时间：2023-05-23 17:28:12
导语：在函数最值的应用的撰写旅程中，学习并吸收他人佳作的精髓是一条宝贵的路径，好期刊汇集了九篇优秀范文，愿这些内容能够启发您的创作灵感，引领您探索更多的创作可能。
一、形如“？坌x∈D，a≤f（x）恒成立”型不等式
形如“a≥f（x）”或“a≤f（x）”型不等式是恒成立问题中最基本的类型，它的等价转化方法是“a≥f（x）在x∈D上恒成立，则a≥
[f（x）]max（x∈D）；a≤f（x）在x∈D上恒成立，则a≤[f（x）]max（x∈D）”.许多复杂的恒成立问题最终都可归结到这一类型中.
例题1（2012年陕西理科高考压轴题）
设函数fn（x）=xn+bx+c（n∈N+，b，c∈R）.
（Ⅰ）设n≥2，b=1，c=-1，证明：fn（x）在区间 ，1内存在唯一的零点；
（Ⅱ）设n=2，若对任意x1，x2∈[-1，1]有f2（x1）-f2（x2）≤4，求b的取值范围；
（Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，设xn是fn（x）在 ，1内的零点，判断数列x2，x3…xn…的增减性。
解：（Ⅰ）、（Ⅲ）略
（Ⅱ）当n=2时，f2（x）=x2+bx+c，
对任意x1，x2∈[-1，1]都有f2（x1）-f2（x2）≤4等价于f2（x1）-f2（x2）max≤4.
即f2（x）在[-1，1]上的最大值与最小值之差M≤4.
当- >1，即b>2时，M=f（1）-f（-1）=2b>4，与题设
矛盾.
当-1≤- ≤0，即0
当0≤- ≤1，即-2≤b≤0，M=f（-1）-f（- ）=（ -1）2≤4恒成立.
综上所述，-2≤b≤2.
二、形如“？埚x∈D，a≤f（x）恒成立”型不等式
形如“？埚x∈D，a≤f（x）恒成立”问题可转化为“a≤f（x）max”来
求解；
而形如“？埚x∈D，a≥f（x）恒成立”问题可转化为“a≥f（x）min”来求解。
例题2（2013年重点中学第一次联考）
设f（x）= +xlnx，g（x）=x3-x2-3.
若存在x1，x2∈[0，2]使得g（x1）-g（x2）≥M成立，求满足上述条件的最大整数M.
解：由题意可知，存在x1，x2∈[0，2]使得g（x1）-g（x2）≥M成立，等价于：
[g（x1）-（x2）]max≥M，g（x）=x3-x2-3，g′（x）=3x2-2x=3x（x- ）.
由上表可知，g（x）min=g =- ，g（x）max=g（2）=1
[g（x1）-g（x2）]max=g（x）max-g（x）min= ，故满足条件的最大整数M=4.
三、形如“？坌x1∈D，？坌x2∈M，f（x1）≤g（x2）恒成立”型不等式
该类问题可转化为“f（x1）max-g（x2）min”来求解。
例题3（2013年重点中学联考模拟试题）
设f（x）= +xlnx，g（x）=x3-x2-3.
如果对任意的s，t∈[ ，2]都有f（x）≥g（t）成立，求实数a的取值范围。
解：由题意，该问题可以转化为：在区间[ ，2]上，f（x）min≥
g（x）max，
由例题3可知，g（x）的最大值为g（2）=1，
f（x）min≥1，又f（1）=a，a≥1
下面证明当a≥1时，对任意x∈[ ，2]，f（x）≥1成立.
当a≥1时，对任意x∈[ ，2]，f（x）= +xlnx≥ +xlnx，记h（x）= +xlnx h′（x）=- +lnx+1，h′（1）=0，
可知函数h（x）在[ ，2）上递减，在区间[1，2]上递增，h（x）min=
h（1）=1，即h（x）≥1.
所以当a≥1时，对任意x∈[ ，2]，f（x）≥1成立，即对任意的s，t∈[ ，2]，都有f（s）≥g（t）成立.故a∈[1，+∞）所求.
四、形如“？坌x1∈D，？埚x2∈M，f（x1）≤g（x2）恒成立”型不等式
该类问题可转化为“f（x1）max≤g（x2）min”来求解。
例题4（2013年南昌市高三文科第一次模拟题）
已知函数f（x）=ax2-blnx在点[1，f（1）]处的切线方程为y=3x-1.
（1）若f（x）在其定义域内的一个子区间（k-1，k+1）内不是单调函数，求实数k的取值范围；
（2）若对任意x∈[0，+∞），均存在t∈[1，3]，使得 t3- t2+ct+ln2+ ≤f（x）试求实数c的取值范围。
解：（1）略
（2）设g（t）= t3- t2+ct+ln2+ ，根据题意可知g（t）max≤
f（x）min .
由（1）知f（x）min=f（ ）= +ln2，g′（t）=t2-（c+1）t+c=（t-1）（t-c），
当c≤1时，g′（t）≥0；g（t）在t∈[1，3]上单调递增，g（t）min=g（1）= +ln2，满足g（t）min≤f（x）min；
当1
g（t）min=g（c）=- c3+ c2+ln2+ ，
由- c3+ c2+ln2+ ≤ +ln2得c3-3c2+2≥0，（c-1）（c2-2c-2）≥0，此时1+ ≤c
当c≥3时，g′（t）≤0；g（t）在t∈[1，3]上单调递减，g（t）min=
g（3）=- + +ln2.
g（3）=- + +ln2≤- + +ln2= +ln2.
