，用皮筋当线段，图钉当顶点，在格点上“钉”出多边形，让学生采取对图形的拼、割以及“格点”计算等不同的方法，计算多边形图形的面积。通过训练，使学生更好地认识图形，突破图形面积的计算障碍，为学习“勾股定理”打下良好的基础。这里，通过运用教具进行数学教学 ，把抽象的数学知识具体形象地呈现给学生，提高了学生的图形感知能力。
二、用“拼盘”教具，加强学生数形结合能力，突破勾股定理的证明障碍
《勾股定理》的证明方法有很多，如何让学生能很好地理解这些方法呢？笔者认为，应用简易的教具去演示其中的奥妙，是教学中最好的方法。
笔者是这样做的：制作底为7cm×7cm，高约0.5cm的正方盒1个以及直角边为3cm×4cm的全等直角三角形4个，在教学中，如果拼摆这四个直角三角形，就可得到我国古代数学家赵爽以及美国总统的关于勾股定理的证明思想。
中国历史上的“青朱出入图”，是古人对勾股定理的无字证明。在教学时，可让学生自己先制作这一学具，通过拼割、移动图形，发现面积的变化，感受并体会勾股定理的奥秘所在。
教学中，运用这个教具，直观形象地使各图形之间的面积凸显出来，帮助学生分析数量关系，抓住其本质要害，从而使抽象的数量关系具体化、形象化，有效地培养了学生的观察、记忆、思维、想象能力。
三、用 “立体”教具，激发学生空间想象能力，解决勾股定理的分析困难
教具有能拼、能折、能拆等特点，利用这一特点，可使教学变得具有操作性和活动变化性。在应用勾股定理解决空间立体图形的问题时，学生总是想象不出图形中各线段之间的关系，无法理解空间问题，但适时利用圆锥、圆柱、长方体等教具，就可以让学生很轻松地解决这一问题。
例如，有一个圆柱，它的高等于12厘米，底面半径等于3厘米。在圆形柱的底面A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点处的食物，需要爬行的最短路程是多少？（π的值取3.14）
让学生自己做一个圆柱（圆柱侧面绕一层纸），在圆柱上用铅笔标注出A、B的位置，尝试用铅笔从A点到B点沿圆柱的侧面画出几条路线，你觉得哪条路线最短呢？用剪刀将圆柱侧面的纸（沿母线剪开），将圆柱的侧面展开。这时，学生不难发现，刚才用铅笔画的路线就是蚂蚁的走法，哪条线段最短显而易见。
四、用 “折叠”教具，强化学生的动手操作能力，增强学习勾股定理的信心
对于“折叠”类的数学问题，学生抓不住折前与折后数形之间的相互联系，无法将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使“折叠”题成了难题。为了促进学生空间观念的进一步发展，教师可以引导学生动手现场折叠废旧纸片，发现其中的等量关系。
本节课的内容是九年制义务教育教科书（人教版），八年级第十七章“勾股定理”。通过向学生提供现实、有趣、富有挑战的学习素材，使学生展开讨论，让学生从多角度思考，探索不同的方法，找到解决问题的策略，积累解决问题的经验，掌握解决问题的方法，同时在教学中渗透中华优秀传统文化。
一、创设情景，引入新课
师：（结合动画讲故事）同学们，我们国家有着几千年的悠久文化，西周开国时期，周公非常爱才，他和喜欢钻研数学的商高是好朋友。有一天，商高对周公说，最近我又有一个新的发现，把一根长为7的直尺折成直角，使一边长（勾）为3，另一边长（股）为4，连接两端（弦）得一个直角三角形，周公您猜一猜第三边的长等于多少？周公摇头不知道。同学们，你们猜猜是多少？
生：5（不知道）
师：不知道也没关系，我们来量一量斜边的长就知道了。（动画演示）
师：后来又发现，直角边为6、8的直角三角形的斜边的长是10。这两组数据是否具有某种共同点呢？带着这个问题人们对直角三角形做了进一步的研究，通过计算三条边长的平方发现，直角三角形中的三条边长之间还真有一种特殊的关系。它们之间到底有什么样的关系呢？
生：32+42=52，62+82=102。
师：这是两组特殊数字。想一想，是不是一个任意的直角三角形的三边是否也有这种相等关系呢？
我们用几何画板再做一个实验，请注意观察。（任意改变直角三角形三边的长度，度量、计算显示相等关系依然不变。）
师：通过实验，可以得到什么结论？
生：直角三角形的三边满足：两直角边的平方和等于斜边的平方。即a2+b2=c2
师：同学们概括得非常好！这个结论尽管是通过多次实验得到的，但要说明它对任意的直角三角形都成立，还有待进行证明。我们先来观察这个要证明的等式，看等式中的a、b、c表示什么？
生：表示直角三角形的三条边长。
师：a2、b2、c2是边长的平方，由边长的平方可联想到什么？
生：正方形、正方形的面积。
师：对整个等式你们怎样理解？
生：等式可以理解为两个正方形的面积和等于一个正方形的面积。
师：那好，下面我们就来做一个拼正方形的游戏，看能不能对我们证明结论有些帮助。
二、动手拼图，合作探索定理证明方法
师：现在，前后4人为一个小组，老师给每小组提供了拼图模型两套，要求每一套模型拼成一个没有空隙且不重叠的正方形。拼好后请上台展示你们的成果，比一比，看哪一组完成任务最快。
师：同学们对比自己拼成的两个图形，看看它们有什么共同点和不同点？
生：都是边长相等的正方形，但拼图的模型不同。
生：这两个正方形的面积相等。
师：这两个正方形的面积怎样计算呢？通过你的计算能否证明a2+b2=c2？请试一试。
师：看哪两位同学愿意上来写出证明过程。
师：两位同学刚才用两种不同的方法证明了实验得出的结论，这就是我们今天要学习的勾股定理。请两位同学再谈谈你们的证明思路好吗？
生甲：图（A）的面积用四个全等的直角三角形的面积加两个正方形的面积，图（B）的面积用四个全等的直角三角形的面积加一个正方形的面积，利用面积相等就证得结论。
生乙：我把图（B）用两种不同方法计算它的面积也能证得结论。
师：说得好！甲同学的证明思路正好符合我们前面对等式的理解；乙同学的证明思路启发我们还可以通过拼各种不同的图形来证明勾股定理。
三、课堂练习
李明上学经过的路旁有一小湖，隔湖相对有两棵树A、B， 但无法直接测量出A、B之间的距离。请你帮他设计一个解决问题的方案好吗？
四、小结
师：同学们可以感受到勾股定理有什么作用？
生：可以解决在直角三角形中已知两条边求第三边的问题。
师：说得好！这一节课，你们还学会了什么？
一、数学史之数学概念的发生、发展过程
数学概念是数学中最基本的元素之一，对数学概念的历史挖掘可以更好的让学生对概念的本质产生直观印象，从源头帮助学生学好知识，学透知识.
