历史八下的知识点总结

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第1篇

关键词： 教材资源 数学思想 数学思维 数学方法

一、课题研究的现实背景和意义

日本著名数学教育家米山国藏在《数学的精神、思想和方法》一书中曾指出：“在学校学的数学知识，毕业后若没什么机会去用，一两年后很快就忘掉了。然而不管他们从事什么工作，唯有深深铭刻在心中的数学的精神、数学的思维方法、研究方法、推理方法和看问题的着眼点等，却随时随地发生作用，使他们终生受益。”这是数学教育家结合学习和数学研究的切身体验对教师提出的肺腑之言。然而长期以来，可能由于受应试教育和传统教学思想的影响，一些教师只关注学生对知识的理解与掌握，只重视他们解题能力的提高，而忽视从这些知识的掌握和运用中归纳、提取数学思想的能力，从而使学生感觉到数学越来越难学，甚至会谈“数”色变，认为数学就是一堆冷冰冰的数字和奇特符号的组合，数学学习留给他们的只是“枯燥、繁难”的回味。事实上，这是学生受教师的不良影响，歪曲了对数学本质的理解。

首先，从学科本身的特点来看，数学不仅仅是传授给学生数学知识，更重要的是培养学生的数学思想方法。数学思想方法一般有两种：一是数学思维方法，这是数学方法中较高层次的方法，是数学中思考问题的方法，它必须一开始就逐步渗透。二是数学解题方法，这是数学解题的通法，相对于特殊的解题技巧而言，它今后有系统学习。数学学习的目的之一在于训练学生的数学思维，培养学生良好的学习数学的品质，以及科学的世界观和方法论，使学生能面对客观现实，能用数学的方法进行分析，从而使问题得以解决。

其次，从教学现状看，数学思想方法的教学不受重视。相当一部分教师在教学目标中只注重知识与技能的达标，根本没有把数学思想方法纳入目标体系，即使纳入也只是在课堂上提提名而已。

再次，从数学教材体系看，整个数学教材中贯穿两条主线，一是写进教材的基础的数学知识，它是明线，一贯很受重视。另一条是数学能力培养和数学思想方法的渗透，这是条暗线，对学生的成长十分重要，但往往被忽视。现在教学中存在重视知识达标评价，轻视数学思想形成的评价；重视学生眼前的分数利益，轻视学生的长远素质发展等问题。一些教师对数学思想方法的理解不透彻，造成数学思想方法的渗透在课堂教学中短时期难以见成效。因此，在教学中数学思想方法的教学难以规范有序地展开，教学实践中仅仅关注双基的落实，满足学生考试分数的提高，忽略对学生数学思维品质的关注，导致学生思维发展的差异，且后续发展的差异越来越大，这种差异将直接影响学生今后数学学习的兴趣和解决其他问题能力的发展。教材里各个章节里隐含很多数学思想方法，教师作为组织者、引导合作者，必须重视数学思想方法在日常教学中的有机渗透，只有将无形的数学思想方法贯穿到有形的数学知识之中，才有利于从整体上把握数学教学目的，将数学知识形成的过程、解决问题的过程展示给学生，将思维的方式方法展现给学生。

基于上述分析，我们抓住数学学科的本质与灵魂，以数学的精神、思想、方法为突破口，提出“依托新教材培养学生数学思想的实践研究”这一课题，通过这一课题的研究挖掘数学教材中的有机资源，促进学生对数学知识和技能的深入理解，提高他们对数学思想的领悟能力，真正提高他们的数学素养，实现数学学习的可持续发展。

二、课题研究的前提思考

（一）新教材指的是浙江教育出版社出版的7-9年级义务教育课程标准实验教科书。

（二）数学思想是指人类对数学对象及其研究的本质和规律性认识。它是在数学活动中解决问题的观点和根本想法，是从某些具体的数学内容和对数学的认识过程中提炼上升的数学观点，并在认识活动中被反复运用，带有普遍指导意义，是建立数学和运用数学工具解决问题的指导思想。数学界对数学思想方法还有一些观点上的分歧，包含范围比较广泛，但并不影响本课题的研究。本课题的数学思想主要定位于通过挖掘教材中的资源渗透符号化、函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、化归与转化思想与数学模型思想这五类常用的数学思想。

