时间：2022-10-15 13:46:06
导语：在线性规划的撰写旅程中，学习并吸收他人佳作的精髓是一条宝贵的路径，好期刊汇集了九篇优秀范文，愿这些内容能够启发您的创作灵感，引领您探索更多的创作可能。
关键词：线性规划；几何向量；交汇题
中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1002-7661（2012）21-263-03
纵观近些年的高考题，细细品味发现：重视在“知识的交汇处命题”是高考数学命题的一大特点，因为知识的交汇处既体现了知识的内在联系，又能更好考查学生的数学综合能力。本人结合自己的教学体会和2011年江西省各地模拟试题及全国各省高考题，对其中的线性规划题作一简单归纳。
1、线性规划与解析几何交汇
例1：（江西省南昌市2011届高三第三次联考）已知x，y满足不等式组 ，则 的最小值为（ ）
A. B. 2 C. 3 D.
分析与简解：
欲求最小值的式子可化为 ，即表示区域内动点（x，y）与定点（-1，1）的距离的平方，故画出线性约束条件下不等式组所表示的平面区域，如上图，易知问题可转化为求点（-1，1）到直线y=x的距离的平方，易算得2，故选B。
归纳：线性规划能很好地把数与形结合起来，故它与解析几何交汇很自然，此类题首先要准确画出不等式组表示的平面区域，即完成由数到形的转化，然后根据式子的几何意义，直观观察求得相关结论。
（1）（江西省吉安市2011年高三期末联考卷）若点P在区域 内，则点P到直线 距离的最大值为______
（2）（江西省上饶市重点中学2011届高三联考）设 ，若实数x，y满足条件 ，则 的最大值是_______。
（3）（江西省2011届高三九校联考）设x，y满足约束条件 ，则 的取值范围是（ ）
A. B.
C. （ ） D.
2.线性规划与函数，方程交汇
例2：（江西省八所重点中学2011年高三联考）已知函数f（x）的定义域为 ，且f（6）=2，f/（x）为f（x）的导函数，f/（x）的图象如上图所示，若正数a，b满足f（2a+b）
A. B.
C. D.
分析与简解：
由导函数图象知， ，f（x）递增，故由f 可知： ，作出可行域ABO内部，如上图所示，易知 表示区域内点（a，b）与定点P（2，-3）连线的斜率，易求得 ，故选A。
例3：（江西省新余一中2011届高三六模）已知函数 的一个零点为x=1，另外两个零点可分别作为一个椭圆和一个双曲线的离心率，则 取值范围是__________.
分析与简解：
依题意函数的三个零点即方程 的三根，且 ，故方程可等价为 有两不等根，一根在（0，1）上，另一根在（1，+∞）上，即 ，作出可行域，易求得直线a+b+1=0与2a+b+3=0的交点A为（-2，1），故可求得 ，故 的范围应为 .
3.线性规划与概率交汇
例4：（江西赣州市2011年高三摸底考试）在平面xOy内，向图形 内投点，则点落在由不等式组 所确定的平面区域的概率为________.
分析与简解：
记事件A为点落在由不等组确定的区域内，作出该区域，如上图所示，易求得其面积为 ，另外试验的全部结果所构成的区域面积应为圆 的面积，应求得为4π，故 .
归纳：涉及到几何概型中的面积比常用到平面区域面积。又如
（1）（江西省九江市2011届高三七校联考）已知点P（x，y）在约束条件 所围成的平面区域上，则点P（x，y）满足不等式 的概率是________.
（2）（江西省吉安市2011届高三一模）已知函数 ，实数a，b满足 ，则函数 在[1，2]上为减函数的概率是（ ）
A B C D
4.线性规划与向量交汇
例5：（2011福建理科）已知O是坐标原点，点A（—1，1），若点M（x，y）为平面区域上的一个动点，则 的取值范围是（ ）
A.[-1，0] B.[0，1]
C.[0，2] D.[-1，2]
分析与简解：
准确做出不等式组所表示的平面区域，如上图所示阴影区域：
由 表示 在 方向上的投影与 的模的积，观察易得点M分别在点B，D处使 取得最小值0，最大值2，故选C.
