时间：2022-08-09 10:40:18
导语：在全等三角形教案的撰写旅程中，学习并吸收他人佳作的精髓是一条宝贵的路径，好期刊汇集了九篇优秀范文，愿这些内容能够启发您的创作灵感，引领您探索更多的创作可能。
学生的知识技能基础：学生通过前面的学习已经了解了全等三角形的概念，掌握了全等三角形的对应边、对应角的关系，这为探究三角形全等的条件做好了知识上的准备。
学生活动经验基础：学生也具备了利用直尺、量角器作三角形的基本作图能力，这将使学生能够主动参与本节课的操作、探究成为可能。
二、教学任务分析
全等三角形是两个三角形间最简单，最常见的关系，它不仅是学习后面知识的基础，还是证明线段相等、角相等以及两线互相平行、垂直的重要依据。因此必须熟练地掌握全等三角形的判定方法，并且能够灵活应用。《探索三角形全等的条件》共三课时，本节课探索第一种判定方法―边边边，为了使学生更好地掌握这一部分内容，遵循启发式教学原则，用设问形式创设问题情景，设计一系列实践活动，引导学生操作、观察、探索、交流、发现、思维，真正把学生放到主置，发展学生的空间观念，体会分析问题、解决问题的方法，积累数学活动经验，为以后的证明打下基础。为此，本节课的教学目标是：
1.知识与技能：经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程，掌握三角形全等的“边边边”条件，了解三角形的稳定性，在探索的过程中，能够进行有条理的思考并进行简单的推理。
2.方法与过程：讨论、引导教学法。
3.情感、态度、价值观：使学生在自主探索三角形全等的过程中，经历画图、观察、比较、推理、交流等环节，从而获得正确的学习方式和良好的情感体验，让学生体验数学源于生活，服务于生活的辨证思想。
三、教学设计分析
本节课设计了五个教学环节：知识回顾引入新知、创设情境提出问题、建立模型探索发现、巩固运用及其推广、反思小结布置作业。
第一环节 知识回顾引入新知
活动内容：回顾全等三角形的定义及其性质。
全等三角形的定义：两个能够重合的三角形称为全等三角形。
全等三角形的性质：全等三角形的对应边、对应角相等。
活动目的：回忆前面学习过的知识，为探究新知识作准备。
第二环节 创设情境提出问题
活动内容：（屏幕显示）小明画了一个三角形，怎样才能画一个三角形与他的三角形全等？
教师加以分析，学生分小组进行讨论交流，师生互动合作。受教师启发,学生从最少的条件开始考虑：一个条件；两个条件；三个条件…经过逐步分析，各种情况渐渐明朗，进行交流予以汇总、归纳。
活动目的：探索三角形的条件。我们知道全等三角形的三条边、三个角分别对应相等,反之这六个元素分别对应相等,这样的两个三角形也一定全等。但是,是否一定需要六个条件呢?条件能否尽可能少呢? 一个条件行吗？两个条件、三个条件呢？这就是我们这节课要探索的问题（自然引出课题）。
实际教学效果：学生能够在教师的启发下分小组讨论（四人搭配）：一个条件、两个条件、三个条件…逐步分析，进行交流，得出结论。
对学生提出的解决问题的不同策略,教师要给予肯定和鼓励,以满足多样化的学生需要,发展学生个性思维。经过对各种情况的分析、归纳、总结,对学生渗透分类讨论的数学思想。
第三环节 建立模型探索发现
活动内容：按照三角形“边、角”元素进行分类,师生共同归纳得出:
1. 一个条件:一角；一边
2. 两个条件:两角；两边；一角一边
3. 三个条件:三角； 三边；两角一边；两边一角
按以上分类顺序动脑、动手操作验证。（对学生在分类中出现的问题,教师予以纠正。）
验证过程可采取以下方式：
想一想：对只给一个条件画三角形，画出的三角形一定全等吗？
画一画：按照下面给出的两个条件做出三角形：
（1）三角形的两个角分别是：30°，50°
（2）三角形的两条边分别是：4cm，6cm
（3）三角形的一个角为 30°，一条边为3cm
剪一剪：把所画的三角形分别剪下来。
比一比：同一条件下作出的三角形与其他同学作的比一比，是否全等。
教师收集学生的作品，加以比较，得出结论：只给出一个或两个条件时，都不能保证所画出的三角形一定全等。
下面将研究三个条件下三角形全等的判定。（学生模仿上面的研究方法，独立完成操作过程，通过交流，归纳得出结论。）
（1）已知三角形的三个角分别为40°、60°、80°，画出这个三角形，并与同伴比较是否全等。学生得出结论后，再举例体会一下。举例说明：如老师上课用的三角尺与同学用的三角板三个角分别对应相等，但一个大一个小，很显然不全等；再如同是等边三角形，边长不等，两个三角形也不全等，等等。
（2）已知三角形的三条边分别是4cm，5cm，7cm,画出这个三角形，并与同伴比较是否全等。
板演：三边对应相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或“SSS”。
由上面的结论可知：只要三角形三边的长度确定了，这个三角形的形状和大小就确定了。
活动目的：营造自主探索空间，提供合作交流的场所，以学生的探求活动为主体，让学生参与经历、体验、感悟，“三角形全等条件”的形成与发展过程，并能举例说明。在举例时，利用多媒体辅助演示让学生感受反例的作用。。
实际教学效果：教师提出问题后，学生采取各自解决问题的方案，通过画图、观察、比较、推理、交流，在条件由少到多的过程中逐步探索出最后的结论。在这个过程中，学生不仅得到了两个三角形全等的条件，同时体会了分析问题的一种方法，积累了数学活动的经验。总之，学生充分地经历了实践、探索和交流的活动，在讨论的过程中体验分类的思想。
第四环节 巩固运用及其推广
活动内容：
1.三角形全等的条件的练习题（P161问题解决1，对有能力的学生要求把实际问题抽象成数学问题，根据自己的理解写出推理过程。对一般学生要求口头表达理由，并能说明每一步的根据。）及补充习题。
2.（实物演示）由三根木条钉成的一个三角形框架，它的大小和形状是固定不变的，三角形的这个性质叫三角形的稳定性。（举例说明该性质在生活中的应用。）
类比三角形，让学生动手操作，研究四边形、五边形有无稳定性？（学生拿出准备好的硬纸条，进行实验，得出结论：四边形、五边形不具有稳定性。）图形的稳定性与不稳定性在生活中都有其作用，让学生举例说明。练习：P161 知识技能2（学生举反例说明）鼓励学生自己举出实例,体验数学在生活中的应用。
活动目的：演示教具，引导学生由三根木条钉成的三角形框架和由四根木条钉成的四边形框架，体会三角形的稳定性，并进一步提出问题，你有办法使四边形的框架的形状不发生改变吗？
三角形稳定性及四边形不稳定性在生活中有着广泛的应用.利用题组练习检测学生对知识的掌握情况及应用能力。
实际教学效果：学生观察由三根木条钉成的三角形和由四根木条钉成的四边形框架，体会三角形的稳定性。通过这一实验演示，学生体会到了三角形这一特殊的性质，发现和体验数学在现实生活中的广泛应用，从而激发他们学习数学的热情，用所学的知识更好的解决实际问题。
第五环节 反思小结布置作业
活动内容：教师引导、回顾反思本节课对知识的研究探索过程，小结方法及结论，提炼数学思想，掌握数学规律。学生在教师引导下结合本节课的知识点，对学习过程进行回顾反思，归纳整理。（边边边公理）三边对应相等的两个三角形全等。
三角形具有稳定性。
作业：熟记边边边公理，预习其它判定三角形全等的条件；灵活应用边边边公理解决实际问题。
一、精选探究学习的内容
