时间：2023-06-14 16:36:14
导语：在数学公式和定理的撰写旅程中，学习并吸收他人佳作的精髓是一条宝贵的路径，好期刊汇集了九篇优秀范文，愿这些内容能够启发您的创作灵感，引领您探索更多的创作可能。
关键词： 数形结合 凹凸性 求导公式 积分公式
在数学教学中，常常遇到的一个问题就是学生记不住一些常用的数学公式，或者是随着时间的推移，将一些数学公式记错、记混，从而影响学生的学习积极性和后续知识的学习.有一些学生因记不住数学公式而厌恶数学，进而认为数学就是套公式，他们学不好数学往往是因为记不住数学公式.这些认识虽说具有很强的片面性，但从一个方面说明数学公式的掌握在数学学习过程中的重要性.
高等数学是建立在中学数学的基础之上的，一般来说，中学的数学基础差，高等数学的学习相对来说就比较吃力.但是，高等数学相较于中学数学又有一定的独立性.中学数学涉及的知识面较窄，因此很注重技巧，而高职的高等数学相对来说涉及的知识面较广，对技巧的要求少了许多，可以说是在反反复复地使用基本初等函数的求导公式.因而记住这些公式就显得尤为重要.下面我就教学中遇到的几个难于记忆的定理、公式提出了形象化的记忆方法，希望有助于学生的学习.
一、凹凸性和极值的记忆
在极值和凹凸性的章节中有以下定理：
定理2：设在[a，b]上连续，在（a，b）内具有一阶和二阶导数，那么
这两个定理涉及二阶导数的应用，我在教学中发现，许多学生往往会用错这两个定理.为此，我们提出了用一个跷跷板的图形帮助学生记忆这两个定理.解释如下：图中的水平线代表0，支点位置为一阶导数，跷跷板的两端，一端是函数f（x），一端是二阶导数f″（x），很明显，当f″（x）>0时，跷跷板一端高于水平面，另一端比低于水平面，可以想象为极小和凹.类似地，当f″（x）
二、三角函数的求导和积分公式
三角函数的积分和求导公式比较多，记忆难度较大，因此是学习的难点所在.即使刚开始记住了，时间长了也容易混淆.为了帮助学生记忆，我们引入如下图形（注意第二个图形中的负号）：
（2）积分：如果被积函数是两个顶点的乘积，则结果是另外一个顶点：
教学实践表明，简单的图形在帮助学生学习方面起到了很好的作用.本文仅是抛砖引玉，希望今后能看到更多更好的相关文章.
参考文献：
关键词：公式；定理；知识的发生；知识的发展
中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1671-0568（2013）36-0157-03
公式和定理揭示了数学知识的基本规律，具有一定的形式符号化的抽象性和概括性的特征，是学生数学认知发展水平发展的重要学习载体，是中学数学知识体系的重要组成部分，是数学推理论证的重要依据。因此，公式和定理的教学是基础知识教学的重要组成部分。按照课程标准的定位，高中数学公式和定理大部分是需要达到掌握的层次，即必须明了知识的来龙去脉，领会知识的本质，能从本质上把握内容、形式的变化，对其中蕴含的数学思想方法也要加以掌握。
长期以来，由于中学数学教学的基础知识源远流长，不可能再有什么创新，更不太可能要求学生发明创造新的初等数学的结论。同时，基于高考升学的压力，数学教师普遍对定理、公式课的教学重视不够，数学公式和定理教学容易产生“一背二套、公式加例题”的形式，在数学课堂中更多地重视“解题训练”，习惯了“满堂灌”的模式，这种形式的教学往往使学生的头脑里只留下公式、定理的外壳，而忽视他们的来龙去脉，不明确它们运用的条件和范围，代之以更多地靠背诵数学的结论和公式，盲目、机械地去进行模仿，在茫茫的题海中漫游，学生不知不觉地成了知识的容器。在这样的课堂上，学生思维的时间和空间无情地失去了，长此下去，学生很用功，书本知识很纯熟，但动手能力差，学生对数学问题根本不可能进行深入的思考和探究，更不可能有创新思维和创新精神。
如何在新课改下的数学公式和定理的教学中，充分发挥学生在学习中的主体地位，提高教学效率，并大面积提高教学质量呢？通过教学实践，笔者认为，在教学过程中，教师应做好以下几方面的工作，从而提高定理教学的质量。
一、知识的发生阶段
在公式定理的教学中，如何一开始就把学生的兴趣调动起来，把学生吸引住，激发他们的求知欲，是发展学生思维、培养学生探索能力的关键。在教学实践中，笔者主要采取了如下几种比较有效的引入方式：
1.注重与生活实际相结合。建构主义强调，学生并不是空着脑袋走进教室的。在日常生活中，在以往的学习中，他们已经形成了丰富的经验，小到身边的衣食住行，大到宇宙、星体的运行，从自然现象到社会生活，他们几乎都有一些自己的看法。而且，有些问题即使他们还没有接触过，没有现成的经验，但当问题一旦呈现在面前时，他们往往也可以基于相关的经验，依靠自身的认知能力，形成对问题的某种解释。而且，这种解释并不都是胡乱猜测，而是从他们的经验背景出发而推出的合乎逻辑的假设。因此，在教学中，教师不能无视学生的这些经验，另起炉灶，从外部装进新知识，而是要把学生现有的知识经验作为新知识的生长点，引导他们从原有的知识经验中“生长”出新的知识经验。
例如，在等差数列通项公式的教学中，通过如下问题引入：1682年，英国天文学家哈雷发现一颗大彗星描绘的曲线和1531年、1607年的彗星惊人的相似，便大胆断定，这是同一天体的三次出现，并预言它将于76年后再度回归。这就是著名的哈雷彗星。它的回归周期大约是76年，请你查找资料，列出哈雷彗星的回归时间表，并预测它在本世纪回归的时间。学生通过审题分析可以很快得出结论，这个时候再提出等差数列的通项公式就水到渠成，相当自然。
2.学会从实验去归纳猜想。著名数学教育家G・波利亚曾指出：“数学有两个侧面，一方面它是欧几里得式的严谨的科学，从这个方面看，数学像是一门系统的演绎科学；但另一方面，创造过程中的数学，看起来却像一门实验性的归纳科学，在定理教学时，教师也可以设置实验引入，引导学生通过实验结果发现定理。