正数与负数的历史发展
正数与负数的产生是人类思维进化的大飞跃.在原始时期，人们没有数的概念，在计数的时候往往使用手指计数，当手指数量不够用的时候，人们就会借助结绳、棍棒、石子的方式计数.随着社会的发展，尤其是经济的发展.对计数的要求就逐渐变高，于是就有了自然数的概念，分数的产生.而在生活中则有了比0度还低的温度……这些情景的出现就要求人类开始考虑数字的正反，多少两个层面的含义，于是就诞生了负数的概念.这种正负数产生的过程就可以让学生真切的感知负数诞生的历史背景和社会生态，有利于学生将正负数的知识迁移运用到生活当中.
二、数学史之定理的发现与证明过程
传统课堂中对定理的证明和介绍往往是将证明过程进行展示，学生对定理的来历和证明过程的原始记载并无掌握，不能很好的形成对所学知识的深刻印象.将定理证明的来源及其在不同国家的历史发展介绍给学生将有助于深化对定理的理解，学习伟大数学家对待证明的方法，并感悟数学思想的魅力.
勾股定理的证明
在中国，勾股定理的证明最早可以追溯到4000年前.在《周髀算经》的开头就有关于勾股定理的相关内容；而在西方有文字记载的最早给出勾股定理证明的则是毕达哥拉斯.相传是毕达哥拉斯在朋友家做客时，无意中看到朋友家地板的形状，于是便在大脑中出现了一系列的假设和猜想，并随后给予了论证.当毕达哥拉斯证明了勾股定理以后，欣喜若狂，于是杀牛百头以示祝贺.现在，数学家已经从不同的角度对勾股定理进行了证明，证明方法多达几十种.
三、数学史之数学历史中较为有名的难题解析
在数学的发展史中，有一些流传下来的被后人津津乐道的数学难题，这些题目的解答中往往蕴含着丰富的数学解题思想和独特的思维方式，同时也可以让学生感受到数学问题的奥秘并从中获得启示.
哥尼斯堡七桥问题
在18世纪的时候，有一个小城角哥尼斯堡，城中有一条河，河上坐落着七座桥，这七座桥将河中间的两个小岛与岸边相连.在那里生活的居民就提出了一个问题，如何在既不重复，也不落下的情况下走遍七座桥，并在最后回到出发点？这个问题困扰了大家很久，但始终都没有得到解决.直到一位名叫欧拉的数学家通过将问题简化和抽象最终得出了问题的解决办法.这就是后人常提到的“一笔画”问题.
四、数学史之数学家的故事
数学家的故事往往蕴含了丰富的人生哲理，不仅教会学生如何对待工作，对待生活，对待工作中的每个细节，还在侧面影响了学生从事数学工作的意愿.教师可以在教学之余穿插介绍一些中外数学家的故事，重点介绍其对待数学事业的态度以及在工作上优良的品质，以鼓励所有学生在数学学习过程中不断的学习数学家的品质与风貌.
高斯的故事
高斯十岁上学时老师给所有同学出了个题目：将1-100的数字全部写出来并把它们相加.老师原本想让孩子们多算一会儿好让自己休息，其他很多同学也开始用石板逐一计算.但是高斯却很快就将答案摆在了老师的面前.老师自然对高斯的表现异常吃惊，尤其是高斯的答案是正确的.而当高斯解释解题过程的时候，连老师都没有想到将数字串进行首尾相加的方法却从一个十岁儿童的笔下得出.这不得不让人对这个孩子的聪颖大加赞赏和敬佩.
五、数学史之中国古代的数学成就
中国自古以来就有很多闻名于世的数学成就，这些数学成就不仅为后世所利用，同时也在很大程度上提升了中国在数学领域的地位.将中国古代的数学成就介绍给学生可以帮助学生了解中国古代或近现代的数学发展史，同时也可以增强学生的爰国主义情怀，提升学生投身于祖国数学事业的决心和毅力.
