时间：2023-08-25 16:54:58
导语：在勾股定理的研究的撰写旅程中，学习并吸收他人佳作的精髓是一条宝贵的路径，好期刊汇集了九篇优秀范文，愿这些内容能够启发您的创作灵感，引领您探索更多的创作可能。
一、新、老课程“勾股定理”的比较
1.课程内容的变化
新课程相对于老教材增加了“蚂蚁怎样走最近”这一节，并在教材中增加勾股定理的历史的相关素材，书中提供了较为丰富的历史或现实的例子来展示勾股定理的应用。
2.教学要求的变化
老教材对勾股定理的教学要求是：（1）使学生掌握勾股定理及其逆定理；（2）能够熟练地运用勾股定理，由已知直角三角形中的两条边长求出第三条边长，会用勾股定理判断一个三角形是不是直角三角形。
新课程下的勾股定理教学要求是：（1）经历探索勾股定理及一个三角形是直角三角形的条件的过程，发展合情推理能力，体会数形结合的思想；（2）掌握勾股定理，了解利用拼图验证勾股定理的方法，并能运用勾股定理解决一些实际问题；（3）掌握判断一个三角形是直角三角形的条件，并能运用它解决一些实际问题；（4）通过实例了解勾股定理的历史和应用，体会勾股定理的文化价值。
由上可知，新课程下的勾股定理在已知直角三角形两边求第三边中，给出的两边数据相对于老教材简单得多，删去了烦琐的计算过程，勾股定理逆定理的理论证明，利用勾股定理的逆定理解题的数据均不会过大，通过古埃及的结绳来说明，省去了烦琐的证明过程。新课程中加强了勾股定理的实际运用，利用勾股定理及逆定理解决实际问题成了重点，例如：“蚂蚁怎样走最近”这一节突出了勾股定理及逆定理的实用性。书中提供了较为丰富的历史或现实的例子，来展示它们的应用，体现它们的文化价值，并且在知识发生过程中，作了较高要求。
3.课程关注点的变化
老课程比较关注运用勾股定理及逆定理的相关运算，即已知直角三角形两边长求第三边和判定一个三角形是否是直角三角形。新课程则强调了勾股定理在现实生活中起着重要作用，是数形结合的典范。
二、教学中应注意的问题及建议
1.重视实际情景
新课程创设实际情景，让学生感受到现实生活中勾股定理的应用，从实际情景抽象出勾股定理。因此，建议为学生创设丰富的实际情景，使学生经历知识发生的过程。在证明勾股定理逆定理中，可将一根绳子打上13个结，将绳子分成12等分，让三位同学上讲台，一位同学握住第1和第13个结，一位握住第4个结，一位握第8个结，创设此情景，让学生自己思考、分析，从而判断此三角形为直角三角形，最后归纳出勾股定理逆定理。
2.重视数形结合
新教材里，勾股定理的探索和验证过程中，数形结合有较多体现，渗透了代数运算与几何图形之间的关系。因此，建议在教学中应注意渗透这种思想，鼓励学生从代数表示联想到有关的几何图形，由几何图形联想到有关的代数表示，有助于学生认识数学的内在联系。例如：在探索勾股定理过程中，应引导学生由正方形的面积想到a2、b2、c2，而在勾股定理的验证过程中，教师又应引导学生由数a2、b2、c2想到正方形的面积。
3.重视实际应用
对于勾股定理，新教材不仅要求能从实际情景中抽象出勾股定理，而且要能将它用于实际问题中，从而体现出数学的应用价值。因此，建议在教学中充分利用教科书中的素材让学生体会这种应用，如古埃及人利用结绳的方法做出直角，利用勾股定理求出蚂蚁的最短路线等。
4.重视学生经历探索勾股定理的过程
新教材中安排了探索勾股定理、验证勾股定理、探索直角三角形的条件等活动。因此，建议在教学中不要直接给出结论，要鼓励学生，通过观察、实践、推理、交流等获得结论，发展空间观念和推理能力。例如教科书设计了在方格纸上通过计算面积的方法探索勾股定理的活动，教师应引导学生通过由特殊到一般的探索得到结论。
5.重视自主探究与合作交流
新教材自始至终为学生提供自主探索、合作交流、积极思考的空间和机会，课堂上引导学生主动参与探究或学习，激发学生学习数学的兴趣，调动学生的积极思维，督促每个学生都在这个过程中积极参与，从而培养探索与创新的精神。
6.重视爱国主义的渗透
勾股定理及逆定理在2008年重点省市中考数学试卷中的考点分布情况统计表：
由上表可以看出，勾股定理是倍受命题者青睐的知识点，考查题型多种多样，有选择、填空和解答题，试题内容涉及面广、命题形式灵活、多样的特点，所占分值在5分到10分之间。
一、夯实基础――直接利用定理进行计算与证明
综观近几年的中考试题可以发现，有关勾股定理的简单应用主要体现在求三角形的边长、面积题,以及判断三角形的形状上.
点评：勾股定理是一个数形结合定理，所以在运用勾股定理时如果没有图形常先画图，以增强解题的直观性
例2 （2008年广东考题)已知ABC的三边长分别为5，13，12，则ABC的面积为（）.