以二项式定理的教学为例，二项式定理是两个计数原理的典型应用，为了引导学生追本溯源，把二项式定理的研究还原到应用计数原理的思考上来，在本节课教学时，笔者进行了精心设计，下面是其中的部分教学设计：
问题1：两个粉笔盒，每个盒里各有一红一白两支粉笔，现连续抽取两次，每个粉笔盒各抽一支粉笔，问：有多少种不同的抽取结果？
（学生小组合作讨论，得出可能结果。教师板书学生陈述的结果于黑板右侧，并引导学生分别用分步和分类两个原理加以说明。）
（1）分步乘法计数原理：2×2=4。
（2）分类加法计数原理：抽取结果分为三大类。
①两白？邛白1白2？邛1？邛C
②一白一红？邛白1红2？邛1
白2红1？邛12？邛C
③两红？邛红1红2？邛1？邛C
问题1设计意图：从粉笔盒取粉笔生动形象，学生比较熟悉，解决起来得心应手。
问题2：你能够得出（a+b）2的展开式吗？（教师板书于黑板中间）
问题3：对比取粉笔的过程，思考（a+b）2与它有什么共同之处？描述这些共同之处。（教师引导学生从项数、项的次数、各项的项数对（a+b）2进行分析。）
学生小组合作，得出如下结论：
项数：2+1
项次数： 展开项的各项均为二次，a降幂b升幂，每一项可记为a2-kbk，k∈{0，1，2}
各项的项数：a2？邛a2b0？邛C
ab？邛a1b1？邛C
b2？邛a0b2？邛C
问题2设计意图：把新问题回归到已掌握的知识上，体会知识之间的联系与问题的解决；体会展开式中系数的由来。
探究活动一：学生独立探究（a+b）3的展开式，并请学生展示探究过程：（学生依旧选择了取粉笔的过程，改为三个粉笔盒）
（a+b）3=C a3+C a2b+C ab2+C b3
=a3+3a2b+3ab2+b3
活动一设计意图：再次理解取粉笔问题和展开式的联系，特别是展开式各项的系数与取粉笔过程中分类计数原理的联系。
探究活动二：请大家思考（a+b）n=？
（a+b）n=C an+C an-1b+C an-2b2+……+C bn n∈N*
活动二设计意图：发现规律，猜想。
活动三：请哪位同学能对比刚刚的（a+b）2的分析过程，分析（a+b）n的展开式。
项数：n+1
项次数：展开项的各项均为二次，a降幂b升幂，每一项可记为an-kbk
活动三设计意图：由特殊到一般，再次用计数原理归纳并证明的过程。
在这一设计中，学生经过从粉笔盒抽粉笔的实践操作，发现了（a+b）2的各项展开式系数与计数原理应用下的抽粉笔的结果之间的联系，然后经过类似实验得到 （a+b）3中类似的结论，由此猜想（a+b）n的展开式，从而轻松得到二项展开式定理。
3.注重知识类比引入。数学知识不是孤立存在的，学生可以应用已经掌握的公式、定理推导新的公式定理，也可以通过对知识点的相同、相通之处分析，采取类似的方法。
例如，在正弦定理的教学中，部分引入的教学设计为：
问题1：初中时，在三角形中，边和角有什么样的关系？
学生答：大边对大角，小边对小角。
问题2：已知RtABC中，∠C是最大角，所对的斜边c是最大的边，边和角有什么关系？
学生思考后，作图分析，得出结论：根据正弦函数的定义，■=sinA，■=sinB，所以■=■=c，又sinC=1，所以■=■=■
问题2设计意图：直角三角形是学生已经掌握的三角形，学生入手比较快，解答比较容易。
问题3：已知ABC中，A角对a边，B角对b边，C角对c边，边和角有什么关系？
学生类比问题2的解答，作图，分类讨论得出结论：■=■=■
问题3设计意图：类比特殊三角形进行推广。
学生对直角三角形的边角关系很熟悉，当在直角三角形中得出结论后，再次提出新问题，即其他三角形中是否也有类似关系？学生就很容易类比直角三角形进行推导，得出结论。
二、知识发展阶段
1.重视推导和证明。掌握数学知识的过程是一个建构和再建构的过程，而理解把原有知识变成更容易记和提取的知识，提高新知识的记忆程度。在传统的定理教学中，学生因为不清楚定理的来龙去脉，对数学结论性的定理和公式只能生硬地记忆和套用，经常出现书本例题和练习都会做，但稍有变式便无从下手的情况，这是因为学生没有理解定理。没有理解，知识就是孤立存在，各种知识分别占用记忆单位，记忆量大，学生在学习的过程中苦不堪言。因此，在定理教学中，恰当地引入，发现定理后，学生的兴趣被激发，对证明、推导有迫切感，此时，教师要紧紧抓住这一理想状态，充分调动学生的积极性，发挥学生的主导作用，能由学生自己解决的推导过程坚决不插手。同时，还要注意引导对学生推导进行完善处理，注重分析推导方式的原因，思考有没有别的方法，以扩充学生的思维。学生经过自己动手推导的思考和理解，渐渐地体会到数学是一个紧密的内部联系的整体，知识网络之间非常有条理地联系在一起，这些联系是学习者通过努力去探索和尝试而建立起来的，同时就建立了比较正确的数学观、数学学习观和数学信念等。就在学生对数学概念的本质及关联有了理解，对数学方法的运用有体会时，学生对数学及其应用就会产生兴趣，并产生学习更新、更深知识的欲望。
2.注重灵活应用，提高学生的学习能力。知识的学习是为了能运用定理公式进行思维解决问题，在应用训练中关注两点：
（1）强调特例和成立条件。公式定理的成立是有一定条件的，学生学习公式定理的最大弱点是把公式作为万能公式乱用乱套。因此，在教学中要强调公式成立的条件。例如，在a+■≥2应用中，a是有范围限定的，如果a的取值改变，会导致结果改变。
（2）注重练习。依据认识论的观点，一个完整的教学过程必须经过“由感性的具体上升到抽象的规定”和“再由抽象的规定发展到思维中的具体”这样两个科学、抽象的阶段，因此，定理公式的应用训练不可或缺。但练习的目的在于巩固、深化概念，形成技能，培养分析问题、解决问题的能力。因此，选题要典型、灵活多样，对题目的探讨、挖掘要深入，切忌盲目的进行题海战术。