学习内容是探究学习设计的载体，没有具体的探究材料来“活化”主题的主动性，学生对知识的理解掌握、应用、迁移以及技能的形成都是空洞的，而初中数学教材中并非所有的内容都适合探究学习，如有理数混合运算的顺序、从面积到乘法公式等就不适用探究学习的方法。这就要求我们不仅要认真研究教材正确使用教材，根据数学学科的特点和我的教学实践认为，规律性较强的知识适合探究，而一般的常识性知识不宜探究；首次遇到的生疏的学习内容不适合探究，而后继内容既有知识基础，又有能力储备，可以展开探究；类比性强的知识，可利用知识和方法的迁移性进行类推性探究，而零散的孤立性知识不易探究，而且要努力开发教材资源，设计符合学生实际、适应学生发展的探究教学内容。
例如，教学“走进图形世界的5.3展开与折叠”时，不要先带着学生用画、剪、拼的操作来得出相应的结论，而要先启发学生思考：“一个正方形完全剪开最少要几刀?看看剪开的平面图有几种?”于是学生纷纷投入到探索“如何完全剪开”的学习活动中，热切地讨论、大胆地尝试、独立地操作、积极地思考。结果不少学生找到了不同于教材上的几种正方形的展开图。从而推导出11种展开图。这样的处理使学生在探究过程中把获取知识、拓展思路、培养能力有机地结合起来了。
二、找准探究学习的时机
寻找探究学习的时机，关键是把探究的支配权还给学生，根据学生的需要决定何时实施探究，其实质是对学生主体地位的认可。如果教师只是想着自己教案，只是按预定的方案组织探究，而忽视了学生是否有探究的需要，就很可能出现探究超前或滞后的现象。所以教师在课堂上一定要准确把握学生的思维状况，并据此选择探究的最佳时机。如果学生没有探究的需要，即使是教案上安排的也要舍弃，如果学生产生了迷惑即使教案上没有安排，也要组织探究。重点要抓住以下几个时机：
1.探寻规律时。教师创设问题情境后，要引导学生通过探究去寻找规律，去发现规律，以八年级下“分式的性质”为例，教师创设情境，提供分数材料，引导学生围绕“分数基本性质”这一中心问题展开合作探究分式的基本性质。学生在情境中感悟，在探究中体验，最终发现分式性质的规律，并通过对一些变式材料的进一步探究，加深理解，使思维的深刻性得到发展。
2.验证猜想时。提出探究内容后，可让学生先大胆地猜想一下，然后引导学生合作探究去验证猜想。例如，在“探索相似三角形的条件”的教学中，教师出示全等三角形，并提问：什么样的三角形是全等三角形?你的根据是什么?学生在已经掌握全等三角形的基础上，联系全等三角形的判定，找出相似三角形的条件。然后组织学生去探究、去验证猜想。
3.争执不下时。在运用概念、性质或定律等数学知识去判断、辨析正误中出现不同意见时，组织探究，进一步探究本质特征，既能引起学生浓厚的兴趣，又能让学生有更多的发表见解的机会。
4.攻克难题时。当教学中出现一些挑战性题目时由于思维力度大，开放性强，依靠个人力量往往难以找到解答方法或者思考不全，此时需要小组合作，开展讨论交流等探究活动。
三、加强探究学习的指导
学生的探究活动要取得成功，还需要教师及时有效的指导作保障。
1.创设情境，诱导探究。
首先，活用教材，设计情境。在备课中，不要为教材所左右，应精心设计问题情境。如悬念式情境，冲突式情境，操作式情境等，使学生在奇中问，在凝中问，在动中问，培养学生爱问的习惯。
其次，鼓励自学，质疑问难。这是提高学生创新能力的必经之路。我曾经进行了一些专项训练，在学生自学的基础上，我先以学生的身份去示范提问。如对一个新课题，可以问这个知识的具体内容是什么；为什么要学习这个知识；学习这个知识有什么作用；哪些旧知识和它有联系；这个知识与相邻知识有什么区别和联系。
第三，预留时空，引导“再创造”。数学学习过程充满着观察、实验、模拟、推新等挑战性活动。教师要改变以例题、示范、讲解为主教学方式，引导学生投入到探索与交流的学习之中。
2.设计提纲，引导探究
通过设计一些探究提纲引导学生探究。提纲可分为课前和课中两种，课前提纲主要目的是引导学生先进行独立思考，有了先前的独立思考，学生课上合作探究时就能提高参与度。
一、 重视动态备课，预设生成
强调“动态生成”并不否定“教学预设”的重要性，新课程对教学预设的要求反而提高。从重教师的“教”走向学生的“学”，真正关注学生的发展，更多地为学生的“学”而预设，做到预设是为了更好的生成，这需要教师运用智慧，灵活地备课。
1.多备方案 预设生成
教师在备课时要根据学生心理，知识层面，预设课堂组织形式。利用数学模型返回实际问题，这是我们备课的出发点和归属点。如：在备“华师版教材八下一次函数的简单应用”设计了一道看图出题：如（1） 折线OABD表示某个实际问题的函数图象，请你编写一道符合图象意义的应用题。备课时主要抓住线段AB有两种思考：（以X轴为时间Y轴为路程）预备方案先离开再休息后返回；预备方案先离开再绕着原地走圆弧线后返回。备课时可引导学生从行程、工程、温度、消费等方面思考，方案设计促使学生注重生活，生活场景赋予学生创造的空间。
图（1）
2.备出轮廓 预设生成
传统教学中过多考虑如何教、如何提问、如何启发引导、如何设计练习等。新课程的备课关键是考虑学生的学习需要，从而确定“以学定教”的原则，教师重在钻研教材，了解学生和设计课堂环节。笔者备课时，重备环节安排，活动组织等大体轮廓。如在“华师版教材七下用正多边形平面镶嵌”一课，围绕主题备出轮廓：概念内涵――用一个正多边形拼――用两个正多边形拼――总结发现规律――拓广用三个及三个以上正多边形拼，每一步都是开放的，不同的拼嵌展示不同的预设生成，教师可根据课堂情景，生成更丰富多彩的教学过程。
3.留足时空 预设生成
合作探究是课堂教学动态生成的生命线。为了保证学生探究的时间，备课时教师要多预设课堂的探究时空，放手把课堂还给学生。如“华师版教材七下等腰三角形的判定”一节的作业：一张顶角为36°的等腰三角形纸片剪两刀，分成3张小纸片使每张小纸片都是等腰三角形，你能办到吗？请画出示意图说明剪法。为了更好理清分割的要领，备课时还预设了一个延伸。延伸：一个三角形可被剖分成两个等腰三角形，原三角形的一个内角为36°，求原三角形最大内角的所有可能的值。画出示意图说明剪法。在操作活动安排上备足了时间，结果学生解决作业题方案很多如图(2)。并在备分割的延伸内容时设计几个问题：你能利用基本图形找出符合条件的三角形吗？你还能利用分割线经过36°或不经过36°画出图形吗？学生利用小组合作、分类讨论展示出结果如图（3）。显然，足够的时间让学生真正拥有展示自我的机会，达到预设中有生成。
图（2）
图（3）
二、 捕捉课堂动态，凸显生成
《数学课程标准》指出“学生是学习的主人，新形势下的课堂教学应体现学生的主体地位。”课堂不再是一出按教案上演的“情景剧”， 学生带着自己的知识、经验、情感与同学老师进行对话、共享。各种不确定因素，使课堂出现了一个个“生成点”。一个有厚实底蕴的教师，应充分运用教学机智，巧加选择、聚焦，较好地调整教学目标和过程，从而完成教学任务。动态教学可以采用以下几种方式进行生成。
1.巧妙设问 激发生成
教师巧妙、灵活、开放的提问，才有利于学生思维的发散和创新。选择一个好的问题，是调动全体学生共同参与的关键。巧妙的问题情境，可激发学生的探索欲和创造欲。笔者曾在初三复习课中做过如下的设问：
案例1：如图4 ACD，AEB都是等腰直角三角形，∠CAD=∠EAB=90°，EC、BD交于点F。
图（4）
探究1.试说明EC与BD的关系：(EC=BD，ECBD)