中国古代主要的数学成就
中国的数学起源于本土，并在独立发展的同时形成了自身的风格.古代有三个中国数学发展的巅峰时期，分别是两汉时期、魏晋南北朝时期以及宋元时期.两汉时期有著名的《九章算术》和《周髀算经》，到了魏晋南北朝时期则在这两本著作的基础上产生了其他的注释和推导.最有名的莫过于刘辉“圆周率”的得出、此外例如《夏侯阳算经》等数学著作也相继诞生；宋元时期的中国数学则达到了顶峰，李冶等一大批中国著名的数学家的诞生为当时中国的数学事业贡献了大批成果.如“解高次方程的数值”、“杨辉三角”等.
除此之外，对于数学史中的一些重要成就在现当代的应用等都是可以用来传授的材料，教师要在材料的甄选和表达方式上多下工夫，让学生更好的领会到数学中蕴藏的人文价值和美学价值，以加强自我提升意识和爰国情怀.
显性的数学教学文化浓郁厚重，比较直观、直接，容易使学生振奋;隐性的数学教学文化淡雅，讲究委婉、逐渐渗入，能够起到潜移默化的作用。这两种数学教学文化相辅相成，变换运用则能使得数学教学文化有内容、有内涵，从而达到理想的效果。如在教学《勾股定理》一课时，可以利用显性文化，给学生讲解勾股定理的发展历史，让学生从中品味其厚重而悠久的历史传承与发展:从中国周代商高的“勾广三，股修四，径隅五”到古希腊毕达哥拉斯的“勾股树”;从三国时代赵爽的“勾股弦方图”到西方欧几里得的演绎推理;从清代的梅文鼎证明到美国总统加菲尔德的“构造法”证明，让学生在头脑中形成一幅勾股定理发生、发展及不断丰富的历史文化图景，使其深深感受到其中浓郁而厚重的数学文化气息。又如在教学“一次函数图形平移”这一知识点时，先重点教授学生以坐标轴为参照系平移直线图像，然后把原来的参照系移动，让学生思考直线函数关系的变化。在动与不动的矛盾中，学生发现:图像向左(右)移相当于y轴向右(左)平移，图像向上(下)平移相当于x轴向下(上)移，实际上它们的相对位置并没有改变。这进一步巩固了学生对“运动的相对性”的理解，加深了其对“辩证意识”“数形结合”等思想的认知。这种认识文化的培养是隐性的，润物无声般浸润着学生的心灵。这样循序渐进、日积月累的持续渗透，对学生数学素养的形成有着极为重要的作用。
二、培养通透的数学教学文化感悟，让学生体验其美
数学是理性思维和想象的结合，其本身就是一种美的体现，体现在对称性、简洁性等诸多方面。如在研究三角形、函数时，会更加关注等腰三角形、二次函数的轴对称性，这体现了轴对称的美;在研究四边形时，会更加关注平行四边形的中心对称性，这体现了中心对称之美;对于最完美的图形———圆来说，我们则更加关注垂径定理……这种对称之美让学生感受到学数学不再是抽象的、枯燥的，而是一种美的享受和体验。数学的简洁美最直接地表现在数学符号上，它是全世界的通用语言，每个人都能从简单的表达式中读出其确切的含义。比如一些常见的数学符号及公式定理:圆周率π，三角函数sin，三角形的面积公式S=12ah，勾股定理a2+b2=c2等。这些符号公式言简意赅，学生可以从简洁的符号语言中明白其中的道理，体验到数学的简洁之美。数学之美包罗万象，不同的问题从不同的角度体现出一定的数学之美。比如列方程解决问题，要从复杂的问题中抽象出一个简单的等式，这既有抽象之美，又有简洁之美，还有逻辑之美。教师应着重引导学生去体验和感受这些美。
三、孕育严谨的数学教学文化精神，让学生改革其新
数学教学文化具有理性思考、客观认知、不断追求的精神，而这种精神的孕育就是在课堂上、在师生双边的教学活动中。在教学《三角形的内角和》一课时，笔者先设计了“量一量”这个环节:让学生利用量角器测量一个三角形的三个内角度数。通过测量学生发现，三角形三个内角之和大致在180°左右，这使得学生初步认识到三角形的内角和可能是一个定值，但是还难以达成一致。笔者接着让学生进行“拼一拼”:将三角形的三个内角按照顺序拼在一起。学生经过“拼一拼”就会发现三个内角组成一个平角，这使得学生在活动中巩固了对“三角形内角和为180°”的认识。但这样同样具有局限性，于是，笔者顺势引导学生进行推理证明:过一个顶点做对边的平行线，利用内错角互补的原理，将另外两个内角等量转换出来，使得三个内角成为一个平角。“拼一拼”“量一量”的教学环节目的是让学生初步感受到三角形的内角和为180°，同时也让学生对此操作的局限性有一定的认识:操作的粗糙性，测量和拼图总会存在一定的误差，严密性不足;操作的特殊性，测量和拼出某一个三角形的内角和180°这一结论难以推至其他三角形，普遍性不足。因此，适时恰当的推理证明可以有效提高学生的数学学习积极性，培养学生的改革创新的精神及思维的严谨性，并使这些逐步内化为学生的能力和习惯。
四、提高数学文化的素养，使学生内化于心
新加坡是东南亚的经济强国，该国一直非常重视对国民的教育,并特别注重发挥教育的功能性和实用性的作用. 在第三次国际数学和科学评测（TIMSS）中，新加坡学生的表现一直名列前茅,这引起了国际数学教育界对该国的数学教育的重视,对她的数学教育的研究已经成为国际数学教育研究共同体的一个重要的新领域.美国教育部还专门提供资金，组织专家对此进行研究.