在2011年高考及各地模拟卷中，向量与线性规划交汇的题还有：
（1）（2011广东理）已知平面直角坐标系xOy上的区域D，由不等式组 给定，若M（x，y）为D上的动点，点A的坐标为 ，则 的最大值为（ ）
A.3 B.4 C. D.
（2）（江西省重点中学协作体2011届高三第二次联考）已知点P（x，y）满足条件 ，点A（2，1），则 的最大值为（ ）
题型一：求约束条件问题
例：由直线x＋y＋2＝0，x＋2y＋1＝0和2x＋y＋1＝0围成的三角形区域(包括边界)用不等式可表示为。
【解析】三角形区域在直线x＋y＋2＝0的右上方，又原点在直线x＋y＋2＝0的右上方，且0＋0＋2>0，三角形区域在x＋y＋2≥0的区域，
同理可确定三角形区域在x＋2y＋1≤0和2x＋y＋1≤0的区域内．故该平面区域图（1）用不等式表示为x＋y＋2≥0
x＋2y＋1≤0
2x＋y＋1≤0
【点评】给区域求约束条件，注意画法原则应用：以线定界，以点定域，包括边界含等号，不包括边界不含等号。
题型二：求面积与最值（范围）
例：变量x，y满足x－4y＋3≤0，
3x＋5y－25≤0，
x≥1，
（1）画出不等式组表示的平面区域并求面积；
（2））z1=x＋2y的最值;
（3）设z2＝x2＋y2，求z2的取值范围；
（4）z3=|2x+y+2| 的最大值；
（5）设z4＝yx，求z4的最小值；
【解析】（1）、画出x，y满足条件的可行域如图（2）所示，经计算A(1，225)、B（5，2）、C（1，1），由图知三角形ABC的面积即为所求，所求面积为12×175×4=345。
（2）、由z1=x＋2y得y=－12x＋z12由图象可知，z12的几何意义是直线y=－12x＋z12在y轴上的截距，要使z1取得最大值或最小值，只需y=－12x＋z12在y轴上的截距最大或最小。所以当直线y=－12x＋z12经过点A(1，225)、C（1，1） 时，z1分别取得最大值495和最小值3。
（3）、z2＝x2＋y2的几何意义是可行域内任一点（x,y）到原点O（0，0）的距离的平方．结合图形可知，可行域上的点到原点的距离中，dmin＝|OC|＝2，dmax＝|OB|＝29.2≤z≤29.
（4）z3=|2x+y+2|可看作是行域内任一点（x,y）到直线2x＋y＋2=0的距离的5倍，从而找到离直线最远的点B（5，2）即是取最大值的点，此时的最大值为14。
（5）、z4＝yx＝y－0x－0，z的值即是可行域中的点x,y）与原点O连线的斜率．
观察图形可知zmin＝kOB＝25
【点评】本题（1）小题是给不等式组求其所表示的平面区域的面积，其余四题是线性目标函数在线性约束条件下的最植问题；解题关键是要准确画出可行域、充分理解目标函数的几何意义：（2）直线的截距（3）两点间距离（或平方）（4）点到直线的距离（5）过已知直线两点的斜率。解题时注意数形结合的应用。
题型三：求参数的取值问题
已知目标函数的最值求约束条件或目标函数中参数的取值问题
例：（1）.若x，y满足约束条件x＋y≥1，
x－y≥－1
2x－y≤2，，目标函数z＝ax＋2y仅在点(1,0)处取得最小值，则a的取值范围是．
【解析】 画出可 行域如图（3），目 标函数可化为y＝－ a2x＋12z，根据图象判断，当目标函数的斜率－1
答案 (－4,2)
【点评】此题最优解仅有一个，若在区域内有无穷多个点（x，y）可使目标函数z＝ax ＋2y取得最小值,则a的取值是多少也应会求。
(2)、已知实数x，y满足y≥0
y≤2x－1
x＋y≤m，如果目标函数z＝x－y的最小值为－1，则实数m等于。
【解析】画出x，y满足条件的可行域如图（4）所示，可知在直线y＝2x－1与直线x＋y＝m的交点A处，目标函数z＝x－y取得最小值．
由y＝2x－1
x＋y＝m，解得x＝m＋13
y＝2m－13，即点A的坐标为（m＋13，2m－13）.
