时间：2023-03-06 15:55:18
导语：在奇函数乘以奇函数的撰写旅程中，学习并吸收他人佳作的精髓是一条宝贵的路径，好期刊汇集了九篇优秀范文，愿这些内容能够启发您的创作灵感，引领您探索更多的创作可能。
关键词：二次函数；一元二次方程；关系
应用二次函数是初中数学的重要内容，是初中、高中数学知识的衔接点，是中考数学的重点考察内容之一，要全面掌握二次函数的基础知识和基本技能，并能分析和解决有关二次函数的综合问题，合理利用二次函数、一元二次方程的联系是十分必要的。在初中数学内容的学习中，关于二次函数和一元二次方程的概念、性质的理解，大多数学生易走入误区不能把握两者之间所存在的关系，导致知识点之间相互孤立，不能有机整合两者关系，导致对问题的求解思路受阻，往往陷入困境。其实二者之间存在着紧密的联系，利用它们之间的相互关系可以灵活巧妙的解决问题，从而提高解题效率，有着事半功倍之奇效，同时二者知识点的相互整合，有利于对知识的理解和应用。下面就两者的关系和应用作如下探讨：
一、抛物线与y=ax2+bx+c（a≠0）其一元二次方程的系数a、b、c的联系
1.对于抛物线的开口方向由a的符号来决定：当a0时抛物线开口向上。
2.抛物线的对称轴是平行于y轴的一条直线，而系数b和a的符号决定这条直线在y轴的左侧还是右侧：当ab>0时，对称轴直线x=-〖SX（〗b2a〖SX）〗
3.抛物线与y轴的交点位置由c来决定；当c>0时，抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上；当c
二、二次函数与y=ax2+bx+c（a≠0）与一元二次方程与ax2+bx+c（a≠0）之间的相互关系
对于二次函数和一元二次方程的概念，教材中做了明确的说明，多数学生应该没过多问题。但对概念的理解和应用不少学生还存在差异，特别是两者的联系可以说是多数学生感到很困难的。这里要明确对于函数与y=ax2+bx+c（a≠0）当y=0时，函数式变成与ax2+bx+c（a≠0），与一元二次方程是相同的等式，故当函数值y=0时，自变量x的值就是函数图像与x轴的交点横坐标，该横坐标值即为方程与ax2+bx+c（a≠0）的解，所以一元二次方程与ax2+bx+c（a≠0）的解决定抛物线与x轴的交点，而一元二次方程的解由其判别式b2-4ab的值来决定，并且一元二次方程的解有三种情况，现用下表来说明抛物线与x轴的交点与一元二次方程的解的关系：
判别式与ax2+bx+c（a≠0）的根与y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴的交点=b2-4ac
反之，根据抛物线与x轴的交点个数也可以判断方程ax2+bx+c（a≠0）的根的情况。三、一元二次方程两根与二次函数与x轴交点关系的整合利用巧妙解答问题。
例1.求抛物线y=3x2-8x+4与x轴的交点。分析：令y=0，根据3x2-8x+4=0的根来确定抛物线与x轴的交点的横坐标。解：令y=0，则3x2-8x+4=0；b2-4ac=64-344=16>0方程有两个不相等的实数根解得x1=〖SX（〗23〖SX）〗；x2=2，抛物线与x轴有两个交点，交点坐标为（〖SX（〗23〖SX）〗，0）；（2，0）
例2，若关于x的二次方程a（x-3）2+b=0（a≠0）的一个根是1，求另一个根。分析：该题按常规解法把x=1代入方程无法求出a、b的值，感觉进入胡同，只能化简利用根与系数关系求另一个根，但把二次函数与一元二次方程相结合可以使问题更为简化。解：设y=a（x-3）2+b=0（a≠0）则直线x=3是抛物线的对称轴点（1、0）是抛物线与x轴的一个交点，由对称性可知（3、0）是抛物线与x轴的另一个交点。方程与a（x-3）2+b=0的另一个根是x=5.以上两例可以说明利用二次函数与一元二次方程的相互关系使不太容易求解的问题变得简便多了。12.TIF〗