探究2.试说明点A在∠EFD的平分线上（过A作APEC，AQBD，AP=AQ点A在FD的平分线上）
探究3.观察、猜想，若将两个有公共顶点的等腰三角形绕着顶点旋转任意角度，以上结论还成立吗？（成立）
探究4.如图5，如果把题目中的ABE和ACD改为等边三角形①试说明EC与BD的关系？（EC=BD，EC与BD夹角60°）②试说明点A在∠EFD的平分线上（同上理）
图（5）
探究5.如图6在AEB与ACD中，∠BAE=∠CAD，AB=AE，AC=AD，CE交BD于F，交AB于点G，请你说出两个符合命题条件的结论。（有公共顶点且顶角相等的等腰三角形，在旋转过程中，连接对应底角顶点的线段相等，其夹角等于等腰三角形的顶角度数，且顶点在对应底角顶点连线所成角的平分线上。）
图（6）
一追三问，挖掘了命题丰富的内涵；一题五探，把命题尽可能地外延；从特殊到一般探索了图形在旋转过程中的规律，特别是通过新旧知识的联系和比较，构建了合理的知识框架。既培养了学生解决问题的能力，又培养了学生善于观察，勤于思考，乐于探索的精神，同时又拓展了学生的数学思维空间，真正达到“一石激起千层浪，浪尖头上见真缔”的效果。
2.锁定亮点 构建生成
这里是一个图片在教师的诱导或在某种情景下，学生创造性地理解和运用知识会产生独特的感受、体验，我们常说这就是课堂的亮点。课堂亮点是一种珍贵的课程资源，当亮点出现时，教师要发挥主导作用，锁定亮点把生成纳入预设。笔者在讲评试卷时有如下教学过程：
图（7）
案例2：如图（7），正方形OABC的边长是2，已知点O处是蚂蚁的家，在点(1,0) (2,1),(2,2),(0,2)处各有一只蚂蚁，它们正以相同的速度沿着正方形的边向前爬行，每只蚂蚁的爬行过程中，如果碰到另外一只蚂蚁，则各自掉头往回爬；如果爬到蚂蚁的家就停止爬行，那么当这四只蚂蚁全部爬回到家时，最多需要爬行的总路程是()
A.16B.18C.20D.22
为求出四只蚂蚁最多需要爬行的总路程，必须求出每只蚂蚁爬行到O点的距离，关键抓住每只蚂蚁爬行的方向、在何处相遇并掉头。标出号蚂蚁采用分类讨论计算。如 (0,2)处号蚂蚁与(2,2)处号蚂蚁在BC的中点处相遇，号掉头至O爬行的路程是4，……，最终获取答案D。讲完这道题足足用了10分钟，当大部分学生眉头舒展，我也如释重负时，学生××站起来说：“我觉得有更简单的方法，四只蚂蚁看成四胞胎，相遇时你变成我，我变成你，每只蚂蚁不掉头直接往最远的方向爬行至O处便可。”
××的言语令全班同学惊叹不已，这种变换角度看问题的方式让问题简单明了。不可预设的课堂亮点弥足珍贵，教师应牢牢锁定亮点，与学生共同构建灵活、开放、生成发展的课堂。这样他们的个性才能得到张扬，思维的火花才会绽放，课堂才会迭起，精彩纷呈。
3.利用错误 诱导生成
心理学家盖耶认为“谁不愿意尝试错误，不允许学生犯错误，就将错过最富有成效的学习时刻。”因此说错误是极具课程意义的课堂动态资源。教师要以积极的态度善待学生思维的“错误”，让学生在“错误”中学会求异，诱发学生求异意识，这样才能探求出与众不同的问题答案。
案例3：刚学三角形全等证明时，学生有时要用SSA的方法求证两个三角形全等。我利用课后的想一想：“两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形一定全等吗？”利用学生常犯的错误如图（8），索性开展了一次研究性学习。设置了几个探究问题：
探究1.若对角是直角，两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形全等？(全等)
探究2.若对角是钝角，两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形全等？（全等）
探究3.若对角是锐角，两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形全等？若不能全等“两边”还应添加什么条件呢？
图（8）图（9）图（10）
我让学生通过作图探求1、2，探究3的突破设计了一个作图，求作∠DAE为锐角在射线AD上截取AB=3cm以B为圆心3.5cm为长的半径作弦交射线AE于唯一一点C，于是∠ABC唯一确定如图（10）。因此只要添加两边中对边较大时，探究3也全等。教学中能巧妙利用学生产生的错误，让学生在前因后果中顿悟错误，在探究问题中解决错误，真正的课堂会因错误的发现、探究、解决，形成良性循环而充满活力。
三、 课外探究合作，促进生成
坚持动态生成式数学，归根结底是为了培养学生的创新思维，启迪他们的智慧，但课堂上的时间毕竟是短暂的，不可以满足所有学生的求知欲。因此鼓励和引导学生课外进行自主学习，寻找更多精彩的源泉，才能真正形成课内课外学习的一体动态生成教学。
案例4：在一元二次方程概念教学中，为了对概念理解的透彻，对知识学习提升一个层次，布置一题课后提升题x2a+b－2xa－b＋3＝0是关于x一元二次方程，试求整数a、b值。学生课外日记有五种想法，
①2a＋b＝2
a－b＝1 ②2a＋b＝1
a－b＝2
③2a＋b＝2
a－b＝2 ④2a＋b＝2
a－b＝0
⑤2a＋b＝0
a－b＝2
解得：①a＝1
b＝0 ②a＝1
b＝-1
③a＝43
b＝-23 ④a＝23
b=23
⑤a＝23
b＝-43
他们在合作中细心审题抓住“整数a 、b”的条件把结论进行筛选，生成合作的成果。看到学生的合作日记让我更深领会课外活动是拓宽学生思维的摇篮，真正领会“三个臭皮匠顶得了一个诸葛亮”的道理。
案例5：如图（17）在正方形网格中，若使ABC∽QBD则应在Q1、Q2、Q3、Q4中的处。
图（11）
延伸：如图在网格中建立直角坐标系，你能在网格中找出点P的坐标，使ABC∽PBD。
第十一章 三角形
本章主要学习与三角形有关的线段、角及多边形的内角和等内容。
本章重点：三角形有关线段、角及多边形的内角和的性质与应用。
本章难点：正确理解三角形的高、中线及角平分线的性质并能作图，及三角形内角和的证明与多边形内角和的探究。
第十二章 全等三角形
本章主要学习全等三角形的性质与判定方法，学习应用全等三角形的性质与判定解决实际问题的思维方式。
教学重点：全等三角形性质与判定方法及其应用；掌握综合法证明的格式。
教学难点：领会证明的分析思路、学会运用综合法证明的格式。
第十三章 轴对称
本章主要学习轴对称及其基本性质，同时利用轴对称变换，探究等腰三角形和正三角形的性质。
教学重点：轴对称的性质与应用，等腰三角形、正三角形的性质与判定。
教学难点：轴对称性质的应用。
第十四章 整式的乘法和因式分解
本章主要学习整式的乘除运算和乘法公式，学习对多项式进行因式分解。
教学重点：整式的乘除运算以及因式分解。
教学难点：对多项式进行因式分解及其思路。
第十五章 分式
本章主要学习分式及其基本性质，分式的约分、通分，分式的基本运算，分式方程的概念及可化为一元一次方程的分式方程的解法。
教学重点：运用分式的基本性质进行约分和通分；分式的基本运算；解分式方程。教学难点：分式的约分和通分；分式的混合运算；解分式方程及分式方程的实际应用。
二、学情分析：