本文从机械领域专利的权利要求包含数学公式的保护范围如何理解入手，针对包含了数学公式的权利要求，重点探讨了机械领域技术人员应如何更加准确、客观地做出新颖性/创造性的判断结论。
1.权利要求包含数学公式的保护范围的理解
《专利法》第五十九条第一款的规定：发明或者实用新型专利权的保护范围以其权利要求的内容为准，说明书及附图可以用于解释权利要求的内容。《专利审查指南》中又进一步规定：通常情况下，在确定权利要求的保护范围时，权利要求中的所有特征均应当予以考虑，而每一个特征的实际限定作用应当最终体现在该权利要求所要求保护的主题上。在此基础上，笔者认为“采用数学公式限定的技术特征最终体现在权利要求所要求保护的主题上”应当包含了两个方面的含义：
1.1第一层含义：以数学公式限定的技术特征，其实质上是限定了一组数值范围。
1.2第二层含义：数学公式本身就代表着一种“数学规律”，反映到权利要求所要求保护的主题上即为“请求保护的产品/方法涉及到公式中的各个参数所必须遵循一种规律”。
2.包含数学公式的权利要求的新颖性/创造性的判断
在进行新颖性/创造性的判断之前，笔者建议，应当首先根据权利要求中所采用的数学公式是否是“本领域技术人员的公知常识”，分为以下两种情况并分别加以考虑：
2.1数学公式是本领域技术人员的公知常识
如果权利要求包含的数学公式经过判断属于本领域技术人员的公知常识，例如果该数学公式是教科书、工具书或技术手册等现有技术明确记载的或者是本领域的惯用手段，则只要检索到任意一组符合该数学公式的具体数值点即可以认为公开了以数学公式进行限定的技术特征，进而得出权利要求不具备新颖性/创造性的结论。之所以没有进一步分析该数学公式的第二层含义的原因仅仅在于“该数学公式所代表的规律早已经是本领域技术人员的公知常识”。因此，不需要再判断现有技术是否给出第二层含义的技术启示。下面，笔者结合案例进行说明：
【案例】
权利要求：一种四联杆传动机构，所述传动机构由活动绞接的四个传动杆组成且共同构成四边形传动机构，其中所述四边形的对角线的距离z满足下述公式：Z2=X2+Y2-2XYcosA，其中x代表与对角线相邻的长杆的长度，Y代表与对角线相邻的短杆的长度，A代表长杆和短杆之间的夹角。
同时，权利要求中还分别限定了参数X，Y，A三个参数的数值范围。
【案例分析】
其利用两个杆的长度和两个杆之间的夹角计算四边形对角线的长度所采用的数学公式，实际上就是教科书早有记载的三角形计算边长的“余弦定理”。因此，该数学公式是本领域技术人员所熟知的公知常识。在此前提条件下，本领域技术人员只需要检索得到任意一个长杆和短杆的长度以及二者之间的夹角能符合该数学公式的四边形传动机构即可，而不需要进一步分析该数学公式的第二层含义是否已经被现有技术公开。
2.2数学公式并非是本领域技术人员的公知常识，如果权利要求包含的数学公式并非是本领域技术人员的公知常识，则现有技术不仅应当能证明公开了上述第一层含义，还应当同样能够证明其公开了上述第二层含义或者能证明其给出了相关技术启示，不能仅仅根据一个或几个具体数值点就认定公开了该数学公式进而否定其新颖性/创造性。下面，笔者还是结合案例并进行一些改进后再加以分析说明：
【案例】
权利要求：一种四联杆传动机构，传动机构由活动绞接的四个传动杆组成且共同构成四边形传动机构，其中构成四边形的两个相邻杆之间长度满足下述公式：X=aY+b，其中X，Y各自代表杆的长度，a，b为常数。
【案例分析】
四边形传动机构中各个杆之间的长度关系需要满足的上述公式并不是本领域技术人员的公知常识。在此基础上，如何判断该权利要求的新颖性/创造性，建议可从以下几个方面考虑
2.2.1如果某一份现有技术中明确公开了上述数学公式，且其公开的杆的长度也满足落入权利要求的数值范围或部分重叠等条件，则可得出权利要求不具备新颖性/创造性的结论。
然而，实际情况中，本领域技术人员能够获得明确公开了上述数学公式的现有技术的可能性很小，所以这种理想情况并不多见。
2.2.2如果某份现有技术中明确公开了多组完全吻合该公式的具体的数值点，并且对于本领域技术人员来说，根据现有技术中公开的该多组具体的数值点，即可以很容易地推导得出上述公式，则可以认为该权利要求相对于现有技术不具备创造性。然而，实际情况中，现有技术要“分毫不差”地公开完全吻合上述数学公式的具体的数值点，并且一个重要的前提条件还需要给出足够多的点，该可能性也很小。
2.2.3如果某份现有技术中明确公开的多组具体的数值点并不完全吻合上述数学公式，但每一组具体数值点都无限逼近上述数学公式，则也应视为与上述第（2）情况相同的情形处理。
这是因为实际情况中，很多数学公式所对应的直线或曲线等图形都是通过大量实验得到具体数值点后再拟合得出的。由于实验中存在着不可避免的误差，因此，最终数学公式所对应的直线或曲线等图形是采用无限逼近点值的方式获得，即不可能使所有的实际数值完全符合数学公式或完全落入拟合的曲线上。因此，如果某份现有技术中明确公开的多组具体的数值点虽然并不完全吻合上述公式，但每组具体数值点都无限逼近上述数学公式或对应的曲线或直线等图形，并且对于本领域技术人员来说，根据该现有技术中公开的多组具体的数值，采用同样类似拟合的方式即可以推导得出上述数值公式，则可以认为该权利要求不具备创造性。
[关键词]：中学数学 观察法 有效教学
科学始于好奇，发现始于观察。观察是一种有计划、有目的、持久的知觉活动，是孩子们科学探究的起点，是人们认识世界的开始。数学教学过程离不开观察，通过观察认识数学的本质、揭示数学的规律、探求数学方法。在教学中，恰当地运用观察来收集材料、发现新事物、探求解题方法与途径，对于培养学生的观察能力，提高教学效果有很大作用。
一、创设情境，在观察中理解数学概念