A.30 B.60 C.78 D.不能确定
解析：因为52+122=132，所以ABC为直角三角形，因而其面积为 ×5×12=30，故选A.
中考题型总结与预测：在2009年的中考试题中，对勾股定理的简单计算仍将是命题的重点，试题难度不大，主要通过求三角形边长、面积作为考查勾股定理的掌握程度.题型以选择、填空为主，针对这些命题趋势，同学们在复习时应夯实基础知识，提高计算能力，注重对勾股定理的理解和运用.
二、提升能力――定理的实际应用
勾股定理在初中数学知识体系中具有重要的应用价值，在现实生产、生活和其他学科中有着广泛的应用，在解决这些实际应用问题时，首先要将这此实际问题转化为数学问题，然后再利用勾股定理及逆定理来解决.在应用时要明确勾股定理的适应范围是直角三角形，如果没有直角三角形，常通过作高来构造直角三角形，从而创造利用勾股定理的条件.
【例题精析】
例3（2008黄冈考题）如图2是“明清影视城”的圆弧形门，黄红同学到影视城游玩，很想知道这扇门的相关数据，于是她从景点管理人员处打听到：这个圆弧形门所在的圆与水平地面是相切的，AB=CD=20 cm，BD=200 cm，且AB，CD与水平地面都是垂直的．根据以上数据，请你帮助黄红同学计算出这个圆弧形门的最高点离地面的高度是多少？
解析：如图2，连接AC，作AC的中垂线交AC于G，交BD于N，交圆的另一点为M，由垂径定理可知：MN为圆弧形的所在的圆与地面的切点，取MN的中点O，则O为圆心，连接OA、OC，
ABBD，CDBD， AB∥CD．
AB=CD,四边形ABCD为矩形,
AC=BD=200cm，GN=AB=CD=20 cm,
AG=GC= AC=100 cm．
设O的圆心为R,由勾股定理得OA2=OG2+AG2,即R2=（R-20）2+1002,
解得R=260 cm,
MN=2R=520 cm.所以这个圆弧形门的最高点离地面的高度是520 cm．
点评：本题解决的关键是利用垂径定理构造直角三角形，进行运用勾股定理求出圆弧形门所在圆的半径.
中考题型总结与预测：2009年的中考试题中仍将加大勾股定理的应用力度的考查，题型以填空和解答题为主，分值在5至8分之间.
三、归纳运用――定理应用中的思想方法
数学思想是解决问题的灵魂，在勾股定理的应用中常用到的数学思想方法主要有：
1.数形结合思想：抓住“数”与“形”之间的本质联系，以“形”直观地表达“数”，以“数”精确地研究“形”，把抽象问题转化为直观的形或把复杂的形转化为具体的数，从而避开烦琐运算，简捷解题.
2.方程思想：是指通过列方程（组）求解的一种思想方法，是解几何计算的重要策略.勾股定理实质是一个等式，其表达式中有三个量，当已知其中两个量求另一个量时，往往通过设未知数，通过构建方程来解决.
3.转化思想：转化思想就是把所要解决的的问题转化为另一个较易解决的问题或已经解决的问题.例如，在解有关几何体上的路线问题时，常将其转化为平面上的路线问题，然后借助勾股定理来解决.
4.分类讨论思想：分类讨论思想就是把包含多种可能情况的问题，按照某一标准分成若干类，然后对每一类分别进行进行解决，从而达到解决整个问题的目的.例如，当题中没有具体说明已知边是直角边还是斜边的情况时，常进行分类讨论.
【例题精选】
例5（2008年新疆建议兵团考题）如图3，某市区南北走向的北京路与东西走向的喀什路相交于点O处.甲沿着喀什路以4m/s的速度由西向东走，乙沿着北京路以3m/s的速度由南向北走.当乙走到O点以北50m处时，甲恰好到点O处．若两人继续向前行走，求两个人相距85m时各自的位置．
解析：设经过x秒时两人相距85m，根据题意得：（4x）2+（50+3x）2=852 ，化简得：x2+12x-189=0，解得：x1=9，x2=-21（不符合实际情况，舍去），当x=9时，4x=36，50+3x=77，当两人相距85m时，甲在O点以东36m处，乙在O点以北77m处．
例6（2008青海考题）如图4，有一圆柱体，它的高为20cm，底面半径为7cm．在圆柱的下底面A 点处有一个蜘蛛，它想吃到上底面上与 点相对的B 点处的苍蝇，需要爬行的最短路径是______cm（结果用带根号和 的式子表示）．
解析：解此题的关键是把侧面展开，利用两点的连线中线段最短和勾股定理作答.如果说将圆柱体的侧面沿AC剪开铺平，如图5, 则ADBC为长方形，BD=20cm，AD=7πcm，∠D=90。，有勾股定理得AB= cm.
中考题型总结与预测：在2009年的中考试题中，将加大对数学思想方法的考查，难度有所加大，值得我们关注和重视，此类题将以计算题和图形操作题的形式出现，分值在5分左右.
四、融会贯通――勾股定理的拓展应用
勾股定理常应用于解决图形折叠、拼接问题以及在新情境下的探索性、开放性试题，这些试题起点低，但综合性强，能综合考查同学们对知识的融会贯通能力，相对较难.