综上，c的取值范围是（-∞，1]∪[1+ ，+∞）
五、反馈训练题
1.对于任意θ∈R，sinθ-2+sinθ-3≥a+ 恒成立，则实数a的取值范围是__________。
2.若对任意的a∈R，不等式，x+x-1≥1+a-1-a恒成立，则实数x的取值范围是__________。
3.（2010年山东理科14题）若对任意x>0， ≤a恒成立，则a的取值范围是__________。
4.已知函数f（x）=x2-2x，g（x）=ax+2（a>0），对？坌x1∈[-1，2]，？埚x0∈[-1，2]，使g（x1）=f（x0），则实数a的取值范围是（ ）
A.（0，3] B. ，3 C.[3，+∞） D.（0， ]
参考文献：
关键词：最值的性质 求解方法 函数求导
一、函数最值的性质
从函数的基本性质出发来看，一些函数存在最值，有些函数却不存在最值，比如一次函数以及正比例函数和反比例函数等不存在最值，但是二次函数以及三次函数等存在最值。在函数最值的求解过程中，对二次函数进行一次求导，使导函数的值为零的自由变量就是函数的极值点，换言之，就是导函数的驻点对应的函数值就是函数的最大值或者是最小值。在对三次函数进行求导的过程中，导函数的根存在多种情况，对于无根的情况就是函数无最值，有重根以及异根的情况都是函数存在驻点，但是函数的驻点却不一定是最值点，所以，就需要在教学活动中，对学生分辨极值点以及最值点的区别，并且在掌握了各种函数的基本性质之后采用正确的方法对于函数的最值进行求解。
二、常见函数的最值求解方法
1、对一元函数最值的求解
在对一元函数进行最值求解的时候，要先对其进行求导，其导函数的驻点就是函数最值点。为此，要首先对于函数的导函数的求导方法进行了解和掌握，函数如果在一点处连续，这是函数可导的前提条件，那么对函数进行求导，得到的导函数的根就是一元函数的最值点。最对一元函数进行求导过程中，首要的步骤就是要先求解函数的导函数，得出了导函数的驻点以及不可导点之后，再将驻点以及不可到店导入函数中求出对应的函数值，并且对于函数的定义域端点处的函数值也要进行求解，最后，再对于求解出驻点处对应的函数值以及定义域端点处对应的函数值进行比较，大的值就是函数的最大值，小的函数值即为函数的最小值。经典例题举例说明：已知函数f （x）=ln（1+x）-x，求函数的最大值，首先要对f（x）求导得f'（x）=1/（1+x）-1，导函数的唯一根为x=0，则函数的最大值为f（0）=0。例2：若已知f（x）=x3-x，试求f （x）的最值，首先求出导函数的根，有-1、0、1，它们是f（x）的极点，然后得到函数的原函数的增减区间，f（x）的四个单调区间分别为减区间、增区间、减区间、增区间，比较三个极值的大小，得到最小值为-1/4+c。
2、对于二元函数的最值求解方法探讨
（1）配方法
在对二元函数进行最值求解的过程中，要首先对于二元函数的结构特征以及性质进行分析，除此之外，还要结合函数的特殊性质，对于二次函数进行适当的配方，使其能够转化成为一元函数来进行求解，之后再利用函数的基本性质，对于函数进行相关的求解，比如函数的绝对值大于零或者是函数的平方大于等于零等处理方法进行求解。相关例题说明：已知x-y2-2y+5=0，求x的最小值，首先将函数转化为一元函数x=y2+2y-5，然后将方程右边进行配方，得到y2+2y-5=（y+1）2-6 ≥ - 6，则x 最小值为- 6。例：求2x2-4xy+5y2-12y+13的最小值，合并同类项得2x2-4xy+3y2-12y+13=2（x-y）2+3（y-2）2+1，当x=y=2时，原函数的最小值为1。
（2）求导法
通过二元函数的性质分析可以知道二元函数的极值在函数的不可导点以及驻点处，二元函数存在最值的充分条件为函数在连续并且存在极值，函数在抹点处取得极值的必要条件就是函数在某一点处存在二阶偏导数，令函数对x的二阶偏导数为A，对y的二阶偏导数为B，对x、y的偏导数为C，若B2-AC小于0，并且A小于0，则该点处的函数值为极大值；若B2-AC小于0，并且A大于0，则该点处的函数值为极小值；若B2-AC小于0，则该点不是极值点，根据求出极值来得到最大值。
3、对于三角函数最值的求解方法探讨
对于三角函数最值的求导是函数最值求导的重要组成部分，三角函数在高等数学中国所占的比重视比较大的，所以在三角函数最值的求解方法的教学过程中，三角函数的教学课时比重是比较大的。对于三角函数的最值进行求解，其实就是对于三角函数的复合函数进行最值的求导，这就需要学生对于三角函数的基本知识进行充分的了解和掌握之后才能够对其进行灵活的求解。在解答三角函数的最值问题时，需要充分了解函数的定义域对值域的影响和正弦、余弦的取值范围，同时还要应用二次函数在闭区间内的最值，像利用函数的正弦与余弦的平方和等于1等性质。在刚刚学习三角函数时，需要从基础出发，避免计算量过大的题目，从基础出发，加强三角工具的应用意识，重点培养学生分析问题的能力。