（三）数学思想和数学方法之间的关系。数学方法是指人们从事数学活动的程序、途径，是实施数学思想的技术手段，也是数学思想的具体化反映。所以说，数学思想是内隐的，而数学方法是外显的，数学思想比数学方法更深刻，更抽象地反映数学对象间的内在联系。由于数学是逐层抽象的，数学方法在实际运用中往往具有过程性和层次性等特点，层次越低，操作性越强。如变换方法包括恒等变换，恒等变换中又分换元法、配方法、待定系数法等。

数学思想和数学方法有区别也有联系，首先，两者都以一定的数学知识为基础。其次，两者具有抽象概括程度的不同，表现出互为表里的关系。数学方法受到数学思想的指引，是数学思想在数学活动中的反映和体现，表现形式外显；数学思想是相应数学方法的结晶和升华，表现形式内隐。数学思想往往带有理论性的特征，而数学方法具有实践性的倾向。一般来说，强调指导思想时称数学思想，强调操作过程时称数学方法。由于人们在数学学习与研究活动中，很难把思想和方法严格区分开，因此常统称为数学思想方法。

（四）数学思想的主要特征。

1.导向性。数学思想的导向性是指研究数学和解决数学问题的指导思想，是数学思维的策略。数学思想的导向性表现在它既是数学产生和发展的根源，又是建立数学体系的基础，还是解决具体问题“向导”。正如日本学者米山国藏所说：“数学的精神、思想是创造数学著作，发现新的东西，使数学得以不断地向前发展的根源。”比如极限思想既是微积分理论的基础，又是解决许多数学问题的重要方法。在解决具体问题中，数学思想往往起主导作用，尤其是它对产生一个好“念头”、一种好“思路”、一种好“猜想”提供方向。当然，数学思想在指示解题的方向时，还为数学方法的具体实施留有应变的余地。

2.统摄性。数学思想对于具体的数学知识和方法具有巨大的凝聚力，它是联系知识的纽带，具有举纲张目的作用。数学思想的统摄性主要表现在两个方面：一是优化数学知识结构。虽然数学知识数量的不同是影响学生数学能力的一个方面，但是，即使有同样数量的知识点的学生，由于知识点之间联系结构的差异，也会造成数学能力发展不平衡。二是发展数学认知结构。数学思想在知识转化为能力的过程中起重要的中介作用。如果说能力是知识的结晶的话，那么思想往往起着结晶核的作用。学生在学习教材中的定义、定理、公式等外显知识时，若未能了解这些知识所蕴含的数学思想，则很难真正理解知识，因而就会出现数学知识学了不少，但由于缺乏数学思想的统领，知识没有活性，能力却得不到发展的现象。另一方面，数学思想将分散的知识吸附起来，组成一个整体，并且能像滚雪球那样越滚越大。

3.概括性。人们的理性认识之所以高于感性认识，是因为理性认识能反映、揭示事物的普遍的必然的本质属性和联系，这就是理性认识的一大特点。数学思想在这方面具有突出的表现，即数学思想具有较高的概括性。概括性程度的不同决定数学思想有层次之分，概括化程度高，其“抽象度”大；对数学对象本质属性揭示得越深刻，对问题的理解就愈透彻。数学思想的概括性还表现在客观存在，能反映数学对象之间的联系和内部规律上。

4.迁移性。高度的概括性导致数学思想具有广泛的迁移性。这种迁移性表现在数学内部：数学思想是数学知识的精髓，这是数学知识迁移的基础和根源，是沟通数学各部分、各分支间联系的桥梁和纽带，是构建数学理论的基石。这种迁移性表现在数学外部：能沟通数学与其他科学、与社会的联系，产生更广泛的迁移。

三、依托新教材培养学生数学思想的实践与研究

数学思想的培养、发展、形成是以数学知识为载体，通过问题解决体现的，所以数学思想方法的教学要以学生接受知识的全过程加以渗透，以便逐渐形成。

（一）数学思想形成的过程

从认识论的角度看，对客观事物的认识，必须经历“具体―抽象―具体”，即从感性的具体到抽象的规定，再从抽象的规定上升到思维中具体的过程。

对数学的认识所形成的“感性的具体”是指掌握某部分数学内容，如具体的概念、定理、公式、法则等。“抽象的规定”是指掌握某些数学思想或数学方法。认识过程达到的“思维中的具体”则是指数学认知结构的形成。