数学概念是客观事物或现象的数学关系、空间形式的基本属性在人们头脑中的反映。教材中有许多数学概念，在实际生活中都可以发现它的现实原型。所以，在教学过程中，密切联系现实原型，从学生接触过或认识过的事物去创设教学情境，引导学生细心观察，就能够使学生比较容易地理解、接受数学概念，理解数学概念。
例如，在引入正、负数概念之前，我有意识地让学生观察“零上2℃，零下1℃”、“高于1.5米，低于0.5米”、“前进1步，后退2步”等具有相反意义的量，从而使学生了解引进新的数来表示这种实际问题的必要性，易于接受正、负数的概念：像2，1.5，1…这样的数叫做正数，它们都比0大，在正数前面加上“－”号的数叫做负数，如-1，-0.5，-2…。
在数学教学中也常常通过观察数学对象的“形”，来认识数学对象的性质。如为了研究一些函数的性质（单调性、周期性、奇偶性等），就可观察这些函数的图象。
二、自主探究，在观察中推导计算公式
数学公式是数学知识的重要组成部分，数学公式的形成，既离不开细致的观察，也离不开合情的推理。因此，在教学中，我们在善于引导学生去观察、善于让学生体验观察带来快乐的基础上，注意引导学生去自主探究、去推导计算公式，往往会有意想不到的收获。
例如，在教学“圆锥的侧面积”时，我先让学生制作一个圆锥形纸帽，再让学生将制作好的圆锥形纸帽的侧面展开，接着让学生观察图形前后的变化。通过观察，学生发现了圆锥的侧面展开后的形状是一个扇形，并且发现了该扇形半径的长度等于展开前圆锥母线的长度，扇形的弧长相当于圆锥底面圆的周长，圆锥的侧面积就是展开后扇形的面积。联系扇形面积计算公式：S扇形=12×扇形弧长×扇形半径。这样，学生很自然就推导出圆锥的侧面积计算公式：S圆锥侧=12×圆锥底面圆周长×圆锥母线长，若圆锥底面圆半径为R，母线长为l，该公式记为S圆锥侧=12×2πR×l=πRl。由此一来，学生对公式的理解以及运用就水到渠成，不仅会计算圆锥的侧面积，而且对与圆锥有关的计算问题也能偿试着将圆锥展开后通过观察后得到解决。
这样，通过学生的做一做、看一看、想一想，让学生自主探究，体验成功的快乐，让不好懂、不易懂、不好记、不易记的知识变成易懂易记的知识。
三、设计问题，在观察中发现数学定理
数学中的定理，是数学对象之间的关系的一种反映或描述，而数学对象之间的许多关系是从对数学对象的直接观察中得来的。在数学定理的教学中，我们不妨精心设计一些问题，让学生在观察中发现定理，当一回“科学家”。
例如，在“角平分线的性质定理”的教学中，我是这样引导学生观察并发现该定理的：
1.老师：同学们，大家知道，许多定理都是用发现它的人的姓氏来命名的，如勾股定理，外国人称之为毕达哥拉斯定理。你们想发现定理，想用自己的姓氏来命名定理吗？（这段引言的目的是激发学生的探索欲望。）
2.幻灯片显示∠AOB及其平分线OC。
3.提问与练习。
①角平分线的定义是什么？
②在练习本上任意画∠AOB，再画出这个角的平分线OC；
③点到直线的距离定义是什么？
④在∠AOB的平分线OC上任取一点P，画出点P到∠AOB的两边的距离PD、PE，再在OC上任取另一点Q，画出点Q到∠AOB的两边的距离QM、QN。
4.指导学生观察并实验。
①分别观察点P、Q到∠AOB两边的距离的大小关系，并测量验证；
②再在∠AOB的平分线OC上任取一些不同的点，观察并测量验证这些点到∠AOB两边的距离的大小关系；
③将∠AOB沿OC对折，线段PD、PE能重合吗？线段QM、QN呢？
5.引导学生猜想：在角平分线上的点到角的两边的距离相等。
6.引导学生论证，并指出这是角平分线的性质定理。
学生通过观察实验猜想论证，充分调动了学习积极性，激发了学习兴趣，很好地体验了成功的喜悦，尝试了当一回“科学家”的快乐。
此外，对于线段的垂直平分线定理、垂径定理、圆周角定理等，都可以在观察中发现，让学生在观察中不知不觉地接受定理，理解定理，愉快地完成学习任务。
四、合作交流，在观察中寻找解题突破口
数学解题需要透过观察去认识本质，找出问题的内在联系和规律。教学习题时，开展小组合作，让学生边观察边交流，有助于寻找解题的突破口，培养学生思维的灵活性和开拓性，从而开阔学生的解题视野。
例如,计算(1-122)(1-132)(1-142)…(1-120072)(1-120082)
对于这道题，很多同学不善于观察，难于找到突破口，盲目地先算括号里面的算式，使问题复杂化，运算量增大，无法算出结果。在学生冥思苦想之际,我引导学生开展小组合作，去观察算式中的规律，并交流观察结果，学生通过细心观察，发现了每个小括号里的算式都是1与一个分数的平方的差，分数的分母依次为2，3，4，…2007，2008，且细心的同学发现1=12，因此，该算式每个括号里都隐藏着一个平方差公式。这样，就可将每个括号里的多项式运用平方差公式进行因式分解，于是原式= (1-12)×(1+12)×(1-13)×(1+13)…×(1-12007)×(1+12007)×(1-12008)×(1+12008) =12×32×23×43×34…20062007×20082007×20072008×20092008。
再观察上式，又可发现第2个分数与第3个分数互为倒数，它们的乘积为1，第4个分数与第5个分数互为倒数…，由此可得原式=12×1×1…×20092008=20094016。
一、巧用方法，激发阅读欲望
阅读是学生学习的前提与基础，但要想让学生自主阅读，则需要让学生产生阅读的兴趣与欲望。因此，在初中数学教学中，教师要采取有效策略，培养学生的阅读兴趣，从而激发学生自主阅读欲望。