例3.已知如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于A（-1，0）、B（4，0）两点，与y轴相交于点C（0，-4），判断方程ax2+bx+c（a≠0）的根的情况。解：抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于点A（-1，0）、B（4，0）两点。方程ax2+bx+c（a≠0）有两个不相等的实数根，由交点A（-1，0）、B（4，0）可知x1=-1，x2=4，
1.韦达定理与抛物线对称轴方程的关系及其应用
二次方程中ax2+bx+c（a≠0），方程两根x1、x2与系数a、b、c存在如下关系（韦达定理）：x1+x2=-〖SX（〗ca〖SX）〗，x1・x2=〖SX（〗ca〖SX）〗而抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴直线是x=-〖SX（〗b2a〖SX）〗，若把韦达定理引入抛物线对称轴方程，不难得到x=〖SX（〗12〖SX）〗（x1+x2），由此，可以由方程的根求相应抛物线的对称轴，或者知抛物线的对称轴直线求一元二次方程的根。
例5.已知方程ax2+bx+c（a≠0）的一个根为-1，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是x=3，求方程的另一个根。分析：此题可由对称性求解，求出（-1，0）关于直线x=3的对称点的横坐标即可，但直接应用关系x=〖SX（〗12〖SX）〗（x1+x2）更为方便。解：设方程的另一个根为直线x=3是抛物线的对称轴〖SX（〗12〖SX）〗（-1+x2）=3解得x2=7由上例通过方程的两根之和与抛物线对称轴关系x=〖SX（〗12〖SX）〗（x1+x2）巧妙求出另一个根，不失是一种很好的解题途径。
然而，在软件编制完成后需测试软件的性能，若此时无现成的测井数据，为得到软件测试所需的测井数据而开一次井，无疑对成本的控制是不利的，因此，可用函数发生器来模拟测井信号以供软件测试所用，本文利用RIGOLDG3000函数发生器来模拟测井信号，完成对八臂井径仪数字化处理软件的测试。
系统结构
为便于比较先给出实际应用中的原理框图如图1所示。
井下传感器用于探测四条井径信号以及磁重量、磁井径和自然伽码信号，深度数据由深度系统提供，它是根据转轴的转数转化而来的，这八路信号同时送入后面几个模块中进行处理。
利用RIGOL DG3000函数发生器产生模拟的测井信号，再通过数据采集电路模块送入计算机。模拟的原理框图如图2所示。
数据采集模块(硬件部分) 数据采集电路采用一个16通道、100kHz的数据采集卡，主要由A／D转换电路、数字量输入、输出电路、接口控制逻辑电路组成。在实际应用中(如图1所示)需加上前置电路。因为在实际测量数据过程中各种各样的干扰是不可避免的，所以有必要将测井信号进行适当放大和滤波处理，使信号达到采集卡所需输入电压范围。但在图2中，可不用前置电路，这是因为利用DG3000函数发生器强大的波形产生功能完全可以满足采集卡所需的输入信号在电压值及频率范围等方面的要求，因此，可直接将函数发生器的输出端接人数据采集电路中。
数字化处理模块(软件部分)
该软件完成数据的数字化处理，它是基于VC6．0基础上编制完成的，除功能完整外，还具有良好的人机交互界面与操作简单的特点。
各部分的连接
DG3000函数发生器所具备的模拟输出通道可直接与数据采集电路相连接，数据采集卡采用PCI总线与PC相连进行数据通信。由软件提供软触发方式来控制数据采集卡的采集与停止。
八臂井径仪数字化处理系统介绍
软件按功能划分主要包括三个模块，分别为通信接口模块、曲线显示与打印模块、曲线解释模块。下面将分别介绍各个模块所具备的功能。
通信接口模块
这一部分的主要任务是完成计算机对采集卡的控制、端口地址的初始化以及与采集卡进行数据通信。
