时间：2023-07-30 10:17:48
导语：在探索平行线的条件的撰写旅程中，学习并吸收他人佳作的精髓是一条宝贵的路径，好期刊汇集了九篇优秀范文，愿这些内容能够启发您的创作灵感，引领您探索更多的创作可能。
关键词：核心知识；平行线性质；证明
平行线的判定和性质是平面几何的一个重要内容，也是第五章的核心内容.本章第一次从判定和性质来研究几何对象，体现了对几何对象研究的两个方面，为今后研究其他图形的判定和性质奠定了基础.对平行线的判定和性质的研究，是以直观认识为基础，学生在经历观察、思考、探究等活动归纳出结论之后，还要“说理”和“简单推理”甚至证明，把推理和证明作为探究得出结论的自然延续，这一过程体现了研究几何问题的流程和一般方法，通过这样的研究过程可以逐步培养学生有条理地思考和表达，逐步提高推理能力.
基于以上分析，我确定本节课的教学重点是：得到平行线的性质的过程.
平行线的性质是学生对图形性质的第一次系统研究，对于研究过程和研究方法都是陌生的，所以学生需要在老师的引导下类比研究平行线判定的过程来构建平行线性质的研究过程.
逐步渗透判定与性质的互逆关系，既渗透了图形的判定和性质之间的互逆关系，又体现了知识的连贯性.平行线的三条性质都是需要证明的.但是为了与学生的思维发展水平相适应，性质1是通过操作确认的方式得出的，然后在性质1的基础上经过进一步推理得到性质2和性质3，这一过程体现了由实验几何到论证几何的过渡，渗透了简单推理.
作为培养学生推理能力的内容，对于性质2和性质3的得出，学生可以做到“说理”，但把推理过程从逻辑上叙述清楚存在困难，需要老师做示范，学生进行模仿.关于推理过程的符号化，对于刚刚接触平面几何的初一学生而言，具有一定的难度，为此，在推理过程符合逻辑的前提下，对于学生在证明过程中使用文字语言或符号语言来进行表达的方式不作限制，更多关注学生对证明本身的理解.
因此，我确定本节课的教学难点是：得出性质2和性质3的推理过程的逻辑表述.
【教学过程设计】
一、梳理旧知，引出新课
在教学设计中，我在开篇采用复习引入，由平行线的判定引入对平行线性质的研究，引导学生联系上一节课平行线的判定，从同位角、内错角、同旁内角的角度考虑平行线的性质.反过来就是把已知和未知调换过来，也就是已知是平行，未知是角有什么关系.
二、动手操作，归纳性质
在探究新知的过程中，教科书上提供了通过测量探索平行线性质的活动，我让他们在课前通过预习完成，鼓励他们利用其他方法进行探索.我设计了这样一个环节：剪下一组同位角中的一个，把它贴到另一个上面去，观察两个角是否重合.这样设置问题“用你手中准备的学具作两条平行线被第三条直线所截，即：如图1，已知a∥b，然后把∠1剪下来与∠2比较，你发现了什么？还能找到其他角的关系吗？还有什么方法？”学生不仅找到了同位角的关系，用同样的方法，还找到了内错角和同旁内角的关系，在后续性质的推理证明中继续利用手中的模具进行分析，更好地发挥了学生的动手能力及模具的作用，对学生几何语言的表达与准确起到了辅助作用.
三、应用转化，推出性质
对于平行线的性质的研究，我是类比研究平行线判定的思路，首先来研究两条直线平行时，同位角的数量关系.即关于同位角的性质通过实验探究得出，关于内错角和同旁内角的性质通过推理证明得出，向学生渗透类比的研究问题的思想.在进行推导时，设置问题“我们能否使用平行线的性质1说出性质2、性质3成立的道理呢？”采用上一节利用平行线的判定1来推出判定2的过程，循序渐进地引导学生思考，使学生逐步养成言之有据的习惯，从而能逐步进行简单的推理.这一块学习内容学生与上节课判定的学习进行对比，利用手中的模具，完成得非常好，我在黑板上示范性质2的推理过程，让学生上成性质3的推理证明.学生完成推理后，我及时总结，通过我们的推理论证，之前的三个猜想就是平行线的三个性质，完成由实验几何到论证几何的过渡，渗透简单的推理，培养学生在数学学习中的良好思维品质.再与学生一起总结性质的符号语言.
四、巩固性质，强化理解
我设计了一组练习及时巩固新知.（如图2）
1.AD∥BC（已知）∠B=∠1（ ）
2.AB∥CD（已知）D=∠1（ ）
3.AD∥BC（已知）∠C+=180°（ ）
再趁热打铁，利用我给他们制作的模具让学生来讲解书上的例题：如图3，是一块梯形铁片的残余部分，量得∠A=100°，∠B=115°，梯形的另外两个角分别是多少度？形象直观，易于表达，既能锻炼学生语言的准确性，又能让例题生动起来.
五、分析比较，深化理解
在性质与判定的对比中设置问题“平行线的性质已知是什么？得到的结论是什么？它和我们前面学习的平行线的判定有什么区别与联系？”让学生找一找它们分别是什么，得出了什么，要注意已知条件，同位角相等、内错角相等、同旁冉腔ゲ故瞧叫邢咛赜械.在区别与联系中向学生渗透判断与性质的互逆关系，利用判定研究性质，是今后几何研究中常用的方法.总结出：已知角的关系得平行的关系.证平行，用判定.已知平行的关系得角的关系.知平行，用性质.
然后给出一道反复用平行线的性质和判定的例题使学生深化理解如何使用判定和性质.
已知：如图4，∠1=∠2，∠C=∠D.
求证：∠A=∠F.
证明：∠1=∠2（ ） ∠2=∠3（ ）
∠1=∠__（ ） BD∥CE（ ）
∠C=∠4（ ）
∠C=∠D（ ） ∠D=∠4（ ）
DF∥AC（ ） ∠A=∠F（ ）
这道题采取四人一小组讨论，理清思路，让学得好的给学得差的学生先讲解，发挥集体智慧，再让学生到黑板上说思路，鼓励学生多角度想问题，还有其他方法吗？与其他同学的方法不同在哪里？然后，老师以这道题为模型给学生讲解证明方法之一的逆推法，初步灌输几何证明的两种方法逆推法和综合法.最后，让学生在讲义上独立完成，老师给学生提供了填空式的解题思路，再拉一把基础较差的学生，给他们机会学习，获得学习自信.