首先，巧设问题情境，诱发阅读的动力。在数学教学过程中，问题情境是唤起学生主动学习的有效手段，也是激发学生阅读兴趣的重要途径。在初中数学教学中，教师需要围绕教学内容，充分考虑学生的年龄与心理特点，选取适宜的材料（如数学史料、数学故事等），设置丰富多样、有趣生动的问题情境（如认知冲突情境、矛盾情境、悬念情境、选择情境、复习情境等），引发学生认知冲突，使学生进入思维兴奋状态，产生阅读欲望，主动阅读，探究问题，解决问题。如教学“黄金分割”时，教师利用多媒体展示和“黄金分割”有关的视频或图片，如东方明珠塔的视频、芭蕾舞演员图片，并提出问题：①东方明珠塔是世界第三高塔，有两个球体，假设你是设计师，会将球体安放于哪一位置呢？②芭蕾舞演员为何要踮起脚？这些为何会给人以平衡、和谐、美的感觉呢？这些都与“黄金分割”有关，那么什么是“黄金分割”呢？“黄金分割”在日常生活中还有哪些应用呢？若要解决上述问题，学生需要阅读教材，提炼信息。这样，利用问题情境，诱发学生阅读的积极性，学会通过自主阅读获取知识。
其次，组织阅读交流活动，增强学生的阅读兴趣。在初中数学教学中，由于学生能力不同、基础不同，他们的阅读能力与自制程度有所不同，阅读效果也不尽相同。在集体学习的过程中，学生之间会相互影响，如果学生处于浓厚的阅读氛围中，自然而然地会进行阅读。因此，为了进一步提高学生的阅读热情，教师可以不定期地组织阅读交流会，让同学们交流讨论，相互分享自己的阅读体会与经验。这样，既可以提高学生阅读的积极性，又可以在相互启发与促进中提高阅读的兴趣与能力。另外，教师还可以引导学生撰写数学小论文、读书笔记。读写结合，既可以强化阅读的效果，也有助于学生形成良好的阅读习惯。
二、指导方法，提高阅读能力
在初中阶段，虽然学生有了一定的自学能力，能够进行自主阅读，但有些学生由于阅读的方法不正确，费时耗力，导致阅读效率不高，而影响阅读兴趣。因此，在初中数学教学中，教师要在日常活动中巧妙地渗透对学生的方法指导，以提高学生的阅读能力。
第一，指导预习，使学生形成正确的阅读习惯。在初中数学教学中，教师可利用课前几分钟，要求学生自主预习，并指导预习方法，从而促进学生阅读能力的提升。对于一些内容较为简单的学习材料，教师可预留预习时间，引导学生自主阅读。当然，为了提高阅读效率，教师应尽量根据知识要点、重点与难点制定相应的预习提纲或思考题，让学生明确阅读目标，有方向地进行阅读与思考，初步感知数概念、数学公式等，并提出自己的疑惑。如教学负数时，教师可留出一定的预习时间。要求学生阅读课本内容，初步了解正、负数的概念，并说说生活中还有哪些相反意义的量。另外，教师还可以先要求学生阅读材料，然后提问，检测学生阅读效果，从而更有针对性地指导学生阅读方法。
第二，在知识教学中，渗透对学生阅读方法的指导。数学知识包括概念、定理、数学应用题、几何知识等，对于不同知识的阅读，其方法也有所不同。因此，在教学过程中，教师要将阅读指导贯穿于不同的知识中。如在教学数学概念、数学公式等基础知识时，教师要指导学生进行有效阅读的技巧与方法：理解定义、公式中的相关符号、数学术语，并了解其逻辑关系，把握语言文字、数学符号与相应图形的转化，透彻地理解数学定义、公式等知识。如勾股定理：如果直角三角形的两直角边长为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2.即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。再如教师可以以图形直观地呈现各类特殊四边形之间的关系，加深学生对定义的理解。同时，还要注意知识点之间的内在联系，完善学生的认知结构。
一、重视在概念、定义教学中培养学生的逆向思维
数学中的定义是通过揭示其本质而来的，定义都是充要条件，均为可逆的。所以，其命逆题也是成立的。因此，定义即是某一个数学概念的判定方法，也是这一概念的性质。在教学中应充分利用这一特征，尤为注意定义的逆用解决问题。在定义的教学中，除了让学生理解定义本身及其应用外，还要善于引导启发学生逆向思考，从而加深对定义的理解与拓展。
如绝对值是这样定义的：“正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值是零”除了从正向去理解计算，还要教学生逆向去理解，如“计算︱5︱=？︱-5︱=？”，这是从正向去理解计算，“一个数的绝对值等于5，这个数是多少？”这是逆向去理解计算。
二、重视数学公式、法则、性质的可逆性教学
数学公式本身是双向的，由左至右和由右至左同等重要，但习惯上讲究由左至右或化繁为简的顺序。为了防止学生只能单向运用公式，教师应通过对公式的推导、公式的形成过程与公式的形式进行对比，探索公式能否逆向运用，从而培养学生逆向思维能力和逆用公式，鼓励他们别出心裁地去解决问题，在“活”字上下工夫。
公式从左到右及从右到左，这样的转换正是由顺向思维转到逆向思维的能力的体现。因此，当讲授完一个公式及其应用后，紧接着举一些公式的逆应用的例子，可以开阔学生的思维空间。
三、重视引导学生探讨命题（定理）的逆命题
每个定理都有它的逆命题，但逆命题不一定成立，经过证明后成立即为逆定理。在平面几何中，许多的性质与判定都有逆定理。因此教学时应重视定理和逆定理，强调其可逆性与相互性，对培养学生推理证明的能力很有帮助。例如：“互为余角”的定义教学中，可采用以下形式：∠A+∠B=90°，∠A、∠B互为余角（顺向思维），∠A、∠B互为余角。∠A+∠B=90°（逆向思维）。
当然，在平常的教学中，教师本身应明确哪些定理的逆命题是真命题，才能适时给学生以训练。如：平行线的性质与判定，线段的垂直平分线的性质与判定，平行四边形的性质与判定等，注意它的条件与结论的关系，加深对定理的理解和应用，重视逆定理的教学对开阔学生思维视野，活跃思维大有益处。
四、注意逆向思维能力的培养
1.在解题中进行逆向思维能力的培养