将点A的坐标代入x－y＝－1，得m＋13－2m－13＝－1，即m＝5。
工商管理的产生是国家出于对市场经济秩序的构建与其健康发展的目的,主要是通过对市场经济经营行为的监督管理以及相关执法。通过将强制惩戒与行政教育相结合的方法,达到规范市场经济的目的,为市场经济的发展营造良好的环境。
二、工商管理的职能
(1)对市场经济的监管力度。工商管理部门是由政府依法组织,针对市场经济的自由性,对企业和盈利机构进行监督管理的工作执法部门。工商管理在政府工作中的首要职能就是市场监管,即对社会中的工商企业、外资企业等盈利性机构进行依法监督管理,维护市场的经营秩序,对于企业的违规违纪行为进行依法惩处,调节市场经济各部分的和谐共处。(2)对市场经济发展的服务。工商管理的对象是经济环境中的经济活动,服务于社会主义的市场经济建设,通过提高服务性维护和促进商品经济的良性发展。工商管理可以通过对市场经济的调节,维护市场经济的有序运行,服务广大消费者。
三、线性规划在工商管理中的应用
首先,线性规划可以用于生产计划确定后的优化,主要内容包括:(1)合理利用材料问题:在保证生产正常进行的条件下,以最少的材料达到最大的使用效果。(2)配料问题:在原料供应的数量限制下,如何搭配才能获得最大收益。(3)投资问题:从投资项目中选取最佳组合,使有限的投资得到最大的回报。(4)产品生产计划:合理利用人力、物力、财力等,使获利最大。(5)劳动力安排:用最少的劳动力满足工作的需要。(6)运输问题:对产品的调运方案进行细致制定,减少运费。其次,线性规划支持企业未来的决策。管理者必须分析未来的经济发展趋势,分析未来的消费趋势,并预测同行的产销动向,根据分析结果,确定自身企业的产品价格和促销策略,然后将这些数据进行线性规划,得出企业发展的最佳路线。工商企业的生产计划管理问题分析完全符合线性规划建模的条件,因此可以运用线性规划来分析生产计划方案的优化问题。但是,应用线性规划的方法对企业的生产计划问题进行分析,首先必须满足几点要求:(1)明确目标函数。生产计划的经济分析是一种定量分析方法,以企业利润作为评价目标值,其最终目的是制定可以使企业利润最大化的生产计划决策,因此,企业利润最大化是生产决策分析的目标函数。(2)明确约束条件。企业的生产能力,原材料,设备使用,市场需求状况等诸多限制因素与生产计划分析是密切相关的,这些限制因素就被称为生产分析中目标函数的约束条件。约束条件对于企业生产计划分析的影响很大,不同约束条件下,决策分析的结论也会有很大区别。比如,就企业在市场活动中所处的状态可以分为三种:第一,能力不足状态,企业的生产能力无法满足市场需求;第二,能力过剩状态,即企业生产能力超过市场需求,产品出现剩余;第三,中间状态,即所谓的收支平衡。企业自身的状态是不确定的,在三种状态之间不断变换。(3)明确产品的单间利润。单间利润不仅要考虑到产品的单间收入,还要考虑生产所消耗的各项成本和费用。综上所述,生产计划决策分析的基本方法是以利润最大化为目标,明确未知变量,确定约束条件,然后建立线性规划模型,最终实现效益最大化的生产计划。
一、求可行域的面积
这一类问题通常是先画出不等式组所表示的平面区域，根据区域的形状来求可行域的面积.若可行域是三角形，可用三角形面积公式求解，若可行域是四边形或更复杂的图形，可用分割法求面积.
二、求目标函数的最值或值域
已知线性约束条件，求目标函数的最值或值域问题，在高考中是最基本的考查题型，一般分为四类：第一类是求线性目标函数的最值或值域；第二类是可转化为求可行域内一点到一定点的距离或距离的平方；第三类是可转化为求可行域内一点与一定点连线的斜率；第四类是可转化为求可行域内一点到一条定直线的距离.