六、放飞思想，分层作业
关键词：平方四边形课案；分析；设计；
中图分类号：G633 文献标识码：A 文章编号：1674-3520（2014）-04-00128-01
教学内容：平行线的性质
教材分析：本节内容是人教版九年义务教育课程标准实验教科书七年级下册第五章第三节平行线的性质，它是今后学习平移、图形与空间等内容的重要基础，是中学生必不可少的学习内容。
教学目标：（1）使学生掌握平行线的性质，能运用性质解决所涉问题。（2）使学生在平行线的性质的探究过程中，通过观察、比较、分析，最后学会归纳和概括，从而得出新知过程。（3）在探究活动中让学生亲自参与研究过程的体验，从而增强他们学习数学的热情。
教学重点：平行线的性质
教学难点：“性质一”的探究过程
教学方法：“引导探索法”、“观察发现法”
课前准备：
（1）教具：多媒体课件、大屏幕、实物投影；（2）学具：三角版、量角器。
教学过程：
（一）、创设情境，设疑引导
（1）播放幻灯片：画面一：高速行驶的火车。对应图片①：两条轨道线；画面二：水立方里面的游泳池。对应图片②：几条泳道线；③一张横格的信笺纸。
（2）教师引领：
①说一说平行线的概念
②上节课我们已经学习了平行线的“平行公理”和“判定方法”，大家能说出直线平行的条件吗？
（3）学生活动（思考回答）：（平行公理两条，判定方法三条）
（4）教师：首先肯定学生的回答，然后提出问题：如果两直线平行，那么同位角、内错角、同旁内角各有什么关系呢？
引出问题――平行线的性质。
（二）、画图实验，列表观察，归纳论证
画出两条平行线a∥b，画一条截线c与这两条平行线相交成八个角（如图一）
问题一：指出图中的同位角，并度量这些角，把结果填入下表学生活动：用量角器度量课本19页5.3-1各角的度数，根据上表的结论，大胆提出猜想：两直线平行，同位角相等。
问题二：在（图一）中画出一条截线d，检验你的猜想，结论是否仍然成立？
学生：探究、讨论，最后得出结论：仍然成立。
（教师此时用《几何画板》课件验证猜想）
性质1 两条直线被第三条直线所截，同位角相等。（两直线平行，同位角相等）
（三）继续引导，培养创新
问题三：如图（2），直线a∥b，请判断内错角、同旁内角各有什么关系？
学生活动：先独立探究，后小组讨论，再提出结论。
教师活动：评价，引导学生用推理的方式导出性质2
因为a∥b，所以∠1=∠2
又∠1=∠3，所以∠2=∠3
语言叙述结论
性质2 两条直线被第三条直线所截，内错角相等。（两直线平行，内错角相等）
教师活动：鼓励学生又快又好地推导出性质3
因为a∥b，所以∠1=∠2
又∠1+∠4=180°，所以∠2+∠4=180°
性质3 两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补。（两直线平行，同旁内角互补）
（四）、现蒸热卖，快速抢答
（1）如图3（教材第22页第3题的变换形式），平行线AB、CD被直线AE所截
①若∠1=100°，则∠2= °。理由： 。
②若∠1=100°，则∠3= °。理由： 。
③若∠1=100°，则∠4= °。理由： 。
（五）、例题变换（填空并说明理由）
如图6是一块梯形铁片的残余部分，量得∠A=100°，∠B=115°，求梯形另外两角分别是多少度？
解：因为梯形上、下两底平行
所以 ∠A+∠D= °（ ）
∠B+∠C= °（ ）
即 ∠D = - ∠A= °
∠C = - ∠B= °
所以梯形的另外两个角分别为 度和 度。
（六）、课堂小结
（1）平行线的三个性质；
（2）运用直观的列表法来观察问题；
（3）运用探究、论证的方法来解决问题。
教学反思
一、操作型
例1 如图1，给出了过直线外一点作已知直线的平行线的方法，其依据是___________．
解析：从图中可以看出，三角板在平移的过程中，三角板与直尺形成的夹角的大小不变，因此其依据是同位角相等，两直线平行．
点评：平行线的性质和判定是互逆的，我们在运用时，要搞清条件和结论，不要混淆. 本题中，切不可写成两直线平行，同位角相等．
二、网格型
例2 如图2，在正方形网格中，∠1、∠2、∠3的大小关系是（ ）.
A.∠1＝∠2＞∠3 B.∠1＜∠2＜∠3
C.∠1＞∠2＞∠3 D.∠1＝∠2＝∠3
解析：观察网格，AB、CD都是“1×3”的长方形的对角线，有AB∥CD. 根据“两直线平行，内错角相等”，得到∠1＝∠2，用类似的方法可以得出∠2＞∠3. 故选A．
点评：我们常用网格研究线段的平行、垂直问题，一般的方法就是把线段放在网格中的长方形里，作为长方形的对角线来研究．
三、应用型
例3 如图3-1～3-3，是家用水暖器材中的一种弯形管道，要求经过两次拐弯后还保持平行的状态（即AB∥CD）．如果已知∠B＝80°，那么∠BCD的度数分别为__________．
解析：图3-1中是一种“U”形管，因为AB∥CD，根据“两直线平行，同旁内角互补”，所以∠B＋∠BCD＝180°，所以∠BCD＝180°－80°＝100°；图3-2和图3-3都是一种“N”形管，根据“两直线平行，内错角相等”，可得∠BCD＝∠B＝80°.
点评：此题把生活中的实物转化为数学中两条平行线被第三条直线所截的情形，利用平行线的性质可得未知角的度数．
四、探究型
例4 将直尺与三角板按如图4所示的方式叠放在一起，在图中标示的角中，写出所有与∠1互余的角．
1.重点平行四边形的判定定理
重点分析平行四边形的判定方法涉及平行四边形元素的各方面，同时它又与平行四边形的性质联系，判定一个四边形是否为平行四边形是利用平行四边形性质解决其他问题的基础，所以平行四边形的判定定理是本节的重点.