如图3所示，当点击“开始采集”按钮后，先对采集卡进行端口地址设置以及触发方式设置，然后开始采集数据，并存入预先设定的动态数组中。点击“停止采集”按钮后，则向采集卡发出停止采集信号，采集卡停止工作。最后，为方便对数据文件进行有效处理，将动态数组中的数据按一定存储方式以文件的形式保存起来。
曲线显示与打印模块
该部分完成将数据文件以曲线的方式绘制出来并显示在显示器或者打印机中。在显示曲线之前先进行相应的显示参数设置，以满足我们的观测需求。
如图4所示，单击“浏览”按钮选择欲打开的数据文件，系统自动读取该数字文件的起点位置和终点位置并显示出来，以方便我们设定欲观测曲线的深度范围。如需要可对其他显示参数分别设置或取默认值。
曲线解释模块
该模块是在曲线显示的基础上完成的，测井曲线的数据量一般是很大的，当把测井曲线显示出来时，为减少工作量，观测员可对测井曲线进行大概的判断和分析，以判断出异常区域的大致深度范围。然后利用曲线解释模块在此基础上对异常区进行判决分析，以准确的判决出测井曲线的异常情况。大量的实践表明，套管主要分为变形、腐蚀、破裂这三种异常情况，依据测井数据并结合相应的算法可较准确的判断出套管的异常情况。
为满足不同异常程度的需求，可对套管异常的标准事先做出规定，在曲线解释前进行解释参数的设置，参数设置窗口如图5所示。
利用DG3000函数发生器进行性能测试
测试内容
针对软件数据处理的两个模块，主要的测试内容：1．测试曲线显示模块能否将DG3000函数发生器所输出的波形绘制出来。2．测试曲线解释模块能否对所绘制数据曲线进行有效判决。
测试应达到的要求
对于测试内容1，大量的实践结果证明测井信号的有效部分的频率低于100Hz，为使测试效果更明显，可利用DG3000函数发生器产生频率大干100Hz的模拟测井信号，根据采样定理，测试信号频率不能超过采集卡采集频率的范围，在此条件下，若曲线显示模块绘制出的曲线与模拟测井信号波形一致，则软件性能一定能满足绘制实际测井曲线的要求。
对于测试内容2，由于判决机理的不同，对三种套管的异常情况需分别对待。对于套管腐蚀和破裂两种情况，由于其判决的依据是磁重量数据的变化，磁重量的测量是根据铁磁材料中，涡流会导致磁化的滞后效应，而使得二次磁场与原生磁场间产生相位差这一原理得到的。大量的实践数据表明，若套管发生腐蚀或破裂情况时，磁重量曲线呈现不规则形状，由此，我们可知人为的根据磁重量数据曲线来判断套管是否具有腐蚀或破裂是很困难的，因此利用DG3000函数发生器产生的模拟测井信号进行腐蚀和破裂情况的解释也就没有意义了。所以，本方案仅对套管变形判决性能进行测试。
对于套管变形情况的判断，其判决的依据是测井曲线幅度的变化，利用DG3000函数发生器强大的波形产生功能，如产生一脉冲信号，若曲线解释模块能准确的判决出脉冲的起始位置和终止位置，则该模块在实际应用中也能满足实际测井信号的要求。
测试时需注意的问题
根据采样定理，DG3000函数发生器产生波形的频率必须在采集卡采样频率范围内，否则曲线是绘制不出来的。
在实际中，曲线深度是由深度系统提供，本方案中深度值是由软件本身自加的，须修改相应程序(如假设每米欲采50个点，则每采一次深度自加0．02m)。
测试结果
曲线显示模块
DG3000函数发生器产生一频率为200Hz，幅值为10V的正弦波，经采集卡采集后，数据送至曲线显示模块处理结果如图6所示
如图6所示，由于除井温曲线外，其余几道数据曲线的绘制算法是一致的(软件中采用一循环语句分别对每一道进行绘制)，为简化测试过程的操作步骤，仅输入一道信号(即图6中的井径一)，由图可知，曲线显示模块准确的绘制出一正弦波形，由此推断其可基本满
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足实际需求。
同理可知，由于算法的一致性，若将信号接入其他几道相应的数据通道端口，亦可准确的绘制出来。
曲线解释模块
DG3000函数发生器产生一脉冲信号，与曲线显示模块一样，仅输入一道信号(井径一)，送入计算机后处理结果如图7所示。