【例题精选】
例7（2008年临沂考题）如图6，以等腰三角形AOB的斜边为直角边向外作第2个等腰直角三角形ABA1，再以等腰直角三角形ABA1的斜边为直角边向外作第3个等腰直角三角形A1BB1，……，如此作下去，若OA=OB=1，则第n个等腰直角三角形的面积Sn＝________.
点评：本题涉及等腰直角三角形的性质和勾股定理的知识，解此题的思路是：通过连续地运用勾股定理计算各个等腰直角三角形的斜边长，进而求得直角三角形的面积，然后从中发现面积规律，再归纳出第n个等到腰直角三角形的面积，较好地考查了由特殊到一般进行规律探索的能力.
关键词：勾股定理；探索；应用
一、教学目标
（1）知识与技能目标：用数格子（或割、补等）的方法体验勾股定理的探索过程，会初步运用勾股定理进行简单的计算和实际运用。
（2）过程与方法目标：在探索勾股定理的过程中，让学生经历“观察-猜想-归纳-验证”的数学过程，并体会数形结合和从特殊到一般的数学思想方法。
（3）情感态度与价值观目标：在探索勾股定理的过程中，体验获得成功的快乐；通过介绍勾股定理的由来，激励学生发奋学习。
二、教学重点及难点
重点：经历探索及验证勾股定理的过程，并能用它来解决一些简单的实际问题。
难点：用面积法探索勾股定理。
三、教学过程
（一）创设情境，提出问题
工人师傅用长为4米的直梯将一幅宣传横幅挂在墙上高3.4米的位置，如果梯子的底部离墙的距离是1.2米，请问工人师傅能不能完成任务？
设计意图：这样的设计是以实际问题为切入点引入新课，反映了数学来源于实际生活，产生于人的需要，也体现了知识的发生过程，解决问题的过程也是一个“数学化”的过程，从而引出本节课探究的主题。
（二）分类探究，发现定理
1.探究铺垫
观察下图，你知道正方形C的面积是多少吗？说说你的方法。
设计意图：学生通过合作交流，尝试探索方格中不同边长的正方形的面积求法，这样设计有利于降低新课的探究难度，为突破难点打下基础。
2.问题探究
例1：边数为整数的直角三角形
类型一：等腰直角三角形。
观察下图，你能发现各图中三个正方形的面积之间有何关系吗？
学生通过观察，归纳发现：
结论1：以等腰直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积。
类型二：一般的直角三角形
由结论1我们自然产生联想：一般的直角三角形是否也具有该性质呢？
观察下图，你能发现各图中三个正方形的面积之间有何关系吗？
结论2：“以直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积。
做一做：
（1）你能用直角三角形的边长，b，c来表示上图中正方形的面积吗？
（2）你能发现直角三角形三边长度之间存在什么关系吗？
（3）分别以3cm，4cm为直角边作出直角三角形，并测量斜边的长度，（2）中的规律对这个三角形仍然成立吗？
结论3：直角三角形两直角边的平方和，等于以斜边的平方。
设计意图：由直角三角形三边长为边的三个正方形的面积关系，发现直角三角形三边的平方关系，初步得到勾股定理的内容.同时，引导学生具体画出一个直角三角形，通过计算，进一步验证勾股定理。
例2：边数不为整数的直角三角形
运用几何画板进一步验证上面的结论，改变直角三角形的三边的长度，学生发现结论仍然成立。
设计意图：由于边数为整数直角三角形的三边的平方关系，对于一般的直角三角形是否也成立？在这里，让学生画图探讨较为困难，因而利用几何画板进一步验证前面得到的结论，在此基A上，进一步探讨出本节课的重点----勾股定理。通过边数为整数和不为整数两方面的分类探究，充分地让学生经历了探索勾股定理的过程，得出的结论也更具有一般性，较好的突出了重点，突破了难点。
例3：勾股定理：
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果用[a，b，c]分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么[a2+b2=c2]。
数学小史：勾股定理是我国最早发现的，中国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦，“勾股定理”因此而得名。（在西方文献中又称为毕达哥拉斯定理）
设计意图：通过介绍勾股定理由来的历史，激发学生热爱祖国，激励学生发奋学习。
（三）回归生活，应用新知
解决情境问题。
设计意图：让学生解决开头情景中的问题，前呼后应，增强学生学数学、用数学的意识，增加学以致用的乐趣和信心。
（四）知识拓展 ，巩固深化
1.情境题：
小明妈妈买了一部29in（74cm）的电视机，小明量了电视机的屏幕后，发现屏幕只有58cm长和46cm宽，他觉得一定是售货员搞错了，你同意他的想法吗？你能解释这是为什么吗？
设计意图：增加学生的生活常识，也体现了数学知识源于生活，并用于生活。
2.探索题：
做一个长，宽，高分别为50厘米，40厘米，30厘米的木箱，一根长为70厘米的木棒能否放入，为什么？试用今天学过的知识说明。
设计意图：提升难度，学生通过交流讨论的方式，拓展学生的思维、发展空间想象能力。
（五）课堂小结，概括要点
教师提问：
1.这一节课我们一起学习了哪些知识和思想方法？
2.对这些内容你有什么体会？与同伴进行交流。
在学生自由发言的基础上，师生共同总结：
1.知识：勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果用[a，b，c]分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么[a2+b2=c2]。
2.思想：分类讨论、特殊―一般―特殊、形结合思想。
设计意图：鼓励学生积极大胆发言，可增进师生、生生之间的交流、互动，培养学生语言表达和交流的能力。
（六）布置作业，思维延伸
1.教科书习题1.1。
2.思考：是不是任意的三角形的三边长都满足[a2+b2=c2]？若不是，你能探究出它们满足什么关系吗？和同学们交流。
设计意图：巩固基础知识；引发思考，强化认识勾股定理适用的条件。对于锐角三角形和钝角三角形，引导学生利用本节课的方法得出相应的结论，将本节课的研究方法延伸到课外。
参考文献：
[1]陈光林.《勾股定理》学习指南[J].中学生数理化（八年级数学）（北师大版），2007（Z2）.