从上图可以看出数学思想形成必须经历掌握数学基础知识、明确其中的数学思想和数学方法、建立良好的数学认知结构这一过程。数学思想的形成主要来自于以下渠道：

1.在知识发生中挖掘数学思想方法。

在教学过程中，要注意知识的形成过程，特别是定理、性质、公式的推导过程和例题求解的过程，数学思想和数学方法就是在这个过程中形成和发展的。

（1）在概念、定理的讲述中呈现数学思想方法。

概念是思维的细胞，是感性认识飞跃到理性认识的结果，而飞跃的实现要经过分析、综合、比较、抽象、概括等思维的逻辑加工，需依据数学思想方法的指导。因而概念教学应当完整地体现这一过程，引导学生揭示隐藏于概念之中的思维内核。如“有理数”一章就是最好的例证，学生初次接触负数、相反数、绝对值等抽象概念时，往往理解上有困难，如果能有机地渗透数形结合思想，通过数轴帮助理解就可以降低理解这些概念的难度。

（2）在规律、法则的推导运用中引进数学思想方法。

在定理、性质、法则、公式、规律等的教学中要引导学生积极参与这些结论的探索、发现、推导的过程，不断在数学思想方法指导下，弄清每个结论的因果关系，最后引导学生归纳得出结论。如，学生在学习一元一次方程的解法时，如果只是让学生注意解一元一次方程的步骤，即去分母、去括号、移项、合并同类项等，而未掌握解一元一次方程的思想――求出一个与原方程同解的且解是明显的方程，即ax=b（a≠0），那么学生对这一思想的精髓就不会真正领悟，对解方程的认识只能是“知其然，而不知其所以然”。在教学中，在强调解决步骤的同时应着重强调所反映出的“化归”思想方法，使学生真正体会解题步骤是“化归”思想方法指导下的具体外显，这样学生才会举一反三，建立数学模型，加强方法迁移。

2.在思维活动中渗透数学思想方法。

数学课堂教学必须充分暴露思维过程，让学生参与教学实践活动，揭示其中隐含的数学思想，才能有效地发展学生的数学思想，提高学生的数学素质。例如八下“多边形”的教学可以借三角形、四边形、五边形等图形的分析探求，让学生大胆猜想，指导发现方法，渗透类比、归纳、猜想思想，在验证所得结论中结合多边形可化归三角形处理从而得以证明，从中渗透化归思想和分类思想。

3.在问题解决过程中揭示数学思想方法。

数学问题的探索与解决过程，实质是命题不断变化和数学思想方法反复运用的过程，数学思想方法是数学问题的解决的观念性成果，它存在于数学问题解决的过程之中。数学问题的探索与解决，都遵循数学思想方法的指导。数学问题的推广、引申和解决过程既是新的问题发现和解决的过程，又是数学思想方法深化的过程。一些教师往往有这样的困惑：题目讲得不少，但是学生总是停留在模仿型解题的水平上，只要条件稍微变化就不知所措，不能形成较强的解决问题的能力，更谈不上创新能力的形成。究其原因就是教师在问题解决中就题论题，没有抓住问题的本质，没有突出数学思想方法，“只有剑招，没有剑魂”。

在解题教学中，教师首先要善于通过选择典型例题进行解题示范，通过范例展现自己是如何“想”数学，如何“做”数学的。进一步说，就是自己是怎样审清题意的，是怎样运用探索法诱发灵感、产生“好念头”的，是怎样对问题进行转化和变更的，是怎样通过解题进行回顾、概括形成方法和模式的，是怎样运用合情推理发现结论的，等等。其次，在解题教学中，要引导学生善于反思，达到举一反三的效果。

4.在知识整理归纳中概括数学思想方法。

数学教材是采用蕴含披露的方式将数学思想方法融于数学知识体系中，适时对数学思想作出归纳、概括是十分必要的。概括数学思想方法要纳入教学计划，应有目的、有步骤地引导学生参与数学思想的概括过程，尤其在章节结束或单元复习中对知识复习的同时，将统摄知识的数学思想方法概括出来，可以增强学生对数学思想方法的运用意识，也使其对运用数学思想解决问题的具体操作方式有更深刻的了解，有利于活化所学知识，形成独立分析、解决问题的能力。例如，在二元一次方程组的解法中有这样的叙述：这种解法的思路是，通过“代入”、“加减”，达到消元（即消去一个未知数）的目的，从而将二元一次方程组转化为一元一次方程。在教学实践中给足时间，让学生自读，结合课本题目，专项讨论“消元”怎样进行，不仅突出重点，突破难点，更重要的是强化内容所反映出来的数学思想方法。

