时间：2023-06-25 16:19:40
导语：在分数乘除法的规律的撰写旅程中，学习并吸收他人佳作的精髓是一条宝贵的路径，好期刊汇集了九篇优秀范文，愿这些内容能够启发您的创作灵感，引领您探索更多的创作可能。
1.学生解决应用题时出现困难，产生心理障碍的原因。
1.1 教学中忽略了模仿练习和习题中的“例题”。新教材的解决问题分散在各单元教学中，题目包含了老教材中大部分的例题，并增加了新知识，但题量较少，因此，从例题到习题变化较大，例题是一种题，习题出现了多种题目。这样的优势是能促使学生关注解决问题的策略，形成解题计划，发展数学思维能力。但问题是少了必要的模仿巩固，教学中我有时也忽略了这个问题；某些题目在教材上是首次出现，我有时也没有按照例题来教学，学生实在很难掌握。部分学生在解决新问题时出现思维障碍，久而久之在解决问题方面也形成了心理障碍。
1.2 忽略了分析数量关系，解决问题时较急躁。新教材中的解决问题重视情境的创设，重视素材的现实性和趣味性，呈现形式图文并茂，鼓励学生根据已有的经验解题，只出现一两句关键的数量结构。所以，教学中，我们更多是关注情景创设，关注信息收集，而忽略了数量关系的分析。
1.3 弱化了解题策略的引领。新教材在解决问题的教学中，重视从学生的生活经验出发。教学中，我只重视了鼓励学生利用已有的生活经验进行解题，弱化了根据题目的特点和学生的思维发展水平，使学生掌握一些常用的解题策略。
1.4 忽略了认知结构的形成。教学中，只重视联系学生经验，重视情境创设，注意信息收集，引导学生自主探索方法，忽略了认知结构的形成。表现在以下两个方面：一是，复杂情境的干扰，创设的情境过于花哨，学生受复杂信息干扰过多，不能关注问题的关键；其次是结构训练的缺失，新教材中的解决问题是分散的，教学中有被教材牵着鼻子走的现象，有时有就题论题的教学现象，不能使数学知识结构化。
2.提高学生解决应用题能力，排解心理障碍的策略。
针对以上的问题，我认为应用题部分的教学，除充分利用新教材的优点——重视联系学生经验，重视情境创设，注意信息收集，引导学生自主探索方法等。同时，也应传承传统应用题的教学精粹。现主要针对教学中的缺失，谈谈如何改进应用题教学：
2.1 透彻理解数量关系。
2.1.1 牢固掌握基础知识。理解和掌握数量关系是解答应用题的前提。应用题与式题的最大区别是：它不用符号而是用文字表达数量之间的关系。学生只有把应用题中用问题表达的基本数量关系弄清楚，才有可能正确列式。而学生要透彻理解数量关系，首先必须牢固掌握一些基础知识，包整数加、减、乘、除的意义，以及使用范围。特别是加减法中，已知较小数及两数的和或差求较大数，已知较大数及两数的和或差求较小数，以及乘除法中，关于1倍数的认识；加与减，乘与除互为逆运算关系；常见的乘除法三量关系，如单价、数量、总价等；一些名词术语的确切含义，如：和、差、积、商、扩大、缩小、增加、减少、增加到、减少到等；每一个概念、性质、公式等。
2.1.2 夯实简单应用题的教学。除牢固掌握这些与理解应用题数量关系有着直接关系的基础知识外，还要加强简单应用题的教学。了解简单应用题的结构条件和问题之间的相依关系是解答复杂应用题的基础。所谓应用题中的数量关系，具体说，也就是已知条件和问题之间的关系，几个已知条件之间的关系。简单应用题的教学，可以使学生熟练地掌握多种数量关系。因此，要提高学生解答应用题的能力，就必须在简单应用题的教学上下功夫，对学生严格要求，严格训练，不仅要求学生懂得题意，能正确列式，而且要求能用简单明确的语言讲清数量关系。在这方面 ，可以采取很多办法。如：在学生理解了加减乘除的意义及应用范围后，让学生编题、变题、填条件、填问题、讲题画图等。这样做，不仅可以对各种数量关系进行区别、对比、综合、归纳，加深对这些数量关系的理解，同时，还可以学习一些推理方法。简单应用题的教学方法 很多，应当结合学生的实际情况，选择有效的教学方法，不能强求一律。但无论采取哪种教学方法，都应达到两个要求，一是能根据两个已知条件提出各种问题；二是能根据一个问题，找到与问题有关联的已知条件。
以上所说的加强基础知识教学和简单应用题的教学是透彻理解应用题中数量关系最关键的两点，这两点突破了，就为学生理解复杂的应用题的数量关系创造了十分有利的条件。复杂应用题由于已知条件和问题之间的关系较远，中间隐蔽了一些条件，所以，分析数量关系比较困难。为此，需要引导学生认真读题，弄清题意，把条件分类，再分析数量关系。
2.2 培养推理的能力，学会推理的方法。一般说，分析数量关系的过程，就是学生判断推理的过程。但由于题目变化很多，学生在解题时往往感到茫然，无从下手，所以必须使他们掌握推理方法。
分析法是由未知推得已知的方法，它的思考过程是从问题开始推导，即要解答所求的问题需要什么直接条件，再以此类推下去，直到所需的条件都是题中已给的条件时，问题才算解决。
综合法是由已知推向未知的方法，它的推导过程是从已知条件开始，一步步求出解答问题所需要的未知条件，最后求出问题。
这两种方法不是孤立的，是互相关联的。由问题入手进行推导时，虽然主要是根据问题找条件，但同时也要思考，找出的条件能不能解答所求的问题。同理，由条件入手思考时，也要考虑所求的问题，否则推导就失去了方向。至于应该采取哪种方法进行推理，要因题而异，灵活应用。
另外，我们在教学中还可以应用其它一些方法进行推理：
（1）列关系式。它比较适用于简单应用题。如：求一个数是另一个数的百分之几的问题。学生往往把除数和被除数颠倒了，但只要一列关系式就可以解决了：乙比甲多百分之几，可列关系式为：乙比甲多的数÷甲
（2）画图推理。它本身类似综合法，但它非常直观，特别是解答复杂的倍数关系或分数乘除法应用题时，通过画图能使学生一目了然，常常能起到恍然大悟的作用。如前所述的题目，一画图，学生便很容易列式解答：
总之，推理方法很多，但都源于综合法和分析法，前面列举的几种就是如此。所以，运用综合法和分析法进行推理是解答应用题的基本方法。
2.3 注重揭示应用题的规律。任何事物都有它本身的规律，数学作为一门自然学科，也同样如此。揭示规律才能开阔学生的思路，受到举一反三的效果。揭示规律通常采用的方法有两种：
一种是对比的方法。如分数乘除法应用题，题目本身差不多，学生在判断时却经常出错。如何揭示它的规律呢？在讲完分数乘除法，经过大量练习后 ，老师可以给三个已知条件，让学生组成三个问题，研究三个问题之间的关系。
三个条件：甲储蓄400元，乙储蓄500元，甲是乙的4/5
三个问题：
（1）甲储蓄400元，乙储蓄500元，甲是乙的几分之几？
（2）甲储蓄400元，甲是乙的4/5，乙储蓄多少元？
（3）乙储蓄500元，甲是乙的4/5，甲储蓄多少元？
三个算式：400÷500=4/5 400÷4/5=500（元） 500×4/5=400（元）
引导学生发现分数乘除法应用题的三种基本类型，就是乘法运算和它的逆运算。把这三种类型应用题不断同时出现，让学生反复区别它们的不同特点后，再总结规律。使学生从模仿（巩固基本数量结构）到变化（建立问题模型），达到举一反三，触类旁通的实效。
另一种是用矛盾的转化揭示规律。如：复杂应用题可通过转化，分解成几道一步计算的应用题来解，几个小题分别解决了，大问题也就解决了；反之，也可以把几道一步计算的应用题合并成一道复合应用题解。在相互转化中，引领学生了解简单应用题与复合应用题的关系，掌握复合应用题的结构，从而提高解决问题的能力。
2.4 学会灵活运用所学的知识。学生掌握某些解答应用题的规律不是最终的目的，更重要的是能运用知识解决实际问题。所以，能否会灵活应用所学知识，是衡量一个学生能力高低的标志。灵活不是单纯的多练就能奏效的，关键在于学生对某些问题理解程度。对问题本质认识越深刻，运用起来也就越灵活。因此，要把知识教活，必须在“懂”字上下功夫，就必须在揭示知识本质上下功夫。
2.4.1 充分利用知识的内在联系，使学生逐步加深对概念本质特征的认识。学生解答分数乘除应用题时常出现这样的错误：把分数乘除法中“÷”的题做成“×”，其原因是学生总用整数乘除法的规律去理解分数问题。有些学生不懂得求一倍数用除法，求一个数的几倍或几分之几是多少用乘法，总是用整数乘除法中越乘越大，越除越小的规律去套分数应用题，结果是乘除混淆。由于学生分数乘除法的意义这一概念的本质特征没有真正理解，所以经常出错误。因此，教学中，应抓住知识的内在联系，充分揭示分数乘除法关系的本质特征，做到温故而知新，逐步深入。