4、对于解析几何中的最值求解问题
解析几何中的最值问题是解析几何综合性问题的重要内容之一，常以直线与圆、圆锥曲线等内容为载体，综合考查函数、不等式、三角等知识，涉及的知识点较多，属偏难问题。其常见方法首先有代数法，代数法就是先建立一个“目标函数”，再根据其特点灵活运用求函数最值的方法求得最值。其次就是几何法，几何法是借助图形特征利用圆或圆锥曲线的定义及几何性质来求最值的一种方法。最值问题在数列和立体几何应用题等知识点中也有体现，但都可以转化为函数或解析几何形式的最值问题来予以解决，这里不一一细述了。对于解析几何中的最值求解问题需要学生多进行解题练习，对于多种题型的解题方法都要有很好的掌握，这样才能够做好解析几何中的最值求解问题。
三、结束语
综上所述，对于各种函数的最值求解问题是多种多样的，教师在实际的教学活动中，要采用合理的教学方法，对于教学计划进行详细认真的制定，要在课堂的讲课中对于函数的最值求解的多种方法要进行讲解，这样才能够使学生更好地掌握函数的性质以及最值的求解方法。
关键词：数学；应用；导数
在数学学习中，对导数的考查主要是针对“三次”函数，下面就利用导数求“三次”函数的最值问题的步骤进行分类解析。
一、利用导数求最值的一般步骤
求可导函数在闭区间[a，b]上的最值的主要步骤：（1）求y=f（x）在开区间（a，b）内的极值（极大值或极小值）；（2）将y=f（x）的各极值与f（a）、f（b）比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值。
例1：函数f（x）=2x3-3x2-12x+5在区间[-2，3]上最大值与最小值分别为（ ）
A.1，-4 B.12，-15 C.12，-4 D.-4，-15
解析：先求导数，得f ′（x）=6x2-6x-12=6（x+1）（x-2），
令f ′（x）=0，即6x2-6x-12=0，解得x1=-1，x2=2。
导数f ′（x）的正负以及f（-2）=5，f（2）=-4，如下表：
从上表可知，当x=-1时，函数有最大值12，当x=2时，函数有最小值-15，故选B。
点评：从上面的解答看，利用导数求函数的最值的过程相对较繁，是不是可以在此基础上进行简化呢？请同学们看下面的分析。
二、利用导数求最值的简化步骤
根据例1的解答可以看到，利用导数求函数的最值，实际上就是将函数的导函数对应方程f ′（x）=0根对应的函数值与端点的函数值进行比较，整个过程无须判断极值为极大值还是极小值。此时利用导数求最值的步骤：（1）求导数f ′（x）；（2）求方程f′（x）=0的全部实根；（3）求出f ′（x）=0的根对应的函数值及端点的函数值，并进行大小比较，其中最大的一个就是最大值，最小的一个就是最小值。
例2：求函数f（x）=x3-2x2+1在区间[-1，2]上的最大值与最小值。
解析：f ′（x）=3x2-4x，令f ′（x）=0，得x1=0，x2=，
则f（0）=1，f（）=-，同时f（-1）=-2，f（2）=1，
比较上述四个函数值的大小知，当x=0或2时，函数f（x）的最大值为1，当x=-1时，函数f（x）的最小值为-2。
点评：从上面两个的解答可以看到，求导函数对应方程f′（x）=0有实数根。至此有学生会问了：如果方程f′（x）=0没有实数根，那又如何进行解答呢？是否也有步骤可寻？请继续往下看。
三、利用导数确定单调性求最值的步骤
如果导函数对应方程f ′（x）=0无实数，此时导函数的符号就确定了，函数在整个定义域上就具有单调性，即函数的最值就是定义域的端点处取得。其解法的一般步骤：（1）求导数f ′（x）；（2）考查f ′（x）=0根的情况，若有根，则按例2的方法求解，若无实根，则首先判断f ′（x）的符号，进而判断函数的单调性；（3）按单调性与函数最值的关系求最值。
例3：求函数f（x）=x3-3x2+6x-2，x∈[-1，1]的最大值和最小值。
解析：f ′（x）=3x2-6x+6，令f ′（x）=0，方程无解。
因f ′（x）=3x2-6x+6=3（x-1）2+3，所以函数f（x）在x∈[-1，1]上是增函数，
当x=-1时，函数f（x）的最小值为f（-1）=-12，
当x=1时函数f（x）的最大值为f（-1）=2。
点评：本类题型实际上表现为函数在整个定义域上具有单调性，但不具有极值，因此不必去确定极值，其解题步骤得到了简化。从上面的三个例子可以看到，函数除含有未知数外，没有其他的变量了，因此我们不难想到，如果对函数含有其他参数，那么又该如何操作呢？下面我们继续分析。
四、利用导数求含有参数的函数最值的步骤