四、与线性规划有关的综合问题
将线性规划问题与其他数学知识进行交汇命题，在近几年的高考试题中，也成为一种时尚，线性规划问题可以与函数和导数、数列、不等式、向量、解析几何等数学知识综合，重点考查函数思想、数形结合思想、转化与化归思想，考查分析问题、解决问题和综合运用数学知识的能力.
五、线性规划应用问题
生产实际中有许多问题可归结为线性规划问题，在近几年的高考试题中，线性规划应用题的考查有选择题和填空题，也有解答题，重点考查目标函数在约束条件下的最优解问题，考查解决实际问题的能力和考查数学建模能力.
例11（2010年广东）某营养师要为某个儿童预定午餐和晚餐.已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C.另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物，42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C.如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐？
【关键词】线性规划 工商管理 应用
一、线性规划的概念和构成要素
线性规划的概念。线性规划是指依据线性规划模型的基本结构，在一定条件的约束之下，得出一组变量的值，从而使得该值成为目标函数的最优解的一种数学方法。
线性规划通过条件的组合和约束、分析与量化，对管理系统中的有限资源进行统筹的规划，为决策者提供最优的方案，辅助其实现科学管理。
线性规划的构成要素。线性规划的构成要素主要有：决策变量、约束条件、目标函数。决策变量又称控制变量、设计变量、操作变量等，其重要功能是在设计人员预先设定好符合系统目标的最佳值的前提下对系统进行的描述。约束条件即目标的限制条件，是线性规划有效进行的大前提。目标函数是用函数关系式表现出来所关心的目标与相关因素之间的某种函数关系。
二、线性规划的模型
三、线性规划在工商管理中的应用
在人力资源配置方面的应用。合理的安排相关人员在各生产部门的配置，提高工作人员的工作效率，实现管理的最佳效果。
在生产计划方面的应用。线性规划在生产计划确定后，在一定的资金和风险条件的限定下，在各种产品、生产人员、零部件的价格、原材料、机械设备等的约束之下，确定生产的计划数量，确保生产的连续性，最终实现以最小的资金消耗获得最大的产品效益。
四、小结
线性规划作为一种数学方法，综合科学技术，对工商管理体系进行了定量分析，把工商管理系统中的资源进行了有效的量化，并通过数学模型和函数表达关系式来解出最佳值实现对系统的合理安排。线性规划不仅实现了资源的优化配置，而且充分发挥了资源的效能帮助管理者获取最佳的经济效益，不失为管理中的一种极为有效的管理方法。
参考文献：
[1]杨冬英，高玉斌.线性规划在企业经营中的应用[J].河南科技，2007，（10）.
[2]李琦，韩城，周斌.模糊理论在线性规划问题中的运用[J].农业科技，2003，（8）.
[3]熊义杰.运筹学教程[M].国防工业出版社，2004，（1）.
关键词：线性规划；EXCEL2010；规划求解
中图分类号：TP311 文献标识码：A 文章编号：1009-3044（2014）16-3907-02
Abstract： The solvation of the specific problem of linear programming is important in operational research method， this article discussed the solvation that using EXCEL2010， which greatly simplifies the variable more methods of solving the linear programming problem.