2.4.2 留有余地，加强练习。要使知识转化为能力，还要加强练习。针对新教材练习的特点，应适当增加练习，但一定要注意针对性和灵活性。如针对新教材中新题在习题中出现，必须按例题来教；新题教后，应适当增加模仿练习，巩固技能等。至于题目中灵活性，可采用一题多变、一题多解、条件适当变难等。但须注意的是：①一题多变，要多而不乱。是指题目的变化要用同一件事，从不同的角度出发，提出不同的问题，尽管题目多但不乱，否则，一个题目说一件事，就容易乱。②一题多解，要比较优劣。③条件适当变难，要难而不繁。是指变化一个或两个条件，使题目有一定难度，而不是变化一个或几个条件 ，再引出一些条件使题目很复杂。只有有效把握题目变化的程度，才有可能使学生所学的知识逐步深化，从而达到灵活运动的目的。
总之，应用题的教学是新课程改革中面临的新问题，我们应整合应用题教学的优点，脚踏实地，才能收到实效。
参考文献
[1] 缪玉田编著：《北京市数学教学经验汇编》，化学工业出版社，1982年版。
[2] 《数学课程标准》（实验稿），北京师范大学出版社，2002年版。
错误一：乘除法混淆;
如口算 4.5×0.01= 4.5÷0.01= 这两题时，常常有学生将答案写反了。我想出现这样的错误，是因为学生对于小数乘、除法的算法不太明确：小数乘法是先看成整数乘法计算，最后根据因数中小数的位数点小数点;小数除法，先根据商不变的规律将除数变成整数，再进行计算。还有的学生在计算一个小数除以整数时，在竖式上杠掉了被除数的小数点。这些都是因为没有很好的理解商不变规律对计算小数除法的作用。
错误二：商中间有0;
在让学生计算3.66÷1.2时，不少学生得数网为3.5，观察他们的竖式计算过程，发现原来是个位上商3后，同时落下6和0两个数字。其实，这个算法与前面研究的整数除法中商中间有0的情况是相似的。数学学习是循序渐进的过程，每一个前期所学的知识都会对后续学习产生影响。
一、 “数的运算”中转化思想渗透的内容
数学思想是以数学知识为载体的，而小学数学教材主要以知识结构作为编排体系，数学思想方法分散于整个教材之中，小学生很难自主地从教材中挖掘出来，而“数的运算”是“数与代数”领域中所占分量最大的教学内容和数学学习的重要基础，因而，教师需要认真地分析教材，研深读透，看到教材背后隐含的东西，这样才能在教学过程中有效地渗透数学思想方法。笔者对苏教版新课标小学数学教材进行了认真系统的研读，归纳出了“数的运算”蕴含的转化思想。
从表1[2]可以看出，“数的运算”的整体性很强，新旧知识之间的联系非常密切，新知识大都是建立在旧知识的基础上。
加减计算：20以内整数的加减100以内整数的加减多位整数的加减小数加减分数加减。其中20以内整数的加减计算是基础。如32+51可以转化成3+5和2+1两道十以内数的计算，83-64可以转化成13-4和7-6两道计算。多位数计算也同样。分数加减计算如2/9+5/9就是2个1/9加5个1/9，就是（2+5）个1/9，最后也可以看作是20以内数的计算。异分母分数加减可转化成同分母分数加减。小数加减亦然，只需在小数点对齐的基础上按整数加减法计算法则计算即可。
乘除计算：乘数是一位数乘法多位数乘法小数乘法分数乘法。一位数乘法口诀是基础，多位数乘法都可以把它转化成一位数乘法。除数是一位数的除法多位数除法小数除法分数除法。除法中除数是一位数除法的计算方法是基础，多位数除法也都可以把它转化成一位数除法。小数乘除、分数乘除都可以转化为整数乘除，例如计算3.6×0.18，先将它转化成36×18，再根据小数的性质和积的变化规律，最终得出结果。
同时，在“数的运算”过程中，加法与减法之间可以转化，乘法与除法之间可以转化。几个相同加数连加的和，可以转化成乘法来计算。被减数连续减去几个相同的减数，差为零，可以转化成除法来表示。
二、 “数的运算”中转化思想渗透的层次
由上述分析可以看出，“数的运算”内容整体性强、新旧知识联系密切，同时，各年级教材中对转化思想的渗透具有一定的层次。
在低年级，教材只在解决问题的过程中，让学生初步感悟通过转化能够解决新问题，就可视为目标达成，并未进行拓展。例如，在计算教学的起步阶段，学习“20以内的加法”时，例题为9+4=？教材中只用直观、具体的方式将“凑10法”这一转化思想方法的过程呈现出来，以达到解决问题的目的就行了，并不十分深究其中的原因。
到了中年级，教材中没有出现关于转化思想的学习章节，这时就需要教师在引导学生通过转化解决问题的过程中，一方面要让学生感受转化的过程及其带来的益处，另一方面还要适时对转化思想加以概括，使其在学生心中留下深刻的印象。如在三年级下册“（一位）小数的加减”的教学过程中，教师要通过列竖式，总结小数加减就是要“小数点对齐，从低位算起”来渗透转化思想，并明确告诉学生：是“转化”让我们这么轻松地解决了小数相加减的问题。再如四年级下册口算125×72时，我们可将它转化成125×8×9，从而避免繁琐的笔算。 “转化”是帮助我们解决问题的好方法，今后我们遇到新问题无法解决时，就想想能否把它转化为我们学过的知识来解决，进而让学生体会到“转化”真是个好方法。
高年级的学生，经过了中低年级时对转化思想的长期性渗透，在遇到“多位数乘除法”、“异分母分数加减法”等新问题时已经能自觉地在头脑中搜索与该问题有关的旧知识，来帮助他们解决新问题，这时教材中也会出现引导学生对转化思想进行自我总结、概括的话语。如在教学小数加减法时，教材中提出：“小学加、减法与整数加、减法在计算时有什么相同点？计算小数加、减法要注意些什么？”学生通过对教材中这一问题的思考与回答，加深了学生对转化思想的体会与理解，有助于他们在实践中灵活运用。
在“数的运算”中，转化思想的渗透，往往伴随着“数形结合”等思想的运用而呈现出来，以帮助学生更好地理解、更快速地解决问题。当然，在教材中渗透转化思想的最终目的也是要使学生自己体会转化思想的意义和价值，并掌握转化这一思想方法。而应用转化思想的过程，实际上是一个完成复杂向简单、抽象向直观、困难向容易、陌生向熟悉、未知向已知转化的过程，因而在教学中，教师应明确此目标。
参考文献
【关键词】高段；计算能力；策略；成绩
一、起 因
数学计算对这些孩子来说并不存在很大的困难，只要“跳一跳”还是能摘到“葡萄”的。我们选择高段学生的作业及考试进行了认真仔细的分析，从学生计算出错的情况，暴露出学生在计算方面存在的一些问题，归纳起来主要有以下几个方面：
1.感知粗略，造成差错。
有的同学计算时往往“抄错题”，如：7.9×0.68=把因数7.9错抄成7.6，有的把竖式中的计算结果5.372写到横式中时错抄成5.327。
2.技能欠缺，形成知识性错误。
① 概念模糊不清。如：分数除法计算中， ÷ =会出现 ÷ = × = ，更有甚者学了分数除法计算法则后在计算分数加减法计算试题时也全部用分数除法的方法来计算了。
② 计算法则错误。如：分数乘法计算中，例如 ×10=会出现 ×10= ， ×2与 × 相等。也会出现 × = 的结果。
3.思维定势的作用。
定势是的一种，是一定心理活动所形成的准备状态。计算中受一定的思维“惯性”影响，如看见625÷25×4先算25×4，不恰当地使用了所谓“简便算法”，造成运算错误。
4.习惯不良，造成无谓失误。
部分学生由于平时计算比较随便，如字迹潦草，草稿纸书写随便，计算前不注意审题，计算后不估算、不检查，导致计算中出现错误。
有专家认为：“学习一个数学概念、原理、法则，如果能组织起适当的有效的认知结构，并使之成为个人内部的知识网络的一部分，那么学生才会产生他们自己的数学理解。”
二、 归 因
我一直从事小学高段数学的教学，对学生在数学学习能力方面进行了观察，学习有困难学生不仅计算、图形、应用题理解上面都很欠缺，但是想要提高他们的空间思维和应用题理解上还是有一些困难。《标准》指出：“不同的人在数学上得到不同的发展”。因此觉得提高他们的计算能力，让计算成为他们的矮树枝，给予他们成功的体验，拾回他们的学习兴趣，对提高他们的学习责任心和学习成绩会有一定的效果。究其原因，主要有以下几方面：
1.环境因素
计算能力在日常生活中的应用性。它包括口算、估算、笔算能力，它在日常生活中有很强的应用性。
2.师源问题