利用导数求含有参数的最值时，一般步骤：（1）求导函数f ′（x）。（2）对导函数对应方程f ′（x）=0进行讨论，主要涉及三类讨论：①对首项系数的讨论；②对判别式的讨论；③对方程根的大小的讨论。（3）根据f ′（x）的符号确定函数f（x）的单调性。（4）根据函数的单调性确定函数的最值。
例4：已知a是实数，函数f（x）=x2（x-a）。求f（x）在区间[0，2]上的最大值。
解析：f ′（x）=3x2-2ax=x（3x-2a）。令f ′（x）=0，解得x1=0，x2=。
当≤0，即a≤0时，f（x）在[0，2]上单调递增，从而f（x）max=f（2）=8-4a。
当≥2，时，即a≥3时，f（x）在[0，2]上单调递减，从而f（x）max=f（0）=0。
当0
从而f（x）max=8-4a 0
综上所述，f（x）max=8-4a a≤20 a>2。
点评：本题由于函数解析式中含有参数，因此方程f′（x）=0的根含有参数，对其根0与的大小进行了讨论。同时还可以注意到本题解答不是通过先确定函数在区间上的极值，再比较其与区间端点值的大小来求解的，而是利用函数单调性来求函数在各单调区间上的最值，再比较这些最值大小来求解的。上面几例都是求函数的最值情况，现在我们进行逆向思维，即如果已知函数的最值情况，而求参数问题，那该如何处理呢？
五、已知函数的最值求解参数值的步骤
已知函数的最值求参数的值是一类逆向思维问题，解答的主要步骤：（1）求导函数f ′（x）；（2）确定方程f ′（x）=0的根，可能时要注意讨论；（3）确定函数的最值；（4）根据已知的最值与所求得的最值建立方程（组），由此可求得参数的值。
例5：已知函数f（x）=-x3+3x2+9x+a。若f（x）在区间[-2，2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值。
解析：（Ⅱ）由f ′（x）=-3x2+6x+9=0，得x=-1或x=3，则由x∈[-2，2]，得f（-2）=a+2，f（2）=a+22，f（-1）=a-5。
比较知f（2）=a+22=20，解得a=-2，
所以，函数f（x）在区间[-2，2]上的最小值为
f（-1）=-2-5=-7。
[关键词]：三角函数 值域 单调区间 解析式
一、求三角函数的值域与最值问题
求三角函数的值域（最值）可分为：
（1）类型的，应利用其图象与性质，数形结合求解；
（2）可化为以三角函数为自变量的二次函数类型，应确定三角函数的范围，再用二次函数求解.
应用1 已知函数y=+b在x≤上的值域为[-5，1].求a，b的值.
提示：先由x的范围确定的范围，再根据a的符号，讨论a，b的取值.
解：x∈，
2x+∈，≤.
当a>0时，解得
当a
a，b的取值分别是4，-3或-4，-1.
应用2 设a≥0，若的最大值为0，最小值为-4，试求a，b的值.
提示：通过换元化为二次函数最值问题求解.
解：原函数变形为
当0≤a≤2时，- ∈[-1，0]，
①
.②
由①②，得a=2，b=-2，舍a=-6（与0≤a≤2矛盾）.
当a>2时，- ∈（-∞，-1），
.③
.④
由③④，得a=2，不适合a>2，应舍去.
综上可知，只有一组解
应用3已知是第三象限角，且=.
（1）化简；
（2）已知，求的值.
解：（1）=
==.
（2）cos=，
是第三象限角，
==-=-.
二、求函数的单调区间
求函数的单调区间是高考考查的重点内容之一.此类题目应以正弦函数y=sin x的单调区间为基础，利用整体思想求解.
应用单调递增区间为（ ）.
A. （k∈Z）
B. （k∈Z）
C. （k∈Z）
D. （k∈Z）
解析： =-2sin
=2sin=2sin，
把2x+看成一个整体，令），
解得
即.
答案：D
三、由三角函数图象求解析式
已知三角函数的图象求出其解析式，解此类题目的关键是准确理解和把握参数对函数图象的影响，A影响函数的最值，ω影响函数的周期，影响函数的相位.有时还要根据所给的图象经过的特殊点，利用点的坐标适合函数解析式来求解.
应用1 已知函数的简图，如图所示，那么（ ）.
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
解析：函数图象与y轴的交点为（0，1），说明当x=0时，函数值y=1，则即.
由，知.
又曲线与x轴的一个交点是，说明当x=时，函数值y=0，
则，解得ω=2，即ω=2，.
答案：C
应用2 如图是一弹簧振子做简谐运动的图象，横轴表示振动的时间，纵轴表示振子的位移.
求：（1）该振动的函数解析式；
（2）在t=0.4 s时的位移.
解：（1）设函数解析式为，A>0，ω>0.
由图象，得A=2，周期T=2（0.5-0.1）=0.8.
0.8=，ω=.y=2sin.
又当x=0.1时，y=2，2sin=2.
sin=1，取φ=.y=2sin.