由图可知，曲线解释模块可比较准确的判断出测井曲线变形的情况，并将判决的结果标识出来，用以指导现场实际情况的处理。脉冲所在处表示套管发生了变形，如图，脉冲方向向右表示测量值大于套管的平均值，则表示为套管该侧发生扩径变形，同理，脉冲方向向左则相反，表示套管该侧发生缩径变形。当四道测井曲线(即井一至井四)同时满足扩径变形时，则最终解释结果判决为套管发生扩径变形，缩径时亦然，若不同时满足，则仅判决为套管变形。由于本测试只输入一道信号，所以解释的结果为套管变形。
结论
由上述可知，利用DG3000函数发生器产生模拟测井信号证明了该软件所具有的曲线回放和曲线解释两部分功能模块的正确性，在实际应用中可基本完成实际所需要求。
本测试以该软件的性能测试为例，利用DG3000函数发生器所产生的信号可作为测试信号以供我们使用。
信号产生
使用Sine按键，在屏幕显示正弦波的操作菜单。通过使用正弦波形的操作菜单，对正弦波的输出波形参数进行设置。
设置正弦波的参数主要包括：频率／周期、幅值／高电平、偏移量／低电平。通过改变这些参数，得到不同形状的正弦波。波形显示窗口中的参数值与参数显示窗口中的参数是一一对应的。如图9所示，在软键菜单中，选中频率。光标位于参数显示窗口的频率参数位置，可在此位置对正弦波的频率值进行修改。在波形显示窗口中，左上角显示的参数类型变为频率，与频率相对应的参数值加阴影显示。
深入测试
本测试中，使用DG3000函数发生器产生一频率为200Hz，幅值为10V的正弦波进行测试。随着软件的完善，在进一步的测试中，需要更加真实的模拟测井信号，这时，我们同样可以用RIGOL DS3000来产生逼真的信号。使用DG3000提供的任意波形编辑功能或者通过Ultrawave软件来编辑我们所要模拟的测井信号，从而更加精确的对数字化处理软件进行测试。
我们也可以利用RIGOL DG3000与RIGOL DSl000系列示波器组成的工作平台采集和重现真实的测井信号。只需要用DS1000采集一次测井信号，就可以用DG 3000重复再现信号，可以实现与真实测试最接近的测试环境，给我们更加可靠的测试数据。
关键词：模式方法，极限，微分，积分，分段函数
每年在教学过程中都会遇到许多同学学习微积分感觉困难的问题，其中一个主要原因就是同学们没有顺利完成从初等数学到高等数学的相应转变，而这里面学习方法的转变又是一个关键。对于初次接触大学数学--微积分的大一新生而言，在微积分学习过程中，掌握相关的几个重要“模式”就显得尤其重要了。下面就在一元函数微积分学习过程中所遇到的几种“模式方法”进行探讨。
一、关于极限
众所周知，函数是微积分的研究对象，极限是微积分的研究工具，它贯穿微积分的始终，掌握好函数的极限这一工具，对微积分的学习有着举足轻重的意义。
1．有理函数极限模式
当自变量时，比如对有理函数极限（其中分子和分母均为多项式）而言，该“模式”的特点为：若分母的极限， 则；若分母的极限，而，则；若，则分子分母定可找到相同公因式，约分化简后再按上述两步继续讨论。即，
另外当自变量时，极限取决于分子分母的最高次项的次数，当次数相等时，极限为分子分母最高次项的系数比；当分母的次数高于分子的次数时，极限；当分母的次数低于分子的次数时，极限。论文参考，微分。
2、两个重要极限模式；
第一重要极限模式有两个显著特点：作为分子的正弦函数所包含的表达式要和分母的表达式完全一样；该一样的表达式为在某一变化过程中的无穷小量；结论：该极限为1，即。论文参考，微分。此处需要注意的是，不论自变量是在在何种变化过程下，只需保证表达式即可。论文参考，微分。
第二重要极限亦具有两个类似的特点：底数一定要是1加上某个表达式，而指数是底数所加表达式的倒数；指数部分的表达式要为无穷大。结论：该极限值等于。即。对第二重要极限需要注意的是，在幂指函数的极限中，若底数可分离出1加某个表达式，且该表达式为无穷小，则其一般可以凑出第二个重要极限的模式。
3、无穷小等价替换模式
等价无穷小是一个非常有用的知识点，既然等价，我们就可以替换，从而就有了“无穷小等价替换模式”。该模式一般应用于分时极限，是仅在乘除法时使用，即若，（其中）。