从上学期的期末考试来看，学生的普遍成绩趋于中下游，数学基础一般，基础知识掌握不牢固，在错题难题方面更显能力不足，班级数学学习积极性差，数学作业完成质量低，数学提升空间很大。根据以往的经验，学生在广泛的深入的理解基础上使知识在各个方面建立起有机的联系，是最不容易忘记的，但现在的要求中，学生在这方面还是有所缺失的。最令担心的是班级中的差生的学习，无论如何要尽可能的使他们跟上班级体整体前进的步伐。在学习能力上，学生课外主动获取知识的能力有所进步，前一学期鼓动孩子们去买自己喜欢的参考书，通过自己的努力，一部分孩子的数学有了较为显著的提高，本学期也要继续鼓励有条件的孩子拓宽自己的知识视野，使孩子们在这个初中阶段这个最重要的一年里能更上一层楼。
三、教学目标：
1、知识与技能目标
学生通过三角形、掌握有关规律、概念、性质和定理，并能进行简单的应用。进一步提高必要的运算技能和作图技能，提高应用数学语言的应用能力，通过一次函数的学习初步建立数形结合的思维模式。
2、过程与方法目标
本学期针对不同的情况，根据学生的掌握的情况及教材的地位与作用采用比较灵活的教学方法，主要采用启发式教学，以激起学生的学习知识的积极性，培养学生的独立思考、自学能力为主，主要有：
1、学生猜想与学生动手操作相结合。
2、学生独立思考与教师指导相结合。
3、理论与实际相结合。
4、面向全体学生与照顾个别相结合。
5、组织练习与成绩考查相结合。
3、情感与态度目标
通过对数学知识的探究，进一步认识数学与生活的密切联系，明确学习数学的意义，并用数学知识去解决实际问题，获得成功的体验，树立学好数学的信心。体会到数学是解决实际问题的重要工具，了解数学对促进社会进步和发展的重要作用。认识数学学习是一个充满观察、实践、探究、归纳、类比、推理和创造性的过程。养成独立思考和合作交流相结合的良好思维品质。了解我国数学家的杰出贡献，增强民族的自豪感，增强爱国主义。
四、教学措施：
1、作好课前准备。认真钻研教材教法，仔细揣摩教学内容与新课程教学目标，充分考虑教材内容与学生的实际情况，精心设计探究示例，为不同层次的学生设计练习和作业，作好教具准备工作，写好教案。
2、营造课堂气氛。利用现代化教学设施和准备好教具，创设良好的教学情境，营造温馨、和谐的课堂教学气氛，调动学生学习的积极性和求知欲望，为学生掌握课堂知识打下坚实的基础。
3、搞好阅卷分析。在条件许可的情况下，尽可能采用当面批改的方式对学生作业进行批阅，指出学生作业中存在的问题，并进行分析、讲解，帮助学生解决存在的知识性错误。
4、写好课后小结。课后及时对当堂课的教学情况、学生听课情况进行小结，总结成功的经验，找出失败的原因，并作出分析和改进措施，对于严重的问题重新进行定位，制定并实施补救方案。
5、加强课后辅导。优等生要扩展其知识面，提高训练的难度；中等生要夯实基础，发展思维，提高分析问题和解决问题的能力，后进生要激发其学习欲望，针对其基础和学习能力采取针对性的补救措施。
我们都知道,公理与定理都是为几何证明或几何计算提供依据的,几何推理所得到的每一个结论都要有依据,于是我们如果从任何一个正确命题结论,追溯其成立原因的话,要找寻的原因总是不能无限地进行下去,必然在某一个地方会终止,也就是说,那个原因不可能由逻辑给予提供,它必然是来自人类的经验,这是不加证明的一个真命题,于是,我们便把这样的真命题叫做公理.就是说,平面几何的公理不是来自于证明的逻辑链条,而是来自千万年、千万次作用于我们感觉的空间,让我们对它正确体验的凝结,给逻辑链条展开提供了最基本的原因．
稍作分析,我们就知道,公理法对公理的要求是十分严格的,初中几何教材所说的公理是扩大了的公理体系中的公理,事实上,其中一些在严格公理体系几何中是可以被证明的定理(例如,判定两三角形全等的“SAS”公理,定理是证明了的真命题).然而,如果我们打开一本初中平面几何教材,就会发现,许多已经被证明了的真命题只是作为习题,而并没有称之为定理．
那么,在教材中,什么样真命题称为定理呢？让我们作一个类比：我们把解决问题(证明题或计算题)推理过程逻辑链条看作一张交通网络的话,那么,我们就是把处于交通枢纽位置上的真命题叫做定理,由这些真命题可以把逻辑链条中转到四面八方,而一般命题没有这种功能.因此,它只是一个普通真命题,如果在一道题目推理过程中,需要用到这个真命题时,从功利上讲(比如,在考试中)必须把这个命题重新证明一次,否则,在他人看来,你所提供的解法是不全面的．
如何在教学中引导学生进行定理(公理)的学习呢？它甚至引起了制定“数学课程标准”的巨大争论.但笔者多年几何教学经验表明：初中生学习定理(公理)及其逻辑推理是必要的,也是完全可能的.虽然,我们在实际平面几何教学中,对学生逻辑推理论证的学习在起始课会出现如下比较艰难的几项问题：
其一,学生在定理学习及其应用中,对定理的理解很难达到准确地步,对定理结构层次也难于精确把握,对几何定理中各种元素所处位置与关系也不能准确辨别清楚,这些就给它的应用造成巨大困难.其二,他们在应用定理(公理)解决问题时,对问题的把握也往往是混沌一片：分不清命题题设和结论,作不出比较准确的几何图形等.其三,他们虽然可以解决这一切问题,但却选择不出主攻方向,往往只能将条件进行堆砌和拼凑,即使得到了正确结果,也实在是存在着几分侥幸,而对已经解决了的问题过程并不是真正理解与正确把握．所有这些都不利于他们平面几何学习进一步发展,我们仔细分析三角形全等公理教学疑难的深层次原因,绕不过对这些公理的图形结构、语言结构、前因后果的逻辑结构进行分析探讨.为此,分析一下证明一个命题一般过程是必要的,如下表：
从这张表中,我们发现所要证明命题结论,最终都由已知构成,但在寻找这些已知时,对于稍微复杂一点的命题,不可能一次性地就成功达到目的,而是要配合所用定理(或公理)首先寻找出“需知”,利用这些“需知”来调控已知对结论的决定性作用.这些“需知”便组成了“中途点”,它是至关重要的,正是这些作为“中途点”使已知和结论形成了“接龙”,也就是大数学家彭加莱所说的“序的安置”.由此把学生寻找问题思路从混沌一片而转换成了线性序列,从而大大降低了学生逻辑思维强度,使他们对逻辑推理论证不再畏之如虎．
一般两个三角形全等有如下四个判定：(1)两边和它们的夹角对应相等(SAS)；(2)两角和它们的夹边对应相等(ASA)；(3)两角和其中一角的对边对应相等(AAS)；(4)三边对应相等(SSS)．
在教学中,教师要合理布局、整体安排,分清轻重缓急,首先突破一点,以作为运用思维活动处理外在几何线性信息材料的典范,获得相应的分析证明几何题的方法,从而带动其他．
大多数教科书从“SAS”公理入手,把它作为学习三角形全等第一个判定.俗话说：良好的开端是成功的一半.“SAS”公理结构严谨,应用广泛,学习好了这个公理,可以为今后学习全等三角形其他判定,在方法上和思想上都有示范作用.因此,教师就应该对这一公理认真对待、仔细处理,指导学生对这个公理内容透彻理解,对其文字语言、图形语言和符号语言及其图形特殊结构关系全方位把握．
1 引导学生动手操作探索体验公理来源公理结构特征