2.难点灵活运用判定定理证明平行四边形
难点分析平行四边形的判定方法较多，综合性较强，能灵活的运用判定定理证明平行四边形，是本节的难点.
3.关于平行四边形判定的教法建议
本节研究平行四边形的判定方法，重点是四个判定定理，这也是本章的重点之一.
1.教科书首先指出，用定义可以判定平行四边形.然后从平行四边形的性质定理的逆命题出发，来探索平行四边形的判定定理.因此在开始的教学引入中，要充分调动学生的情感因素，尽可能利用形式多样的多媒体课件，激发学生兴趣，使学生能很快参与进来.
2.素质教育的主旨是发挥学生的主体因素，让学生自主获取知识.本章重点中前三个判定定理的顺序与它的性质定理相对应，因此在讲授新课时，建议采用实验式教学模式或探索式教学模式：在证明每个判定定理时，由学生自己去判断命题成立与否，并根据过去所学知识去验证自己的结论，比较各种方法的优劣，这样使每个学生都积极参与到教学中，自己去实验，去探索，去思考，去发现，在动手动脑中得到的结论会更深刻――同时也要注意保护学生的参与积极性.
3.平行四边形的判定方法较多，综合性较强，能灵活的运用判定定理证明平行四边形，是本节的难点.因此在例题讲解时，建议采用启发式教学模式，根据题目中具体条件结合图形引导学生根据分析法解题程序从条件或结论出发，由学生自己去思考，去分析，充分发挥学生的主体作用，对学生灵活掌握熟练应用各种判定定理会有帮助.
教学设计示例1
[教学目标]通过本节课教学,使学生训练掌握平行四边形的各条判定定理,并能灵活地运用平行四边形的性质定理和判定定理及以前学过的知识进行有关证明,培养学生的逻辑思维能力。
[教学过程]
一、准备题系列
1.复习旧知识：前面我们学习了平行四边形的性质，哪位同学能叙述一下。(答对者记分，答错的另点同学补充)
2.小实验：有一块平行四喧形的玻璃片，假如不小心碰碎了解部分(如图所示)，同学们想想看，有没有办法把原来的平行四边形重新画出来?
(让学生思考讨论，再各自画图，画好后互相交流画法，教师巡回检查。对个别差生稍加点拨，最后请学生回答画图方法)学生可能想到的画法有：⑴分别过A、C作DC、DA的平行线，两平行线相交于B;⑵过C作DA的平行线，再在这平行线上截取CB=DA，连结BA;⑶分别以A、C为圆心，以DC、DA的长为半径画弧，两弧相交于B，连结AB、CB。
还有一种一法，学生不易想到，即由平行四边形对角线的特性，引导学生得出连结AC，取AC的中点O，再连结DO，并延长DO至B，使BO=DO，连结AB、CD。
二、引入新课
上面作出的四边形是否都是平行四边形呢?请同学们猜一猜。生答后师指出这就是今天所要不得研究的问题“平行四边形的判定”(板书课题)。
三、尝试议练
1.要判定我们刚才画出的四边形是不是平行四边形，应当加以证明。第一种画法，由平行四边形的定义可知，它是平行四边形(定义可作性质也可作判定)。
2.现在我们来看看第二种画法，这就是平行四边形判定定理一(翻开课本看它的文字叙述)。请想想，一组对边平行且相等的四边形究竟是不是平行四边形呢?这里已知是什么?求证是什么?请写出。
自学课本上的证明过程，看后提问：这个证明题不作辅助线行不行?为什么?(因为要证平行线，一般要证两角相等，或互补，要证两角相等，一般要证全等三角形，而这里没有三角形，要连一对角线才有三角形)
3.再看第三种画法，在两组对边分别相等的情况下是不是平行四边形?教师写出已知、求证，请两位学生上台证明，其余在课堂练习本上做。(注意考虑要不要添辅助线)
完成证明后提问哪些学生是用判定定理一落千丈证明的?哪些是用定义证明的?(解题后思考)
四、变式练习
1.再看看第四种画法，可知，已各条件是四边形的对角线互相一平分，这种情况下它是不平行四边形?
阅读课本上的判定定理之后，要求学生思考用什么方法求证最简便?(应该用判定定理一)2.变式题
⑴两组对角分别相等的四边形是不是平行四边形?为什么?(练习第1题)(口述证明，不要示书面证明)(问要不要添辅助线?)
⑵一组对边平行，一组对角相等的四边形是不是平行四边形?(教师补充)
⑶一组对边相等，一组对家相等及一组对边相等，另一组对边相等的四边形是不是平行四边形?(引导学生在草稿纸上画图思考，然后回答不是平行四边形。因为边角不能证全等三角形)
⑷自学课本例1思考：此例证明中，什么地方用了平行四边形的“性质”?什么地方用“判定”定理?