二、关于微分
微分是微积分这门课程的重要构成部分，微分最核心的部分可用微分模式来概括，即函数的微分等于该函数的导数乘以自变量的微分。比如，函数的微分。这里需要强调的是微分一定等于导数乘以自变量的微分，而自变量的微分一般是初学微积分者易于忽略掉的地方
另外，即便是复合函数的微分也遵循这一模式：例如，复合函数的微分
三、关于积分
积分这部分有两个模式是非常重要的
1、奇零偶倍模式，完整的描述为奇函数在对称区间的积分为零，偶函数在对称区间的积分等于2倍的的积分。即
该模式对于计算对称区间上的定积分非常有用，可以节省诸多时间。
例：，其实该积分是不需要利用区间可加性去讨论去掉积分符号的。
2.积分上限函数模式（变上限定积分模式）
这里其实是只讨论积分上限函数的导数的求法，该模式的内容为积分上限函数的导数等于把积分上限带入被积函数后再乘以积分上限的导数。
例：
四、关于分段函数
微积分还有一个能够令初学者非常困惑挠头的地方，那就是讨论分段函数在分段点的极限、连续性、可导性的问题，此处由于都与分段函数有关，从而可归纳为“分段函数模式”。
“分段函数模式”的特点：一定要利用相应的定义（或相应的充要条件）去研究函数在其分段点处的极限、连续性与可导性。论文参考，微分。
分段函数在分段点处的极限左、右极限存在且相等；
分段函数在分段点处连续左、右连续；
分段函数在分段点处可导左、右导数存在且相等。论文参考，微分。
其中，左右极限，左右连续，左右导数一定要用相应的定义去求解或判断。论文参考，微分。
例：讨论函数在处的的连续性。
解：错误解法，，所以函数在处连续。错在忽略 函数在处左右两侧的表达式不一样这个问题。而利用“分段函数模式”解法：，右连续；
，不左连续，从而函数在处不连续。
例：讨论函数在处的导数。
解： 从而。
这种方法显然是错误的，而一旦我们应用“分段函数模式”，这种错误就可以避免。
，
。
显然在处不可导。
参考文献
[1]同济大学数学系，高等数学[M]，北京：高等教育出版社，2007。
[2]赵树嫄，微积分[M]，北京：中国人民大学出版社，2007。
〔中图分类号〕 G633.6〔文献标识码〕 A
〔文章编号〕 1004―0463（2011）07（A）―0034―03
素质教育是21世纪中国教育的主旋律，课堂教学是实施素质教育的重要环节，而中学数学课堂教学操作模式是实施数学素质教育的关键.为了全面提高学生的基本素质、培养学生的创新精神、开发学生的智能潜力，作为教学模式的一种――变式教学，是提高学生数学能力的一种重要途径.
变式是指相对于某种范式（即教材中具体数学思维成果，包含基本知识、知识结构、典型问题、思维模式等）的变化形式，即不断变更问题的情境或改变思维的角度，在保持事物本质特征不变的情况下，使事物的非本质属性不断迁移的变化方式.变式有多种形式，如形式变式、内容变式、方法变式等.变式既是一种重要的思想方法，又是一种重要的教学途径.通过变式进行技能和思维的训练叫做变式训练；采用变式进行教学叫做变式教学.变式教学要求教师在课堂上通过变式展示知识发生、发展、形成的完整的认知过程.因此，变式教学有利于培养学生研究、探索问题的能力，是教学中学生思维训练和技能培养的重要途径.
我认为在变式教学的过程中，应包括以下几个方面的内容：
一、概念、定理、公式的变式教学
1. 知识形成过程中的问题设计.从培养学生思维能力、创新意识的要求来看，数学概念的形成过程和其内涵、外延的揭示过程比数学概念的定义本身更重要.在知识形成过程的教学中，教师不应直接将现成结论教给学生，而应充分利用实验、特例、多媒体教学等手段，设计系列问题，增加辅助、探索环节，引导学生从直观想象出发去发现、猜想.通过多样化的变式，培养学生观察、分析以及概括的能力.然后，让他们给出验证或理论证明，使他们形成一个完整的认知过程，逐步掌握认识事物、发现规律和真理的方式、方法.
2. 基本概念辨析型变式.数学概念的变式主要包括概念的引入变式、辨析变式、深化变式和巩固变式.