下面就浙教版八年级上册第二章第六节“探索勾股定理”具体分析教学设计.
一、教学目标
1． 知识目标：通过学习，让学生掌握勾股定理，并且能够运用勾股定理解决实际问题.
2． 能力目标：通过探索勾股定理，让学生学会探索的基本方法，提高学生的探索能力.
3． 情感目标：通过学习，让学生体验成功的喜悦，激发学生的学习积极性.
教学重点：勾股定理的探索及应用.
教学难点：勾股定理的探索及验证.
学情分析：学生经过小学到七年级的学习已经具备一定的观察、归纳和推理能力，同时在小学里已经学习了求简单基本图形的面积公式，以及图形的简单割补，因此对图形面积的计算具有一定的基础，由于在探究勾股定理的正确性时，要求学生具有较高的空间图形概念. 因此学生的现有能力与本节学习要求还有一定的差距.
二、教学过程
（一）结合生活，引入课题
利用多媒体展示生活中直角三角形的案例，如电线杆拉线、木棒斜靠在墙上、学生用的三角板等，通过图片激发学生的学习积极性. 在观看图片时教师引导学生回顾已经学过的直角三角形的相关知识，然后提出问题：“直角三角形的三边之间是否存在某种特殊的关系？”由此引入本课题，板书“探索勾股定理”.
设计意图 对直角三角形定义以及直角三角形的基本性质，学生已经有了一定的了解，这里让学生通过欣赏图片，感受数学与生活的密切联系，吸引学生的注意力，激发学生的学习积极性. 通过这个环节让学生经历将生活中的事物进行数学抽象的过程，提高学生的空间概念. 在本环节中，教师引导学生回顾已学过的相关知识，同时让学生了解本节课的主题是研究直角三角形三边之间的关系.
（二）交流合作，探究新知
1． 探索勾股定理
给每名同学发下一张白纸，以四名同学为一个小组，同学之间进行分工合作，每个学生按要求画三角形. 要求尽量准确地在纸上作出相应的一个直角三角形，两直角边长分别为：
第一名同学：3厘米和4厘米； 第二名同学：6厘米和8 厘米；
第三名同学：5厘米和12厘米；第四名同学：9厘米和12厘米.
并且测量斜边的长度，结果保留整数，并通过计算填写表格.
观察表中a2 ＋ b2与c2两列的数据，你能发现直角三角形三边长之间的关系吗？
小组讨论，并且得出结论：a2 ＋ b2 ＝ c2.
设计意图 通过以小组为单位合作学习，有利于加强学生的合作意识，在学习中相互合作，在合作中相互学习，取长补短. 同时通过学生动手操作，探索发现直角三角形的勾股定理，有利于提高学生的动手能力和探索发现能力. 四名同学每人作一个直角三角形，有利于在较短的教学时间内作出较多的直角三角形，从而探索出勾股定理.
2． 探究勾股定理的正确性
以小组为单位，用四块相同的直角三角板（或者四块相同的直角三角形纸片）拼一个大的正方形，其中间空出一个小的正方形，然后通过它们面积之间的关系来验证上面探究出的等量关系.
课堂预设 本环节对学生来说有一定的难度，为保证在规定时间内完成教学任务，教师应当及时引导学生操作.
当小组合作差不多时，在屏幕上展示拼凑方法有两种：图1和图2.
分析：运用等积法，图1中，大正方形的面积等于四个三角形的面积加上小正方形的面积，即得：c2 ＝ 4 × ■ab ＋ （b － a）2，化简，得c2 ＝ a2 ＋ b2.
图2中，大正方形的面积等于四个三角形的面积加上小正方形的面积，即得（a ＋ b）2 ＝ 4 × ■ab ＋ c2，化简，得a2 ＋ b2 ＝ c2.
设计意图 用直角三角形来验证勾股定理，对学生来说有一定的难度. 因此这里设计小组活动，可以发挥集体智慧的作用，避免基础较差学生因难度太大而无所事事. 同时通过本环节让学生树立“任何猜想需要通过验证后才能作为正确结论”的观念，理解勾股定理可由等积法得到验证.