观察下图：
平行四边形ABCD中，
五、课堂小结
1.今天这节课我们学了什么?平行四这形的判定有哪些方法?试列举之。
反思之一：理清知识来龙去脉，使知识结构化
学生在学习时，为了提高效率，必须对所学的数学知识再进行组织、抽象、概括、归纳和分类，使之结合成一个系统，形成一定的层次知识网络结构。教师在课堂教学中，应当引导学生主动进行知识结构网络的构建，每堂课应花点时间，让学生回忆本节课内容，帮助学生理清知识来龙去脉，进而优化其知识结构。
案例1 “平行线”一节教学片段：在学生通过实践探究归纳出平行公理后，引导学生进行反思。反思1：公理中的条件是什么？改为“过一点”是否可以？生：点与直线位置，有点在线上和点在线外两种，点在线上时无法画平行线。反思2：书本中与之类似的性质有哪些？生：①过两点有且只有一条直线;②在同一平面内有且只有一条直线与已知直线垂直。反思3：②中强调“在同一平面内”，而平行公理为何不强调？生：平行线定义是同一平面内两条不相交的直线，所以加上“在同一平面内”就显重复。但两直线垂直时却不一定在同一个平面内。通过这一连串的反思，学生对平行线知识有了更清晰的认识，也认清了它与相关知识的联系与区别。
反思之二：重新评价解题方法思路，以期达到最优化
在学生解题后，教师应引导学生反思解题方案是否最佳，对已知条件、结论能否再认识，进而寻求最佳解题方案。这样的反思训练，有利于学生更深层次地理解问题，开阔视野，打破思维定式，提高思维的灵活性。
案例2 问题：已知正方形ABCD、BEFG的边长分别为a、b，试用a、b表示出ACF的面积。
就本题言，若不让学生进行反思，对学生来说只是知识的重现，通过不断反思可让学生获得成功感，激发他们的学习热情和探索未知的欲望，并从中感受到数学的内在美和文化价值。
反思之三：思维迁移，以例及类，以便学生触类旁通，使知识系统化
教学中应不失时机地引导学生将某些问题适当引申、拓展，以培养学生自主探究的良好习惯，帮助学生对所学知识进行再认识、归纳、概括，以及系统集成，提高认识的深度和广度。
案例3 问题：平面上有不在一直线3个点，一共可作几条直线？学生很快给出答案3条。反思1：将条件中3个点改为4个、5个，其他条件不变结果又如何？学生给出答案。反思2：将条件中3个点改为100个，其他条件不变结果又如何？学生经过讨论研究给出正确答案。这时笔者就请学生讲述解题过程。学生答：从前面4个、5个、6个的结果中不难发现其规律：当平面上有n个点，其中任意三点不在同一直线上，共可作出n（n-1）条直线。据此引导学生反思：如何对结果n（n-1）作出解释？让学生进行讨论，部分学生这样解释：从画图中可看出第一个点与其他n-1个点相连可得n-1条直线，第二个点与其他n-2个点相连可得n-2条直线，如此下去共有（n-1）+（n-2）+…+2+1=n（n-1）条直线。另一种解释：平面上有n个点，每个点与其他n-1个点相连可得n-1条直线，这样可得n（n-1）条直线，考虑到A、B连线与B、A连线是同一直线，所以结果为n（n-1）条。接着引导学生解决下列问题：①平面上过一点有4条射线，其中无两条射线在同一直线上，共有多少个角？②4个人聚会每两人握一次手，共握多少次手？引导学生反思，为什么上面问题不同，结果却相同？你能否再举出类似问题？学生经历了画、数、归纳、分析的认知过程，对这类问题有了系统的认识，通过反思进行了“数学化”处理，同时显露了组合的萌芽，有利于学生今后学习，为可持续发展打下基础。
反思之四：对条件结论和过程重新评价，以发现致误的原因
第二章平行线与相交线
课时安排
7课时
第一课时
课题
§2.1余角与补角
教学目标
(一)教学知识点
1.余角、补角及对顶角的定义.
2.余角、补角及对顶角的性质.
(二)能力训练要求
1.经历观察、操作、推理、交流等过程，进一步发展空间观念、推理能力和有条理表达的能力.
2.在具体情境中了解补角、余角、对顶角，知道等角的余角相等、等角的补角相等、对顶角相等，并能解决一些实际问题.
(三)情感与价值观要求
通过在具体情境下的讨论，让学生理解基础知识的同时，提高他们理论联系实际的观念.
教学重点
1.互为余角、互为补角的定义及其性质.
2.对顶角的定义及性质.
教学难点
互为余角、互为补角、对顶角的定义的理解.
教学方法
讲练结合法
教师在充分发挥学生的主观能动性的同时，来与学生进行交流、讨论，使之能运用本节内容解决一些实际问题.
教学过程
Ⅰ.创设现实情景，引入新课
［师］在上册第四章“平面图形及其位置关系”中，我们学习了“平行”与“垂直”，大家想一想：什么是平行线？
［生］在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线.
［师］很好，在日常生活中，我们随处可见道路、房屋、山川、桥梁……等这些大自然的杰作和人类的创造物.这其中蕴涵着大量的平行线和相交线.
下面大家来看几幅图片：(出示投影片：P49的桥的图片，宫殿、建筑物、门等的图片)
你能从这些图案中找出平行线和相交线吗？
(同学们踊跃发言，都能准确地找出其中的平行线和相交线)
［师］同学们找得都对，说明大家掌握了所学内容.从今天开始，我们将深入学习这方面的内容：第二章平行线与相交线.
在这一章里，我们将发现平行线和相交线的一些特征，并探索两条直线平行的条件，我们还将利用圆规和没有刻度的直尺，尝试着作一些美丽的图案.
相信大家，一定会学得很好.
图2－1
Ⅱ．讲授新课
［师］我们知道，光的反射是一种常见的物理现象，通过如图的实验装置我们可以验
证光的反谢定律：
活动内容：参照教材p59光的反射实验提出下列问题：
（1） 模拟试验：通过模拟光的反射的试验，为学生提供生动有趣的问题情景，将其抽象为几何图形，为下面的探索做好准备。
（2）利用抽象出的几何图形分三个层次提出问题，进行探究。
i说出图中各角与∠3的关系。将学生的回答分类总结，从而得到余角、补角的定义。
ii图中还有哪些角互补？哪些角互余？在巩固刚刚得到的概念的同时，为下一个问题作好铺垫。
iii图中都有哪些角相等？由此你能够得到什么样的结论？在学生充分探究、交流后，得到余角、补角的性质。
由此，我们得到了一个新的概念：互为余角.即：如果两个角的和是直角，那么称这两个角互为余角(complementary angle),也就是说其中一个角是另一个角的余角.
只要有∠BDC+∠1=90°，就可知道∠1与∠BDC互为余角，反过来知道∠1与∠BDC是互为余角，就一定知道∠1与∠BDC的和为直角.
再之：∠1与∠BDC是互为余角就是说：∠1是∠BDC的余角，∠BDC也是∠1的余角.
大家看老师手里拿两个三角板(一边演示，一边叙述)：这一个三角板的60°的角与另一个三角板的30°的角加起来正好是90°，那么我们说这两个角是互为余角.
同学们应注意：(强调)
(1)互为余角是对两个角而言的.
(2)互为余角仅仅表明了两个角的数量关系，而没有限制角的位置关系.
［生］老师，我们知道了：两个角的和是直角，则这两个角是互为余角.刚才我们还讨论了：∠1+∠ADF=180°,∠EDB+∠1=180°.