上这节课前一天布置课外活动作业：在硬纸板上,画两个相等的角,在这两个相等角中,以这两个角顶点为一个端点在角的两边分别作出对应相等的线段,连结这两线段的另两个端点的,就构成了两个三角形,然后,剪下这两个三角形,把这两个三角形重叠在一起,如果一种重叠方式不行,多做几次,或经过一些变动,看看它们是否能够完全重合.在同样条件下,再制作几对三角形,看看是否完全重合.把这种制作结果保存下来,下一节课要汇报自己所制作的材料．上这节课首先请同学们汇报自己按要求制作好了的那些对三角形,并且说明自己所制作的三角形重叠时是否可以完全重合.结果,绝大多数人都汇报自己按条件所制作的两个三角形是可以完全重合的.教师还需要在他们观察下,自己当场作演示,得到了所作的两个三角形是完全重合的结论.同时,板书图形,带领他们试图将图形语言转换成文字语言,在这种转换过程中,教师应对照图形,一点一点地解析给他们看和听,在这儿教师要舍得花时间,因为使感知客观材料关系转化成为抽象图形再进入思维结构,没有时间让他们观察、对他们解释与引导是难以凑效的.最终,我们得到了“两边和它们的夹角对应相等的三角形全等(简记成‘边角边’,或‘SAS’)”．
教师在设计教案时,应想方设法让学生对公理语言叙述的结构把握：并不是“两边和一个角对应相等的两三角形全等”,这里角是有限制的,那就是这个对应角是那两组相等对应边夹角,而不是任意角.如此,就与易混淆的假命题：“两边及其中一边对角对应相等的两三角形全等.”进行了比较严格的区别,向学生提供如图1,ABC≌DEF,但是ABC与DEG不是全等三角形,尽管在ABC和DEG中,条件AB=DE,AC=DG,∠ABC=∠DEF.这样就可以使学生能更直观地认识这一问题．
要辨别清楚公理结构与其混淆形式命题结构的本质区别在于公理的条件是“两边和它们的夹角”,而混淆形式命题条件是“两边和其中一边的对角”．
2 公理应用中条件的逐步确定
在应用定理(公理)进行逻辑推理证明命题入门阶段,“SAS”初步应用,教科书所设置的练习题要学生寻找三组对应元素中,比较容易获得两组对应元素(边、角)相等,第三组对应元素(角或边)相等,往往需要依据“两边夹一角”的条件结构来确定出判定公理所需要的第三个条件,这就是“需知A”,它作为一个“中途点”来调控寻找满足它的已知条件.这时,就应该引导学生挖掘题设中隐含条件,公理成立的第三个条件是一定会找到的,它们又可以分为以下的两种情形：
其一：当题设条件中有两组对应边相等时,只要找出这两组相等对应边夹角也对应相等,这样就满足“边角边”公理的条件了．
例1 (p.29,例4)［1］已知：如图2,AB＝AD,AC＝AE,∠BAD＝∠CAE.求证：ABC≌ADE．
分析 要证明ABC≌ADE,由AB＝AD,AC＝AE,知ABC和ADE有两组对应边相等了.由“边角边”公理条件结构要求,知需要找寻到AB、AC的夹角∠BAC与AD、AE的夹角∠DAE也对应相等,即要证明出了∠BAC＝∠DAE(这是“中途点”)就找到了满足“边角边”公理的“两边夹一角对应相等”的条件了.由∠BAD＝∠CAE,知∠BAC＝∠BAE＋∠EAC＝∠BAD+∠EAB=∠DAE.这就是∠BAC=∠DAE．
当要证明全等的一对三角形中,已经有了两组对应边相等了.在这种情况下,配合“边角边”公理的条件结构要求,就逐步确定出了要找寻对应相等的两组对应边所组成夹角也对应相等,这就确定出了一个“中途点”,从而由“中途点”来代替原来结论.如果从已知条件中得出了这一个“中途点”,那么“边角边”公理中的三个条件就都得到了,问题便已经解决了.如此,我们便找到了解决这种问题的“线性”推进的方法：从已给的条件――经过“中途点”――到要证明的结论,同时也寻找到了解决问题的突破口,使学生能从诸多的条件与结论纠缠一起所形成错综复杂、茫无头绪混沌下解脱出来．
其二：当题设条件中有一组对应角相等,且夹这组对应角的两组对应边中有一组对应边相等时,只要找到夹这组对应角的另一组边也对应相等,这样,就满足了“边角边”公理的三个条件了．
例2 (p.30,第2题)已知：如图3,点A、E、F、C在同一条直线上,AD＝BC,∠1＝∠2,AE＝CF.求证：∠B=∠D．
分析 要证明∠B=∠D,我们会想到全等三角形性质：“全等三角形对应角相等”,于是便想在图3中,寻找到一对全等三角形,使∠B、∠D成为一组对应角,就达到目的了.而图3很简单,只有两个三角形,于是试图找到BCE≌DAF(这是第一个“中途点”).由∠1＝∠2,AD=BC,知所要证明的这一对三角形已经有一组对应角相等了,并且还有夹这组对应角的一组对应边相等.于是,由“边角边”公理条件结构要求,知只要寻找到夹∠1、∠2这组对应角另一组对应边CE与AF也对应相等,即要证明CE=AF(这是第二个“中途点”)就达到目的了.因为,CF＝AE,所以,CE=CF+EF=AE＋EF=AF,问题已经解决了．
在含有三角形的题设图形中,常常利用全等三角形性质证明线段相等或角相等,找寻出一对三角形,作为一个“中途点”；而在要证明的两个全等三角形中,当已知条件中有一组对应角相等,且夹这组对应角的两组对应边中也有一组对应边相等时,由“边角边”公理条件结构,只要找夹这组对应角的另一组对应边也相等,作为一个“中途点”.例2就由两个“中途点”所组成,由这两个“中途点”便能使解决问题的思路过程变成了围绕“中途点”的“线性”推进.这样,降低了学生推理学习难度．
3 一般三角形全等公里(定理)教学
有了“边角边”公理学习样板,学生对另外两个公理与一个推论及其简单应用学习会容易多了.当他们学习了这些公理和推论之后,教师要即时总结与归纳在解决较为复杂习题时(往往不只是应用一个判定公理),如何应用全等三角形的这些判定.这个问题其实就是在较为复杂问题中怎样找寻“中途点”,并利用这些“中途点”来调控从已知条件到所要证明结论的路径？在实践中,可以如下的设计：
其一：当已知条件中出现两组对应边相等,此时,只要找出第三组对应边相等,或者找出两组对应边夹角相等,就可以用“边边边”或者“边角边”公理来论证两个三角形全等．
例3 (p.41,第1题)已知：如图4,点B、E、C、F在同一条直线上,AB=DE,AC=DF,BE=CF.求证：∠A=∠D．
分析 要证明∠A=∠D,我们选择证明以∠A、∠D为对应角的一对三角形全等,通过观察已知图形可知,需要证明ABC≌DEF(第一个“中途点”).由在ABC与DEF中,有条件AB=DE,AC=DF这两组对应边相等了,现在只要找到由这两组相等对应边所夹的一组角也对应相等,就是需要证明AB、AC的夹角∠BAC与DE、DF的夹角∠EDF对应相等,即要证明∠BAC＝∠EDF,就可以应用“边角边”公理了,但这正是我们所要证明的命题结论,有了它,整个问题便都已经解决了,因此,它不能作为一个“中途点”.于是,我们找寻这两个三角形第三组对应边相等,即证明BC=EF(第二个“中途点”).由BE=CF,知BC=BE+EC=EC+CF=EF．
其二：已知条件中出现了一组对应角相等,且夹这组相等对应角的两条边中有一组对应边相等.这时,只要找出夹这组对应角的另一组对应边相等,或者再找出一组对应角相等,就可以应用“边角边”,或“角边角”,或“角角边”公理来证明全等三角形．
例4 (p.46,第13题) 已知：如图5,AB=AC,DB=DC,F是AD的延长线上的一点.求证：BF=CF．
分析 要证明BF=CF,观察已知图形结构关系,我们可以选择证明ABF≌ACF,或者是BDF≌CDF(两者中任选其一作为第一个“中途点”),这里选前者.要证明ABF≌ACF成立.由于AB=AC,AF=AF,知这两个三角形中已经有了两组对应边相等了,以下要么找到第三组对应边相等,即证明BF=CF,但是,这正是要证明的命题结论,故不可能作为第二个“中途点”.于是,我们只得寻找这一对三角形中相等的两组对应边夹角也相等,即证明∠BAF=∠CAF①(第二个“中途点”).①式仍然不是已知条件,还需要我们予以证明,由图形,考虑证明ABD≌ACD(第三个“中途点”).因为AB=AC,DB=DC,而①又是待证明的结论,我们只能考虑证明AD=AD(这是第四个“中途点”)了,这是显然的．