“空间与图形”对训练学生的逻辑思维能力有其他学科难以取代的功能,这是不容置疑的. 而逻辑思维在生活和生产实际中有广泛的应用. 因此,“空间与图形”部分的教学在初中数学教学中一直被认为是占有重要的地位的.
本研究主要是对我国2001年颁布的《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》（以下简称中国《标准》）（7―9年级）中的“空间与图形”部分和新加坡2006年发行的《中级数学课程提纲》（以下简称《课程提纲》）中的“几何与测量”部分的内容设置要求等进行比较研究,希望能从中探讨出一些新加坡成功的因素，从而给我国数学中“空间与图形”部分内容的教育提供一些启示.
2 比较分析
2.1 相同之处
2.1.1 重视发展学生的推理能力和交流表达能力
两种标准都注重发展学生的推理能力和交流表达能力. 如中国《标准》提出：在探索图形性质，与他人合作交流等活动过程中，发展合情推理，进一步学习有条理的思考与表达［2］. 新加坡《课程提纲》提出［1］：发展学生逻辑推理能力和数学交流表达能力，让学生能做到自主学习与合作学习相结合；数学推理，交流表达与联系能力的培养应该渗透到从小学到A水平大学的所有水平的数学学习过程中.
2.1.2 注重学生的情感体验过程
中国《标准》提到［2］：学习平移、旋转、对称的基本性质，欣赏并体验变换在现实生活中的广泛应用. 在教学中，应注重所学内容与现实生活的联系，注重使学生经历观察、操作、推理、想象等探索过程. 新加坡《课程提纲》则是这样提出：学生对数学的态度是由他们的学习经历发展形成的. 使数学学习有趣，有意义并且与生活息息相关将有助于学生形成对数学的积极态度；应注重学习活动的设计，从而加强学生对数学学习的信心和欣赏数学的态度. 由此可见，两种标准都对学生的情感体验过程给予了极大的关注. 2.2 不同之处
2.2.1 具体目标的呈现方式不同
中国《标准》在具体目标上对每一知识内容的要求都很详细，它在提出对知识点要求的方式上用了较多的“通过丰富的实例”、“结合具体例子”、和“了解”、“知道”、“理解”、“欣赏”、“体会”、 “掌握”、“探索”等词语的组合. 由这些词语，可以看到，中国《标准》对“空间与图形”的具体要求程度作了比较清楚明确的界定，因而可操作性较强，便于教师在教学实践中进行操作.
而新加坡的《课程提纲》对具体目标只是部分用到了“寻找”、“解决”这两个动词，绝大部分内容知识点只是罗列出来，却没有具体动词的. 比如，在提纲中，它只是列出了“角、三角形、勾股定理的应用”，而对这三个知识点是要求学生了解，理解还是掌握呢？它则没有说明. 可以说，新加坡的《课程提纲》在具体目标上对知识内容的要求是较为简明的，因而灵活性较强，教师在教学过程中可以根据实际情况恰当处理.
2.2.2 包含内容在广度和深度上的不同
新加坡的中学阶段开设了四种源流课程:特别课程,快捷课程,普通学术课程和普通工艺课程. 相应地它制定了三个数学课程提纲,分别是《O水准数学课程提纲》(O Level Mathematics Syllabus),主要是指导特别课程和快捷课程的数学教育;《普通学术数学课程提纲》(N(A) Level Mathematics Syllabus) ,适用于普通学术课程的数学教育和专门为普通工艺课程的数学课程而设的《普通工艺数学课程提纲》(N(T) Level Mathematics Syllabus). 由于修读特别课程和快捷课程的学生占了新加坡中学生的绝大部分,且《O水准数学课程提纲》中的内容比较全面(《普通学术数学课程提纲》和《普通工艺数学课程提纲》的内容大部分都是它的子集),因此,本文以《O水准数学课程提纲》作为新加坡《中级数学课程提纲》的代表,选择它的“几何与测量”这部分内容来与中国《标准》7―9年级的“空间与图形”这部分内容作比较.
中国《标准》中第三学段(7―9年级)的“空间与图形”部分和新加坡《O水准数学课程提纲》中的“几何与测量”部分的内容范围大致如下表1（其中新加坡《O水准课程提纲》的附加部分是不会作为直接测试内容，但有可能在平时的问题解决中需间接用到这些知识）.
从表1可以发现，尽管中国《标准》与新加坡《O水准课程提纲》在“空间与图形”这领域内容有很多相同的知识点. 比如,角、圆、测量、图形的相似等等内容. 但在内容范围的广度上还是有不同之处的，如，“镶嵌、视图与投影、图形的平移、图形的旋转、图形与证明”等这些内容在《标准》中是有要求学习的，而《O水准课程提纲》则没有要求. 同样，“二维向量”在《O水准课程提纲》中有要求掌握，而《标准》的7―9年级则还不要求学习.