那么这样的两个角又叫什么呢？
［师］这位同学问得好，这就是我们要学习的另一个概念：互为补角.即：如果两个角的和是平角，那么称这两个角互为补角(supplementary angle).
互为补角的概念的理解与互为余角的理解基本一样.哪些同学能尝试的说一下呢？
［生甲］只要满足∠1+∠ADF=180°，就可知道∠1与∠ADF是互为补角.反之知道∠1与∠ADF是互为补角，就一定可知道∠1与∠ADF的和是平角.
［生乙］∠1与∠ADF是互为补角，就是说：∠1是∠ADF的补角，∠ADF也是∠1的补角.
［生丙］互为补角也是对两个角而言的.与角的大小有关，而与位置无关.
［生丁］∠EDB与∠1也是互为补角.
［师］同学们回答得真棒.互为余角、互为补角都是针对两个角而言的，仅仅表示了两个角之间的数量关系，并没有限制角的位置关系.
好，下面大家来想一想.(出示投影片§2.1 A)
在下图中，CD与EF垂直，∠1=∠2.
(1)哪些角互为余角？哪些角互为补角？
(2)∠ADC与∠BDC有什么关系？为什么？
(3)∠ADF与∠BDE有什么关系？为什么？
图2－2
(同学们分组讨论，得结论)
［生甲］在图中：∠1与∠ADC、∠2与∠ADC、∠BDC与∠1、∠BDC与∠2都是互为余角.
∠1与∠ADF、∠EDB与∠1、∠ADF与∠2、∠EDB与∠2都是互为补角.
［生乙］∠ADC与∠BDC相等，因为：
∠ADC+∠1=90°，∠BDC+∠1=90°
所以：∠ADC=90°－∠1=∠BDC.
［生丙］∠ADC与∠BDC相等的理由还可以这样说：因为∠ADC+∠1=90°，∠BDC+∠2=90°，所以∠ADC=90°－∠1，∠BDC=90°－∠2，又因为∠1=∠2，所以∠ADC=∠BDC.
［生丁］老师，是不是这样：∠ADC是∠1的余角，∠BDC也是∠1的余角，所以∠ADC与∠BDC就相等.因此可以说：同一个角的余角相等.∠ADC是∠1的余角，∠BDC是∠2的余角，而∠1与∠2相等.所以∠ADC与∠BDC相等.因此可以说：相等的角的余角相等.
［师］丁同学总结得很好.大家的意见怎么样？
［生齐声］丁同学总结得对.
［师］很好，这就得出互为余角的性质：
同角或等角的余角相等.
接下来看第三个问题:
(同学们踊跃发言，得出结论)
［生］∠ADF与∠BDE相等.因为∠1+∠ADF=180°，∠1+∠BDE=180°，所以，∠ADF=180°－∠1=∠BDE.还可以这样说：
因为∠1+∠ADF=180°，∠2+∠BDE=180°，所以∠ADF=180°－∠1，∠BDE=180°－∠2，又因为∠1=∠2，所以∠ADF=∠EDB.
因此得出结论：
同角或等角的补角相等.
［师］同学们表现得很好，通过讨论，得出互为余角、互为补角的性质：
同角或等角的余角相等.
同角或等角的补角相等.
接下来，我们议一议.
(可用电脑演示，也可用实物剪刀实际操作，然后提问.)(出示投影片§2.1 B)
(1)用剪刀剪东西时，哪对角同时变大或变小？
(2)如果将剪刀的图形简单表示为下图，请问：∠1与∠2的位置有什么关系？它们的大小有什么关系？为什么？
图2－3
［生甲］(1)用剪刀剪东西时，相对的角同时变大或变小.
［生乙］图中的∠1与∠2有公共的顶点O，且角的两边互为反向延长线.
∠1与∠2相等，因为∠1是∠BOC的补角，∠2也是∠BOC的补角.由同角的补角相等，可得∠1与∠2相等.
［师］很好，像这样，直线AB与直线CD相交于点O，∠1与∠2有公共顶点，它们的两边互为反向延长线，这样的两个角叫对顶角.
如图中的∠AOD与∠BOC也是对顶角.
由对顶角的概念可知,对顶角的本质特征是：两个角有公共顶点，两个角的两边互为反向延长线.
所以要在图形中准确地找出对顶角，需两看：
(1)看是不是两条直线相交所得的角;
(2)看是不是有公共顶点而没有公共边(或不相邻)的两个角.
另外，从对顶角的定义还可知：对顶角总是成对出现的，它们是互为对顶角；一个角的对顶角只有一个.
接下来大家想一想：对顶角有什么性质？
［生齐声］对顶角相等.
［师］好，“对顶角相等”是对顶角的重要性质.
下面大家来议一议(出示投影片§2.1 C)
如图(P52的上图)所示，有一个破损的扇形零件，利用图中的量角器可以量出这个扇形零件的圆心角的度数，你能说出所量角是多少度吗？你的根据是什么？
［生甲］根据对顶角相等，可以得出所量角的度数是40°.
［生乙］我利用补角可得出所量角的度数是180°－140°=40°.
［师］同学们能利用学过的有关事实解决实际问题，这很好.
下面我们来做一练习，以巩固所学内容.
Ⅲ.课堂练习
1.下图中有对顶角吗？若有，请指出，若没有，请说明理由.
图2－4
答案：图(1)、(2)、(3)中没有对顶角，因为这三个图形中的∠1、∠2不是两条直线相交所形成的.图(4)中有对顶角，分别是∠1与∠3；∠2与∠4.
2.判断对错
(1)顶点相对的角是对顶角.( )
(2)有公共顶点，并且相等的角是对顶角.( )
(3)两条直线相交，有公共顶点的角是对顶角.( )
(4)两条直线相交，有公共顶点，没有公共边的两个角是对顶角.( )
答案：××× √
(举反例说明)
Ⅳ.课时小结
这节课我们学习了三个定义、三个性质，现在来总结一下：
定义：
互为余角：如果两个角的和是直角，则这两个角互为余角.
互为补角：如果两个角的和是平角，则这两个角互为补角.
对顶角：像这样直线AB与直线CD相交于O，∠1与∠2有公共顶点，它们的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角.
注意：
(1)互为余角、互为补角只与角的度数有关，与角的位置无关.