为此，我们不难发现，由于同一数学知识可表现出不同的数学思想方法，而同一数学思想方法又常常分布在许多不同的知识点里，因此通过课堂小结、单元总结或总复习，甚至在某个概念、定理公式、问题教学都可以在纵横两方面归纳概括出数学思想方法。

（二）数学思想在教材中的体现及实践操作

大量的、较高层次的思想方法蕴含于表层知识之中，处于潜形态，教师应该将深层知识揭示出来，将这些深层知识由潜形态转变为显形态，由对数学思想方法的朦胧感受转变为明晰的理解和掌握。

1.符号化、方程与函数思想。

符号化思想、方程思想和函数思想本来是三个不同的思想，它们各有侧重点，符号化偏重于形式化、结构化。方程思想相对于算术法，偏重于关注问题中的等量关系、构造方程，由解方程而达到问题解决。函数思想则偏重于事物的运动变化，寻求变量之间的对应关系。但是，一方面由于数学知识量毕竟有限，这三种思想的形成还有待学生在后继学习中完成，另一方面这三种思想存在有机联系，符号化是方程思想实现的基础，而方程又可以看做是函数的特殊情况，方程方法是研究函数的有力工具。

（1）符号化思想。符号既可以表示数，又可以表示量；既可以表示未知数，又可以表示已知数；既可以表示常量，又可以表示变量，还可以用符号表示运算、表示关系、表示语句、表示图形。如七年级上册4.1《用字母表示数》用节前语中的儿歌青蛙跳水动画场面，寓教于乐地引出用字母表示数的思想，认识到字母表示数具有问题的一般性，就便于问题的研究和解决，由此就可产生从算术到代数的认识飞跃。学生领会用字母表示数的思想就可顺利地进行以下内容的教学：①用字母表示问题（代数式模仿、列代数式）；②用字母表示规律（运算定理、计算公式、认识数式通性的思想）；③用字母表示数解题（适应字母式问题能力）。

（2）方程思想。在解决数学问题时，有一种从未知转化为已知的手段就是通过设元，寻找已知与未知之间的等量关系，构造方程或方程组，然后求解方程完成未知向已知的转化，这种解决问题的思想称为方程思想。

如（“7.3线段的长短比较”例3）如图1，点P是线段AB的中点，点C，D把线段AB三等分，已知线段CP的长为1.5cm，求线段AB的长。在讲解完书上的解法之后，引导学生分析：能否用方程的思想解决呢？这一问不仅引起学生的好奇，而且激活学生的思维，多种解决问题方法的产生也就不足为奇了。

如果设∠AOC的度数为x度，那么∠COB的度数就等于（x+30）度，再根据∠AOC与∠COB是互为邻补角，就得到下面的方程。

x+（x+30）=180，解得x=75.即∠AOC=75°，∠COB=105°，∠AOE=∠AOD+∠DOE=105°+37.5°=142.5°.

教材中能用方程思想解决的问题有很多，如“7.6余角和补角”一节中的例2：已知一个角的补角是这个角的余角的4倍，求这个角的度数。本章复习题的第5、10、11、15题等。在教学中，适时适度地引导学生用方程的思想思考问题，不仅有利于学生建立模型思想，而且能提高学生学习兴趣，增强数学应用意识。

③函数思想。世界上一切事物都处在运动、变化和发展的过程中，我们在教学中必须重视函数思想方法的教学。函数思想是一种考虑对应、考虑运动变化、相依关系，以一种状态确定地刻画另一种状态，由研究状态过渡到研究变化过程的思想方法。函数思想的本质在于建立和研究变量之间的对应关系。要有意识、有计划、有目的地培养函数思想方法，让学生逐渐形成以运动的观点观察事物，并借助函数关系思考解决问题。

如八（上）一次函数的简单应用例2：小聪和小慧去某风景区游览，约好在“飞瀑”见面，上午7：00小聪乘电动汽车从“古刹”出发，沿景区公路去“飞瀑”，车速为36km/h，小慧也于上午7：00从“塔林”出发，骑电动自行车沿景区公路去“飞瀑”，车速为26km/h。