再参见《标准》（7―9年级）对“空间与图形”部分的具体要求以及《O水准课程提纲》对“几何与测量”部分内容的具体要求，详细比较研究，可以得到，中国《标准》对“空间与图形”这部分内容深度要求比新加坡的要高. 比如对相同的知识点“勾股定理”的要求来看，中国《标准》要求不仅要会应用勾股定理，还要理解体会它的证明过程. 而新加坡《O水准课程提纲》则是要求知道勾股定理并会应用它即可，要求明显低些. 再从两种标准中的不同知识内容来看，中国《标准》中要求掌握的“图形与旋转，图形与证明”等这些比较抽象，逻辑推理比较强的知识内容一直是初中生学习的难点. 而《O水准课程提纲》对 “二维向量”的学习要求不高，主要是掌握向量的一些基础概念及其基本运算.虽然《O水准课程提纲》附加部分有些内容是中国高中标准才要求学习的，但前面已经提到，附加这部分的内容是不列入学生直接考试内容的，并没有要求一定要掌握，应该可以作为学生课外学习的内容.
2.2.3 对“知识的实际应用”的要求不同
“问题解决”是新加坡中级数学课程框架的核心. ［5］因而，新加坡整个数学课程的设计都是以提高学生的问题解决能力为宗旨的. 这在《课程提纲》对“几何与测量”部分的要求也可以体现出来，例如，“应用全等和相似解决简单的实际问题”，“测量球体，圆锥等的体积“，”通过测量，结合所学知识解决实际生活中一些组合体的体积和表面积问题”等等. 中国《标准》在“空间与图形”这部分内容中也有提出要学生“运用三角函数解决与直角三角形有关的简单实际问题”的要求，但总体上来看，强调要求不够突出，重视程度没有新加坡的高.
3 启示
通过两种标准的比较可知，新加坡《课程提纲》要求中学4年所学习的“空间与图形”这领域内容并不比中国初中生三年要学习的内容多很多，反而学的知识相对简单. 可见，新加坡数学教育是比较注重巩固学生的基础知识的. 文［6］对新加坡数学教材中的“勾股定理”这节内容的分析，也得到这个特点. 而且新加坡的《课程提纲》对“推理证明”不作过多要求，它更多的是关注学生对知识的实际应用.
笔者认为，在数学课程改革中，我们应该向新加坡学习，在保持我国“注重双基教学”的优良传统基础上，淡化演绎推理证明，注重知识的实际应用. 记得“新课标”刚颁布时，曾有专家指出：“‘新课标’大大淡化了数学中的推理证明，会使数学课失去灵魂. ”推理证明可以锻炼学生的逻辑思维能力，这是无可厚非的. 但淡化并不等于没有，只是旧课程要求的证明过多过繁，不利于学生的全面发展，所以我们应该将要求降低. 至于“关注知识的应用”方面，我们知道，“学以致用”一直是我们教育所追求的重要目标之一，因而，在我们的数学教学过程中应加强与解决实际问题的联系. 在“空间与图形”部分的教学更应该与实际测量等一些日常生活活动结合起来进行.
当然，数学教育的成功，不仅需要制定合适的数学课程标准，还需要编制出恰当的数学教材以及选取有效的数学教学方法等相结合. 因此，我们可以进一步去探究新加坡数学教材，教法方面的优点与不足，从而为我国的数学教育提供更多的参考与借鉴.
参考文献
［1］ Ministry of Education ．Singapore.Secondary Mathematics Syllabuses［M］．2007.
［2］ 中华人民共和国教育部，全日制义务教育数学课程标准（实验稿）［M］．北京：北京师范大学出版社，2007．37-50．
［3］ 李秉彝，江春莲.新的O水准数学大纲之新体现在何处［J］．数学通报，2007，46(9)： 7-9．
［4］ 刘长明，孙连举．中美两国数学课程标准中初中学段“空间与图形”领域的内容标准之比较［J］．数学教育学报，2002，11（4）：49-51．
［5］ 黄翔，童莉.新加坡的新数学教材《New Mathematics Counts》［J］．数学通报，2003，(11)：29-32．
一、利用平面几何知识证明线线垂直
由于立体几何中的很多问题都可以通过“化空间为平面”的思想方法来解决，因此平面几何中证明线线垂直的方法仍适用.如：勾股定理、菱形或正方形的对角线互相垂直、等腰三角形的三线合一、直径所对的圆周角是直角、三角形全等、过切点的半径垂直于切线，等等.
1.利用等腰三角形中“三线合一”的性质证明线线垂直。
例1：已知PA垂直于矩形ABCD所在平面，M、N分别是AB和PC的中点（如图），求证：MNAB.
分析：由于M是AB边上的中点，因此可以联想到利用等腰三角形中“三线合一”性质来证明.不妨先构造一个三角形，然后证明它是等腰三角形.
证明：连接PB、BN、AC、AN，由PA平面ABCD，BCAB且BC?奂平面ABCD。
PBBC
N是PC中点
BN=PC
PAAC
AN=PC
AN=BN，ANB是等腰三角形
M是AB中点
MNAB
点评：本题是先借助直角三角形的性质“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”得到AN=BN，再利用等腰三角形“三线合一”得出MNAB.
2.利用勾股定理证明线线垂直。
例2：在正方体ABCD-ABCD中，P为棱的中点，O为底面正方形ABCD的中心，求证：BOPA.
分析：要证明BOPA，可以先证BOPA.可以计算一下BO，PO，BP三边的长度，观察是否满足BO+PO=PB.
证明：连接PO，PB.
BBAO，BDAO
AO平面BBDD，即PO是AP在平面BBDD内的射影.
设AB=a则BD=BD=a，OB=OD=a.
BO=OB+BB=a，PO=OD+OP=a，PB=BDB+DP=a.