3． 揭示勾股定理
在上两个环节的基础上，教师给出勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
如果直角三角形的两条直角边长为a，b，斜边长为c，则a2 ＋ b2 ＝ c2.
同时介绍数学小史：勾股定理是我国最早发现的. 中国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦，“勾股定理”因此而得名. 由于三边都为整数的最小直角三角形的三边长为3，4，5，因此有勾三、股四、弦五之说. （勾股定理在西方称为毕达哥拉斯定理）
设计意图 这个环节旨在揭示本节课的主题：勾股定理，让学生掌握. 同时通过介绍数学小史，让学生感受中国之伟大，激发学生的爱国热情.
（三）应用发现，巩固所学
1． 人人都是“小老师”
例1 已知ABC中，∠C ＝ 90°，AB ＝ c， BC ＝ a， AC ＝ b，
（1）如果a = 1,b = 2，求c；（答案：■）
（2）如果a ＝ 15，c ＝ 17 求b；（答案： 8 ）
以同桌的两名同学为小组，在学生各自完成例题解答后，小组间相互交换批改，并且讨论遇到的问题. 如有学习困难的同学，小组成员负责帮助指导.
巩固所学：比一比谁最快.
（1）直角三角形的两直角边为6和8，则斜边为 .
（答案：10 ）
（2）直角三角形的两直角边为2和3，则斜边为 .
（ 答案：■）
（3）直角三角形的两条边为3和4，则这个直角三角形的第三边长为 . （答案：5或■）
设计意图 通过本例，试图让学生掌握勾股定理，并且能够运用勾股定理求直角三角形的边长，为运用勾股定理解决实际问题打下良好的基础. 这里以二人小组进行合作学习，既方便组合，提高学习效率，又有利于同学之间的相互帮助. 通过同学之间的相互探讨，可以使学习困难的学生得到及时的帮助，增强他们的学习信心，提高他们的学习积极性. 通过一组练习题，进一步巩固勾股定理和运用勾股定理进行计算，是现炒现买，尤其是已知直角三角形的两条边长，求第三边长时，有两种情况，需进行分类讨论.
2． 学以致用
例2 如图3，从电杆离地面5米处向地面拉一条7米长的钢缆，求地面钢缆固定点A到电杆底部B的距离．
设计意图 学生学习知识的目的是应用，学生学习勾股定理的目的是为了应用勾股定理解决实际问题. 因此设计本例让学生学会将学到的知识应用于实际，认识到知识来源于生活，也必将应用于生活. 同时本例也很好地呼应引入时的问题.
例3 如图4，是一个长方形零件，根据所给尺寸（单位：毫米），求两孔中心A，B之间的距离.
设计意图 本例是让学生学习如何构造出直角三角形，并且运用所学的勾股定理加以解决. 由于学生对从实际问题中抽象出数学问题的能力不是很强，教师在实际教学过程中要及时引导. 通过本例练习可以让学生掌握解决问题的方法，提高学生分析问题、解决问题的能力.
（四）课堂小结，学生主角
1． 通过本节课你学到了哪些知识？
2． 在本节课中你有哪些认识和收获？
设计意图 本小节采用了学生自主小结的方法，让学生从知识、能力和情感等多角度进行小结. 通过知识层面的小结使学生把一堂课所学的知识系统化，有利于对所学知识的巩固和掌握. 通过认识和收获的小结，可以使学生再次梳理自己的情感思维，有利于提高学生的学习积极性，激励学生的的探索精神.
三、设计反思
优秀的课堂教学的标准是通过课堂教学使各类教学目标得以圆满达成. 而要实现这个目标，一个重要环节便是教学设计，优秀的教学设计是优秀课堂教学的前提和保证. 通过本教学设计使我深深感受到要设计合作学习、自主探究的学习方式并不难，但是要设计切实可行且具有较好学习效果的教学方案，却有较大难度.
基于这些理由，本文选取在国内被广泛使用的人民教育出版社、华东师范大学出版社和北京师范大学出版社出版的三套《数学》教科书，从微观层面来考察其中“勾股定理”部分的编写. 在研究过程中，我们发现一些由于编写者疏落或失误造成的问题. 这些问题有可能对学生的学习及今后的发展产生一定的负面影响. 那么我们有必要指出这些错误，并希望编写者在教科书修订时做出修正和改进.
1 引言的设计
三种教科书在这一章的开始都有引言和题图. 比如人教社版《数学》，放置了2002年国际数学家大会会场的照片，其中会徽非常醒目；照片旁边有三段文字作为这一章的引言. 其中第一段有这么一句话：
后来人们进一步发现并证明了直角三角形三边之间的关系：两条直角边的平方和等于斜边的平方. 你能发现这个关系吗?
笔者认为这段话存在两个问题. 第一，在引言部分就把结论明确地告诉学生，那么其后的“观察”、“探究”和“猜想”还有什么意义?第二，把结论告诉学生后再问学生你能发现它吗，同样没有任何意义. 就好象问一个已经吃好饭的人，你想吃饭吗?
我们认为，引言可以提出一个具体的问题情境来导入本章的学习，也可以给出本章的学习目标让学生明确这一章要学习什么. 但不可以把需要探究和猜想的结论展现在学生面前.