（2）f（0.4）=2sin=2sin
我们一般求三角函数单调性的基本方法是：函数y=Asin(ωx+φ)单调区间的确定，首先要看A，ω是否为正，若ω为负，则先应用诱导公式化为正，然后将ωx+φ看作一个整体，化为最简式，再结合A 的正负，在2kπ-■≤x≤2kπ+■和2kπ+■≤x≤2kπ+■，k∈Z两个区间内分别确定函数的单调增减区间。这里不仅涉及到还原的数学思想，而且要用到不等式的性质，在教学中从学生掌握的情况来看，效果并不理想，那么是否有简单的一些方法呢？笔者在思考这个问题时突然想到了求二次函数的单调性关键是找到对称轴，然后结合函数图像的开口方向来确定单调区间。那么三角函数的单调性可否用对称轴入手解决呢？为了有个解法上的比较我们下面先用课本上的方法解决然后再用对称轴的方法进行解决。
题目：求函数y=sin(■-■x)在区间[-2π,2π]的单调增区间。
解法一：（1）利用诱导公式把函数转化为标准函数(y=Asin(ωx+φ)，A>0,ω>0)的形式：
y=sin■-■x=-sin■x-■。
（2）把标准函数转化为最简函数(y=Asinx)的形式，令z=■x-■，原函数变为y=-sinz。
（3）讨论函数y=-sinz的单调性，因为y=-sinz的单调性与函数y=sinz的单调性相反，所以函数y=-sinz的单调增区间是[2kπ+■,2kπ+■]，k∈Z，所以2kπ+■
即2kπ+■
（4）计算k=0,k=±1时的单调增区间
k=0时，■≤x≤■；k=1时，■≤x≤■；k=-1时，-■≤x≤-■
（5）在要求的区间内[-2π,2π]确定函数y=sin■-■x最终的单调区间：[-2π≤x≤-■]，[■≤x≤2π]
解法二：因为y=sinx的对称轴方程为x=kπ+■，k∈Z所以令■-■x=kπ+■，k∈Z，即解得x=-2kπ-■，k∈Z。当k=0时，x=-■;k=-1，x=■，而-■，■∈[-2π,2π]，
由对称轴方程知， 当k=0时，函数取最大值；当k=-1时，函数取最小值。
故[-■,■]上函数是减函数，所以区间[-2π,-■]，[■,2π]是函数的增区间。
总结：解法一是教科书提供的范例，是一种基本的方法，涉及到还原的思想，不等式性质的应用。解法二是利用函数图像对称轴来解决问题，众所周知二次函数的单调区间由对称轴分界（取得最值的地方就是分界点），由此想到三角函数的最值也是在单调分界处取得，所以求三角函数的单调性，只要求出它的对称轴，然后根据取得最值的情况写出单调区间。
另外求函数的值域及最值问题可以由单调性来求，那么求三角函数的值域及最值问题都可以由对称轴来快速解决，特别是在考试时解决客观题的好方法，下面我们再看一题。
题目：已知函数f(x)=2sin(2x-■)，x∈[0,■]，求f(x)的值域。
解：令2x-■=kπ+■,k∈Z，解得x=kπ+■，当k=0时，函数取得最大值且对称轴x=■落在区间[0,■]内，所以函数的最大值为f(■)=2sin(2×■-■)=2sin■=2，函数的最小值为f(0)=-1，所以函数f(x)的值域为[-1,2]。若将条件x∈[0,■]改为x∈[0,■]，我们该如何做呢？
关键词：导数；单调性；最值；不等式；切线方程
中图分类号：G718.5
导数是高职数学教学中的一部分内容，它是微积分学中的最基本概念。它是对函数性质研究的有力工具。在函数的单调性、最值等方面，导数都提供了快捷便利的研究方法。甚至在不等式的证明中，导数也能打开一条新的途径。下面通过一些典型例题的解答简单阐述导数的工具作用。
一、导数在证明函数的单调性及求函数单调区间方面的应用
利用拉格朗日中值定理，可以证明定理：设 在闭区间[a，b]上连续，在开区间（a，b）内可导，那么（1）如果在（a，b）内有 ，则 在内是单调增函数；（2）如果在（a，b）内有 ，则 在（a，b）内是单调减函数。利用这一定理，可以快速地判断函数单调性并求出函数单调区间。
【例1】求函数 的单调区间
解：该函数的定义域为R，得一阶导函数数 。令 ，得驻点 。当 时， ，因此 在区间 内单调递减；当 时， ，因此 在区间 内单调递增。
点评 通过传统方法来证明单调性和求解单调区间，化简证明过程相当的繁琐复杂。而使用导数来解决，过程就会非常简洁。
二、导数在证明不等式的中的应用
利用单调性证明不等式的成立的过程，首先需要构造函数 ，根据题目给定的范围 ，求解出 在范围 上的单调性，而后利用单调性得到不等式，从而来解决原不等式的证明。
【例2】证明：当 时，不等式 的成立
解：构造函数 ，定义域为 。对函数求导得 。因为 ，所以 。即当 时，函数 为增函数。所以 ，有 ，故可得 ，即不等式 的成立。
点评 本例在构造函数式是直接根据不等式构造的。但有些不等式的证明，需要将不等式作适当变形后才能找到构造的函数。
【例3】已知 ，且 为正整数，求证：
分析：由于 ，且 为正整数，所以
故，构造函数 ，利用其单调性可以证明
解：设 ，求导得
， 即
即 在 上单调递减
，即不等式得证。
点评 “构造函数”是利用导数来解决不等式证明问题的主要途径。