（1）当小聪追上小慧时，他们是否已经过了“草甸”？

（2）当小聪到达“飞瀑”时，小慧离“飞瀑”还有多少km？

第一个问题对于大部分学生来说，还是有一定的“恐惧感”。我们不妨让每个同学都先独立思考，至少想到一种方法，然后小组交流。通过合作学习后展示讨论结果时，有以下几种思考方法。

法一：把这个问题看成是纯粹的应用题，则是一个同时不同地出发的追及问题，只要算出什么时候什么地方追上就能判断小聪追上小慧时，他们是否已经过了“草甸”；有两种不同解题思路，一种是用算术的方法，另一种是用列方程解决。

法二：因为小聪和小慧所走的路程与时间是呈正比例关系的两个变量，所以可用函数知识解决这个问题，追上的时间与地点就是两个函数图像的交点，而这里两个变量的设法也有多种，真可谓思维异彩纷呈。

对于第二个问题，我们完全抛给学生，让他们合作讨论完成。

第一小组：生1：用算术的方法求解；

生3和生4都是用方程的方法。

第二小组：生5、生6都是用方程的方法。

生8不会解答，但在其他同学的帮助下懂得了如何列方程进行解答。

该生介绍这种方法后，得到了大家的一致认同，最后教师作出延伸，从上述几种方法的解答中我们发现：两条直线的交点坐标（1，36），就是二元一次方程组s=36ts=26t+10的解。可见，用图像法也能求方程组的解（近似解）。

2.数形结合思想。

数学是研究现实世界的空间形式和数量关系的科学（恩格斯语）。数学中两大研究对象“数”与“形”的矛盾统一是数学发展的内在因素，数形结合是贯穿于数学发展历史长河中的一条主线，并且使数学在实践中的应用更加广泛和深入。一方面，借助图形的性质可以将许多抽象的数学概念和数量关系形象化、简单化，给人以直觉的启示。另一方面，将图形问题转化为代数问题，获得精确的结论。这种“数”与“形”的信息转换，相互渗透，不仅可以使一些题目的解决简洁明快，而且可以大大开拓我们的解题思路，为研究和探求数学问题开辟一条重要的途径。因此，数形结合不应仅仅作为一种解题方法，而应作为一种重要的数学思想，它是将知识转化为能力的“桥”。为了培养学生良好的思维习惯，在七年级数学中就可以有意识地渗透数形结合思想。

如在《有理数》一章中，数轴就是把数和形结合在一起的内容。这样在讨论相反数、绝对值、倒数的几何意义时，数和形结合得合理将为学习降低难度。

（1）利用图像，创设学习负数情境。七年级教材通过温度计引出数轴概念，能够具体、直观地掌握负数的意义。利用数轴把点与数的对应关系揭示出来，这样数量关系常常可以通过几何图形做出直观的反映和描述。

（2）相反数。在数轴上，相反数就是在原点两旁到原点距离相等的两个点所表示的数。零的相反数是它本身即原点。如图：

（3）绝对值。在数轴上，一个数的绝对值表示这个数的点离开原点的距离。在下图中，A点到原点的距离比B点到原点的距离大，所以A点表示的数的绝对值比B点表示的数的绝对值大。

（4）倒数。在数轴上表示a与1的位置关系。可以结合数轴加以分析，把0、+1、-1作为分界点，然后再进行讨论。

观察是人们认识客观事物的开始，直观是图形的特征。例如，利用数轴可以比较两个有理数大小，学生在学习两个负数比较大小时，常常不过了符号关，利用数轴学生可以准确、快速地确定结论。相反数概念的引入、理解，都依赖“数轴”，特别是教材第一次出现字母表示数：数的相反数是时，学生会出现思维难点，利用数轴可以帮助学生理解：可以是正数、0、负数。