对概念的引入变式举例如下：
例1奇偶函数的定义，可通过下列变式题组引入：
（1）设f（x）=2x2，g（x）=x4+1，计算①f（1），f（-1），g（2），g（-2）；② f（a），f（-a），g（a），g（-a）；③ f（x），
f（-x），g（x），g（-x）.
（2）设f（x）=x3，g（x）=-，计算①f（1），f（-1），g（2），g（-2）；② f（a），f（-a），g（a），g（-a）；③ f（x），
f（-x），g（x），g（-x）.
首先，教师应引导学生观察计算结果，并得出结论：在（1）中，有f（x）=f（-x），g（x）=g（-x）；在（2）中，有f（-x）=-f（x），g（-x）=-g（x）.然后，启发学生指出两类函数的特点，从而引进奇偶函数的概念.
对概念的巩固变式举例如下：
例2已知f（x）=x（1-x）（x>0），x（1+x）（x
变式1已知f（x）=x（1-x） （x>0），1（x=0），x（1+x）（x
变式2已知f（x）=x（1-x） （x>0），0（x=0），x（1+x）（x
变式3已知f（x）为奇函数，且x>0时，（f）x=x（1-x），求f（x）在x
变式4已知f（x）是偶函数，且x>0时，（f）x=x（1-x），求f（x）在x
通过上述变式的引入，可以使学生不仅对函数的奇偶性定义有了更深刻的理解，而且对不同题型的解法之间的内在联系有了更深入的认识.
在概念形成后，教师不应急于让学生应用概念解决问题，而应引导学生多角度、多方位、多层次地探索概念的变式，透过现象看本质.一方面，可针对概念的内涵与外延设计变式问题，在弄清其内涵与外延的过程中，培养学生思维的深刻性；另一方面，可针对一些内容或形式相似、易造成混淆的问题，在教学中设计辨析变式问题，使学生在错综复杂的事物联系中发现事物的本质，并学会客观地评价事物.
3. 定理、公式的深化变式.一些定理、公式的推导、证明方法具有典型性，往往代表了一类典型的解题方法或思想，对它们的证明及推导方法加以探索，有利于学生解题思想方法的形成、巩固，并深化已学过的知识，从而培养学生的求异思维、创新意识.
例3（等比数列求和公式的推导）设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则其前n项和为：Sn=na1（q=1），（q≠1）.当q=1时，Sn=na1是显然的，下面仅给出q≠1时的公式推导方法：
方法一：（错位相减法）设Sn=a1+a1q+…+a1qn-1①，qSn=a1q+a1q2+…+a1qn②.
①-②得：（1-q）Sn=a1-a1qn，当q≠1时，Sn=.
方法二：（公式法）由整式除法知，当q≠1时，=1+q+q2+…+qn-1，两边同乘以a1，得：=a1（1+q+q2+ … +qn-1）， Sn=a1+a1q+ … +a1qn-1=.
方法三：（转换法）Sn+1=Sn+a1qn=a1+a1q+…+a1qn-1+a1qn=a1+q（a1+a1q+ … +a1qn-1）=a1+qSn . 当q≠1时，Sn+a1q=a1+qSn，即Sn=.
方法四:（比例性质法）==…==q，由等比定理得q=，即=q，当q≠1时得：Sn=.
4. 图形变式.在数学教学中教师应尽可能利用图形位置和衬托背景的变化，反复变更概念的非本质属性，突出且保持概念的内涵特征，帮助学生形成正确的概念思维，培养学生思维的广阔性.
二、例题、习题的变式教学
1. 一题多解变式.即引导学生对同一问题从不同角度加以思考，探求不同的解答方案，从而培养学生思维的敏捷性.
例4已知a，b，m∈R+且a.
证法1：a，b，m∈R+，欲证>，只需证（a+m）b>a（b+m），即bm>am，因此只需证明b>a成立.a.
证法2：a，b，m∈R+，a=-1，故>.
证法3：a，b，m∈R+，a=，即>.
证法4：b>a>0，可设b=ka（k>1），而m∈R+，=>==.即>.
上述各种证法涉及不等式证明的常用方法：分析法、比较法、放缩法及构造法等.通过对本题证法的全方位探讨，无疑能培养学生的观察能力、想象能力及综合能力.