我们知道，解数学题最重要的是寻求解题思路，这就需要我们解题之前，综合运用分析和综合或先顺推，后逆推；或者先逆推，后顺推；或者边顺推边逆推，以求在某个环节达到统一，从而找到解题途径。由此可见，探求解题思路的过程也存在着思维的可逆性，它们相辅相成，互相补充，以达到此路不通彼路通的效果。中学数学课本中的逆运算、否命题、反证法、分析法、充要条件等都涉及到思维的逆向性，在数学解题中，通常是从已知到结论的思维方式，然而有些数学总是按照这种思维方式则比较困难，而且常常伴随有较大的运算量，有时甚至无法解决，在这种情况下，只要我们多注意定理、公式、规律性例题的逆用，正难则反，往往可以使 问题简化，经常性地注意这方面的训练可以培养学生思维的敏捷性。
2.教学设计中进行逆向思维教学的运用
教学设计是中不仅注意反映教材的重点、难点，还要注意到对学生思维能力的培养，特别要注意逆向思维的运用。因此经常逆向设问，以培养学生的逆向思维意识。
同时教师应经常地、有意识地从正反两反面探索数学问题，引导学生从对立统一中去把握数学对象，解决数学问题。
教师在总结思维过程时应告诉学生有的问题从“正面”不易解答时，从其“反面”思考往往有突破性效果。通过分析启发很容易掌握，既激发了学生解题兴趣，又培养了学生正确思维方法和良好的思维习惯，思维能力逐步提高。因式分解一章教材本身就明确提出了“因式分解与整式乘法的互逆关系”，教学中抓住“互逆”、“反过来”这条主线，就能让学生真正理解因式分解的意义，并得到逆向思维的训练从而提高思维能力。
3.巩固对逆向思维的理解和掌握
一、初中数学教学中渗透数学文化的重要作用
初中数学文化的学习对于学生数学学习有很重要的意义，所以数学文化的学习应该在数学教学中得到应有的重视。通过学习数学文化，能够了解到数学家的奋斗历程，在数学上杰出的贡献和数学家在科研上刻苦钻研的精神。数学家在数学研究上认真严谨的精神，以及刻苦钻研的态度，能够调动学生学习数学的积极性，让学生在潜意识中愿意向这些数学家学习，从而使自己在数学上也能取得优异的成绩。学习数学文化可以提升学生理解数学问题的能力，帮助学生记忆数学内容。在中国的历史上也有很多著名的数学家，如祖冲之、华罗庚、陈景润等，他们为数学做出了很多贡献。例如，祖冲之曾将圆周率π确定到小数点后七位，当时处于世界上的领先水平，是我国数学历史上的杰出成就。教师通过讲解这些数学文化，可以丰富课堂上的数学教学内容，激发学生学习数学的积极性，培养学生自主学习的意识。
二、初中数学教学中渗透数学文化的现状分析
新课程背景下，数学文化正逐渐走进数学课堂，但是教师对于数学文化的重视程度不够，弱化了对数学文化的教学。而对于学生而言，由于在数学学习上对于数学文化的应用比较少，久而久之也就忽视了这部分内容的学习。两方面原因导致数学文化在数学教学中的渗透非常有限，学生对数学文化的了解程度也就少之又少。课堂教学中只注重学生数学能力的培养而弱化对数学文化的渗透。教师在数学课堂，对于数学的教学主要是数学技能的培养，教学目的主要围绕提升学生的解题能力，提高学生的学习效率。数学文化在课本上的体现也在次于理论知识的位置，所以，数学文化不能得到足够的重视，导致学生在学习数学知识时忽视数学文化的学习。
三、初中数学教学中渗透数学文化的实践途径
1.从课堂抓起，渗透数学文化
要提高初中生的数学文化储备，不能只停留在口头上，要在实践中不断提高学生对数学文化的学习能力，就要求教师在教学中，采取科学合理的途径帮助学生进行提高，通过对数学文化进行不断的渗透，使学生在潜移默化中受到影响。要让学生了解更多的数学文化，就要挖掘教材中可用的材料，将数学文化与教材内容结合，通过数学文化来引导学生学习数学知识。例如，在学习几何“三角形”这部分内容时，教师可以在课程开始之前，给学生讲解勾股定理的由来，以及勾股定理在中国的发展史等内容，从而激发学生的学习兴趣，促进学生对数学文化的学习。
2.讲解数学名家故事，锻炼学生意志
教师在讲解每一部分数学内容之前，都可以用一段简短的时间为学生讲解一个著名的数学家刻苦钻研的事例或者一些数学家的名人轶事。通过这些内容的讲解，可以增加学生对数学家的了解，锻炼学生的数学意志。并且讲解这些内容也使数学课堂变得更加丰富多彩，可以有效地调动学生学习数学的积极性。例如，我国著名数学家陈景润在数学上有很多伟大的成就。他在青年求学的过程中非常刻苦，他热爱学习，经常是书不离手。曾经有一次，因为他还书的日期到了，但是书还差一点没有读完，他就在还书的路上一边走，一边读，他读书非常专注，以至于下雨了都浑然不知。这样专注的学习态度是值得所有学生学习的，他的故事对于学生学习也会有很大的启发，激励学生努力学习，提高自己。
3.开展数学文化角，进行课外延伸
最好的渗透数学文化的实践途径，就是以学生为主体，教师可以通过开展数学文化角的方式，进行课外延伸，这样可以培养阅读习惯，增加学生对数学文化的理解。例如，可以将班级文化墙的一部分作为数学文化板块，让同学们制作关于自己最喜欢的数学家的故事，或者名人轶事、数学公式来源等。再如，可以在课堂上带领学生探访一些历史名题。如高斯也是一位伟大的数学家，他曾经用技巧的算法快速算出从一到一百的和就是很好的例子，对于学生进行数字规律的学习有很大的启发作用。
四、结语
数学文化是数学的重要组成部分，与数学有不可分割的关系。通过数学文化的学习，学生可以更加了解数学的发展史，以及数学公式的由来。现在学生学习的系统的数学内容，是历代数学工作者努力的结晶，是数学的灵魂所在，是需要学生在学习过程中了解的内容。通过数学文化的渗透，可以加深学生的学习印象，帮助学生对所学的数学内容进行理解和记忆，对学生数学能力的提高有重要的意义。教师在教学中应该注意对学生数学素质的培养，在数学课堂中更多地渗透数学文化，使学生不仅学到数学技能，更认识到数学精神。
参考文献：
1.梁绍军.关于初中“数学文化”课程的教学与研究[J].西南大学学报：自然科学版，2010（12）.