在数形转化结合的过程中，必须遵循下述原则：转化等价原则；数形互补原则；求解简单原则。当然在教学渗透数形结合思想时，应指导学生掌握以下几点：

（1）善于观察图形，揭示图形中蕴含的数量关系。

（2）正确绘制图形，反映图形中相应的数量关系。

（3）切实把握“数”与“形”的对应关系，以图识性，以性识图。

教师可以通过各种形式有意识地使学生领会到数形结合方法具有形象、直观、易于说明等优点，并初步学会用数形结合观点分析问题、解决问题。

3.分类讨论思想。

分类讨论思想就是根据数学对象本质属性的共同点和差异点，将数学对象区分为不同种类的思想方法。分类是以比较为基础的，它能揭示数学对象之间的内在规律，有助于学生总结归纳数学知识，使所学知识条理化。我们可启发学生按不同的情况对同一对象进行分类，如实数的分类、三角形的分类、方程的分类等，帮助他们掌握好分类的方法原则形成分类的思想。当数量大小不确定，或图形的位置、形状不确定时，常常可以运用分类讨论的思想分析解决。如对七年级有理数的加法教学中，引导学生观察、思考、探究，将有理数的加法分为三类进行研究，正确归纳出有理数加法法则，这样学生不仅掌握具体的“法则”，而且对“分类”有深刻的认识，能在较复杂的情况下，利用掌握好的分类的思想方法，正确地确定标准，不重不漏地进行分类，从而使看问题更加全面。

在进行分类讨论时，必须遵循以下原则：

（1）分类原则――不重复、不遗漏。由于学生在思考问题时有时带有片面性或缺乏条理性，因此在解决问题过程中，往往违背这个原则。实际上，在教材中定理证明、例题、习题中都采用分类思想，只要同学们认真钻研教材，多思考，并注意解题后的回顾与总结，在分类时就会做到不重、不漏。

（2）对复杂问题采用多级分类。对一个复杂的问题有时进行一级分类，很难将问题讨论清楚，这时需要对其中一类或几类再进行分类，即多级分类。多级分类是一个难点，应注意：①每一级分类一定要把握好分类标准。②每一级里，要始终如一地按一个标准讨论，同时每一级都要以“不重不漏”为原则。教材中很多定义、定理、公式本身是分类定义、分类概括的，教师在教学过程中要有意识地让学生在学习中逐渐体会分类讨论的思想。

如（“7.2线段、射线和直线”课内练习的第2题），请写出图3中以O为端点的各条射线。

这是一个封闭性的题目，条件明确，结论唯一。如果在教学中，我们在学生练习完之后引导学生进行解题后的反思，把这个问题中的条件“以O为端点”去掉，那么图中又有多少条射线呢？这就是一个以射线端点为分类标准的一个分类问题。该问题虽小，但它让学生看到了分类思想解决问题的巨大作用。如果再把这个图形进行变式，点A为直线BC上的一点，那么在图4中有几条射线呢？

进一步，如果直线BC上有3个点，4个点，乃至n个点，那么图4中又有多少条射线呢？至此，学生自己已经不难解决这个问题了。

再如（“7.5角的大小比较”例2），如图5，∠ABC=90°，∠CBD=30°，BP平分∠ABD，求∠ABP的度数。

这是一道几何计算题，它包含简单的推理过程，怎样有条理地表述解题过程，这是几何入门教学过程中学生遇到的又一个难点。就本题来说，为使学生能表述清楚语句之间的逻辑关系，首先引导学生观察题目中的图形，找出图5中与解题有关的角，分清哪些是已知度数的角，哪个是所求的角；其次根据已知条件和图形，分析角与角的数量关系。然而，这样的能力培养在学习的初始阶段是需要模仿的，那么怎样选择问题呢？我们不妨对例2做简单的变式，把题中的“如图”两字删去，这时由于图形位置的不确定性，需要对问题进行分类讨论，学生对问题既有新鲜感，又可以模仿例题的格式学习，正可谓一举两得。

4.化归与转化思想。

所谓“化归”，从字面上看可理解为转化和归结的意思。数学中把待解决的问题通过转化，归结到已经能解决或者比较容易解决的问题中，最终获得原问题解答的一种手段和方法。化归方法用框图可直观表示为：

其中，问题B常被称作化归目标或方向，转化的手段被称为化归途径或化归策略。化归包括三个要素，即化归对象、化归目标和化归策略。化归的方向是：由未知到已知，由复杂到简单，由困难到容易。

在数学教材中无处不渗透化归思想，我们时常需要把高次的化为低次的，把多元的化为单元的，把高维的化为低维的，把指数运算化为乘法运算，把几何问题化为代数问题，化无理为有理等。从化归的方向上来看，化归的方向大致可以分为下面两种：