纵观全国小学数学试题，涉及计算内容的题目在一份试卷中均占85%以上。从这个意义上说，加强计算教学，有效地提高计算的正确率是提高小学数学教学成绩的一个非常重要的方面。
3.学科特点
计算在小学数学教学中占据着十分重要的地位，是小学数学内容的重要组成部分，是学习数学的基础。正确计算是学生学习数学时必须具备和掌握的一项基本功，
4.个体需求
教师在教学中如果能精细培养学生的计算能力，让他们体会到成就感，从而培养了他们的自信心和自尊心，激励他们积极争取，努力向上，对于他们的人生都有积极的意义。
三 、 策 略
如何提高学生的计算能力呢？首先要调动学生学习的积极性。主要是让他们理解一些计算中的算理，合理地运用一些运算中的定律、性质，形成计算技能。加强口算和估算能力的培养，养成认真审题和检验的良好习惯，提高计算的效率和正确率。
1.培养口算能力，切实打好基础
教育心理学常识告诉我们，只有在强烈的动机和浓厚的兴趣驱使下，学习活动才能获得良好效果。就能在较长时间里集中注意力，并不断体验到学习的快乐，体验到成功者的自信。作为教师必须为这些学生找到快乐学习的源泉。
教学情况表明，口算是笔算、估算和简算的基础，是数学的重要组成部分。它有利于训练学生思维的敏捷性，能激发学生学习兴趣。一个学生的计算正确率的高低和计算速度的快慢，与他口算能力的强弱是成正比例的。具体从以下几个方面进行训练：
（1）记忆性训练
高年级计算内容中一些常见的运算在现实生活中也经常遇到，通过强化记忆训练来解决，可以提高计算效率。
（2）针对性训练
小学高年级数学计算的主体形式已从整数转到了分数。通过分析归纳，异分母分数加（减）法只有三种情况，每种情况中都有它的口算规律，问题就迎刃而解了。
① 两个分数，分母中大数是小数倍数的。如“ + ”这种情况，口算相对容易些，方法是：大的分母就是两个分母的公分母，只要把小的分母扩大倍数，直到与大数相同为止，然后按同分母分数相加进行口算：
② 两个分数，分母是互质数的。这如 + =，口算过程是：公分母是5×7=35，分子是（2×7）+（5×3）=29结果是 。如果两个分数的分子都是1，则口算更快。
③ 两个分数，两个分母既不是互质数，大数又不是小数的倍数的情况。
（3）熟练性训练
① 视算式口算训练：这种方法在课堂教学中使用最为广泛，由教师直接出口算卡片，让学生在规定时间内回答出结果。
② 编题互检式口算训练：在师生共同完成新知识点后，让学生根据所学内容，编出相应的口算练习。
③ 听算式口算训练：不出示口算练习，取而代之的是由教师口头读题，开火车式要求学生口答。
总而言之，不同的形式都会产生不同的效果，对口算训练始终保持着浓厚的兴趣，从而进一步提高对学习数学计算的兴趣。
2.养成良好习惯，提高计算正确率
（1）审题习惯
一般计算题审题的方法是两看两思。即：先看一看整个算式，是由几部分组成的，想一想，按一般法则应如何计算；再看一看有没有某些特别的条件，想一想能不能用简便方法计算。学生按照这些方法去做，就能使计算有了初步的保证。
（2）验算习惯
要让学生知道检验的方法，如加法（乘法）的验算用交换加数（因数）的位置再算一遍，除法的验算用商乘除数的方法。即四则混合运算的关系一定要熟练，方程的检验则可用代入法，还要学会检查方法：一般是一对抄题，二对竖式，三对计算，四对得数。
3.重视个体差异，实施分层教学
孔子提出育人要“因材施教，因人而异”，每个学生都存在着两种发展水平，一是现有水平，二是潜在水平，它们之间的区域被称为“最近发展区”。
（1）目标分层：例如学习“小数乘除法”，单元基本目标是：初步体会小数乘除法的意义，探索并理解计算方法。发展目标是：能正确进行相关的计算，解决一些简单的实际问题。探索并掌握由小数点位置移动引起的小数大小的变化的规律，并能应用这一规律口算相应的式题或解决一些简单的实际问题。
一、把握好加减乘除意义建构中的“合”与“分”
纵观计算概念，最基本、最原始的概念莫过于加减乘除的意义。它既是整个计算概念体系中的起始点，对整个体系起着统领的作用，又是数学几大体系的综合点，把不同体系的知识融会贯通，增强知识的“生成力”。加减乘除四则计算，往深处想，其实就是建立在“合”和“分”的思想上，只不过略有区别而已。“合”是相对“分”而言的，“分”是相对于“合”而言的，它们既互相联系，又互相依存、互相制约。如下图所示：
在计算概念的形成过程中，教师要抓住学生学习概念的起点，及时指导学生对一些相关概念进行对比、归类，揭示概念之间的内在联系，找出本质区别与联系，使计算概念系统化、规律化。
如“除法的初步认识”是一节很重要的基础概念课，教材的意图是在建立“平均分”概念的基础上引出除法的算式，说明除法算式各部分的名称，理解除法的意义。除法跟乘法、减法有着密切的联系，开始学加法，再在加法的基础上建立乘法，乘法是加法的简便运算，它们都表示“合”的过程。学了加法后再学减法，减法是加法的逆运算，有加才有减，教材中出现“一图四式”的目的就是沟通它们之间的联系。同时，继乘法意义建立后学法，除法是乘法的逆运算，它和减法又有内在联系，它们同样是表示“分”的过程。因此，除法的学习是建立在加法、减法、乘法运算基础上的，只有借助它们的概念思想，除法概念建立的内涵才更深刻，外延才更清晰。
在课堂教学中，教师应通过什么途径让学生建立除法的模型？从教材上看，一般直接从等分的情境中抽象出除法的模型来，可以说都是直线跳跃性。例如，等分的操作活动是一个点，除法模型的建立也是一个点，学生要从这个点到达那个点，让两个点之间建立关系，需要教师在中间带领学生。案例如下：
1.除法模型建立的切入点依然是直观的东西。
创设情境：小明要把12个竹笋平均分给4个小朋友，假如你是小华，你怎么分？（动手分，然后展示不同分法）
2.但不是从一头（情境）跳到另一头（除法模型的建立）。
学生思维过程的表达还是必要的，因为不同学生的经历、起点均不同。课堂教学中，教师可要求学生把分的过程用学过的算式表示出来。
生1：12-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1=0。
生2： 3×4=12。
生3：12-2-2-2-2-1-1-1-1=0。
生4：3+3+3+3=12。
生5：12-4-4-4=0。
生6：2+2+2+2=8，1+1+1+1=4。
生7：12-3-3-3-3=0。
生8：（ ）×4=12。 （学生还想注明：4个几是12）
生9：12÷4=3。
师：从他们的算式里，你有没有看到他们手中的竹笋是怎样分的呢？谁说说你看到了什么？
3.沟通。
师：刚才用这么多的算式表示了我们分的过程和想法，都是把12个竹笋平均分给4个小朋友，结果每人分到了3个。那么，这么多的算式哪一个更清楚地表示出了把12个竹笋平均分给4个小朋友，结果每人分到了3个呢？为什么？
4.全班交流比较讨论。
生10：我觉得加法不好，加法表示把它们合起来，我们刚才是把竹笋分开来。
生11：那乘法也不行，它也是表示将4个3合起来了。
师：好像挺有道理的，减法呢？
生12：我觉得减法是可以的，它能把我们分的过程表示出来。如12-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1=0，就能看出是一个一个分的；12-2-2-2-2-1-1-1-1=0，就能看出先分两个，还有多再分1个。（很多学生说可以，但有部分学生在思考）
生13：我觉得减法也可以，但没有除法好，因为减法看不出是分给几个人，每人分到了几个。如从12-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1=0中，我们只知道他是一个一个拿的；可除法就知道把12个平分给了4个人，每人分到了3个，和12-2-2-2-2-1-1-1-1=0是一样的。
生14：不是，那12-3-3-3-3=0也能看出平均分给4个人，每人分到3个。
师：好像都有道理，那怎么办呢？有没有一个算式既能清晰地表示小明要把12个竹笋平均分给4个小朋友，每人分到了3个，也能包含了我们的分法？
生15：那12÷4=3最好。
师：它怎么好？怎样让我们看出呢？
生16：12表示有12个竹笋，除法表示我们要平均分给4个小朋友，等于3嘛，表示结果每人分到了3个。
师（小结）：看来，无论怎么分，12÷4=3都能把12个竹笋平均分给4个小朋友，每人分到3个清楚地表示了出来。这就是今天我们新认识一种新的运算――除法。（板书课题）