2.宋胜吉.谈数学文化在课堂教学中的渗透[J].延边教学学院学报，2010（11）.
一、经历数学概念的形成过程
新课标指出：抽象数学概念的教学要关注概念实际背景与形成过程。教师在概念教学时，切忌直截了当地就定义讲定义，应更多地从概念的产生和发展过程中为学生提供思维情景，让他们通过观察、比较、概括，由特殊到一般，由具体到抽象，这样才能保证学生理解和掌握新概念，而且也能使他们的抽象思维得到发展。
如数轴概念的教学，由于该概念涉及数形结合的思想，初一的学生要掌握这个概念有些难度，教师先出示下列问题：小张家向东走20米是书店，向西走30米是少年宫。若规定向东走为正，向西走为负，那么，小张从家出发，走到书店应记作什么？走到少年宫记作什么？温度计显示零上20℃，零下3℃，你如何用有理数表示？
教师接着要求学生将上述两个问题分别用简单形象的图示方法来描述它们，并进一步引导学生提炼出它们的共同属性：
①能用图线表示事物的数量特征（可用同一直线上的线段来刻划），②度量的起点（0℃和小张家），③度量的单位（温度计每格表示1℃），④有表示相反意义的方向（向东为正，向西为负；零上为正，零下为负）。
这样就启发学生用直线上的点表示数，对于“表示相反意义的方向”用箭头“”表示正方向，从而引进“数轴”的概念。这样做既符合学生的认识规律，给学生留下深刻持久的印象，同时也有助于激发学生的学习兴趣，促使他们积极参与教学活动，有利于学生思维能力的培养和素质的提高。
二、感受数学公式、定理、法则的发现过程
数学公式、定理、法则是从现实世界的空间形式或数量关系中抽象出来的。教师在向学生讲授某个定理、公式，一般不要一开始便直接把定理、公式“塞给”学生，而应尽量通过创设一定的情景引导学生对具体的事物（数学现实模型）进行观察、测量、计算等实践活动，来猜测定理、公式的具体内容。如“积的乘方”法则的教学可设计为：先计算(2×3)2与22×32，比较它们的结果是否相等？再计算(－2×3)2与(－2)2×32，比较它们的结果是否相等？根据上面的算式，猜想(ab)2与a2b2是否相等？并给出说明。类似地提出：计算(2×3)3与23×33，比较它们的结果是否相等？再计算(－2×3)3与(－2)3×33，比较它们的结果是否相等？然后要求学生写出类似问题并加以计算，根据上面的算式，猜想(ab)3与a3b3是否相等？并给出说明。有了上述问题引导学生猜想(ab)n的结果（n是正整数）。这样，通过回忆复习旧知识，了解新旧知识之间的联系，亲身体验到知识的产生和发展过程，加深了学生对定理本质的理解，也促进了学生认知结构的优化与发展。
三、体验数学问题解法及拓广的探索过程
著名数学教育家玻利亚的解题表强调解题的四个步骤，其中解题方法的探索和解题后的反思这两个步骤往往为我们的教师所忽略，很多教师缺乏解题方法的探索过程，使学生对题目的解法感到突然，觉得老师的方法妙，但就是不知道是如何想出来的？因此，教师要重视引导学生探索、发现问题及拓广问题的方法，切忌“掐头去尾，烧中段”的解题教学模式。同时由于很多数学问题的解法具有多样性，因此，教师要留给学生思考的空间，鼓励学生发表自己的看法，从多角度、多侧面思考问题。
例如，在讲二元一次方程组的解的时候，我是这样引入的：现有足够的2元和1元的钱，要将1张10元的钱换成2元和1元的零钞，问有多少种换法？同学们一下子兴奋起来，通过讨论，提出了这样的方案：设换二元的x张，换1元的y张，列方程2x+y=10，解这个方程的非负整数解有6种换法。这样学生对二元一次方程的解有了进一步的认识，也培养了学生数学建模的思想。当我们学了“数据的收集”后，让每个学习小组写一份调查报告，学生兴趣很浓，有的调查“班级同学每月零花钱的使用情况”，有的调查“每个家庭每月塑料袋的使用情况”，有的调查“每个同学的叠被情况”。然后专门用一课时在多媒体教室展示成果，学生热情很高，学生再也不认为数学是高深莫测的东西了。
这样通过将课本例题的改造，引导学生发现结论并从多个角度解决问题，又通过类比、引申、推广提出新的问题并加以解决，既能有效地掌握数学基本知识，又能培养学生探究问题的方法和策略。
四、重视过程教学应注意的问题
教师加强过程教学时必须力求把数学知识蕴含的最重要的思想方法揭示出来，将这些深层知识由潜形态转变为显形态，使学生对数学思想方法的朦胧感受转变为明晰、理解和掌握，并领悟数学思想方法的运用。
关 键 词：高中数学 教学质量 有效途径
中学数学教学，一方面要传授数学知识，使学生具备数学基础知识的素养；另一方面，要通过数学知识的传授，培养学生能力，发展智力，这是数学教学中一个非常重要的方面，引起高度重视，在诸多能力中，思维能力是核心。