BO+PO=PB，BOPO，PAOB.
点评：本题的证明过程，既用到了平面几何中的勾股定理，又用到了立体几何中的三垂线定理，两者有机地结合在一起.
3.利用菱形的性质、三角形全等证明线线垂直。
例3：已知平行六面体ABCD-ABCD的底面是菱形，且∠CCB=∠CCD，证明：CCBD.
分析：要证CCBD，只要证BD平面OCC，即证BD和平面OCC内的两条直线都垂直，可以利用菱形的性质和三角形全等来证.
证明：连AC交BD于O，连CO、BC、DC.
四边形ABCD为菱形
AC与BD垂直且平分，即ACBD.
BC=CD，且∠CCB=∠CCD.
CDC≌CBC.
CD=CB即CBD是等腰三角形.
又O是BD的中点，OCBD，又CC∩OC=C，CC、OC?奂平面OCC
BD平面OCC.
CC?奂平面OCC.
BDCC.
点评：通过利用菱形的性质、三角形全等的性质、等腰三角形的性质证明了线面垂直，最后由此得出线线垂直.
4.利用若两直线平行，其中一条直线垂直于第三条直线，则另一条也垂直于第三条直线。
例1除了用等腰三角形的性质来证明外，还可以利用平行线的性质来证.
分析：要证明ABMN，可以证明与MN平行的一条直线垂直于AB即可，不妨根据已知条件添加辅助线，构造一个平行四边形.
证明：连PD取中点F，连NF，AF.
NF∥CD∥AM，且NF=CD=AB=MA.
四边形AMNF为平行四边形.
MN∥AF.
PA平面ABCD.
PAAB.
又ABAD且PA∩AD=A.
AB平面PAD.
ABAF.
MNAB.
点评：本题重点考查空间中的垂直关系，还考查了平面几何中两直线平行的判定和性质，可见平面几何知识在立体几何中的重要性.
二、利用立体几何中证明垂直的方法
1.利用线面垂直或面面垂直的性质证明线线垂直。
例1的前两种证明方法都是借助平面几何的知识来完成的，我们也可以用立体几何的知识来证.
分析：要证线与线垂直，可以先证线与面垂直，然后利用线面垂直的性质，得出线与线垂直.
证明：取AC中点E，连接ME、EN
M是AB中点.
ME∥BC.
ABBC.
MEAB.
EN∥PA，PA平面ABCD.
EN平面MEN.
又AB?奂平面ABCD且ME∩NE=E.
AB平面MEN，而MN?奂平面MEN.
ABMN.
点评：线线垂直、线面垂直、面面垂直之间可以相互转化.
2.利用三垂线定理及逆定理来证明线线垂直。
例4：在正方体ABCD-ABCD中，P为棱的中点，O为底面正方形ABCD的中心，求证：BOPB.
分析：要证明BOPA，只要证明PAAM，再证明AM是BO在平面AD中的射影即可.
证明：取AD中点M，连接OM，AM.
O，M均为中点.
OM∥AB∥AB.
又AB平面AADD.
OM平面AADD，即AM就是OB在AADD平面上的射影.
又AAM≌ADP.
∠PAD+∠AMA=90°.
PAAAM.
由三垂线定理得PAOB.
点评：三垂线定理来证明线线垂直，基本程序为“一垂，二射，三证”，即第一步是找平面和垂线，第二步是找射影，第三步是证明垂直.
三、利用向量证明线线垂直
“两向量垂直的充要条件是它们的数量积为零”，通过计算两向量的数量积来证明两条直线或线段垂直.
例5：l，l是相互垂直的异面直线，MN是它的公垂线段，点A、B在l上，C在l上，且AM=MB=MN，证明：ACNB.
分析：如果建立适当的坐标系后能算出与的数量积为零，就能证明ACNB.
证明：建立空间坐标系M-XYZ.
令MN=1则A（-1，0，0）B（1，0，0）.
MN是l，l，的公垂线段，且ll.
l平面ABN.
l∥Z轴.
设C（0，1，m）则（1，1，m），=（1，1，0），•=（1，1，m）•（1，-1，0）=0.
ACNB.
点评：用向量证明垂直的时候，要选取合适的坐标系，可以使计算变得非常简单，通常可以利用已知的边或特殊的边建立坐标.
例1 （上海市）如图1，已知平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是BD延长线上的点，且ACE是等边三角形．
（1） 求证：四边形ABCD是菱形.
（2） 若∠AED=2∠EAD，求证：四边形ABCD是正方形．
（说明：本文所有例题皆选自2008年中考题）
分析： 证四边形ABCD是菱形的方法有多种：证明四边形ABCD的四条边相等；证明平行四边形ABCD有一组邻边相等（如，通过EAD≌ECD证AD=CD）；证明平行四边形ABCD的两条对角线互相垂直.
若从AC既是平行四边形ABCD的对角线，又是等边ACE的一条边的角度展开思考，可优先考虑对角线，利用等腰三角形的三线合一，证ACBD.事实上，有相当一部分题目，在从边、角、对角线三个方向上构思解题策略时，可优先考虑对角线.
证明：（1） 由四边形ABCD是平行四边形，得OA=OC.
由EAC是等边三角形，且OA=OC，得EOAC.
四边形ABCD是平行四边形，ACBD，
平行四边形ABCD是菱形.
（2） 由EAC是等边三角形，得∠AED= ∠AEC=30°.
由∠AED=2∠EAD，可得∠EAD=15°，∠OAD=60°-15°=45°.