2. 一法多用变式.即将解决某一问题的方法加以归纳、总结并形成技巧，用以解决其他问题.这种变式能达到多题归一的目的，能培养学生对知识、方法的迁移能力.
3. 一题多变变式.即从一道习题出发，运用逆向或横向思维，通过改变题目条件、变化题型、变特殊条件为一般条件等手段，使原来的一道题变成一类题，再由一类题变为多类题，并通过对变题的研究、解决，使学生形成完整的知识结构，培养学生思维的灵活性、创造性的变式.
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例5求曲线y2=4-2x上与原点距离最近的点P的坐标.
变题一：（将条件一般化，提高应变能力）在曲线y2=4-2x上求一点M，使此点到A（a，0）的距离最短，并求最短距离.
变题二：（改变背景，提高创新能力）抛物线G1：y2=4-2x与动圆G2：（x-a）2+y2=1没有公共点，求a的取值范围.
变题三：已知抛物线C：y2=4-2x，圆心在x轴上的动圆在抛物线的内部相切于抛物线C的顶点，求动圆半径的取值范围.
变题四：（联系实际，增强应用意识）一只酒杯的轴截面是抛物线的一部分，它的函数解析式是y=（0≤y≤20），在杯内放一个玻璃球，要使球触及杯底，求玻璃球半径r的取值范围.
变题五：（变换条件结论，提高探索能力）是否存在满足下列条件的抛物线：（1）准线是x=；（2）顶点在x轴上；（3）点O（0，0）到此抛物线上动点M的距离的最小值为.若存在，有几条？并求方程.若不存在，说明理由.
三、教法、学法的变式
所谓教法、学法的变式，即教师在一堂课中根据教材的特点在贯穿启发式教学的同时，或讲授、或点拨、或讨论、或探索、或练习、或实验，运用多种教学手段，不断变换教与学的方法，充分发挥学生的主体作用，使教师的主导作用与学生的主体作用达到和谐统一，大幅度提高课堂教学效率.
四、数学变式教学应注意以下几个方面
如上对主要的数学变式教学方法进行了说明，但应当指出，数学变式不是为了变式而变式，而是要根据教学需要，遵循学生的认知规律.其目的是通过变式训练，使学生在理解知识的基础之上，把学到的知识转化为能力，形成技能、技巧，完成“应用――理解――形成技能――培养能力”的认知过程.因此，数学变式教学要有一定的艺术性，要正确把握变式的度. 一般在数学变式教学时应注意以下几个问题：
1. 差异性. 数学变式教学要突出一个变字，避免简单的重复.变式题组的题目要有明显的差异，每道题要使学生既感到熟悉，又感到新鲜.从心理学的角度看，新鲜的题目对学生的刺激性强，学生的神经兴奋度高，做题时注意力就集中，思维就敏捷，从而能使训练达到较好的效果.因此，数学变式教学要努力做到变中求活，变中求新，变中求异，变中求广.
2. 层次性.数学变式教学要有一定的难度，才能调动学生的积极思考.但是，变式要由易到难，层层递进，让问题处于学生思维水平的最近发展区，以充分激发学生的好奇心和求知欲；要让学生经过思考，能够跨过一个个门坎，从而起到培养学生的思维能力，发展学生的智力的作用.
3. 开阔性.一幅好画，境界开阔就会令人回味无穷.同样，数学变式教学，一定要内涵丰富，境界开阔，给学生留下充足的思维空间，让学生感到内容充实.因此，所选范例必须要有典型性：一要注意知识的横向联系；二要能够进行一题多解；三要具有延伸性，可进行一题多变.
4. 灵活性.根据教学内容和学生的实际情况，数学变式训练的方式要灵活多样，口头、书面、板演均可，力求使学生的独立练习和教师的启发引导下的半独立练习相结合.同时，根据教学内容，有时可分散训练，有时可集中训练，有时一个题目的变式可分几次完成，以充分展示知识螺旋上升的形式. 这种灵活的训练方式不仅可以提高学生的兴趣，集中学生的注意力，而且可以使学生的多种感官参与学习，提高学生大脑和神经的兴奋度，达到最佳的训练效果.
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