图1
人教社版《数学》还有一处类似的错误，18.2《勾股定理的逆定理》是用古埃及人画直角的方法来引入的，随后配了一幅插图(图1). 但是令人沮丧的是，从穿着看，画面中的人是古希腊人，而非古埃及人. 这个小错误对学生的数学学习也许不会产生大的影响，但是作为国家权威教科书出版单位，犯如此低级的错误也是不应该的.
2 定理的发现
数学教学要培养学生数学计算、数学论证乃至数学推断等能力，勾股定理的教学正是一个恰当的例子. 不过，在实际教学中，教师虽有探究式教学的理念，但在师生行为的设计上有两个难解的困惑：①通过度量直角三角形三条边的长，计算它们的平方，再归纳出a2+b2=c2，由于得到的数据不总是整数，学生很难猜想出它们的平方关系，因此教师常常把勾股定理作为一个事实告诉学生；②勾股定理的证明有难度，一般来说学生很难自行探究，寻得解决的方法.[2]教师通常是依据教科书来进行教学的，那么，我们来看一下教科书是如何设计的.
华师大版《数学》第48页安排了“试一试”：
测量你的两块直角三角尺的三边的长度，并将各边的长度填入下表：
根据已经得到的数据，请猜想三边的长度a、b、c之间的关系.
笔者认为，这个活动设计得非常不好. 为什么?一块任意的三角板，它的三边长很可能并非整数. 让学生猜想三边长分别为3、4、5或者5、12、13的直角三角形三边的关系，就已经不是十分容易的事(比如，学生容易得到3+5=2×4而不易得到32+42=52；也有学生由32=4+5和52=12+13猜想a2=b+c)，更何况来猜想三个非整数之间的平方关系. 教科书这样设计和处理，容易导致学生盲目的探究和盲目的猜想，在这“盲目”上浪费了不少时间，而且没有多大意义和价值.
3 勾股定理是“发现”而非“发明”的
华师大版《数学》第55页安排了“阅读材料”：《勾股定理史话》. 其中有这样一段话(下划线为本文作者所加)：
人们对勾股定理的认识，经历过一个从特殊到一般的过程，其特殊情况，在世界很多地区的现存文献中都有记载，很难区分这个定理是谁最先发明的. 国外一般认为这个定理是毕达哥拉斯(Pythagoras)学派首先发现的，因而称为毕达哥拉斯定理.
这里有两处错误. 第一，勾股定理是“发现”还是“发明”的?我们知道，发明是创造，一种从无到有的过程；而发现是一种本来就有，从不认识到认识的过程. 那么，数学定理的证明方法，可以是一种从无到有的发明过程，而定理本身本来就存在，而后被人发现的. 教科书中一段话里对定理的产生使用了发明和发现这两个词语，就有一定矛盾和混乱. 第二，并不是因为毕达哥拉斯或其学派首先发现定理，而是因为在数学史上有明确记载，毕达哥拉斯或其学派首先证明该定理，才被称为毕达哥拉斯定理的. 同样的错误，我们可以在人教社版《数学》上看到，第74页有个小标签，上面写着：
在西方，一般认为这个定理是毕达哥拉斯发现的，所以人们称这个定理为毕达哥拉斯定理.
相比较而言，北师大版《数学》则相对比较准确. 第8页有一则“读一读”：《勾股世界》. 最后一段话：
相传两千多年前，希腊的毕达哥拉斯学派首先证明了勾股定理，因此在国外人们通常称勾股定理为毕达哥拉斯定理.
4 问题情境应避免“人为”的创设
北师大版《数学》设置问题情境，用“旗杆问题”来引入新课题. 该问题是：
强大的台风使得一根旗杆在离地面9米处折断倒下，旗杆顶部落在离旗杆底部12米处. 旗杆折断之前有多高?
对于这一问题，如果考虑该题的现实性和科学性，横向的“12米”是容易测量的，那么纵向的“9米”又是如何得到的呢?如果可以通过直接测量的话，那么折断部分的15米应该也不难测量(唯一难测量的情况就是尺子的长度大于12米而小于15米). 所以这个问题的设计并不合理. 相对而言，教科书中的“梯子问题”在合理性上难以找到瑕疵. 比如华师大版《数学》第50页在给出勾股定理后安排了例1：
如图(图略)，将长为5.41米的梯子AC斜靠在墙上，BC长为2.16米，求梯子上端A到墙的底边的垂直距离AB. (精确到0.01米)
这里，梯子的长度是容易测量的，BC的长度也是容易测量的，而垂直距离AB确实是难测量的. 因为难以测量，我们便求助于计算，求助于数学. 这样就体现了数学是有用的.
我们再来看北师大版《数学》第9页例1：
我方侦察员小王在距离东西公路400米处侦察，发现一辆敌方汽车在公路上疾驶. 他赶紧拿出红外测距仪，测得汽车与他相距400米，10秒后，汽车与他相距500米，你能帮小王计算敌方汽车的速度吗?
从情境的合理性和科学性角度考虑，这一题应该问题不大；但我们来看另外一题：
飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩头顶正上方4000米处，过了20秒，飞机距离这个男孩头顶5000米. 飞机每时飞行多少千米?