Key words： linear programming； EXCEL2010； programming solver
1 问题的提出
在运筹学中比较重要的一类问题是线性规划问题，自从美国数学家丹齐格在1974年提出单纯形法后，求解线性规划问题得到了长足的发展，同时也引起了许多数学家对此的兴趣，对于决策变量比较少，规划问题较简单的决策问题，单纯形法无疑是具有一定高等数学基础的学者的最好选择，但是当决策变量比较多，或者约束不等式比较复杂时可以使用专门的运筹学软件如WinQSB、MATLA等进行求解，但是对于对计算机软件比较陌生的初学者和工程人员来了说求出线性规划问题的最优解还是具有一定难度的。比方说如下问题：
某昼夜服务的公交线路每天各时间区段内所需司机和乘务人员数如表1：
该问题没有直接基本可行解，需要使用人工变量法增加6个人工变量：[x13，x14，x15，x16，x17，x18]，这样就使得变量总数达到18个，在这种情况下进行求解是非常繁琐的，但是利用EXCEL自带的“规划求解”宏工具就可以进行简单的计算。
2 相关知识
为了使用EXCEL求解线性规划问题，首先要安装一个叫“规划求解的”加载宏。将Office 2010安装光盘放入光驱，然后在EXCEL环境中选择“文件”选项卡下的选项按钮，在弹出的对话框中选择“加载项”中的“规划求解加载项”，如图1所示：
做完了如上设置就可以进行规划求解了，首先在新建的文件中输入规划问题的相应数据，如图2所示：
3 问题的解决
由此，我们得到了上述问题的最优解，即1――30人，2――25人，3――75人，4――35人，5――40人，6――0人，在这种选择方案下，需要付出的最小成本为7240元。
4 结论
在线性规划问题的求解方法中，使用经典的大M法或者两阶段法都可以解决本例中的问题，但是理论上可行不代表实际解决问题的效率，往往经典的方法给出的万能解题方法在实际问题中都会因为工作的复杂和繁重使得这些方法失去了实际意义，所以对于变量比较多的线性规划问题可以使用本例的方法进行求解，实践证明，这种方法是快速而有效的。
参考文献：
[1] 刘满凤，陶长琪，柳键，等.运筹学教程[M].北京：清华大学出版社，2011.
（河北金融学院基础部，保定 071051）
摘要： 线性规划模型是数学建模过程的重要模型，应用广泛，因此在经济类的高校中都开设了相应的课程，各类高校对于线性规划或运筹学的课程也都比较重视。本文借助matlab计算语言工具的优越性，给出不同形式下的线性规划模型的求解过程，并给出关于计算机软件在线性规划教学过程中的有益建议。
关键词 ： matlab；线性规划；数学建模
中图分类号：G420 文献标识码：A 文章编号：1006-4311（2015）23-0195-03
课题项目：河北金融学院应用数学优秀基础学科资助项目。
作者简介：李林汉（1986-），男，河北邯郸人，硕士，助教，研究方向为数值计算与最优化；韩祝华（1980-），女，河北冀州人，硕士，助教，研究方向为数理统计。
0 引言
线性规划模型是运筹学以及数学建模过程中的重要模型，应用极其广泛，作用也越来越被人们重视。随着计算机软件的迅猛发展，使线性规划模型在经济、军事和科学研究各方面都得到了急速的应用。这就要求教学过程中要求学生不仅要了解单纯形方法的原理，还要掌握并实现这一方法。而普遍流行的运筹学教材上例题都是低阶维数，仅仅让学生理解了原理，而并没有给出高阶的例子，或者大数据的例子，使得学生认为计算机语言对于线性规划的学习没有帮助。再一个方面学生的自主学习能力较弱，本来引入计算机语言能够使得单纯形方法的运算过程简化，但是由于学生没有自主学习的能力，那么学生就会认为还需要学习一种更加复杂的理论知识，反而会误认为这是一种负担。
随着计算机软硬件水平的日益更新，正在对人们的日常行为方式进行着巨大的变革，那么作为大学生更加应该把这种便利引入到日常的学习中，因此在教学中可以借用计算机，网络等现代技术使得线性规划以及线性代数这种的课程原理的讲解更加的完整清晰化，经典化。对于计算过程的实现，完全交给计算机实现。使学生领略到单纯形思想的简洁性、深刻性、数据结构形式优美性、逻辑推理的严密性，以至于学生通过接受这种严格的数学教育培养出来的数学审美意识影响到他们的日后工作，将这种数学原理的严谨性代入到社会中，提供精益求精的质量上乘的产品。
1 线性规划以及一般形式、规范形式和标准形式的线性规划