生17：原来除法就是把竹笋分成一样多，比如你3个、我3个、他3个，反正我们都一样多的，就可以用除法了。
生18：我觉得除法和减法差不多，都是表示分开来，但是除法要分得一样多。
……
在课堂中，教师不能忽略学生这种表述思维的过程，要让每个学生在自己原有的知识体系上有所发展。也就是说，在活动与除法之间应该搭建沟通的桥梁，在学生充分的操作活动后，让学生把分的过程用自己的符号或学过的算式表示出来，再比较沟通统一成除法表示分的过程，理解一个除法的算式是这样等分活动过程中最佳符号的表达方式，无意识地沟通了四则运算之间的本质联系。这样给学生提供了建构一个新的概念体系的过程，形成计算知识的网络体系。
二、把握好整数、分数计算过程中的“合”与“分”
“分”与“合”是整数、分数运算过程中本质的结构思想，而具体的内容是这个本质结构的多样化表现。只要抓住这一点进行教学，学生就能举一反三，灵活运用学到的知识。
（一）整数运算中的“分”与“合”
加法：15＋34=运算中的思考过程首先是它们各自分成几个十和几个一，再把相同计数单位上的数相加后，再合起来。
减法：34－13＝也是通过先分再合，即先分开3个十减去1个十得到2个十，把4个一减3个一得到1个一后，再把2个十和1个一合在一起。
乘法：12×4的思考过程是10×4＝40，2×4＝8，40＋8＝48。
写成竖式为： 12
教学中结合情境让学生理解8和4分别是怎样算出来的，感悟各种算法的本质原理是一样的，都是把它转化成4个十和4个2再相加，只不过是表示的方法不一样而已。通过这种先“分”再“合”的数学模型过程的建立，概念也就更清晰明了，有利于后继学习三位数乘一位数、四位数……甚至到两位数乘两位数时，都是运用这种先“分”后“合”的数学模型来解决问题的。
（二）分数运算中的“分”与“合”
当学生学习分数乘、除法以后，形态是“合”，实质是“分”，或者形态上“分”，实质上是“合”这种互化就反映出来了。
在乘法中，如×2表示2个合起来；×表示的一半，实际上是÷2，这时乘法不再是求整体而是部分了，它在形式上是“合”，而实质上就是“分”的过程。
在除法中，如24÷4表示把24平均分成4等分，求每份是多少，它是分的过程；24÷表示什么数的是24，也就是24的4倍是96，这时除法不再是求部分而是整体，它在形式上是“分”，而实质上就是“合”的过程。
当然，矛盾的对立与统一，必须要在一定的条件下才能互相转化。这里的“合”和“分”互相转化的条件是因数或除数是小于1的分数。
关键词：尝试；探究；归纳；应用
《数学课程标准》强调数学教学应从学生实际出发，创设有助于学生自主学习的问题情境，引导学生通过独立实践、思考、探索、合作交流，获得知识，形成技能，发展思维，学会学习，促使学生在教师指导下生动活泼地、主动地、富有个性的学习。
贯彻新的数学课程理念、执行新的课程标准中，课堂教学是关键，所以数学课堂教学应从本班学生实际出发，创设有利于学生自主学习的问题情景，向学生提供能充分从事数学活动的机会，让他们在自主探究和合作交流的过程中，真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想、方法与数学能力，以获得有效的数学活动经验。使每个学生“学有价值的数学”，使每个学生“都能获得必需的数学”，使每个学生“在数学上得到不同的发展”，而尝试・探究・归纳・应用的课堂教学能调动学生积极性，培养学生能力，体现了课程标准和有效课堂教学。下面以《分式的乘除（1）》谈谈：
一、出示尝试题，创设问题情境，激发学习兴趣。
数学新课程标准指出：“数学教学应从学生实际出发。创设有助于学生自主学习的问题情境。”也就是说，数学课堂不应只是“理性”的体现，更应该赋予它感情的色彩。为此，教师必须精心设计教学情境，有效地调动学生主动参与到教学活动中，使其学习的内部动机从好奇逐步升华为兴趣、志趣、理想以及自我价值的实现。
二、鼓励学生自主探索、合作交流，培养学生探究精神：
《数学课程标准》在课程实施建议中，明确指出：数学教学活动的教学是师生之间、学生之间交往互助与共同发展的过程。数学教学要求教师在教学中紧密联系学生的生活经验和已有知识，创设各种教学情境，激发学生学习数学的需求感，推动学生的内部动力，激发他们的探索兴趣，寓抽象的数学问题于新奇而富有情趣的情景之中，使学生积极主动地、自发地参与数学学习活动。
三、突出定理、公式的探索过程，培养学生归纳能力。
杨振宁教授对中西方教学模式比较后指出：“中国比较重视儒家的演绎法，而美国则比较重视归纳法。演绎法教学是‘一般到特殊’的教学思路，有益于求同思维或集合思维的培养；而归纳法教学是‘特殊到一般’，有益于求异思维或发散思维的发展”。在数学教学中，由教师先给出定理或公式，再举例说明，然后证明，这种教学方法只重视收敛思维的培养，不符合学生的认知发展规律，有碍于发散思维的培养，不利于发展学生的创新思维。众所周知，数学知识形成的思维过程，主要体现在问题提出的思维过程和问题解决的思维过程。及时发现问题，善于捕促问题的能力是创新的能力的基础要素之一。全国教师培训会指出的教师一定要“激发学生独立思考和创新的意识，切实提高教学质量，要让学生感受、理解知识的产生和发展的过程，培养学生的科学精神和创新思维习惯。”所以教师在课堂教学中，要充分挖掘数学知识的发现过程，突出公式、定理探索过程，让学生能够主动参与教学过程，有机会思考，直接去感受问题，面对困难，激发学生主动探索，独立揭疑的欲望，适当点拔，合作交流，帮助学生弄清思维障碍的原因。使学生能自觉地，执着地应用已有的基础知识和数学思想，对信息进行分析、归纳、整理，得到解决问题的规律和方法，获得新知识、新见解。同时达到培养学生的创新思维的目的。因此在学生做完上述过程，我让学生观察上述（1）、（2），并提问：你发现（1）、（2）是什么运算？学生很快说出分式的乘除运算，类比分数的乘除法法则。，让学生用文字归纳分式的乘除法法则：
利用学生已知分数乘除法的法则，很自然地从分数乘除法向分式的乘除过渡，利用旧知做铺垫，过渡到新知，真正做到了“启”而能“发”，激起了学生探求新知的欲望，达到非常好的效果。
四、应用知识解决问题，培养学生思维能力及应注意的问题。
新《课标》明确指出：教学要联系生活实际，重视加强对学生实际应用能力的培养。在课堂教学中，我尽量使学生体会到数学从生活中来，又应用到生活中，生活中处处有数学。当学生意识到知识在自己日常生活中的重要作用时，就会更加明确学习的目的，激发学习内动力。因此，在教学中注重培养学生灵活运用知识解决生活实际问题的能力。
公式归纳后，让学生根据公式进行计算巩固公式出示练习题
（2）哪种小麦的单位面积产量高？
（3）高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？
一、正确地运用概念，理解分数应用题的数量关系
解答分数应用题的依据是分数的意义和一个数乘以分数的意义，要帮助学生在理解概念的基础上认识分数乘法应用题的数量关系。为了帮助学生理解分数乘法应用题的数量关系，在学习时，先要从分数的意义出发，联系已学过的用整数计算的方法，过渡到用分数计算的方法。这样就加深了学生对分数的意义和一个数乘以分数的意义的理解，并在理解意义的基础上理解分数乘法应用题的数量关系。
分数除法应用题历来是教学中的难点，在求一个数的几分之几是多少和已知一个数的几分之几是多少求这个数，这两种应用题混合练习时，学生往往难以判断是用乘法还是用除法来解答。我们强调用方程解和用算术解同等重要，是为了通过加强用方程解把分数乘、除法应用题统一到同一个思路上，都要联系一个数乘以分数的意义，都要想求一个数的几分之几是多少，它们有相同的数量关系，不同的只是已知和未知有了变化。用同一种思路解决了两种类型的应用题，这样就进一步揭示了分数乘、除法应用题的内在联系。
二、加强应用题的基本训练，掌握分数应用题的解题思路
正确解答分数应用题的关键是找准单位“1”，弄清题里的数量关系，而确定把哪个数量看作单位“1”，又必须在理解数量关系的基础上才能正确判断，因此，两者是有密切联系的。要通过基本训练，帮助学生正确理解和判断单位“1”，加深对分数乘、除法应用题数量关系的理解，形成解题思路，掌握分数应用题的结构，培养学生分析、判断和推理的能力。