(2)对顶角的判断条件：
性质：
同角或等角的余角相等，同角或等角的补角相等.
对顶角相等.
Ⅴ．课后作业
(一)课本P52习题2.11、2、3
(二)1.预习内容：P53~54
2.预习提纲
(1)直线平行的条件是什么？
(2)同位角的概念.
(3)会用三角尺过已知直线外一点画这条直线的平行线.
板书设计
§2.1台球桌面上的角
一、台球桌面上红球滑过的痕迹
图2－5
∠1+∠ADC=90°
∠1+∠BDC=90°
∠1+∠ADF=180°
∠1+∠BDE=180°
二、互为余角、互为补角的定义
三、互为补角、互为余角的性质
同角或等角的余角相等.
同角或等角的补角相等.
四、对顶角的定义
五、对顶角的性质：
对顶角相等.
六、练习
七、小结
【关键词】平面几何 添加辅助线 常用 方法
对于平面几何来说，不论是证明题，计算题，还是作图题，常常都涉及到添加辅助线的问题［1］。因此，怎样添加辅助线对于解决平面几何问题就显得尤其重要。
本人在教育实习期间，发现有的学生面对平面几何问题，不知道去添加辅助线，有的学生即使添加了辅助线，但对问题的解决却帮助不太大。基于以上情况，为了帮助同学们有一些清晰添加辅助线的常用方法，本文归纳了三角形、梯形、圆这三类几何图形中添加辅助线的常用方法，并介绍了这些常用方法在三类几何问题中的具体应用，具体如下：
1.在三角形、梯形、圆中添加辅助线的常用方法：
1.1 三角形
1.1.1 等腰三角形：连底边上的中线或高或顶角的角平分线；
1.1.2 直角三角形斜边上有中点：连中线;
1.1.3 斜三角形：①作中线、中位线；
② 过中点作延长线或平行线；
③ 截长补短法；
④连接两点。
1.2 梯形
1.2.1 由梯形的小底两端作大底的垂线，作直角三角形和矩形；（图1）
1.2.2 由小底的一端作另一腰的平行线，或作另一对角线的平行线，作三角形和平行四边形；（图2，图3）
1.2.3 延长两腰交于一点，作相似三角形；（图4）
1.2.4 由大底的一端作另一腰的平行线，作平行四边形；（图5）
1.2.5 过一腰的中点作另一腰的平行线，作全等三角形；（图6）
1.2.6 连小底一端与另一腰的中点，并与大底的一边相交，作全等三角形；（图7）
1.2.7 连两腰的中点，作梯形的中位线；（图8）
1.2.8 连梯形的对角线，把梯形转化为三角形；（图9）
1.2.9 过小底的中点分别作两腰的平行线，构造一个集中有两腰及上下两底差的三角形和平行四边形。（图10）
1.3 圆
1.3.1 作弦心距；
1.3.2 作过切点的半径或弦；
1.3.3 过已知点作圆的切线；
1.3.4 作直径上的圆周角；
1.3.5 作两圆的公切线或连心线；
1.3.6 作两相交圆的公共弦或连心线；
1.3.7 作辅助圆。
2.添加辅助线在具体解题中的应用
2.1 在三角形中
2.1.1 利用等腰三角形三线合一添高
在等腰或等边三角形中，若已知三边，求面积或需证明底边上的某些线段相等时，常通过添底边上的高，利用等腰三角形三线合一的性质，可得高把原来的三角形分成左右两个全等的直角三角形，利用直角三角形勾股定理或全等三角形对应边、对应角相等的性质解题。
例1［2］ 已知：点D，E在BC上，AB=AC，AD=AE求证：BD=CE
图11
分析：已知条件中有两个等腰三角形，而所证的两条线段正好位于底边上，通过添高利用等腰三角形三线合一的性质可得线段BH=HC, DH=HE。再根据等式性质，命题即可得证。
证明：过A作BC边的高，垂足点为H,
AB=AC,AD=AE，AHBC
BH=HC, DH=HE（等腰三角形三线合一）
BD=CE
说明：本题利用等腰三角形三线合一添高，使证明简便。
2.1.2 直角三角形斜边上有中点连中线
在直角三角形中，连斜边的中线构造两个等腰三角形，或便于运用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
例2［3］ 已知BD和CE是三角形ABC的两条高线，求证：线段DE的垂直平分线过BC边的中点F。
图12
分析：已知BDAC,CEAB,要证线段DE的垂直平分线过BC边的中点F，只要在BC边上取中点F，连接DF、EF利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，知EF=12BC=DF从而EFD是等腰三角形，易知DE的垂直平分线过点F。
证明：取BC的中点为点F，连接EF、DF
BD,CE分别是AC，AB上的高线
在RTBEC中，EF=12BC
在RTBDC中DF=12BC
EF = DF
EFD是等腰三角形
作DE的垂直平分线L交点为G，
等腰三角形的三线合一
线段DF的垂直平分线过BC边的中点F。
说明：此题是在直角三角形中，连斜边的中线构造两个等腰三角形，运用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，然后又利用等腰三角形的三线合一，问题便得解。
2.1.3 过中点作延长线或平行线
例3［3］ 试证三角形中位线性质定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于底三边的一半。
已知：E,F是三角形ABC两边AB,AC上的中点（图13）
图13
求证：EF∥=12BC
此题添加辅助线的方法有：
①延长EF至Q，使FQ=EF,连结QC,从三角形全等，在推到出EBCQ是平行四边形；（图14）
图14
②过F作GS∥AB交BC于G，过A作AS∥BC交GS于S。从三角形全等，再推导出EBGF是平行四边形。（图15）
图15
③过E,F任作两条平行线的直线PS和RT，过A作ST ∥ BC,分别交前者S,T,再由SPRT是平行四边形去证两对三角形全等。（图16）
图16
说明：此题上面的三种添加辅助线的方法都是过中点作延长线或平行线得到平行四边形，利用平行四边形的性质，问题便得解。
2.1.4 截长补短法
此法用于证明两条线段之和或之差等于另一 条线段。截长法――在较长线段中截取一段等于图中另一条线段；补短法――延长一条线段，使延长部分等于图中另一条线段。