在普遍流行的线性规划[1，2]课本中对于线性规划模型不同形式的定义有一定的差别，在本文中为了避免这种差别带来的叙述上的困难，特定义如下：
线性规划问题的一般形式为
可以证明，这三者之间可以互相的转换，而且不会破坏解的性质。也就是可以得到所有的线性规划的模型都可以等价转换为（3）式的形式。
2 线性规划的一些重要理论
由上述的理论可知，只要求出标准形式的线性规划问题的解，即可得到所有形式的线性规划问题的解。所以本文以下的讨论都是针对于标准形式的线性规划问题的讨论。
考虑矩阵形式的线性问题的标准形式：
由高等代数的知识可知所有的线性规划解的情况为：无解或不可行、无界，有最优解。
定理3.1线性规划问题的可行域是凸集。
定理3.2线性规划问题的基本可行解对应于可行域的顶点。
定理3.3一个标准的线性规划问题如果有有限的最优值，则一定存在一个基本可行解是最优解。
基于以上理论，1947年G.B.Dantzig提出了著名的单纯形方法，直到现在仍是解决线性规划问题的重要理论，后来发展的一系列解法也都是在此方法的基础上拓展的，在此本文只叙述一下单纯形方法的原理以及算法步骤，具体的证明可在任何的一本线性规划课本中找到。单纯形方法的思想为先找到一个基本可行解，判别它是不是最优解，如果不是再找到另外的更好的基本可行解继续判断，直到找到最优或者判断无解。
单纯型方法的算法步骤：
3 算法的实现
部分学者认为，对于一个有效的算法，算法的理论是重点，而具体的实现只是一个重复的过程，不再是一个重点，但笔者认为，算法的理论基础以及算法的实现是同等重要的问题，诚然算法的理论是算法实现的源泉和基础，但是算法的实现更能使算法的理论清晰、明了。同时达到学以致用的目的，尤其对于应用型大学的建设更是必要的一步。
具体到本文，单纯形方法有两类计算的方式，一类是按照算法的步骤进行矩阵形式的迭代，另外一类也是比较简单但操作起来比较繁琐的单纯形表法。可以进行证明，[2]对单纯形表进行初等行变换也是一种有效的单纯形迭代法，但是由于数据较多，学生在计算的时候稍有不慎就会算错，而且进行检查的时候时间上的代价也是巨大的。因此在平时的课堂练习时，只是进行低维度的练习，没有进行高维数大数据的处理，但是借助于先进的计算机技术，可以轻松的达到这一目的。况且计算机技术的应用在当今的高校教育中已经不能算作一门先进的领先的技术，由于计算机技术的普及它更应该成为高校教育中的一个必备环节。文献[3]中提到，虽然单纯形方法的算法实现复杂，解得情况千差万别，但幸好解线性规划问题的商用软件包已经非常普及，大家可在计算机上直接的调用。笔者认为可惜的不是商用软件包非常普及，而是在商用软件包非常普及的前提下，高校中很多学生对于这些商用软件包都不熟悉，就拿去年和今年笔者所教授的两个班级的学生来说，总共135人，只有1个学生课下的时候来向笔者请教这方面的问题，实在是令人惋惜。下面笔者就1个简单的线性规划问题在matlab[3]软件上的实现来说明怎么运用计算机软件辅助线性规划的教学。
考虑问题
然后按照单纯性表格的方法列出初始单纯形表，然后再运用初等行变换进行变换直到找到最优解或者判断无解，可知这是涉及到一个四行八列的矩阵表格，计算起来是比较复杂的，本文用matlab进行简单的可视即可见的方法一步步进行计算，计算符号如下：
可以轻松得到最后的结果，而且只要明白里面的逻辑关系，检查的时候也是非常方便的，可以得到最优解为
但是同时也可以进行matlab自带的线性规划工具箱进行求解，自带函数为
也可以得到相同的结果，只需要提供给软件相应的参数即可，这些参数都是线性规划问题的本身属性，熟知他们才能解决好这类问题。
4 总结
①线性规划是数学模型中的一类重要模型，现实当中的很多问题都可以转换成线性规划问题，进行相应的求解可以对生产活动提出有益的指导。②线性规划课程的教学中，可以在理论课的基础上加大对实践课的重视，加大对于这些计算软件的学习，包括matlab，c语言等。③现今的高校教学中，如何调动学生的积极性，很好地完成师生互动是一个大难题，可以多增加实践课，让学生自己去进行实践。增加他们的学习兴趣。摆脱传统的满堂灌。④高校的课堂教学中，应不能仅满足与讲解知识的层面，而是在讲解知识的基础上，为学生提供学习的方法和思路，即学习如何去学习，正所谓兴趣是最好的老师，适当的增加实践课程能在一定程度上促进学生的学习兴趣，达到抛砖引玉的作用。
参考文献：
[1]胡运权.运筹学基础及应用[M]．五版.北京：高等教育出版社，2010.