在进行应用题的基本训练时，要着重抓好以下几个方面：
（1）变换练习形式，突出找单位“1”的训练。
找单位“1”的训练，重在让学生切实理解一个数是另一个数的几分之几的含义。可以由易到难地进行训练，对于学生不易理解的，可以借助线段图帮助学生理解。先训练完整的，再训练不完整的，同时还要对一些变换说法的句式进行训练。
（2）充分运用对比，弄清数量间的相等关系。
在学生能正确判断单位“1”以后，还必须弄清数量间的相等关系，要能根据一个数乘以分数的意义和已确定的单位“1”的量，正确列出等量关系式。在训练中，可以通过各种对比，让学生熟练掌握数量间的相等关系，从而掌握解题思路。
（3）重视转化训练，拓宽解题思路。
转化是一种重要的数学方法，在分数应用题教学中，运用转化能进一步沟通知识间的内在联系，可以使一些题目化难为易。分数应用题中单位“1”的量是可以转化的，因此必须重视转化的训练，通过转化的训练，帮助学生理解数量关系的实质，拓宽学生的解题思路。
经常进行分数和比的转化练习，可以帮助学生进一步理解比和分数的意义，加强分数和比的联系。进行转化单位“1”的练习，有利于学生将复杂的题目变得简单，学会用多种方法解题，并从中发现简便的解题方法。
三、沟通知识的内在联系，提高分析解答应用题的能力
小学分数应用题可分为三类，加强应用题的联系和对比，可以加深学生对分数应用题数量关系的理解，提高分析解答应用题的能力。因此，在分数应用题的教学中，要引导学生揭示知识间的联系和区别，不断探索规律，总结规律，以达到提高解题能力和发展学生思维的目的。
学习基本的分数乘除法应用题，要把三类分数应用题放在一起进行纵向比较，还要与三类倍数应用题放在一起进行横向比较。通过比较，进一步搞清这些应用题在数量关系、解题思路上的异同点。除了通过教材上出现的一组例题进行比较外，还可以通过各种形式的练习来进行比较。
因为稍复杂的分数乘、除法应用题是基本的分数乘、除法应用题的发展，它们的认知结构是一致的。因此，在学习稍复杂的分数乘、除法应用题前，就要有计划地孕伏渗透，为促进新知识的迁移做好准备。此外，还要从基本的分数应用题引入，通过复习以前学过的知识，再改变题目的问题出示例题，启发学生在复习题的基础上找出解答例题的方法，并通过比较，理清解题思路，完成知识的同化过程。
本册教材主要有以下几个特点：
1. 适当改进了分数加、减法的编排。分数加、减法都有同分母分数、异分母分数和带分数相加或相减的情况，在计算方法上有共同的特点，所以宜把加法和减法结合起来教学，以便于学生掌握计算法则和对知识的迁移类推。在分数加、减法中，带分数相加、减的情况是个难点，考虑到带分数只是分子不是分母的倍数的假分数的另一种写法，在带分数加、减法中，分数部分既有同分母的，又有异分母的，因此在教材中，不把带分数加、减法单独列为一节，而把含有同分母、异分母的带分数加、减法并入同分母、异分母的分数加、减法中，这样既便于突出同分母、异分母分数加、减的计算法则，又分散了带分数相加、减的难点，便于学生逐步掌握。
2. 适当调整了分数乘、除法的内容。在分数乘法和分数除法这两个单元中，都先集中教学每种运算的意义和计算法则，然后再着重教学分数乘、除法应用题。这样容易突出重点，有利于学生理解和掌握分数乘、除法的概念、计算法则和实际应用。教材还注意加强分数与整数的联系，在教学分数乘加、乘减混合运算的基础上，把整数乘法运算定律推广到分数。在教学分数除法之后，教学比的意义、性质和应用，这样安排，一方面有利于加强比和分数的联系，加深学生对分数的意义的理解和认识，提高学生灵活运用知识解决简单实际问题的能力；另一方面为后面教学圆周率、百分数、统计图表等知识做较好的准备。
3. 适当降低了分数、小数四则混合运算的难度。分数四则计算是进一步学习的重要基础，应使学生比较熟练地掌握。教材中，只着重练习一步式题和两、三步的混合运算式题，主要编入一些分子、分母比较小的大部分可以口算的分数四则计算，分数、小数混合运算也适当简化，以加强简便计算的练习。
4. 适当扩展了分数应用题的范围。进入五年级后，对应用题的教学要求主要有以下三点：（1）能解答常遇到的比较简单的分数四则应用题；（2）进一步提高用算术方法和用方程解答应用题的能力；（3）能够综合运用所学的知识解答一些较简单的实际问题。按照上述教学要求，在本册教材中适当扩展了分数应用题的范围。主要有以下几个方面：（1）把已学的两三步整、小数四则应用题，适当更换其中的一些数据为分数；（2）适当扩展求“一个数的几分之几是多少”以及“已知一个数的几分之几是多少求这个数”的应用题的范围；（3）适当出现少量的综合运用知识来解答的较简单的实际问题，以及可以用不同方法解答的应用题（不超过三步）。同时，注意加强方程解法的教学，把方程解法和算术解法紧密联系起来。这样，既便于学生掌握两种解法的解题思路，又便于学生灵活地选择解题方法，促进思维的发展，而且不会加重学生的学习负担。
5. 适当加强了操作和联系实际。教材一方面注意从学生熟悉的实际物体出发，抽象概括出几何图形的知识，另一方面适当增加联系实际的题目，使学生学会灵活运用所学的知识解决简单的实际问题。同时，教材通过操作，加深学生对概念的理解，通过知识间的联系和对比，使学生弄清一些容易混淆的概念或计算方法。
6. 适当加强了能力的培养。本册教材在发展学生智力、培养学生能力方面有很多做法与前几册相同，但是由于学生进入五年级，抽象思维有了一定基础，根据本册分数知识和几何初步知识的特点，在培养学生探索规律、运用一些数学方法迁移类推以及训练思维的严密性、灵活性等方面予以了加强。下面就本册教材各单元的主要内容和编写意图作一简介。
一、分数的加法和减法
本单元是在学生掌握了整、小数加、减法的意义及其计算法则，分数的意义和性质，以及在第五册学过的简单的同分母分数加、减法计算的基础上进行教学的。通过本单元的教学，要使学生理解分数加、减法的意义，掌握计算的方法；会口算简单的分数加、减法；会用运算定律进行一些分数加法的简便运算；掌握分数和小数的互化方法，正确地进行分数、小数加减混合运算；会解答分数加、减法应用题。本单元共4节：
（一）同分母分数加、减法
1. 分数加、减法的意义。
教材首先安排了一组有关分数单位的复习题，为学生理解分数加、减法的算理做好准备。然后通过两道数量关系相同，已知条件不同的例题，分别教学分数加法、减法的意义以及同分母的分数加、减法。例1着重说明分数加法与整数加法的意义相同，并结合图示，使学生看清分数的分母相同也就是它们的分数单位相同，可以把这两个分数直接相加。例2着重说明分数减法与整数减法的意义相同，也结合图示，启发学生思考：57和37可以直接相减吗？为什么？引导学生把分数加法的算理类推到分数减法。
2. 同分母分数加、减法的计算法则。
教材首先引导学生比较例1、例2同分母分数加法和减法的计算有什么共同点，总结出同分母分数加、减法的法则。然后分三道例题教学同分母分数加、减法计算中需要解决的一些特殊问题。例3教学“计算的结果，能约分的要约成最简分数；是假分数的，一般要化成带分数或整数”。例4教学三个同分母分数连加，以及单位名称的问题。例5教学把1化成与其它分数分母相同的分数，以及分数的分子是0的情况。3 同分母的带分数加、减法。这部分内容重点是教学同分母的带分数加、减法的计算法则，难点是减法中遇到分数部分不够减时的处理方法。教材分两道例题进行教学。例6教学带分数加法的一般方法。教材结合直观图形，引导学生进行思考，得出“先把带分数的整数部分和分数部分分别相加，再把所得的数合并起来”的一般方法。接着，把例6改成减法应用题，让学生根据带分数加法的算理类推出带分数减法的计算方法。在此基础上，引导学生总结出同分母的带分数加、减法的计算法则。例7教学被减数的分数部分不够减时的处理方法。教材在已有知识的基础上，通过“想”提出计算的方法，并注明详细的运算过程，接着，启发学生独立思考，当被减数是整数时，要减带分数，应该怎么办。
（二）异分母分数加、减法
1. 异分母分数加、减法的计算法则。
由于异分母分数的分数单位不同，不能直接相加、减，必须先通过通分把它们转化成同分母分数，再按照同分母分数加、减法的法则进行计算，所以，通分是进行异分母分数加、减法计算的关键。教材先安排了三道通分的复习题，复习已学的通分知识。然后通过三个例题教学异分母分数的加、减法。例1结合直观图教学异分母分数的加法，重点是引导学生把异分母分数转化为同分母分数，使学生理解异分母分数加法的算理，例2在例1的基础上类推出异分母分数减法的计算方法，并在此基础上引导学生总结出异分母分数加、减法的计算法则。例3结合异分母分数连减的教学，使学生明确“有时为了计算简便，可以采用不同的通分方式”，以培养学生灵活计算的能力。