三、导数在解决最值问题中的应用
利用导数解决最值问题中，主要依靠函数的极值来解决。函数的极值是一个局部概念，仅与极值点左、右两边近旁的函数值比较。整个函数的定义域内可以有多个极值，且极小值也有可能大于极大值。所以在闭区间内的函数的最值可以定义为：
最大值=max{极大值，端点函数值} 最小值=min{极小值，端点函数值} （3.1）
利用导数求解最值问题的步骤可以归纳为：
1）令 ，在题目给定的区间内，解得驻点
2）求驻点左右的区间上函数的单调性。若左增右减，则驻点处为极大值；若左减右增，则驻点为极小值；其他情况均不为极值。此过程可以通过列表实现。
3）求解的闭区间端点出的函数值
4）根据公式（3.1）求出最值
【例4】函数 在区间 内的最值
解：令 ，得 或 ，易得 是区间 内的唯一驻点。
极小值为 ，端点值为 ， ，所以，函数最大值为max{ ， } ，最小值为min{ ， ， }= 。
点评 在本例中，步骤（2）中判断极值点的方法可以替换为考察 的二阶导数。当 时， 为极小值点；当 时， 为极大值点；当 时， 的情况不确定。因此，【例4】中判断极值点的过程可以替换为：
，
取驻点 时，有，
所以 是函数 在给定区间内的极小值点。
此方法，在复杂度和运算量上有一定优势。但是，由于 时， 的极值点情况不确定，所以在应用范围上较窄，没有原来的方法适应的函数更广。
当在利用导数求解实际问题中的最值时，如果函数 在开区间（a，b）内只有一个驻点 ，并且从实际问题本身又可以知道在开区间内的最大值（最小值）确实存在，那么直接可得 就是所要求的最大值（或最小值）。
【例5】如图所示，已知一正方形铁皮边长为90cm，将其四个角分别截去同样大小的一个正方形，做成一个无盖铁箱，问截去的小正方形边长为多少cm，才能使无盖铁箱的容积达到最大？最大容积为多少？
解：设截去的小正方形边长为a cm，铁箱容积为
由题意可知， ，求导可得
令 ，求得（0，45）内的唯一的驻点 ，此时
由于该实际问题中最大值必定存在，所以我们可以确定：当 时，铁箱容积达到最大值。所以当截去的小正方形的边长15cm时，铁箱有最大容积为 。
点评 根据实际问题的条件，利用导数能快速求出最值。
四、导数对解决曲线切线问题的应用
在引入导数的过程中，我们就是从求曲线的切线问题开始的，割线转化为切线的思想方法中抽象出了导数的概念。所以导数在解决曲线切线的问题上也起到了有力的作用。
【例6】求过原点与曲线 相切的切线方程
解：原点（0，0）不在曲线上，故设切点坐标为（ ， ），则有 ，该点处的切线斜率为 ，所以切线方程为 。由于原点（0，0）在切线上，代入切线方程可得 ，于是得到切点坐标（ ， ）回代入切线方程可得
点评 利用好切点处的导数即为曲线在该点处的斜率这一性质。
通过以上例题，可以看到，导数在高职数学中有着广泛的且重要的应用。在解决函数单调性、函数最（极）值，不等式证明以及曲线切线问题等方面的问题中，导数都是有力的工具。其方法与传统的常规方法相比，更具有简洁的过程和明显优势。另外，导数除了在高职数学之外，在其他专业课程也有及其重要的应用，如在物理中，求解加速度等问题。
参考文献：
应用一 利用导数研究函数的单调性
这一类题主要考查利用导数研究函数的单调性，及函数单调性的应用.通过求导将函数与方程、不等式结合起来，考查运算求解能力.
例1 已知函数φ（x）=ax+1，a为正常数.
（1）若f（x）=lnx+φ（x），且a=92，求函数f（x）的单调区间；
（2）若g（x）=|lnx|+φ（x），且对任意x1，x2∈（0，2]，x1≠x2，都有g（x2）-g（x1）x2-x1
解析：本题主要考查利用导数求函数的单调区间.第（2）问求解的关键是将已知不等式g（x2）-g（x1）x2-x1
（2）由g（x2）-g（x1）x2-x1
点评：该题信息给出的是不等式，不少同学在转化时无从下手，挖掘不等式的本质可知，其实不等式对应的是函数的单调性问题.拨开云雾看问题，分析出h（x）具备的单调性后，就可以无招胜有招.
在代数中，“元”是很重要的概念，不少问题都带有两个“元”，即x1，x2，在解方程组时最根本的方法是消元.但是本题中的两个元x1，x2如何转化？从上面的分析可以得知，挖掘出隐含的函数单调性，即达到了“消”的目的，从该题中挖掘出蕴含的思想方法，诠释其内容，回到基本概念中去，分析题目的信息，联系基础知识与基本思想方法，联系已知与未知的关系，获得解题思路.在具体运算求解过程中，需要解决含参不等式恒成立问题，这类题考查同学们分析问题、解决问题的能力，一般情况下可以分离参数，转化为新函数的值域（最值），或直接求导，分类讨论求值域.
通过导数把函数的单调性问题化为不等式问题颇受各地命题专家的青睐.虽然试题千变万化，但是解决问题的思想方法基本相同.
在建立目标函数后，另辟蹊径，极富成效的进行变形，问题就迎刃而解.对试题的异样的分析与解答，拓宽我们的视野，提高思维的灵活性，加深对数学本质的认识，提升数学综合素养.所以，在平时的学习中要善于注意一题多解，一解多用.