一、简单线性规划问题
线性规划问题的核心思想是数形结合，解决此类问题一般分三个步骤：画（画出可行域）、移（平移目标函数所得直线）、求（解方程组求最值）.按照约束条件和目标函数的含参情况，现将问题分为以下四类：
1.约束条件和目标函数不含参数
例1：（2013天津卷）设变量x，y满足约束条件3x+y-6≥0x-y-2≤0y-3≤0，则目标函数z=y-2x的最小值为？摇 ？摇.
分析：满足约束条件的可行域如图1所示，将目标函数变形为y=2x+z，平移直线y=2x得过点A时目标函数取得最小值，将点A（5，3）坐标代入z=y-2x得：z■=-7.
图1
例2：（2011浙江卷）设实数x，y满足不等式组x+2y-5>02x+y-7>0x≥0，y≥0，且x，y为整数，则3x+4y的最小值是？摇 ？摇.
分析：满足约束条件的可行域如图2所示，令z=3x+4y，则y=-■+■，直线x+2y-5=0与直线2x+y-7=0的交点为A（3，1），因为x，y为整数，所以平移直线y=-■x过点B（4，1）时，z取得最小值16.
图2
2.目标函数含参数
例3：（2013浙江文科卷）设z=kx+y，其中实数x，y满足x≥2x-2y+4≥02x-y-4≤0，若z的最大值为12，则实数k=？摇 ？摇.
分析：满足约束条件的可行域如图3所示，将目标函数变形为y=-kx+z，若x=0，与题意矛盾;若k>0，则z=kx+y在点A（4，4）处取得最大值，此时k=2;若k
图3
变式：（2013全国大纲卷）记不等式组x≥0x+3y≥43x+y≤4，所表示的平面区域为D，若直线y=a（x+1）与D有公共点，则a的取值范围是？摇 ？摇.
分析：满足约束条件的可行域如图4所示，因为y=a（x+1）过顶点A（-1，0），所以由图可得，k■
图4
3.约束条件含参数
例4：（2013新课标II卷）已知a>0，x，y满足约束条件x≥1x+y≤3y≥a（x-3），若z=2x+y的最小值为1，则a=？摇 ？摇.
分析：满足约束条件的可行域如图5所示，将目标函数变形为y=-2x+z，平移直线y=-2x过点A（1，2a）时z=2x+y取得最小值1，代值解得a=■.
图5
例5：（2013北京卷）设关于x，y的不等式组2x-y+1>0x+m0表示的平面区域内存在点P（x■，y■）满足x■-2y■=2，求得m的取值范围是？摇 ？摇.
分析：满足约束条件的可行域如图6所示，若平面区域内存在点P（x■，y■）满足x■-2y■=2，则点A（-m，m）在直线x-2y=2的下方，即m
图6
变式（2012福建卷）若函数y=2■图像上存在点（x，y）满足约束条件x+y-3≤0x-2y-3≤0x≥m，则实数m的最大值为？摇 ？摇.
分析：如图7，当x=m经过直线x+y-3=0和y=2■的交点A（1，2）时，m取得最大值1.
图7
4.约束条件和目标函数均含参数
例6（2011湖南卷）设m>1，在约束条件y≥xy≤mxx+y≤1下，目标函数z=x+my的最大值小于2，则m的取值范围为？摇 ？摇.