提高学生的数学思维能力，这是数学教育的基本目标之一。人们在学习数学和运用数学解决问题时，不断地经历直观感知、观察发现、归纳类比、空间想像、抽象概括、符号表示、运算求解、数据处理、演绎证明、反思与建构等思维过程。这些过程是数学思维能力的具体体现，有助于学生对客观事物中蕴涵的数学模式进行思考和做出判断。数学思维能力在形成理性思维中发挥着独特的作用。
说到考试能力，根本点就是要把学生在能力上的这种个体差异，通过试卷中的试题组合这种间接的测量方式，以分数的量化形式体现出来。考试能力，就是要考查学生运用所学知识解决问题的能力。
那么如何通过培养学生的数学思维能力从而提高教学质量昵？
一、培养逻辑思维能力、推理论证能力
数学思维的敏捷性，主要反映了正确前提下的速度问题。因此，数学教学中，一方面可以考虑训练学生的运算速度，另一方面要尽量使学生掌握数学概念、原理的本质，提高所掌握的数学知识的抽象程度。因为所掌握的知识越本质、抽象程度越高，其适应的范围就越广泛，检索的速度也就越快。另外，运算速度不仅仅是对数学知识理解程度的差异，而且还有运算习惯以及思维概括能力的差异。
因此，数学教学中，应当时刻向学生提出速度方面的要求，另外还要使学生掌握速算的要领。例如，每次上课时都可以选择一些数学习题，让学生计时演算；结合教学内容教给学生一定的速算要领和方法；常用的数字，如20以内自然数的平方数、10以内自然数的立方数、特殊角的三角函数值、n、lg2、lg3的近似值都要做到“一口清”；常用的数学公式如平方和、平方差、立方和、立方差、一元二次方程的有关公式、对数和指数的有关公式、三角函数的有关公式、各种面积、体积公式、基本不等式、排列数和组合数公式、二项式定理、复数的有关公式、斜率公式、直线、二次曲线的标准方程等等，都要做到应用自如。实际上，速算要领的掌握和熟记一些数据、公式等，在思维活动中是一个概括的过程，同时也训练了学生的数学技能，而数学技能的泛化就成为能力。
数学思维功能僵化现象在学生中是大量存在的，这与学生平时所受的思维训练有很大关系。教师在教学过程中过分强调程式化和模式化；例题教学中给学生归纳了各种类型，并要求学生按部就班地解题，不许越雷池一步；要求学生解答大量重复性练习题，减少了学生自己思考和探索的机会，导致学生只会模仿、套用模式解题。灌输式的教学使学生的思维缺乏应变能力。因此，为了培养学生的思维灵活性，应当增强数学教学的变化性，为学生提供思维的广泛联想空间，使学生在面临问题时能够从多种角度进行考虑，并迅速地建立起自己的思路，真正做到“举一反三”。教学实践表明，变式教学对于培养学生思维的灵活性有很大作用，在概念教学中，使学生用等值语言叙述概念，数学公式教学中，要求学生掌握公式的各种变形，都有利于培养思维的灵活性。
二、培养抽象概括能力和选择判断能力
数学教学中，应当强调数学的“过程”与“结果”的平衡，要让学生经历数学结论的获得过程，而不是只注意数学活动的结果。这里，“经历数学结论的获得过程”的含义是什么呢？我们认为，其实质是要让学生有机会通过自己的概括活动，去探究和发现数学的规律。
必须指出的是，抽象概括能力的培养，不论采取何种教学方法，关键是要有正确的教学思想，使学生真正成为学习的主体，把教学真正建立在学生自己的独立探索、思考、理解的基础上，真正给学生以独立探索的机会，使他们在学习过程中有充分的自由思想空间，使学生有机会经历数学概括的全过程。但是，在教学实践中，要做到这些并不容易，教师对学生的学习能力往往并不完全信任，他们总怕学生出错，总怕学生会浪费时间，总想搀扶着学生，甚至不惜去代替学生思维。而这些做法与培养学生的数学概括能力的要求是背道而驰的，也是与数学学习的本来面目不相符合的。因此，在数学教学中，我们应当从数学概括的自身特点出发，在使用抽象的数学语言和符号表述数学定义、定理或原理之前，通过可观察的（实物、图形、图表等等）、描述性的、可亲身体验的形式来传播新的思想，从而引起学生的学习兴趣，促使他们自己去试验、构造，用他们自己的语言去阐述和解释，通过自己的独立思维活动来学习知识。要为学生创造一种环境，使他们在其中扮演自主活动的角色，有发挥自己的聪明才智进行创造性学习的机会，能自己去寻找需要的证据，获得能够反映自身特点的
对数学原理的解释，在他们自己的水平上完成对数学原理的概括过程。我们应当把数学当作一种科学探索的过程（当然，它是在教师的指导下进行的），而不要把它当成是一种语言、一种高度抽象的理论。应当努力促使学生形成自己对数学的理解，并能用自己的语言来表达这种理解，而不要只是追求所谓的精确性。因为在学生的数学学习中，精确而没有理解，理解但不精确的现象都不少见。通过死记硬背而一字不差地重述一个定理，在任何时候都不能与理解一个定理划上等号。
因此，在课堂教学中，只有以培养学生的数学思维能力为重点，才能实际提高数学课的教学质量。
参考文献：
[1]邹湘梅：《培养学生数学创新能力的探索》[J]安徽教育2003；
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