说明 这个命题对学生来说是比较困难的一道题,原因是结论离题设很遥远,结论对于题设条件选择的调控变得较微弱了.因此,教学中在引领学生找寻这道题思路时,就必须要引入“中途点”来给思维展开补充动力,以缩短结论到题设的距离,从而,让思路一个“驿站”接着一个“驿站”地渡过去.教师在这个地方,一定要舍得花时间带领学生一点点地探索,一点点地找寻,只有下这样的工夫,学生才能从分析问题、找寻推理思路中有所收获：经验、方法、体验找寻的快乐.从而逐步过渡到自己独立寻找解决问题途径上去．
其三：当已知条件中出现两组对应角相等时,只要再任意找出一组边对应相等,这时就可以应用“角边角”公理,或者“角角边”推论．
例5 (p.46,第13题)已知：如图6,AD=AE,∠B=∠C,AB、DC相交于M点,AC、BE相交于N点,∠DAB=∠EAC.求证：AM=AN．
分析 要证明AM=AN,我们考虑证明以AM与AN为一组对应边的两个三角形全等,观察图形,可以选择证明AMC≌ANB①,或者证明AMD≌ANE②(这里选择①作为第一个“中途点”).因为,∠C=∠B,∠CAM=∠BAN,这样,在AMC与ANB中,已经有了两组对应角相等,下面只要找到任意一组对应边相等就能达到目的.那么,怎样选择证明一组对应边相等呢？我们再来观察图形,揣摩已知条件,由AD=AE,∠B=∠C,把这两个已知条件放到ADC与AEB中时,然后证明ADC≌AEB(这是第二个“中途点”).在这两个三角形中就有了一组对应边及其所对的一组对应角相等了,这时,再找到一组对应边相等是没有用的,因此,设法找到任意一组对应角相等.又由于∠DAB=∠EAC,于是下决心证明∠DAC=∠EAB(这是第三个“中途点”)因为∠DAB=∠EAC,∠DAC=∠DAB+∠BAC=∠BAC+CAE=∠EAB．
总结 在全等三角形的判定公理(定理)及其应用的教学中,着重引领学生采用分析法来找寻证明命题思路,在找寻途径中,我们采用了“中途点”来调控从结论对题设的选择,而“中途点”的获取既要满足结论需求,又有题设条件的给予,还有对直观图形的感悟,而这些都是对问题特征准确把握的结果,从具体给定材料分析和综合中得到.对学生来说,纠缠在一起的这些材料处理起来比较困难.而全等三角形判定公理教学,意味着真正意义上推理论证教学,引领学生利用直观图形,感受、体验、模仿和逐步掌握分析方法寻找“中途点”,是从操作型几何学过渡到推理论证型几何学至关重要一步,因此,在教学研究和实际教学中,都不能忽略这一步的作用.从某种意义上说,几何推理论证入门,就是在引导学生用分析方法在找寻“中途点”上下工夫.本文所提供的都是作者长期平面几何教学实践经验,而这些经验也为作者的实践所证实了的成功经验.［2］
参考文献
［1］ 本文所标示的例题或习题都是选自初中《几何》(第二册)［M］,北京：人民教育出版社,2001．
［2］ 张昆.证明不是“神来之笔”［J］.数学教学,2006,(6)：21．
【关键词】数学 课堂教学改革 误区
1．初中数学课堂教学改革的误区。
1．1 以满堂问代替满堂灌。有些教师在教学中把提问式教学与启发式教学混为一谈，导致课堂教学以满堂问代替满堂灌，问题设计欠合理化、科学化，提问随意性大，缺乏精心安排，忽视对重点、难点的讲解。启发式教学就是在教师的诱导、点拨下，使学生通过亲自尝试探索，建立新旧知识之间的联系，将新的知识纳入到已有的认知结构中去的再发现过程。显然提问式教学是贯彻启发性原则的有效手段，但两者不是等同的。提问不一定都有启发作用，启发性原则是否得到贯彻，不是看形式上的提问，而是看学生的心智活动是否达到顿悟。教学中如何通过提问来实施启发式教学，文一给出了探讨。
1．2 以“少讲少练”代替“精讲精练”。主要表现在教师对重点、难点内容不进行深入分析讲解，照本宣科；以学生模仿练习为主，练习的题目无针对性、概括性、层次性；重复题型多次出现，学生机械套用公式、定理，知其然，而不知其所以然，对知识前后之间联系不清楚。例如，三角形全等的判定与直角三角形全等的判定之间的关系没有讲清楚，学生练习时套用书中公理，在判断命题“①两条边对应相等的两个直角三角形全等；②一个锐角和一直角边相等的两个直角三角形全等”的正误时，用“HL”公理判为“×”。究其原因，是教师钻研教材不深，讲解不透，对“三角形全等判定公理适合直角三角形全等判定，反之不然”交待不清。所谓“精讲”，就是以完成教学任务和学生实际水平为依据，以科学、艺术的教学方法为手段，作要言不烦的适度讲解。所谓“精练”，就是以完成教学任务和学生实际水平为依据，以提高能力为目的，以科学、艺术的训练措施为手段，做典型而又有针对性的适量练习。精讲精练的要点是内容精要、方法精巧、语言精练、难度适当、多少适量，决不是少讲少练。
1．3 以《教师教学用书》代替备课笔记。在教学中，有的教师只看《教学用书》，不钻研大纲、教材，不精心设计课堂教学，以《教师教学用书》代替备课笔记，从而导致课堂教学脱离教学实际，教学无针对性。事实上，《教师教学用书》与备课笔记是两码事，不能等同视之。《教学用书》用来帮助教师分析教材难点、把握教材的深度，提供处理教材的方法，是指导性参考用书。教师应根据自己的理论水平、学生实际情况来精心设计教案，把知识传授和能力培养具体落实到每节课。《教学用书》是教学的宏观指导，备课教案是教学的微观落实，只有把宏观指导与微观落实统一起来，才能取得好的教学效果。
1．4 只重视教法改革而忽视学法指导。多数中青年教师素质较好，知识面广，勇于改进教法，但在改进教法的同时却忽视了学法指导，使教学效果不能长时间巩固，学生解决问题的能力、自学能力提高不快。有的教师对学法指导缺乏深刻的认识和研究。而如何在教学中渗透学法指导是一个正在研究的课题，目前大家形成的共识是：学法指导可根据教学内容、教学方法，不拘泥于形式，灵活处理。如在复习课中结合内容向学生介绍常见的复习方法：对比小结法、歌诀概括法、回忆再现法。在培养学生智力过程中，教给学生有意注意和无意注意的方法；教给学生观察数式和图形特点；教给学生进行分析、综合、对比、概括等思维活动的方法；教给学生图示记忆、列表记忆、归纳记忆、例证记忆的方法等。总之，学法指导重在提高学生自己获得知识的能力。
1．5 把数学教学看成是思维结果的教学。教学中，过分偏重于数学知识的工具性，忽视了它在发展思维方面的智力价值，削弱了知识的发生、发展过程，忽视探索性非论证思维（直觉思维、形象思维）的培养，过分偏重于整理性的论证思维（逻辑思维）的训练。在解题过程中，过分强调“框题型、对套路”，企图强化思维定势，结果使学生陷入思路呆板、单一状态。改变这些教学现象，教师必须提高认识，转变观念。数学教学是数学思维活动的教学，要认真研究概念的概括过程、结论的推导过程和解题方法的思考过程。
2．认真学习，加强研究，走出误区。
一、合理整合教材，于无问处见问题
教师的课程意识是教材整合的理念和策略理性看待教材，善于结合学生的认知能力和认知水平，把教学内容转化为教学问题，活用教材，紧扣课标而不紧扣教材，预设恰当的问题，通过提问的手段和途径，把教学重点和难点细化为学生容易接受的若干问题，实现由浅入深，化难为易，是教师教学的中心工作教材整合的合理性，体现在明确课程标准，理清学科体系，把握知识的形成和应用的动态生成过程，充分利用学生已有的生活经验、知识水平和认知能力，合理创设问题情境，用问题情境构建教学模式，于无问处见问题