2. 异分母的带分数加、减法。
异分母的带分数加、减法比同分母分数的加、减法要难一些，一方面在计算之前要先通分，增加了计算步聚，另一方面在连减计算中出现被减数整数部分要拿出2化成假分数的情况，这是一个难点。针对异分母带分数加、减法的难点，教材先安排了一组填空题，着重复习从整数中拿出1或2化成假分数的情况，为学习新知识做好准备，然后通过两道例题教学异分母的带分数加、减法。例4教学异分母的带分数加、减法，与同分母的带分数加、减法相比，只增加了一步通分，其它引导学生在已有知识的基础上类推。例5教学被减数的分数部分不够减，从整数部分拿出1来化成假分数还不够减时，需要拿出2的情况。
（三）分数加减混合运算这部分内容是在学生掌握了分数加、减法计算方法的基础上教学的。由于学生对整数加减混合运算的运算顺序比较熟悉，所以教材首先说明分数加减混合运算的运算顺序与整数加减混合运算的运算顺序相同，并结合分数加减法的特点，说明“为了简便，几个分数可以一次通分，然后按照运算顺序依次进行加减计算”。然后，通过两个例题说明分数加减混合运算的计算方法，把重点放在提高学生计算的熟练程度上。接着，为了沟通知识间的内在联系，帮助学生进一步理解所学的加法运算定律，加深理解带分数加法的算理，教材把整数加法运算定律推广到分数加法，使学生在实际计算中应用这些运算定律，进行简便计算。
（四）分数、小数加减混合运算为了沟通分数和小数的联系，深刻理解分数、小数的意义，同时为教学分数、小数的混合运算做好准备，教材首先教学分数和小数的互化。关于小数化分数，教材中只教学有限小数化分数的方法，关于分数化小数，教材中教学两种方法：一种是利用分数和小数的关系，另一种是利用分数与除法的关系。教材注意引导学生观察，发现规律，并在此基础上总结出分数、小数互化的一般方法。然后，教学分数、小数加减混合运算。这部分内容的重点是引导学生根据题目的具体情况选用一种比较简便的计算方法。教材通过三个例题，结合计算的实际情况（分数能化成有限小数的和不能化成有限小数的进行教学，使学生能合理、灵活地选择算法。
二、分数乘法
本单元教材是在学生掌握了整数乘法，分数的意义、性质，以及分数加、减法的计算等知识的基础上进行教学的。通过本单元的教学，要使学生理解分数乘法的意义，掌握分数乘法的计算法则，掌握分数乘加、乘减混合运算，理解整数乘法运算定律对于分数乘法同样适用；会解答求一个数的几分之几是多少的应用题；理解倒数的意义，掌握求倒数的方法。
本单元共3节：
（一）分数乘法的意义和计算法则
1. 分数乘以整数。分数乘以整数的意义和整数乘法的意义相同。因此，教材注意在整数乘法的基础上引入分数乘以整数的意义。首先复习整数乘法的意义和三个相同分数相加的计算方法，为学习分数乘以整数做好准备，然后，通过一个例题，结合直观图，采用加法与乘法对照的方法，教学分数乘以整数的意义和计算方法。教材注意在理解的基础上，启发、引导学生总结出分数乘以整数的计算方法。
2. 一个数乘以分数。一个数乘以分数，包括整数乘以分数和分数乘以分数两种情况。它们的意义都是求一个数的几分之几是多少。这是整数乘法意义的扩展，是后面学习带分数乘法、分数除法的意义和计算方法以及分数乘、除法应用题的基础，所以是教学的重点。教材通过两个例题分别教学一个数乘以分数的意义和计算方法。教材先结合直观，在说明分数乘以整数的意义的基础上，类推出一个数乘以分数的意义。然后，教学分数乘以分数的计算法则。分数和整数相乘的计算法则不再单独教学，以简化教学过程，节约教学时间。
3. 带分数乘法。带分数乘法一般先化成假分数再乘比较简便。教材先复习带分数化假分数，分数乘以分数以及整数和分数相乘，然后，通过两个例题教学带分数的乘法。第一个例题着重说明带分数乘法的计算方法，第二个例题通过三个分数连乘的不同计算方法，着重提高分数乘法的熟练程度。
4. 分数乘加、乘减混合运算和整数乘法运算定律推广到分数乘法。这两部分内容教材是分两小节进行教学的，但它们之间的联系非常紧密。分数乘加、乘减混合运算的顺序与整数的运算顺序相同。因此，教材在复习有关整数的混合运算的基础上，只通过一个例题说明分数加、减、乘法混合在一起时运算顺序与整数的相同。至于混合运算中的不同情况则通过练习让学生自己类推，对于整数乘法运算定律推广到分数乘法，教材采用的方法与前面把整数加法运算定律推广到分数加法的方法相同，教材的重点仍然是使学生理解这些运算定律对分数乘法同样适用，并能在实际计算中，灵活运用这些运算定律使计算简便。
（二）分数乘法应用题
分数乘法应用题大致可分为两部分。一部分应用题中的已知数是分数，但数量关系和解答方法都与整数应用题相同（在前面的练习题中已有所练习）。另一部分是由于分数乘法意义的扩展而新出现的，例如求一个数的几分之几是多少的应用题，它是分数应用题中最基本的，对以后学习具有重要的意义，针对求一个数的几分之几是多少的问题的不同情况，教材分三个例题进行教学。例1结合线段图，根据分数乘法的意义，教学求一个数量的几分之几是多少的应用题。例2教学涉及两个数量，求等于一个数量的几分之几的另一个数量是多少的应用题。例3是在前两个例题的基础上，教学增加一个条件，连续求一个数量的几分之几是多少的应用题。解答例3的关键是正确判断每一步分别把什么看作单位“1”，这不仅有利于提高学生解答求一个数的几分之几是多少的应用题的能力，而且有利于培养学生的分析、判断、推理能力。
（三）倒数的认识
这部分内容是在分数乘法计算的基础上进行教学的。
它主要为后面教学分数除法做准备。教材给出倒数的意义后，特别注意强调倒数是对两个数来说的，它们是相互依存的，必须说一个数是另一个数的倒数，不能孤立地说某一个数是倒数。接着，教学求一个数的倒数的方法。
三、分数除法
本单元是在学生掌握了整数除法的意义、分数乘法的意义，以及解简易方程的基础上进行教学的。通过本单元的教学，使学生理解分数除法的意义，掌握分数除法的计算法则；能用方程或算术方法解答已知一个数的几分之几是多少求这个数的应用题；理解比的意义和基本性质，能正确地化简比和求比值，知道比与分数、比与除法的关系，会解答按比例分配的应用题。本单元共3节：
（一）分数除法的意义和计算法则
1. 分数除法的意义。
在本册教材中，分数除法是作为分数乘法的逆运算来定义的。教材通过一道学生容易理解的分数乘法应用题，引出两道分数除法的应用题，说明分数除法的意义。使学生明确分数除法的意义与整数除法的意义相同，都是“已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算”。
2. 分数除以整数。
在分数除法中，不论哪种情况，它们的计算方法都可以归结为乘以除数的倒数。教材为了分散难点，先教学分数除以整数。教材通过一道被除数的分子能被除数整除的题目，教学分数除以整数的计算方法，教材结合直观图，根据分数除法和分数乘法的意义，采用两种不同的思考方法进行解答，使学生初步看到，除以整数也就是乘以这个整数的倒数。然后，让学生想一想分子不能被除数整除的情况，在此基础上概括出分数除以整数的计算法则。
3. 一个数除以分数。
一个数除以分数包括整数除以分数和分数除以分数两种情况，不论哪一种情况，计算时都要把除以分数转化为乘以这个分数的倒数。教材分两个例题进行教学，先教学整数除以分数可以转化为乘以这个分数的倒数，再教学把被除数换成一个分数，得出分数除以分数也可以转化成乘以这个分数的倒数来计算，进而总结出一个数除以分数的计算法则。最后，联系前面教学的分数除以整数的计算法则，总结出一个统一的分数除法的计算法则。
4. 带分数除法。
带分数除法的教学是在分数除法的基础上进行的。这与带分数乘法的教学一样，主要目的是提高学生的计算能力。教材在复习带分数与假分数的互化之后，引导学生类推出分数除法有带分数的也要先把带分数化成假分数，然后再计算。这部分内容中，还安排了列方程解已知一个数的几又几分之几倍是多少求这个数的文字题和分数连除、乘除混合运算式题。主要目的提高学生分数乘、除法的计算能力，并为后面教学分数除法应用题打好基础.