图8
分析：满足约束条件的可行域如图8所示，将目标函数变形为y=-■+■，因为m>1，由图可得，z=x+my在点A（■，■）处取得最大值，即■+■
二、拓展：线性规划与其他知识点的结合
近几年，线性规划问题在高考卷中逐渐走向含参数类的综合问题，同时也和其他知识点结合起来考查，提高了学生分析问题和解决问题能力的要求.
例7：（2013江苏卷）抛物线y=x■在x=1处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D（包含三角形内部和边界）.若点P（x，y）是区域D内的任意一点，则x+2y的取值范围是？摇 ？摇.
分析：本题是利用导数求切线方程与线性规划的简单结合，抛物线y=x■在x=1处的切线为2x-y-1=0，与两坐标轴围成三角形区域为D如图9所示，令z=x+2y，则y=-■+■，易得x+2y的取值范围是[2，■].
图9
一、线性规划求解
在线性约束的条件下，对于线性目标函数进行最值问题的求解的过程，称为线性规划.最优解指的是，在目标函数z=f（x，y）取得最大值或者最小值的时候，x与y的值的大小（x，y）就成为最优解.其中若得到的最优解皆为整数，则对应的点（x，y）对应的横纵坐标都是整数，可以将这个解称为整点.最优解的求解方式是高中教材中的重要内容.经常见到的题型有：（1）题目中给出了一定量的人力、物力资源，以及一些已知条件，让学生求解：如何安排，才能在一定的时间内完成最多的任务或者取得最大的收益.（2）给出一项任务，以及一些已知的条件，让学生求解：怎样安排，才能在完成任务的情况下投入尽可能少的人员、物力资源.这部分内容在教材中属于新增加的内容，介绍的比较笼统，使学生难以理解与掌握.调整优值法是经常采用的一种求解方式，通过这种方式，能得到最优值，从而求得答案.
二、优值调整方式
1.带数值比较法.对于线性规划的最优解的调整，首先要找到一个范围.在最优解存在于可行域中时，对最优值进行调整是比较简单的一种情况，此时只需要在可行域的范围内寻找出所有的可行解，然后将每一个解都带入到目标函数中进行验证即可.通过比较代入解值得出来的结果值，便可得到调整后的最优值.这种调整方式，需要将每一个值都依次代入，适用于可行域中最优解较少的情况.
2.调整理论值.这种对最优值进行调整的方式，就是首先根据理论上的分析得出最优值存在的一个范围区间，然后在计算出理论上的最优解对应的目标函数值的前提下对于目标函数值进行逐步调整，同时需要作出对应的直线，在坐标系中画出函数图象，并且在可行域内的直线上寻找可能存在的最优解.如果存在则最优解就此找到，否则就需要对理论上的这个值进行继续调整，直到能够出现最优解为止.
3.根据范围求解.这种对最优解进行调整的方式，就是在理论最优解的基础上计算出目标函数值，并且对目标函数值进行逐步调整.在这样的前提下，将最优解带入到线性约束条件中进行消元处理，能够求出未知量x和y的范围，然后在这个范围内寻找最优解，并且进行调整.
4.逐步调整法.这种方式是在得出理论上最优值的基础上求出对应的目标函数值，并且对目标函数值进行逐步调整.在调整时，将其看作是一个二元的不定方程，从而确定出这个方程的解值，然后对其进行判断是否为可行解.
三、典型例题分析
例假如你需要开一家小店，小店里主要经营衣服和裤子.由于你的存款有限，所以在经营过程中受到很多限制.（1）由于金额不足，你每次只能最多进50件衣服；（2）最多只能进30件裤子；（3）为了保证你的小店能正常营业，你必须要有衣服和裤子一共40件；（4）你的小店在进货时，每件衣服的进价为36元，每条裤子的进价为48元.现在你只有2400元钱，假如说小店中每卖一件衣服就会增加利润18元，而一条裤子的利润是在20元.那么，你需要怎样进货，才能使小店获得最大的收益？
解：设小店进货时，进了x件衣服和y件裤子，取得的利润为z元.根据题中的条件，能得出如下方程式：0≤x≤50，0≤y≤30，
x+y≥40，
36x+48y≤2400.
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