因为∠ODA=30°+15°=45°，所以∠OAD=∠ODA，OA=OD.
因为OA=OC，OB=OD，所以AC=BD.所以菱形ABCD是正方形.
注：也可以这样证明：因平行四边形ABCD是菱形，故∠BAC=∠DAC，∠BAD=90°.所以四边形ABCD是正方形.
策略2若直觉无效，则不妨从最原始的地方思考
例2 （重庆市）如图2，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=DC，CF平分∠BCD，DF∥AB，BF的延长线交DC于点E.
求证：（1） BFC≌DFC；（2） AD=DE.
分析： （1） 由BC=DC，CF平分∠BCD，CF=CF，易得BFC≌DFC.
（2） 证明AD=DE，估计同学们凭借直觉在较短时间内无法找到证明方法.这时不妨从最原始的地方展开思考：利用全等三角形证明AD=DE.连接BD，得ADB、EDB.不难发现，BD=BD，∠ADB=∠DBC=∠CDB.欲证明ADB≌EDB，尚需∠ABD=∠EBD或∠A=∠DEB（提醒：不要考虑待证线段AD=DE）.从运用DF∥AB的角度思考，可考虑证∠ABD=∠EBD.
由BFC≌DFC，得FB=FD，所以∠FBD=∠FDB.
又因DF∥AB，故∠FDB=∠ABD.
∠ABD=∠EBD.
证明：略.
注：本题也可以延长DF交BC于点H，利用BHF≌DEF证BH=DE，利用平行四边形ABHD的对边相等，得AD=BH，从而完成证明.
策略3构造基本图形
例3 （山东省）在梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB=90°，AB=2，BC=3，CD=1，E是AD的中点.求证：CEBE.
分析： 延长CE交BA的延长线于点F（如图3）.
由DCE≌AFE，得CE=FE，CD=FA.
因BF=AB+AF=2+1=3，BC=3，故BF=BC.
BCF是等腰三角形三线合一的基本图形.
证明：略.
注：本题也可通过具体计算的方法，借助勾股定理的逆定理证明两条直线互相垂直.
策略4计算证明法
例3再证：如图4，过点C作CFAB，垂足为F，得矩形AFCD，AF=CD=1，BF=2-1=1.
在RtBCF中，AD=CF= =2 .
在RtCDE中，CE 2=DE 2+CD 2=2+1=3.
在RtBAE中，BE 2=AE 2+AB 2=2+4=6.
CE 2+BE 2=3+6=9=BC 2.
∠CEB=90°.
注：本题还可通过过E作中位线进行计算证明.
策略5化归策略
例4 （莆田市）如图5，已知矩形ABCD，点P是BC边上的一个动点.
（1） 求证：PA2+PC 2=PB 2+PD 2.
（2） 请你探究：当点P在矩形ABCD的内部（如图6）时，PA2+PC 2=PB 2+PD 2是否成立？若成立，请给出简单的证明过程；若不成立，请简述理由.
（3） 当点P在矩形ABCD的外部（如图7）时，PA2+PC 2=PB 2+PD 2是否成立？若成立，请给出简单的证明过程；若不成立，请简述理由.
分析： （1） 因线段PA，PB位于RtPAB中，PC，PD位于RtPCD中，所以从运用勾股定理的角度可以将待证结论PA2+PC 2=PB 2+PD 2化为PA2-PB 2=PD 2-PC 2.
在RtABP中，PA2-PB 2=AB 2；在RtCDP中，PD 2-PC 2=CD 2.
由AB=CD，可得PA2-PB 2=PD 2-PC 2.
（2） 如图6，过点P作EF∥BC，分别交AB，CD于E，F，则问题（2）即可以化归成问题（1）.
运用（1）中的结论，得PA2-PE 2=PD 2-PF 2，PB 2-PE 2=PC 2-PF 2 .两式相减，得PA2-PB 2=PD 2-PC 2，即PA2+PC 2=PB 2+PD 2.
（3） 仿第（2）题，在图7中，过点P作EF∥BC，分别交BA，CD的延长线于E，F，即可将问题化归为问题（1），仿第（2）题的方法可获解.
证明：略.
策略6整体考察法
例5 （广州市）如图8，每个小正方形的边长为1，把阴影部分剪下来，用剪下来的阴影部分拼成一个正方形，那么新正方形的边长是（）.