（二）分数除法应用题
本节主要教学已知一个数的几分之几是多少求这个数的应用题。这种应用题历来是教学中的难点，实践证明，在教学这种应用题时，紧密联系一个数乘以分数的意义，先用列方程的方法解答，在此基础上再教学用分数除法来解答，效果是比较好的。因此，教材先复习求一个数的几分之几是多少的应用题，在此基础上教学例1，教材是通过图示和“想”，用分数乘法应用题的思路进行分析，明确把谁看作单位“1”，由于单位“1”是未知的，根据一个数乘以分数的意义先列出等量关系式，然后设未知数列出相应的方程并解答。例2的教学涉及两个量的已知一个数的几分之几是多少求这个数的应用题。在列方程解答的基础上，教材让学生想一想，怎样用算术方法解，使学生明确仍然要先找数量间相等的关系式，然后根据除法意义直接列出分数除法算式。
在教学已知一个数的几分之几是多少求这个数的除法应用题之后，教材安排了分数乘、除法应用题的对比，使学生对乘、除法应用题的数量关系和内在联系有进一步的认识，提高分析和解答分数应用题的能力，为进一步学习稍复杂的分数应用题做好准备。
这部分教材的最后，安排了分数连除和分数乘除复合应用题。这些应用题都是在前面学过的分数乘、除法应用题的基础上发展起来的。通过对这些两步应用题的解答，可以使学生更好地区分分数乘、除法应用题，进一步提高解题能力和发展学生的分析推理能力。
（三）比
这部分内容通常是安排在小学的最后阶段，把比和比例放在一起进行教学。这套教材考虑到比与分数有密切联系，把比的一些最基础的知识提前放在分数除法这一单元中教学，既加强知识间的内在联系，又可以为以后教学百分数（百分比）、圆周率等内容打下较好的基础。
1. 比的意义。传统的算术教材讲比的意义，强调同类量相比，由于实际应用的需要，要用到不同类量的比。因此，本册教材在教学比的意义时，分别结合实际问题，先引出同类量的比，再引出不同类量的比。在此基础上概括出比的意义。
2. 比的基本性质。教材联系除法中商不变的性质和分数的基本性质，再通过“想一想”引导学生找出比也有相应的性质，然后概括出比的基本性质。接着应用这个基本性质教学把比化成最简单的整数比的方法。
3. 比的应用。在小学数学中，比的应用主要有两个内容，即比例尺和按比例分配，本册教材只教学按比例分配，而且只教学按正比例分配。教材通过两个例题教学按比例分配，把一个数量按照已知的比分成两部分的问题和把一个数量按照已知的比分成三部分的问题。在练习中，注意联系实际，使学生既能运用所学的知识解决一些简单的实际问题，又可以增长一些科学技术知识和生活经验。
四、分数、小数四则混合运算和应用题
本单元是在学生掌握了分数、小数四则运算，以及会解答比较容易的分数、小数两步应用题的基础上进行教学的，通过本单元的教学，使学生会进行分数、小数四则混合运算，在计算中能运用一些简便算法；学会解答两、三步计算的分数、小数应用题，进一步提高用算术方法和用方程解应用题的能力，并能运用所学的知识解决一些简单的实际问题。
本单元共2节：
（一）分数、小数四则混合运算
1. 分数四则混合运算。
这部分内容主要教学三、四步计算的分数四则混合运算式题。由于学生通过前面的学习，已经对四则混合运算的运算顺序比较熟悉了，因此，教材在教学分数四则混合运算时，没有再详细地说明运算顺序，而是直接说明分数四则混合运算的运算顺序和整数四则混合运算的运算顺序相同。然后，通过两道例题分别教学没有括号和有括号的分数四则混合运算。接着，通过一道例题说明，在分数四则混合运算中，同样可以运用以前学过的运算定律使计算简便，以进一步培养学生合理，灵活地进行计算的能力。
2. 分数、小数四则混合运算。
在前面知识的基础上，学生对分数、小数四则混合运算的运算顺序已不难掌握，因此，教材着重介绍分数和小数乘除混合运算时，应该怎样计算比较简便。教材通过三个例题进行教学，例4说明分数、小数乘除混合运算一般先把小数化成分数再计算；例5说明在计算过程中要注意运用简便方法，并说明计算的结果允许取近似值时的计算方法；最后，通过例6说明先化简再计算的简便算法。
（二）分数、小数应用题
本小节的应用题可分为三部分。第一部分教学一般的两步计算的分数、小数应用题，第二部分教学稍复杂的求一个数的几分之几是多少的分数乘法应用题，以及相应的分数除法应用题，第三部分教学工程问题。第一部分应用题的数量关系是学生以前学过的，只是已知条件是分数或小数，或者是在简单分数应用题的基础上再增加一步计算的一般应用题，通过这部分内容的教学，可以进一步提高学生灵活选用方法解答应用题的能力，也为进一步学习分数应用题做些准备。第二部分应用题的数量关系稍复杂一些，学生不易掌握。这是本单元的重点，也是教学的难点，教材对每个例题都用线段图来帮助学生理解题意，分析数量关系，主要弄清要把什么看作单位“1”，已知的和要求的数量分别是什么。同时，通过不同解法的教学，开阔学生的解题思路。
第三部分应用题的数量关系与整数应用题中的工作总量、工作效率和工作时间的数量关系相同，解题思路也大致相同，只是题中没有给出具体的工作总量，解答时要把工作总量作为单位“1”，用单位时间内完成工作总量的几分之一来表示工作效率。教材注意从已学的知识逐步引入，帮助学生逐步加深理解。
五、长方体和正方体
本单元是在学生已经能够识别长方体、正方体，并且学习了一些平面图形的特征以及它们的周长和面积的计算的基础上进行教学的。本单元是学生比较深入地研究立体几何图形的开始，是进一步学习其它立体几何图形的基础，通过本单元的教学，应使学生掌握长方体和正方体的特征，理解表面积和体积（容积）的意义，认识常用的体积和容积单位以及相邻两个单位之间的进率、会计算长方体和正方体的表面积和体积，并能应用所学的知识解决一些简单的实际问题。本单元共3节：
（一）长方体和正方体的认识
1. 长方体。教材首先说明已学的长方形、正方形、三角形、平行四边形和梯形都是平面图形，然后借助实际物体说明什么是立体图形，并引出长方体的概念。接着，教材通过两个例题具体研究长方体的特征。例1结合长方体的实物模型，通过操作（摸一摸、量一量、数一数）认识长方体的面、棱、顶点的特征。例2结合长方体的框架，进一步研究长方体的特点，进而引出长、宽、高的概念。教材注意在练习中加强操作活动，为后面学习长方体的表面积做准备。
2. 正方体。正方体的认识，教学过程与长方体类似。教材特别注意加强长方体与正方体的联系的教学，教材引导学生对长方体和正方体进行观察和比较，说一说它们有哪些相同点和不同点，使学生认识它们的特征与相互联系，并用集合图表示它们的关系。
（二）长方体和正方体的表面积计算
长方体和正方体的表面积在日常生活中有广泛的应用。通过这部分内容的学习，不仅可以加深学生对长方体和正方体特征的理解，还可以发展他们的空间观念，教材通过操作（把一个长方体或正方体纸盒的6个面展开）加强对长方体和正方体表面积概念的认识。在此基础上，结合具体例题教学表面积的计算方法，教材中没有给出计算表面积的公式，这样更有利于发展学生的空间观念，有助于学生根据实际情况思考计算方法，在练习中，教材注意结合实际，培养学生灵活解决问题的能力。
（三）长方体和正方体的体积
1. 体积和体积单位。
体积对学生来说是一个新概念，在理解和应用上都有一定的难度。为此，教材加强了对体积概念的认识。通过一组实验，使学生直观认识到“物体所占空间的大小叫做物体的体积”。在此基础上，通过实际操作教学体积的单位及其用途，使学生明确体积单位是用来计量物体的体积的，教材还特别注意突出长度单位、面积单位和体积单位的区别，最后，结合实际操作，分别教学长方体和正方体体积的计算方法，总结出计算公式，并用字母表示。进而结合底面积的概念，总结出统一的体积计算公式。
2. 体积单位间的进率。
这部分内容是在学生已经掌握了正方体体积的计算方法以后教学的。教材通过图示，引导学生推出体积单位之间的进率。并通过长度单位、面积单位与体积单位的对比，加深学生对体积单位间的进率的认识。然后，通过三道例题教学有关体积的名数改写。