（1）新知识向已知知识点或知识块的转化

在数学教材中，有许多新知识的获得或新问题的解决都是通过转化为已知知识或已解决的问题完成的，也就是将新知识向已知知识点或知识块转化，从而使问题得到解决。下面就以解方程为例分析这种化归的方向。

①消元降次化归，实现新知识向已知知识点的转化。

I.降次化归解一元方程

解一元二次方程时有以下四种解法：

b.如果将方程通过配方恒等变形，一边化为含未知数的完全平方式，另一边为非负的常数，则其后的求解可由思路一完成，此为配方法。

c.如果方程一边为零，一边能分解成两个一次因式之积，就可以得到两个因式分别为零的一次方程，它们的解都是原方程的解，此为因式分解法。

d.如果以上三条思路受阻，便可把方程整理为一般形式，直接利用公式求解。

从以上分析不难看出：将“一元二次”这个新知识点转化为“一元一次”这个已知知识点之际，也就是顺利求解一元二次方程之时。因此，应用化归思想降次转化为一元一次方程，是解一元二次方程各方法之“宗”。

II.消元化归解方程组

解二元一次方程组，其方法是通过加减消元或是代入消元转化为一元一次方程，即完成从新知识点到已知知识点的转化，从而得到求解。三元一次方程组，通过消元，转化为二元一次方程组，再进一步转化为一元一次方程，从而使问题得解。

②分式方程整式化，实现新知识向已知知识块的转化。

新教材中的分式方程按去分母后的形式分为可化为一元一次方程的分式方式和可化为一元二次方程的分式方程，前者安排在七年级（下），后者虽然在教材中没有安排，但是在中考复习中也会频频出现，可以看出把分式方程转化为整式方程这一已知的知识模式是解分式方程的思路。这里需要注意的是在分式方程整式化变形过程中，有可能不是恒等变形，可能产生增根，所以分式方程必须验根。

纵观整个教材，除解方程问题外，还有许多知识的转化都属于新知识向已知知识点或知识块的转化，如：异分母分数的加减法，通过通分转化成同分母分数的加减法；多边形的内角和问题转化为三角形的内角和解决；梯形的中位线问题转化为三角形的中位线解决等，无不渗透化归思想。

（2）一般情况向特殊情况的转化

在解决数学问题中除上述的化归方向外，还有一类化归方向是：先解决特殊条件或特殊情况下的问题，然后通过恰当的化归方法把一般情况下的问题转化为特殊情况下的问题解决，这也是解决新问题获得新知识的一种重要的化归方向。

如九年级上册圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

分析：圆周角∠BAC与圆心O的位置关系有三种：（1）圆心O在∠BAC的一条边AB（或AC）上（如图二）；（2）圆心O在∠BAC的内部（如图三）；（3）圆心O在∠BAC的外部（如图四）。

图二 图三 图四

在第一种位置关系中，圆心角∠BOC恰为AOC的外角，这时很容易得到结论；在第二、三两种位置关系中，我们均可作出过点A的直径，将问题转化为第一种情况，同样可以证得结论。上述问题的解决都是先解决特殊条件或特殊情况下的问题，然后通过恰当的化归方法把一般情况下的问题转化为特殊情况下的问题解决，同时此定理的证明也渗透合理的分类数学思想。

5.数学模型思想。

现代数学哲学认为：数学是模式的科学，数学所揭示的是人们从自然界和数学本身的抽象世界中所观察到的数学结构。各种数学概念和各种数学命题都具有超越特殊对象的普遍意义，它们都是一种模式。如果把数学理解为由概念、命题、问题和方法等组合成的复合体，那么掌握模式的思想就有助于领悟数学的本质。数学模型就是指针对或参照某种事物的特征或数量的相依关系，采用形式化的数学语言，概括地或近似地表述出来的数学结构。

数学模型的构建过程，大致可用如下框图说明：

在数学教学中应让学生经历“问题情境―建立模型―解释、应用、拓展”的过程，在教师的指导下，学生通过实践活动，自己研究、探索，经历数学建模的全过程，从而体会方程、不等式、函数等是现实世界的模型，初步领会数学建模的思想和方法，提高数学应用意识和应用数学知识解决实际问题的能力。