应用二 利用导数研究函数的极值及参数的取值范围 用导数研究参数的取值范围，其实质就是转化为研究函数的单调性、极值与最值的问题，这类问题的实质就是函数的单调性与函数的极（最）值的应用.问题的难点在于如何联系参数和所求得的函数的极（最）值，破解的方法是根据题目的要求，画出函数的大致图象，探求函数极（最）值，通过数形结合的思想去分析问题，可以使得问题的求解有一个清晰、直观的整体展现.
例2 已知函数f（x）=3ax4-2（3a+1）x2+4x.
点评：（1）根据函数的单调性确定参数范围是高考的一个热点题型，其根据是函数在某区间上单调递增（减）时，函数的导数在这个区间上大（小）于或者等于零恒成立，转化为不等式恒成立问题解决.
（2）在形式上的二次函数问题中，极易忽略的就是二次项系数可能等于零的情况，这样的问题在函数的单调性的讨论中是经常遇到的，值得考生特别注意.
应用三 利用导数研究方程根的分布
研究方程的根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，并借助函数的大致图象判断方程根的情况，这是导数这一工具在研究方程中的重要应用.将方程、不等式等有关知识和导数结合的综合性问题，主要考查综合运用有关知识分析问题、解决问题的能力.
利用导数证明不等式，就是把不等式问题转化为函数问题，通过构造函数，转化为利用导数求函数最值.应用这种方法的难点是如何根据不等式的结构特点或者根据题目证明目标的要求，构造出相应的函数关系式.破解的基本思路是从函数的角度分析要证明的不等式的结构特点，然后去构造函数式，或者从不等式证明的放缩方向上去构造函数式，使所构造出的函数是不等式证明所需要的最佳函数.
点评：该题的难点有两个，一个是第（2）问中求解函数的极值要根据b的取值范围进行分类讨论；二是证明关于n的不等式，解决此类问题的一般思路是将不等式直接转化为关于n的函数的最值问题来解决.
（集宁师范学院数学系，内蒙古 乌兰察布 012000）
【摘 要】导数是微分学的重要组成部分，是研究函数性质、曲线性态的重要工具[1]，也是解决实际生活中某些优化问题的重要方法。探讨了运用导数求解实际生活中有关用料、成本、利润及选址方面问题的方法。
关键词 微积分；导数；应用
0 引言
导数（Derivative）也叫微商，是一种特殊的极限，它反映了函数中因变量随自变量的变化而变化的快慢程度，[2]是微积分中重要的基础概念 是联系初等数学与高等数学的桥梁。在研究几何、证明不等式等方面起着重要的作用，在探究函数性质、寻求函数极值与最值以及描绘函数图形等方面也起着重要的作用，同时，也为解决某些实际应用问题提供了重要的方法。在实际生活中经常出现的一些谋求利润最大、耗材最少、或效率最高、位置最佳等与经济或科学研究有关的问题，这些问题称之为优化问题，如何找到解决该类问题的最佳方案是求解该类问题的关键，而利用导数就可以简捷地解决这些问题，从而真正解决我们的实际生活问题。
1 导数的概念及几何意义
2 运用导数求解优化问题的方法与注意事项
实际生活中的优化问题，如选址最佳、用料最省、利润最大等问题，本质上就是最值问题，这些问题与求函数的最值问题有着密切的联系，而这些问题可以转化为函数问题，利用导数知识得以简捷的解决。
2.1 解决优化问题的方法
首先对现实问题进行分析，找出各个变量之间的关系，建立相对应的函数关系式，将实际问题转化为用函数表示的数学问题，再结合实际情况确定自变量的定义域，创造函数在闭区间上求最值的情景，通过对函数求导、确定驻点和不可导点、比较函数在区间端点、极值点和不可导点处的函数值，获得所求函数的最大(小)值，最后将数学问题回归到现实问题，根据数学问题的答案回答优化问题最佳方案或策略。
利用导数求解优化问题的思路如图1所示。
2.2 导数解决实际问题的注意事项
在求解实际优化问题时，要结合实际问题的背景，求得的解要满足现实意义，舍去不符合现实意义的值，若遇到目标函数在有限开区间、闭区间或无限区间内只存在一个驻点的情况，如果该驻点处的函数值是目标函数的极值点，则该点即为目标函数的最值点。
3 导数在实际生活中的应用
3.1 导数在材料利用问题中的应用
例1 圆柱形金属罐装饮料厂为节约用料降低成本，在保证所装饮料体积一定的情况下，如何设置饮料罐的高与底半径，才能使材料减小到最小？（假设圆柱形饮料罐的上下底厚度分别是侧面厚度的2倍）
分析：该例题属于“用料最省”的实际问题，关键是写出用料函数表达式，将实际问题转化为数学问题，运用导数知识探求目标函数的最值。
例2[4] 某零件生产车间欲将一批半径为R 的金属圆球切削成圆柱形零件，该批圆柱形零件的高为多少时，能使原料的利用率最高？
分析：该问题也是一个“用料最省”问题，当圆柱的体积最大时，材料利用率最高，关键是根据问题描述写出圆柱体体积V与圆半径R、圆柱高h的函数表达式，将其转化为数学问题，利用导数求解目标函数的极值，从而解决问题。
解：设圆柱形零件的底半径为r，高为h，则其体积为V=πr2h
材料利用问题、成本利润问题以及选址等问题都是实际生活中最常见的问题，通过对这些问题的分析，可以确定它们都是最值问题，可以利用导数知识分析、求解。
4 结论
解决实际生活中的优化问题是导数在实际生活中的主要应用，通常的求解方法是首先根据现实问题建立相应的数学模型，列出优化问题中相关量的函数关系式，然后利用导数的相关知识去分析、求解，最后将计算结果回归到实际问题，从而推出所研究问题的结论。
参考文献
［1］徐映红.骆桦.微积分中导数的应用[J].北京电力高等专科学校学报,2010(8):44-45.