例4［6］ 已知在ABC中，AD平分∠BAC， ∠B=2∠C，求证：AB+BD=AC
图17
证明：在AC上截取AF=AB，连接DF
在∠ABD与∠AFD中
∠1=∠2(已知)AB=AFAD=DA(公共边)
ABDAFD（SAS）
∠B=∠AFD，BD=DF（全等三角形对应角，对应边相等）
又 ∠B=2∠C
∠AFD=2∠C
又∠AFD=∠FDC+∠C（在三角形中，一个外角等于不相邻的两个内角和）
∠FDC=∠C
FD=FC（等角对等边） 即 AB+BD=AC
说明：在上述几何题型中，通过透析题、图的条件及待证结论特征，一法补短，即延长AB 到点E，使AE=AC。一法截长，在AC上截取AF=AB。
例5［6］ 如图18，AD为 ABC的中线，求证：AB＋AC＞2AD。
图18
分析：要证AB＋AC＞2AD，由图想到： AB＋BD＞AD,AC＋CD＞AD，所以有AB＋AC＋ BD＋CD＞AD＋AD＝2AD，左边比要证结论多BD＋CD，故不能直接证出此题，而由2AD想到要构造2AD，即加倍中线，把所要证的线段转移到同一个三角形中去。
证明：延长AD至E，使DE=AD，连接BE，则AE＝2AD
AD为ABC的中线（已知）
BD＝CD（中线定义）
在ACD和EBD中
BD=CD(已证)∠ADC=∠EDB(对顶角相等)AD=ED(辅助线的作法)
图32
分析：所证的两个角难以建立直接关系，不妨过点P作两圆的公切线PE，则∠1=∠BAP，∠2=BCP，两式相加得∠1+∠2=∠BAP+∠BCP。
而∠1+∠2=∠BPC，∠BAP+∠BCP=∠CPD，故∠BPC=∠CPD，问题获证。
2.3.6 作两相交圆的公共弦或连心线
在解决有关两圆相交的问题时，最常见的辅助线是两圆的公共弦或连心线，公共弦可连通两圆中的弦、角关系，连心线则垂直平分公共弦。
例15［4］ 如图33，O1与O2相交于A、B，过A的两条直线与O1、O2分别交于C、E和D、F，设直线CE和FD交于G，求证：∠G=∠BEF+∠BFE。
图33
分析：连结AB，则∠ECA=∠EBA，∠GDC=∠ABF，所以∠ECA=∠EBA，∠GDC=∠ABF，所以∠ECA+∠GDC=∠EBF。又∠GCD+∠CDG+∠G=180°，∠BEF+∠BFE+∠EBF=180°，从而可使问题获证。
2.3.7 作辅助圆
若能判断出某些点在同一圆上时，往往可构作辅助圆，从而利用圆的性质促使问题的解决，注意有时为了图形的简洁，辅助圆可以不画出来。
例16 如图34，从圆心O向圆外的直线XY作垂线OA，A为垂足，过A的割线交O于点B、C，过B、C两点的切线交XY于D、E，求证：DA=AE。
图34
分析：要证DA=AE，由OADE知，只须证OD=OE，因B、C为切点，可连结OB、OC，问题转化为证明RtDBO≌RtECO。又OB=OC，故只须找出另一组等量即可，由∠OBD=∠OAD=90°，知O、B、A、D四点共圆，可得∠ODB=∠OAB，由∠OCE=∠OAE=90°，知O、A、E、C四点也共圆，可得∠OAC=∠OEC，故∠ODB=∠OEC，问题获得解决。
总之，作辅助线的目的是构筑条件和结论的通道――位置关系和数量关系，以充分挖掘图形的性质，使隐含条件明朗化，它相当于代数问题中的引入参变量。
3.总结语
由上我们可以看到在不同类型题目中，辅助线扮演着不可替代的角色，添加恰当辅助线会使我们的解题更加得心应手，原来不容易证明或求解的变得更容易证明或求解了，总之添加辅助线要求我们在熟练掌握所学知识基础上再利用一些常用的方法去做艰苦的探索，才能添加出恰当的辅助线。
通过写这篇论文笔者也体会到了添加辅助线的几点小小心得。①仔细观察，联系自己所学过的知识，是否能把已知或求证转化为我们平常所熟悉的知识上去；②善于对题目分析、转化；③对于一些常用的定理及其逆定理，定理的性质要求熟练掌握。要学会积累和总结一些解题的常用方法；④要勇于尝试，一次不行再做一次，此路不通走另一条路；⑤添加辅助线在平面几何解题的过程中是有很大帮助的，因此，掌握一些添加辅助线的常用方法是必要的。
本人通过本文的写作，期望能对中学生学习平面几何有所帮助，也期望能对其教学有所帮助。
参考文献
［1］ 刘千章.巧添辅助线.社科学出版社出版,1986.6版.
［2］ 杨荣祥.数理化自学从书平面几何.上海科学技术出版社,1963.10版.
［3］ 梅向明.初中几何第二册学习手册下册.农村读物出版社,1987.12版.
［4］ 曾广钦,李辉.怎样作辅助线.黑龙江科学技术出版社,1981.12版.
一、激发学生的学习兴趣，引发思考
课堂上，充分展示数学的亲和力，拨动学生的好奇心，激发学生学好数学的原发动力，使学生乐学、会学.
设立问题情景，唤起学生的参与意识，参与到数学活动中来.如在教平行线的判定方法时，我和学生有这样一段对话：师：如果两条直线被第三条直线所截，同位角相等，那么两直线平行吗？生：平行.几乎是脱口而出.师：为什么呀？生：两条直线平行，同位角相等.师：对顶角相等，那么相等的角是对顶角吗？这时，到底平不平行呢？学生的好奇心被拨动了，开始想办法证明自己的想法对不对.
让学生自己去寻找问题的答案，体验克服困难、合作交流后，获得成功的快乐.当学生的求知欲被激起时，我提示说：以往经验告诉我们，运用前面所学知识，可以解决这个问题.那“同位角相等，两直线平行”正确的依据是什么呢？大家想一想、议一议吧.有的同学说：画平行线的方法可以说明，因为平移三角板，实际上就是利用了一组同位角相等.有同学马上反驳，这不能作为说理的依据，因为它不是定义，不是定理，也不是基本事实.经过一段时间的讨论交流，同学们终于想到利用过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行这条性质，证明了同位角相等，两直线平行.同学脸上露出了成功的喜悦.成功是最好的激励，设计好探索数学知识的台阶，适当降低难度，让学生形成愉悦的情感体验，更能激活学生的思维，增强克服困难的信心，对学好数学非常有好处.