如“用不等式知识解决实际问题”的教学就可使用课后一道习题引入：

师：不等式（组）是反映现实世界数量不等关系的一个有效的数学模型，许多现实问题可用不等式（组）知识来解决。

问题：某次数学测验，共有20道题，评分办法是：对于每一道题，答对给10分，答错或不答扣5分。如果某学生总得分不少于80分，那么这个学生至少要答对多少道题？

师：这个问题含有那些要素？

生1：阅读后略加思考答：①答对题数，②答错或不答题数，③试题数，④总得分数。其中，已知量：试题数=20、答对一题给10分，某题答错或不答扣5分、某学生总得分不少于80分，未知量：这个学生至少要答对多少道题？

师：要素之间的数量关系如何？

生2：略加思考答：①答对题数+答错或不答题数=20；②答对题数×10+答错或不答题数×（-5）≥80；③答对题数×10≤200；④答错或不答题数×（-5）≥-100。

师：非常好！这是问题解决过程中的重要一环――分析。对于复杂的问题，将自然语言转化为图表语言能使数量关系更清晰。

师：怎样用符号表示这些关系？

生3：设答对题数为x，则10x-5（20-x）≥80

生4：设答对题数为x，答错或不答题数为y，则x+y=2010x-5y≥80

生5：设答错或不答题数至多为x，则15x≤200-80

生6：设答对题数为x，则-100+15x≥80

师：多角度思考问题是学好数学的秘诀！这是问题解决的第二个环节――建模。同一个问题的数学模型可能具有多样性！

师：怎样解决这个数学问题？

生7：……

师：这是问题解决的第三个环节――解模。

师：这个数学问题的解是不是实际问题的解？

生8：……

师：这是问题解决的第四个环节――还原。

师：上述四个数学模型那个更有价值？为什么？

生9：……

师：这个问题还有其他解法吗？

生10：相互研讨后答：逐步逼近法（教师有改动）：答对10题、11题、12题……进行试探，逐步逼近）。

师：这是一种解决数学问题的重要思想方法，尤其用于解数学竞赛题。

师：上述问题改答对一题给10分，答错一题扣5分，不答不给分也不扣分呢？

众生：对不答题数进行分类讨论。

师：思路正确！请你将其具体化，试试看。

师：这是问题解决的第五个环节――反思。

师：现在我们再回顾一下上述问题解决的全过程，继续思考并回答下列问题：

（1）分析有哪些具体方法？（如自然语言转化为图表语言等）

（2）建模的实质是什么？（实际问题转化为数学问题――符号语言）

（3）解模的本质是什么？（逻辑推理）

（4）还原的理由是什么？（实际问题的解应该具有实际意义）

（5）反思的视角与视点是什么？（模型是否具有多样性、解法是否具有多样性、问题是否具有一般性、知识与方法是否具有内在联系性等）

学生回答，教师点评并作出概括。

师：请你预测一下“问题解决”的过程与方法，对今后学习是否具有指导作用？过去用过这种思想方法吗？

众生：……

师：不等式10x-5（20-x）≥80是否具有实际意义？请你结合生活和生产实际，提出尽可能多的问题？

生：……

师：在这节课的学习过程中，你有哪些收获与感受？请大家提出自己的观点，毫无保留地交流自己的学习成果与思想。

四、结语

随着新课改的进一步深化，学生的学习方式发生变化，由接受性学习变为研究性学习；学生的学习重点发生转移，从培养学生“分析与解决问题的能力”转移到“发现与提出问题的能力”；教育评价从重结果的终结性评价转到达到结果的过程性评价。那么数学教育教给学生，毫无疑问是以数学知识为载体，以训练数学思想方法为手段，开发学生潜能，让学生学会学习、学会生活。仅仅将数学作为一种工具，不能科学评价数学在现代社会中的地位和价值。

参考文献：

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[2]张子民.如何把数学思想方法渗透于教学始终[J].辽宁师专学报，2005.1，（7）.

[3]王文省.王树泽.郭文彬.数学思想方法及其功能[J].天津市教科院学报，2006.

[4]方青云.类比思想在数学学习中的重要作用[J].教育实践与研究（中学版），2006.

[5]刘敏.课堂教学中渗透数学思想方法的探索[J].教育科研论坛，2005，（4）.

[6]吴正.练红琴.化归思想及其在问题解决探索过程中的应用[J]，中学教研（数学）.

[7]王向秀.渗透数学思想 强化思维训练[J].绍兴文理学院学报（教育版），2005.

[8]钱佩玲.中学数学思想方法[M].北京师范大学出版社.