案例1数学课程标准第三学段，方程与方程组（7）“理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程”这一目标，在实际教学中要管1周至2周的课时教学教学中应合理整合教材，把这一目标细化解读到每一课时，使目标在课堂教学中更具有操作性和监控性
如配方法，教师可预设学生已学过的用“消元”思想方法来解二元一次方程组的思维方式，提问学生能否把一元二次方程降到一元一次方程例题的设计从结合学生已学过求一个非负数的平方根入手，紧扣课标，坚持从简单到复杂、从特殊到一般的原则，先解方程x2=25，再提高到解（x+3）2=5的方程，提问学生能否将x2+6x+4=0转化为（x+3）2=5，让学生感受到用配方法解x2+6x+4=0的成就感由此进行总结：通过配成完全平方式来解一元二次方程的方法，叫配方法
二、把问题带入课堂，教学便成功了一半
质疑是促进和提高学生创新能力的重要途径爱因斯坦指出“提出一个问题，往往比解决一个问题更为重要”爱提问题的学生才会善于思考，敢于创新课堂教学中，教师应根据学生对教学内容反映的情况，适时提问，注意提问的方式，如：生生之间，师生之间相互提问；关注学生的提问，热情处理学生提出的问题，对学困生提出简单问题，要乐于解答，而不嘲笑讽刺；对学生提出的有质量的问题，给予充分的肯定和表扬，让其体验成功的喜悦，增强提出问题的意识和兴趣
教师应把握问题的源泉，培养提问能力，强化问题意识教学中问题的产生通常有：（1）把上节课听不懂的，作业中不会做的，预习时看不懂的内容，在课堂上求问于同学和老师（2）根据教学内容教师安排预习作业，指导学生预习时提出问题（3）对学习的内容有不同见解（4）在现实背景中提炼问题，构建数学模型问题（5）在知识的延伸拓展上提出问题
案例2（2014龙岩中考）随着地球上的水资源日益枯竭，各级政府越来越重视倡导节约用水某市对居民生活用水按“阶梯水价”
方式进行收费，人均月生活用水收费标准如图1所示图中表示人均月生活用水的吨数，表示收取的人均月生活用水费（元）请根[HJ12mm]据图象信息，回答下列问题：
[TP7CS25TIF，Y#]
（1）该市人均月生活用水的收费标准是：不超过5吨，每吨按[CD#3]元收取；超过5吨的部分，每吨按[CD#3]元收取；
（2）请写出y与x的函数关系式；
（3）若某个家庭有5人，五月份的生活用水费共76元，则该家庭这个月用了多少吨生活用水？
教与学是双边活动，学生是学习的主体，教师是指导者和组织者教师的教学技能主要体现在：掌握设问技巧，把问题带入课堂，把握学生学习中的困难和问题，恰时提问学生设问注意循序渐进，由浅入深，讲究问题情景如：（1）承启处设问，以旧思新（2）疑惑处设问，以疑激思（3）重点处设问，引发深思有经验的教师总能把问题带入课堂，恰时提问学生，重视培养学生的问题意识和解决问题的能力，使课堂教学走向成功
案例3（承启处设问）在学习了全等三角形判定1三边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或“SSS”）后，学习全等三角形判定2：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）时，可设如下问题：（1）两边分别相等的两个三角形是否全等？（2）两边一角分别相等的两个三角形是否全等？这两个问题提交给学生动手操作，讨论验证，有助于学生掌握全等三角形判定2
三、有效提问，课堂教学才更有效
课堂提问是教学的中心，提问既是教学艺术，也是完成教学任务的重要手段有效提问，课堂教学才更有效
教师对课堂提问的预设要注重“五个”性：（1）提问的科学性；（2）提问的目的性；（3）提问的激励性；（4）提问的连续性；（5）提问的层次性
有效课堂提问方式应重视“五个”相结合：（1）直问与间问相结合；（2）正问与逆问相结合；（3）单问与多问相结合；（4）对问与齐问相结合；（5）师问与生问相结合
教师课堂提问要把握好三个提问时机，一是在新旧知识的过渡处；二是在重点、难点、易混处；三是在理解教材的关键处
正确把握问题的设计、提问的方式、时机的选择、提问的及时评价，才能提高课堂教学效率，高效完成教学任务
四、随机且有期望地提问，提升课堂教学参与度
教案设计时，预设课堂教学中提问哪位学生，谁能给出所希望的答案根据质疑的难易度和学生现有的知识水平和认知能力，有期望地提问不同层次的学生，最大限度地回答所期望的答案，既调动全体学生的学习积极性，又把控课堂教学进度，有效完成教学任务
关键词：初中数学；课堂；有效性；教学
中图分类号：G632 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2014）10-116-01
伴随着新课改的推进，“有效教学”的理念越来越令人关注。课堂是教师传授知识的主阵地，在教学中，我们作为教师的，应一切以学生为主，精心备课，合理设计每一个教学环节，在激发学生学习兴趣的基础上，合理开展各种提问方式，引导学生小组合作交流学习，让学生更好地掌握所学知识，提高课堂教学效率。以下是笔者的几点肤浅看法。
一．从备课入手，精心设计教学内容
备课是上好一堂课的前提，想要把一堂课的效率提到最高，我们的教学必须从备课入手，精心设计教学内容。为此，作为教师的我们要认真钻研教学大纲，钻研教材，分析教法和学法研究、知识辨析、新旧知识联系及对后续知识的作用，同时认真学习新课程标准，体会新课程理念，明确知识目标、能力目标、情感目标，认真备好每一节课。具体我们可以从以下几点出发：1备课要以学生为本。有些教师认为备课就是抄抄教案，以应付上级领导检查，而且还振振有词地认为所抄的这些“教案’都是由一些教育名师、甚至是教育名家编写的。这是不对的，根据不同地区，不同学校以及不同的学生，我们的教学大体方向一致，但教学的细节也各有所异。因此，教师的备课必须要做到以学生的学生为本，一切为了学生。2备课的内容要精练。一些教师在备课的时候，往往只知道追求知识难度、深度、广度，而忽略学生本身，一些学生在学习的时候就会渐渐跟不上来，久而久之，学生的知识就会脱节，不但难点和重点没有深入，学生的基础也没有打好。因此，教师在备课的时候，要尽量做到精练，紧抓学生的基础，在学生的基础上适当深入。
二．合理采用教学方法
1、注重激发学生的学习兴趣
兴趣是学生参与课堂教学的内在动力和前提，是学生学习最好的老师。实践证明，学生对学习产生了浓厚的兴趣，就会积极愉快地投入学习，从而能提高学习效率。所以，教师在教学中应注重激发学生的学习兴趣。在数学学习中，数学概念是最“呆板无趣”的，不像语文那样生动形象，学生对数学概念的学习，最容易感到枯燥无味，这就要求教师把数学概念带到生活中去讲解，让数学概念变得鲜活生动，从而加深学生对数学的兴趣。例如，在讲到三角形的稳定性时，我们可以拿起松动的凳子说：”同学们，你有办法可以让凳子稳定一点吗？“当有学生说出加一条木条的时候，接着问学生出现什么图形，从而引出三角形的稳定性。通过这样的方式，让学生联系生活实际，在激发学生学习兴趣的同时，学生对知识的掌握也更加深刻，教学效率得到极大的提高。