这一题出现在修订前的北师大版《数学》中，与前一题在本质上是一模一样的. 如果考虑一下这个4000米和5000米是小男孩或旁观者通过什么途径测到的，就不难明白，为什么教科书修订时把这一题改成前一题了.
我们再来看一题，北师大版《数学》第3节《蚂蚁怎样走最近》中安排了“随堂练习”：
甲、乙两位探险者到沙漠进行探险. 某日早晨8：00甲先出发，他以6千米/时的速度向正东行走. 1时后乙出发，他以5千米/时的速度向正北行走. 上午10：00，甲乙二人相距多远?”
我们在一本美国的几何教材《发现几何》第9.3节的练习B中看到了这道题目的原型[3]：
在火星正午时间，朗达・本德博士离开美国火星研究站，以60千米/时向东行进. 1小时后I.M.布赖特教授离开同一研究站，以50千米/时向北行进，去观察极地冰帽. 火星时间下午3时，博士与教授相距多远?答案精确到千米.
从这两个问题的表述上看，《发现几何》比北师大版《数学》更具想象和充满冒险. 北师大版《数学》只把学生带进沙漠，而《发现几何》却把学生带到了火星. 北师大版《数学》是让学生解决数学问题，或者说是“做数学”；而《发现几何》不仅是“做数学”，更是“玩数学”，让学生在一种轻松愉快的情境中解决数学问题，而这个过程是充满乐趣的.
笔者这里举了几个例子，是想说明教科书编写者在设计习题时采用不同的观念，有的是为数学而问题，有的是为学生而问题，或者为生活而问题. 不同的观念导致习题是“人为”还是“为人(学生)”的区别. 比如，“人为”的问题，为数学而问题，问题都是围绕数学而编写、杜撰的(前文那个“旗杆问题”就是为数学而数学). 从数学角度讲，它也许是严谨的，完美的，但它也许远离了学生的现实生活，也远离了学生的想象世界. 事实上，教科书在编写时，应该从学生出发，考虑问题情境的科学性和合理性，避免出现“人为”的题目.
5 赵爽的证明方法
赵爽如何利用弦图证明勾股定理，在数学史研究中是有争议的. 钱宝琮先生认为他采用代数方法，利用面积计算；而吴文俊、李文林先生则认为他采用几何方法，利用出入相补原理. 事实上，代数观点比较容易解释赵爽的文字，但这种思维方式不太符合赵爽时代的人们的数学思维习惯.
我们看到，对这样未形成定论的内容，教科书在处理时却显得有些草率.
人教社版《数学》在73页，明确给出了赵爽利用弦图证明勾股定理的基本思路，这是一种几何方法，用出入相补原理来证明的.
华师大版《数学》在52页安排了“读一读”，介绍了弦图和赵爽；之前“试一试”使用拼图和计算面积验证(或者证明)了勾股定理. 课文中没有明确给出赵爽的证明方法，但联系上下文，容易让学生认为赵爽是使用代数方法证明勾股定理.
北师大版《数学》第8页和第9页介绍了证明方法，将大正方形分割成四个直角三角形和一个正方形，然后通过计算面积验证勾股定理. 虽然没有明确指出赵爽的方法，但显然编者认为他是采用代数方法. 其后12页介绍了刘徽用出入相补原理证明勾股定理，但没有从几何方法介绍赵爽的弦图.
我们认为，对于未有定论的内容，教科书就不应该草率地把某种观点强加给学生，不可以对学生说，赵爽就是用这种代数方法证明勾股定理的，或者说赵爽就是用这种出入相补原理证明的. 数学教科书在涉及数学史时要特别注意一个问题，即在向学生展示史实，展示重要事件、重要人物与重要成果时，要尊重历史. 尊重历史就是要展现历史的本来面目，不能歪曲历史而误导学生，对有争议的以及没有最终定论的题材应给学生必要的说明. [4]所以，比较合理的做法是，教科书先重点介绍其中一种证法，随后简单介绍另一种，同时声明本书倾向于前一种观点；而学生可以接受前一种，也可以是后一种观点. 不过，不管是哪一种，学生都应该经过自己的思考，要有接受这一观点的理由.
参考文献
[1] 鲍建生，王洁，顾泠沅.聚焦课堂――课堂教学视频案例的研究与制作[M].上海：上海教育出版社，2005.180.
[2] 顾泠沅.教学改革的行动与诠释[M].北京：人民教育出版社，2003.444.