A. B. 2 C. D.
【关键词】数学教学;应用价值;科学价值;人文价值;学习能力
【中图分类号】G633.6 【文献标志码】A 【文章编号】1005-6009（2015）30-0022-02
【作者简介】茅雅琳，江苏省海门市东洲国际学校（江苏海门，226199）教师，中学高级教师，南通市学科带头人。
数学，一方面，作为一个强大的工具，在科学领域和日常生活中都发挥着至关重要的作用，人们利用数学的力量去发现和阐明宇宙的奥秘;另一方面，作为一门基础的学科，数学的严密性、抽象性和逻辑性又让学生望而生畏。为了人人学有用的数学，让不同的人获得不同的发展，作为数学教师，我们在课堂上，应通过发现学科价值，发展学生学力，实现将数学的学术形态转化为教育形态，变数学“冰冷的美丽”为“火热的思考”。
一、发现学科价值
“人人学有价值的数学”，数学的学科价值包括应用价值、科学价值和人文价值，教学过程中，要努力发现数学的这些学科价值。
1.挖掘数学的应用价值。
根据弗赖登塔尔的“数学现实”原则，数学来源于现实，存在于现实，并且应用于现实，教学过程应该是帮助学生把现实问题转化为数学问题的过程。数学教学如果脱离了丰富多彩而又错综复杂的背景材料，就将成为无源之水、无本之木。
教师教学时，要努力挖掘现实背景与数学知识之间的联系，如超市组织的抽奖活动与概率，外出旅游时门票打折与二次函数，商场购物时方案选择与一次函数，上学途中汽车行驶的路程与列方程解应用题，升旗仪式中旗杆的高度与解直角三角形等，很多数学知识都是因现实生活的需要而产生和发展的。数学的应用价值还体现在它与其他学科的联系上，如在物理学科中，利用相似三角形求力、力臂;利用比例的性质求密度、压强;利用方程组求电阻、电流等。在化学学科中，借助数学计算配平化学方程式，借助函数图象观察溶液的反应情况等。数学与学习、生活息息相关。教学中，要努力挖掘数学的应用价值，让数学为人类生活服务。
2.凸显数学的科学价值。
数学的科学价值体现在数学的精确性、严谨性、间接性、完备性、对称性、统一性等本质特征上。数学是现代科学得以飞速发展的助推器，它在人类社会发展史上有着重要地位。
我们在教学中，要善于站到一定的高度看待数学教学，要遵循学生的思维发展规律进行教学。让学生在归纳猜想的过程中体会数学语言的精确性，在推理论证的过程中感知数学说理的逻辑性，在分类讨论中感受数学的完备性，在解决问题中感受数学的严密性，等等。
如在勾股定理的教学中，可以介绍我国《周髀算经》中关于勾股定理的记载、毕达哥拉斯学派对勾股定理的研究、世界各地对勾股定理的证明、勾股定理在实践生活中的应用、勾股定理证明方法的探寻等，凸显勾股定理的科学价值。
3.追求数学的人文价值。
学生理解数学知识是建立在他个人已有的全部经验基础之上的，他获得的数学知识需要经历他各种经验的整合才能有机地联系在一起。而这个整合过程，离不开学生情感的投入。学生带着火热的情感投入到数学学习之中，认真思考，踊跃探索，积极交流，主动合作，这些都体现了数学的人文价值。在这个过程中，学生获得的就不仅是显性的数学符号、法则，而且包括隐性的精神、思想、方法和价值观念，后者服务于人的个性的不断成长。
二、发展学生学力
著名特级教师李庾南老师曾提出：“学力是学习者借助一定的教育环境、教育资源和积极的教育实践活动所形成的自我获取、自我构建、自我发展、自我超越的知识、态度、能力的总和。”课堂教学要努力发展学生的学力，为学生的终身学习奠定基础。
发展学生学力，应主要关注以下两点：
1.发展学生的学习能力。
学力首先表现为学习能力，它主要包括阅读能力、理解能力、记忆能力、思维能力、反思能力、专注能力等。要发展这些能力，首先要注重细节的培养。很多时候，学生拿到题目，喜欢匆忙解答，导致错误百出，究其原因，缺少一个重要环节――审题，而审题的关键就是认真阅读。在阅读过程中，对关键条件进行必要的圈划，在图形上标注已知条件，捕捉有用信息，将条件显性化，这些细节的培养都有利于提高学生的阅读能力。
发展学生的学习能力，还要善于暴露思维过程。在数学课堂中，教师经常用大量的时间进行数学题目的讲解，应改变只讲解题过程的做法，要尽量将问题分析的过程展示给学生，努力将解题的思维过程外显。如由已知条件出发，根据已学定理或结论，该有哪些新的结论？这些结论中，哪些可用？哪些不用？为何如此选择？在探寻过程中，出现了哪些障碍？如何快速做出判断？出现了几种思路？如何选择正确的思路继续前进？……也就是要充分暴露思维的过程。问题讲解结束后，要将更多的时间留给学生进行反思整合，学生整合知识方法的过程就是学生学习能力得到发展的过程。
发展学生的学习能力，更要努力实现“课堂让学”。让时间――让学生有充分思考交流和展示的时间;让位置――让课堂成为学生尽情展示的舞台;让评价――让学生在互相纠错质疑中拓展和提升。只有做到以上三点，学生才能真正成为学习的主人，才能实现学习能力的提高。
2.培养良好的学习品质。
学生在课堂上，除了获得系统的数学知识和科学的学习方法以外，尤其要获得良好的学习品质，包括积极进取的学习精神、良好稳定的学习习惯和睿智机灵的学习策略等。教师在课堂上，要注重这些良好品质的培养。我们可以通过创设情境引入新课，激发学生的学习兴趣;重视数学思维，培养学生独立思考的习惯;组织小组交流，引导学生积极参与;搭建展示平台，鼓励学生大胆发表个人见解，学会倾听，勇于质疑;进行及时反馈，享受成功的喜悦，分析失败的原因，保持良好稳定的学习心态。
数学是严谨的、简洁的，同时又是美丽的、热情的。在教学中，我们要挖掘数学的应用价值，激发学生的学习兴趣，凸显数学的科学价值，发展学生的学习能力，追求数学的人文价值，关注学生的学习情感，培养良好的学习品质。让学生在数学课堂中，踊跃探索，积极思考，快乐成长。
【参考文献】
[1]茅雅琳.“课堂让学”理念下的课堂评析――以“正比例函数”一课为例[J].中国数学教育：初中版，2015（04）.
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