3. 容积和容积单位。
容积的概念与体积的概念既有联系又有区别。体积是指一个物体本身占据多大的空间，容积是指中间是空的物体能装下多大体积的其它物品。教材在给出容积的概念后，特别说明了容积的计算方法和测量数据的方法。同时说明，计量容积一般就用体积单位，但是计量液体的体积，常用容积单位升和毫升，并给出它们之间的进率。
现象描述1：我把题目抄错了。
上完“一个数除以整数”后，我给学生留了几道练习题，其中有一题是3.5÷14，居然有4个学生做上来是53÷14，还有一个学生跑到办公室来问我说：“老师这道题目你出错了，除不尽的。”这些学生订正以后，都觉得是自己太粗心，把题目抄错了。几天后进行单元测试，3.484÷5.2，也有3个学生做成3.484÷2.5，其中两个是前面提到的学生。学生把题目抄错，真的是太粗心吗？
现象描述2：我把算式记错了。
一次考试，有一道口算题2.4×5，一大部分学生的答案是10，学生认为自己太粗心了，把算式看错了，看成了2.5×4，难道这么多的学生真的是把算式看错了吗？
现象描述3：我忘记写“0”、“.”了。
学完小数除法，我们的学生总是“忘记”这，“忘记”那。像328÷16=2.5，学生说我中间忘记商“0”了；108÷24=45（正确答案108÷24=4.5），学生说我忘点小数点了。而同样的错误他们照犯不误。“0”、“.”真的是忘记写了吗？
事实上，这种困惑几乎是伴随着大多数学生的学业成长，也伴随着教师教学生涯的始终：学生明明会做，却要做错？
二、“众里寻她千百度”――怎能一个“粗心”了得！
1.概念、法则理解不清
概念和法则是学生进行数学计算的重要依据。小数乘除法的计算方法是建立在整数计算的基础上的，是由“数位”“个位”“相加”“满十”“前一位”“进一”“对齐”等一系列数学概念组成的。如果概念理解不清，就无法依照法则、性质、定律、公式等数学知识正确计算。
案例（1）：
像上面计算的两道题6.24÷6=1.4，391÷1.7=23。学生错误的原因是对以下概念不够清晰：在小数除法里，除到被除数的哪一位不够商1，就在那一位上面商0，而在计算中学生明显对0的占位作用认识不够以及在什么情况下应该用0占位这一知识点没有掌握好。
案例（2）：计算0.68×0.35=0.0238。
其实，这道题的正确答案是0.238，学生出现这种错误的原因是，先画去了积末尾的“0”，再确定积的小数点位数，而小数乘法的法则是应该先确定积的小数部分的位数，然后再画去小数末尾的“0”，这说明学生对算理还不理解。
2.受思维负迁移的影响
迁移是一种学习对另一种学习的影响，有积极的作用，也有消极的作用。思维的负迁移就对数学计算有消极的影响。
比如，计算7.75+1.25×3.4=9×3.4=30.6。错误的原因是学生受到容易计算部分、能简便计算、比较熟悉部分等强烈刺激的作用而造成思维负迁移。
3.计算技能缺陷
一些学生计算错误很多，有可能是计算能力不足引起的。比如，进位加法不熟、乘法口诀不熟、试商能力不足等；可能缺少一种良好的计算习惯或书写习惯，如验算的习惯等；可能学生在计算时，忽视了“估算”的作用。因此，也就失去了计算的兴趣，越是没兴趣，越是计算不准确，最后成了恶性循环。
4.非智力因素的影响
非智力因素也是造成学生出现错误的重要原因。首先学生对学习的重要性和必要性认识不足，学习的目的性不明确，对解题兴趣不高。因缺少学习需要，认为做题只是为了应付教师或家长的检查，没有力求准确的情绪倾向，造成做题时心不在焉，草草了事的情况，结果出现错误。其次是耐心不足，计算时为求快点完成，好省下时间去玩。因此，每当遇到较为陌生的算式或较复杂的算式时，就容易出现排斥心理，于是不去认真分析，不细心审题，敷衍了事，在这种怕难怕繁、耐心不足的情况下，计算也容易出现差错。还有的计算题数据较大，学生习惯用口算来算，即使打草稿，也只是把草稿列在桌面上、手心上、书面上……思想上不重视，必然导致计算上的失误。
三、“勤捕黄鹂四五声”――不都是粗心的原因！
1.讲清算理和法则
在小学阶段遇到的算理比较多，如，10以内数的组成和分解；凑十法；加法的意义和运算定律；数位的概念；十进制计数法；小数的意义与性质；小数点移位和小数大小变化的关系；商不变性质；分数的意义和基本性质等概念。
这些最基本的知识，我们都要讲得非常清楚，要在学生的脑海中留下深刻的印象，这样学生在学习新的知识时，才能更好地将旧知识和新知识有机地联系起来。比如，“小数点位置的移动引起小数大小变化的规律”这个知识点就十分重要。这一变化规律不仅是小数乘除法计算的根据，也是复名数与小数相互改写的重要基础。而且在小数的乘除法、小数与百分数的互化中都需要用到这个知识点。又如，分数的意义，在学生进一步学习分数的基本性质和分数混合四则运算时，同样起着铺垫作用。
案例（3）：学习《除数是小数的除法》。
这一课的重点是要让学生尝试把除数是小数的除法转化成除数是整数的除法来解决。也就是说，这节课练习更多的应该是新知的转化练习，转化后的计算已经是前一节课必须掌握的知识了，那么这节课就要针对怎么转化、转化的新形式作强化训练。因此，我设计了四道算理的强化练习：①0.24÷0.4=（ ）÷4；②0.24÷0.04=（ ）÷4；③0.24÷0.004=（ ）÷4；④0.024÷0.04=（ ）÷（ ）。第④题出现了两个空，目的是让学生思考这两个空到底要同时扩大多少倍，是10倍还是100倍，在交流中让学生自己体会到，只要把除数转化成整数就可以计算了，被除数是小数还是整数都无关紧要。对于转化后的计算就不强求让学生把计算完全写完整，针对这节课，新的知识就是把除数变化成整数的竖式形式，所以可以让学生做这样的专项练习，让学生把新知进一步内化。
2.注意运用法则之间的正负迁移
先掌握的法则对新学习的法则既有积极的影响，也会产生一定的干扰。因此，我们要充分发挥各项法则之间的正迁移作用，防止负迁移带来的消极影响。在学生学习新的计算法则时，我们要积极地引导学生比较新旧知识点的异同，让学生在不断的比较中，掌握新知识与旧知识多角度、多侧面的联系，新的计算法则才有可能在学生已有的认知结构中“生根”，使原有知识结构得到发展。
3.对学生的计算技能适当地作指导
在学生容易出错或掌握薄弱的环节上应反复强调，强化学生训练。如，在小数乘法中，教师应在小数点的特殊性上做强调，重点突出小数点的处理，要求学生先写出积里的0，完整地算出结果，然后数出两个因数中一共有几位小数，再把积点上小数点，最后才能将末尾的0去掉。其实，在计算教学时，除了对算理、算法的理解外，也要讲究一些策略。比如，在上小数乘除法时，发现遇到80×0.5，240÷2这类题要列成竖式计算的大有人在，这就需要教师让学生自己总结出解题策略，学生总结出的策略有看、想、算、估、查、比等，也就是说，学生解题前先要认真观察题目的特点，看清运算符号，正确选择算法，估算结果范围，联系实际类比思考结果。比如，一些学生看到“÷0.5或÷”就想到两倍，看到“×0.5或×”就想到一半，这便是一种学习的策略。
4.从点滴处入手，提升学生的非智力因素
我在日常教学中发现，其实“细心”是可以培养的。让学生在计算中培养一些良好的习惯，就可以提高学生的正确率。例如，小数乘法的教学，学生经常会出现这样的错误：（1）进位忘记。“哪一位上满十就要向前一位进一”这个知识点学生记得非常清楚，但是在计算中却常常丢三落四，这里忘了，那里多了。（2）小数点漏点，在计算出结果后，数错或忘记数小数点位数，小数点自然就漏点了。（3）横式上不写得数，竖式计算好后，直接就计算下一题，忘记在横式上写得数或者忘记把得数简化。这些看似简单的错误，需要教师不断地强调，不断地练习。在一次次的强调、纠正、练习中，学生的计算能力自然而然就提高了。
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