［2］张选群.医用高等数学[M].人民卫生出版社,2010.
［3］邢建平.例谈导数在经济活动中的应用[J].管理观察,2010(22):240.
【关键词】导数；应用；高中数学
一、导数的概述
“新课标”在教程的目标、观念上的一个发展就是在数学教学和数学学习中更加强调对数学本质的认识和理解.在“导数的应用”教学中，通过导数对函数的性质进行研究来认识函数的本质.高中数学由必修和选修组成，在所学课程中多处涉及导数方面的问题，足以看到导数在高中数学中占有很高的地位.
在高中学习过程中，学生通过学习函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等来理解函数的性质.而这些性质都可以通过画出函数图像表示出来.基本初等函数可用描点法画函数图像，而一些比较难的非基本初等函数无法用描点法绘制函数图像.在这种情况下，我们可以用所掌握的导数知识来求一阶导数，并利用其判定函数的单调区间、极值点、最值点，利用二阶导数来判定函数的凹凸区间、拐点，然后利用极限的思想来找出水平渐近线和垂直渐近线，最后再利用描点法来画出较为准确的函数图像.这不仅仅能使学生更好地掌握所学的基本知识，同时扩展了数学思维.
让学生们体会研究导数所用到的思想方法：先研究函数在某一点处的导数，再进一步过渡到一个区间上；在应用导数解决实际问题时，利用函数在某个区间上的性质来研究曲线在某一点处的性质.这种从局部到整体，再由整体回到局部的思想方法是非常值得学生学习的.
二、导数在解题过程中的应用
1.函数的单调性
函数的单调性是函数最基本的性质之一，是我们研究函数所要掌握的最基本的知识.它在中学数学中的用处是非常广泛的.其思维方法有：（1）利用增（减）函数的定义判断单调性.（2）导数法.利用在（a，b）内可导的函数f（x）在（a，b）上递增（或递减）的充要条件是f′（x）≥0（或f′（x）≤0），x∈（a，b）恒成立（但f′（x）在（a，b）的任意子区间内都不恒等于0）.方法（1）中的化简较为烦琐，比较适合解决抽象函数的单调性问题，而利用导数知识来判断函数的单调性既快捷又容易掌握，特别是对于具体函数更加适用.
2.利用导数求极值和最值
最值和极值问题是高中数学的重点，也是一个难点.它涉及了高中数学知识的很多方面，要解决这类问题往往需要各种能力，同时需要选择合理的解题途径和策略.用导数解决这类问题可以使解题过程简单化，步骤清晰，学生也更容易掌握.应注意函数的极值与最值的区别与联系，极值是一个局部性概念，而最值是某个区间的整体性概念.
一般地，函数f（x）在闭区间[a，b]上可导，则f（x）在[a，b]上的最值求法：
（1）求函数f（x）在（a，b）上的极值点；
（2）计算f（x）在端点和极值点的函数值；
（3）比较f（x）在端点和极值点的函数值，最大的就是最大值，最小的就是最小值.
3.切线问题
在某一点的切线方程为y-f（x0）=f′（x0）（x-x0），但应注意点P（x0，f（x0））在曲线y=f（x）上，否则易错.利用导数求切线问题一般可以分为两类：过一点的切线方程和两曲线切线方程.第一种题型分为点在曲线上和点在曲线外两种情况，f′（x0）的几何意义就是曲线在点P（x0，f（x0））处切线的斜率；而第二类用常规方法求解，运算量大，过程特别烦琐，而利用导数知识就为解决这类问题提供了简洁的方法，即先分别求出两曲线的切线，利用它们是同一直线来建立关系求解.
4.证明不等式
纵观这几年高考，凡涉及不等式证明的问题，其思维量大、综合性强，因此历来是高考的难点.利用导数去证明不等式，就是利用不等式与函数之间的联系，直接或者间接等价转化后，结合不等式的结构特征，构造相应的函数.通过导数运算判断出函数的单调性，将不等式的证明问题转化为函数问题.
5.讨论方程解的个数
在讨论方程的根的存在性及个数问题上，导数是一个很好的工具，在这一类的问题上关键是将方程的问题转化成函数的零点或者函数图像交点问题，利用导数讨论函数的性质并结合根的存在性定理及函数图像来解决问题.
三、利用导数解决实际应用问题
导数不仅可以解决函数、切线、不等式问题，还可以解决一些实际应用问题.近年来，高考越来越关注对实际问题的考查.
生活中经常遇到求利润最大、效率最高、费用最省等问题，这些问题通常称为最优化问题，我们可以通过导数求函数最值的方法来解决这类问题.导数描述了一个函数的因变量相对于自变量变化的快慢程度，即因变量关于自变量的变化率.
利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤：
（1）分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系y=f（x），要注意x的范围.
（2）利用导数求函数f（x）的极值和函数的最值，给出数学问题的解答.
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