设计贴近学生生活的练习，拉近学生与数学的距离，让学生也感觉“数学好玩”.学习同位角相等，两直线平行后，我出了这样一道题：现在老师要在墙上出一期墙报，要检查一下墙报的边框是否与墙边平行，怎么检查呢？你能帮忙解决吗？ 片刻之后，甲同学站起来说：我利用平移可以检查出边框是否平行.[HJ1.45mm]理由是：[TP8CS11.TIF，Y#]平移不改变直线的方向.乙同学说：我可以画一条线与边框、墙边相交，再量一组同位角就可以检查出来了，理由是：同位角相等，两直线平行.丙同学说：我认为可以运用掉铅锤线的方法，将铅锤线的一头固定在墙报竖的边框上，铅锤自由落下，利用直角三角板量一下铅锤线与横的边框是否为直角就可以了，我的想法是：用同位角相等，两直线平行检查横边与墙边是否平行，用垂直于同一条直线的两条直线平行来检查竖的边框与墙边是否平行.学生情感态度的发展，为学生带来了正能量，学生慢慢地学着思考，喜欢思考，不同层次的学生会有不同深度的思考，也就有不同的收获.
二、培养学生学习数学的良好习惯
学生良好的数学学习习惯，是以后学好数学的前提条件之一.形成良好的学习习惯非常重要，在培养数学学习习惯方面，我注意了如下几点：
（1）养成自学习惯.上课前要求学生用5分钟时间预习，找出自己不理解的地方，想不明白的问题，带着问题来学习，能找出问题的给予赞扬和鼓励.慢慢地，学生会发现自学能提高学习效率，也就愿意坚持下去了.
（2）养成审题的习惯.审题是解决问题的开始，也是提高解题速度的先决条件，所以，不论是计算题、应用题还是几何题，都需要审题.计算题要看题中包含哪些运算，有什么特征，怎样运算简便.应用题要看有哪些已知条件，求什么，采用什么方法分析问题和解决问题最好.几何题要把看图和看题结合起来，要说明什么问题，有哪些条件，根据什么理论依据可以说明清楚，在审题的过程中，学生也学会了严谨.
（3）养成归纳总结的习惯.
归纳总结的过程是一个整理知识体系，领悟数学思想，形成数学能力的过程，经常强调学生自己去归纳总结，这使学生记忆效果明显，认知结构清晰，学过的知识不易遗忘.如学平行线的判定方法一中的例2后，我问：通过例2的学习，你学到了什么？答案很多，总结一下：一是弄清平行线的性质和判定的区别，二是悟出数学中的转化思想，证明两线平行可转化为找两角的关系，证明两角相等可转化为找两线的关系，三是学会推理要有依据，有逻辑性.这样，数学素养会大大提高.
三、指导学生掌握恰当的学习方法
一、数学教学提问案例与分析
案例1 在讲“探索平行线的性质”时，教师可以这样提问并引入教学：
首先，教师播放一组幻灯片，内容是：供火车行驶的铁轨、游泳池中的泳道隔栏、横格纸中的线.提问：日常生活中我们经常会遇到平行线，你能说出直线平行的条件吗？让学生针对问题，回顾生活经验进行回答.然后，直接让学生针对问题进行思考：(1)同位角相等，两直线平行；(2)内错角相等，两直线平行；(3)同旁内角互补，两直线平行.学生回答问题后，教师再进一步提出本节课的问题：若两直线平行，那么同位角、内错角、同旁内角各有什么关系呢？从而引出课题――探索平行线的性质.
分析：这样的课堂提问看似平淡，但是它符合实效性原则的要求.首先，问题结合学生实际生活，提取的是学生的生活经验与感性认识，符合从感性上升到理性的思维规律，容易把学生思维引上路.其次，结合课本的教学目标与要求，用最短的提问实现了思维向教学内容的转换，成本是低的，教学要求达到了.
案例2 在讲“平面直角坐标系”时，教师可设计如下问题：
（1）给一个点A，你能够找到它的坐标吗？
（2）点A向右移4个单位，得到点A1，你知道它的坐标吗？把点A向上移4个单位得到哪个点呢？把点A向左或向下移3个单位呢？观察坐标的变化，发现什么规律？
（3）矩形ABCD，A、B、D三点的坐标如图，点C的坐标是什么？
（4）矩形改为平行四边形，坐标又在哪里？如何去找？
（5）改变平行四边形ABCD的顶点坐标，点C坐标在哪？
（6）把平行四边形位置改变一下，有什么不一样？有没有不变的地方？把点C坐标标出来.
（7）（此时如学生没有回答“用平移”）教师继续问：能不能把C看成D平移呢？
分析：这个提问设计既兼顾了时效性，也考虑到了层次性的问题.这样的提问，就是在学生的思维不够深入、全面，或者偏离教学目标要求的情况下，及时地给予引导与点拨，把学生的思维引向教学目标的方向，把思维引向深入或者促进思维的扩散.
二、对课堂提问有效性的思考
1．教师的定位问题――提问中低调的教师
在教学中，教师要用问题引导学生思维，但是问题并不要多，而是尽量地少，把问题的提出、思考、解决交给学生，让学生合作探究.教师只是在课前问题引导设计时、在学生的思维遇到问题时、在方向发生偏差时，适时地抛出一个问题，起到点拨的作用.在案例1中，教师的提问显得不突出，但是很自然.教师的低调正是对教育规律的高度把握以及对课堂学生思维的高度掌控力的表现.
2．问题的趣味性――问题中隐藏的生活
从案例中我们可以发现，其中的问题设计具有层次性.这些层次性的起点在哪里呢？就是从学生已有的生活经验出发，让学生感受平行线在生活中的普遍应用.在此基础上，引导学生的思维向纵深方向发展.在教学中，案例1与2从学生的生活知识出发，让学生对生活中的实例进行思考，这样的提问不仅能激发学生学习的积极性，而且符合学生的认知发展规律.
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