2、合理、有效的提问，提高学生学习的积极性
提问是有效课堂教学必不可少的环节，教师在课堂教学中进行有效性的提问，一方面可以唤起学生对旧知识的回忆，另一方面可以调动学生思考的积极性，激发他们学习数学的兴趣，提高他们学习数学的主动性。教师所提的问题，既要针对学生的年龄特征，知识水平和学习能力，又要针对教材的重点和难点。而且，教师发问时要心中有数，用不同的方式提出不同类型，不同层次的问题。教师提出的问题无论是预设的还是即兴生成的，都要有针对性，都应有联系性和层次性。例如：在教学“全等三角形”一课时，可以这样提问学生：全等三角形有六对全等元素，反过来，证明两个三角形全等，你想用多少对元素？老师引导学生从一对对应相等开始，再用两对去证明，结果都不成立来激发学生的兴趣，使学生思维活跃起来、情绪激昂，让学生在不知不觉中走进了老师的“圈套”，认真去思考、探索、归纳，最后由老师指导得出结论。通过这样的提问方式，学生学习积极性得到更好的调动，更有利于学生学习，学生学好了，课堂教学效率自然而然的提高了。
3、引导学生小组合作学习
课程标准指出：学生是学习的主人，老师只是学生学习的参与者、组织者和引导者。课程标准也提倡自主、合作、探究的学习方式，这也是现代教育教学改革的必然趋势。因此，在教学中，教师要充分发挥出参与者、组织者和引导者的作用，积极倡导学生小组交流学生，提高学生的自学能力。在教学中，我注重小组合作学习模式的运用，将全班学生按照组内异质，组间同质的原则，将全班学生分成若干个学习小组。组内异质，有利于中差生在优生的带领与帮助下完成个人目标与小组目标；组间同质，各小组间实力水平相当，有利于在小组间展开公平合理的竞争，从而激起学生更强烈的参与学习的动机。教师提出问题让学生以小组为单位展开合作学习，小组成员大胆发表个人见解，在激烈的讨论中接受合理的成分，并不断修正观点，从而促进问题的解决。
三．合理运用多媒体优化教学
人类在进步，科技在发展，处在新时代的今天，多媒体也渐渐登上教学的舞台。多媒体集文字、图像、声音、动画、视频于一体，可以将复杂的数学知识直观形象化，将枯燥的几何图形动态立体化，给学生以强烈的视听感。多媒体教学可以有效调动学生的视觉与听觉来参与教学，实现了教学手段的优化与教学模式的革新，增强了课堂教学的直观性与趣味性，更利于教师教学方法与学生学习方法的转变。 教学中，教师要合理的引入多媒体教学，用多媒体去优化课堂教学。
有效的数学课堂教学作为一种理念，一种价值追求，一种教学实践模式，将会引起我们一线教师更多的思考、更多的关注。不断提高课堂教学的有效性，是确保课堂教学质量的重要前提，也是每位教师的应有追求。
参考文献：
关键词：数理思维；观察；推理；体验
教育部2011年颁布的初中数学课程标准中明确指出：“数学是人类文化的重要组成部分，数学素养是现代社会每一个公民应该具备的基本素养。作为促进学生全面发展教育的重要组成部分，数学教育既要使学生掌握现代生活和学习中所需要的数学知识与技能，更要发挥数学在培养人的理性思维和创新能力方面的不可替代的作用。”
一、活化教材：提高学生理解文本知识的能力
数学科目有着独特的知识架构和知识体系，数理逻辑贯穿于整个体系的始终，学会观察、推理、归纳总结等方面是学好这门课的先决条件。教师在讲解教材的过程中必须在遵循数理逻辑的基础之上，很好的整合文本知识，让学生在学习的过程中既能找到“纲”，又能掌握“目”。在八年级上册，人教版的数学教材中，有关三角形这一知识板块内容相对比较集中，是考试的重点内容，在生活中的运用也较为广泛。一般在教学的过程中教师会把这一部分作为重点内容，进行精讲、细讲。在涉及到《多边形的内角和》、《三角形的边》、《与三角形有关的线段》、《等边三角形》、《全等三角形的条件》、《与三角形有关的线段》等知识时，教师可以充分的利用教材文本知识和多媒体等资源，对教学内容进行深度的整合。可以以点、线、面的思路，将这一部分知识呈现于学生，让学生通过观察、识辨、推理、归纳等途径深入理解这部分知识。在平时听课的过程中，我们发现无论是一些老教师，还是年轻教师，都按部就班的按照教材、教案设计的思路和顺序开展教学活动。在这些课堂上，我们常常会看到的孩子们迷茫、无助而又渴望的眼神。这种将知识“条块化”、碎化的做法已被教学实践反复的证明，无益于授课效果的提升，无益于学生学习趣味的培养。
二、活化教法：强化知识的趣味性和实践性
新课程改革在甘肃全面实施已有五个年头了，全新的教学理念、灵活多变的教学方法与教学设计使课程呈现出多样化、个性化、人性化的新景象。作为教师，我们明显的感觉到，学生的学习情趣、学习的积极性和主动性在不断的提高，课堂授课效果也明显的优于以前，教师的教学策略、教学设计的思路、式样都有了明显的变化。每位教师都在朝“高效课堂”、“优质课堂”的方向努力。期间涌现出了许多新鲜的教学理念和教学模式，这些新鲜的理念和教学模式几乎都有着共同的价值导向，即教无定法、活化教法。在全市优质课比赛中，荣获赛区一等奖的一位老师的课，生动的给我们诠释了活化教法的丰富内涵。这位老师讲的课题是《三角形的边》，整节课并没有按照课本知识按部就班的讲述，而是通过展现生活中与三角线有关的图片、事例，不断引导学生认识三角形，观察三角线的各个变的变化会产生什么样的结果。最后他在幻灯片上展示了一幅包含有很多三角线的桥梁。让孩子们数一数这栋桥梁共有多少个三角线，比较他们之间的边。这样自然而然的通过生活化的情景，将艰涩、难懂的三角形的原理以通俗易懂的方式让孩子们融汇贯通了。通过这节课，孩子们不仅学到了有关三角形的知识，而且懂得了如何运用知识解读生活中的诸多现象，为他们创造设计奠定了良好的基础。
三、活化练习：拓展学生的数理思维能力
中学阶段，是孩子们身心成长的最为关键的时期，孩子们贪玩、好动、富有正义感、富有激情，精力充沛，具有较强的求知欲，这些生理心理方面的特征和表现决定了中学阶段的教学和学习活动不能打体力战，更不能搞题海战术。最大程度的激发孩子们的学习热情和情趣是教学的重中之重。数学科目每天都有大量的习题要做，教师每天也都要批改大量的作业。有些教师为了片面的追求分数，而给孩子们布置大量的习题作业，有些孩子到深夜了孩子做老师布置的作业。这种拔苗助长的、急功近利的做法，使孩子们过早的厌倦了数学，更谈不上什么兴趣爱好了。
新课标背景下，作为一名数学教师，我们要不断的更新观念，要重新定位课业作业的功能，不断改进考察知识的方式和方法，以调动学生学习的积极性和主动性。首先，应活化课后练习的方式和方法。传统的课后作业仅仅让孩子们完成课本、练习册、习题册上的习题而已，不利于拓展孩子们数理思维能力。教师可以尝试让孩子们运用数学知识制作建模，让孩子们自己尝试着设计家用电器的模型。譬如：电视机、电冰箱、微波炉、洗衣机等模型。还可以让孩子们尝试设计家居、交通工具的模型等等。通过制作模型，使孩子潜移默化的掌握了书本知识，拓宽了视野，提升了动手实践的能力，达到了学以致用的目的。其次，应活化练习的内容。数学练习题不应仅仅局限于数理的运算与推理，也可以让孩子们尝试运用数理逻辑撰写论文，让孩子们运用数理逻辑来解读社会中的诸多现象，拓展他们的知识视野。再次，还要把握练习的尺度。无论是书面作业，还是实践性作业，都不能过量，否则也会适得其反的。
四、活化教学设计：营造课堂气氛提升授课效果
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