教学目标：
1.经历勾股定理的探究过程，感受数学问题由“观察――猜想――验证――论证”的科学研究方法，体会数学问题中由特殊到一般的数学思想。
2.能用勾股定理解决一些简单问题。
教学重点：探究勾股定理探索并证明勾股定理。
教学难点：勾股定理的探究和证明。
教学过程：
老师导入语：同学们，我们今天来玩游戏吧！我设置了一个闯关游戏，分为五关，每关都设有相应的分值，小组比赛制，最后看总分，分高组有奖哦！请看第一关：眼力大比拼。
设计意图：重视引言教学，以游戏名义开始教学，吸引学生的兴趣。
第一关：眼力大比拼――【导入】
问1：这是我家的地板，请观察上图中三个正方形的面积之间有什么关系？
问2：等腰直角三角形的三边之间又有什么关系？
结论：等腰直角三角形两直角边的平方和_____斜边的平方。
设计意图：通过生活常见的地板，引出特殊的直角三角形的三边关系，体会数学问题来源于生活，而且处处都可以发现问题。
老师：第一关你们闯关成功。通过第一关我们知道等腰直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，那你们接下来会有什么猜想呢？
第二关：大胆猜想
老师：你们会有什么猜想呢？
学生猜想：一般的直角三角形两直角边的平方和是否等于斜边的平方？
猜想：一般的直角三角形两直角边的平方和是否等于斜边的平方？
设计意图：通过引导，大胆猜想，体会由特殊到一般的数学思想。
第三关：验证猜想
【探究一】
请测量下列直角三角形的三边长，并分别计算出两直角边的平方和与斜边的平方。
老师：为节约时间，我指定第1，2小组测量图（1）；第3，4组测量图（2）；第5，6组测量图（3）；测完后各小组派个代表报数，并说明实验数据能不能证猜想。
设计意图：通过实验操作，来验证猜想；通过参与验证的过程，增强学生学习数学的自信心。
老师：我现在用几何画板向大家展示，任意画一个直角三角形，并把两直角边及斜边长度量出来了，算出它们的平方，你们注意观察数据的变化，看是否是一直满足两直角边的平方和等于斜边的平方。
老师：通过几何画板可以画出无数个的直角三角形，这些三角形是否验证了我们的猜想关系式？
设计意图：体会数学是一门严谨的学科，实验只能验证猜想，还需要理论论证。
第四关：论证猜想
拼图游戏：用相同的直角三角形拼一个特殊的图形。
游戏规则：（1）以4个全等的任意直角三角形的边为界，拼成一个是正方形的图形。（2）游戏在3分钟之内完成。
老师：小组进行比拼，看哪组拼的方法多且快。拼完的小组举手。学生基本上会拼出两种图形：
老师：我们拼图的目是想通过拼图来论证我们的猜想，下面各组讨论，我把那全等的直角三角形的两直角边令为a、b，斜边令为c，怎么通过我们的拼图来论猜想。（小组讨论3分钟后，请小组讲解）
小组通过面积关系，可以推出直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方。
设计意图：展示小组合作能力；发展学生的形象思维；体会数形结合思想；提高分析问题能力和解决问题能力；通过证明的过程，增强学生学习数学的自信心。
【勾股定理】
勾股定理：直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方。
（数学符号语言表达）：
在RtABC中，∠C=90°
_____
学习勾股定理后，用语音播放勾股定理的发展历史，及我国古代的前辈们早在公元前1000多年前就发现了勾股定理。
设计意图：了解我国古代数学家对勾股定理的发现及证明做出的贡献，增强民族自豪感。
思考：（公式变形）
在直角三角形中，两直角边分别为a和b，斜边为c：
（1）若已知a，b，则c2=_____，即c=_____。
（2）若已知c，b，则a2=_____，即a=_____。
（3）若已知c，a，则b2=_____，即b=_____。
设计意图：学生要掌握勾股定理的变形，体会勾股定理可以用来求直角三角形的边长。
第五关：知识应用大比拼
1.已知直角三角形的两条直角边分别为a和b，斜边为c。
（1）若a=6，b=8，则c=_____。
（2）若c=3，b=2，则a=_____。
（3）若c=4，a=3，则b=_____。
2.已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长是（ ）。
A.5 B.7 C.[7] D.5或[7]
3.判断对错：若a、b、c为RtABC的三边，则a2+b2=c2。（ ）
设计意图：考察学生能否掌握勾股定理的表达式，体验强调直角的重要性；以及分类讨论的数学思想。
4.如图，受台风彩虹的影响，一棵大树在离地面9米处断裂，树的顶部落在离树根底部12米处。求这棵树原来有多高？
设计意图：通过学生亲身经历的生活背景，来考察勾股定理在实际生活中的应用。
小结：教师和学生一起回顾本节课所学内容，总结这节课体会的从特殊到一般及数形结合的数学思想；在研究问题的过程是：观察，猜想，验证，论证。
设计意图：感悟数学思想，引发学生更深层次的思考，促进学生数学思维品质的提高。
一、方程思想
方程思想是从分析问题的数量关系入手，适当设定未知数，运用定义、公式、性质、定理和已知条件、隐含条件，把所研究的数学问题中已知量和未知量之间的数量关系，转化为方程或方程组等数学模型，从而使问题得到解决的思想方法.在勾股定理教学中，教师要注重培养学生方程思想，让学生学会设直角三角形的一边为x，再用x的代数式表示其他边，然后根据“勾2+股2=弦2”列出方程，最后解决问题.
【例1】 如图1，ABC是直角三角形，DE是AB的垂直平分线，若AC=4cm，BC=3cm，求CE的长.
解：设CE=xcm，AC=4cm，
AE=AC-CE=（4-x）cm，
通过以上设计的例题教学，一方面增强了学生探究的兴趣，另一方面也训练了学生如何将实际问题转化为数学问题，即建模的能力.如此设计例题教学符合建构主义学习观，符合高中阶段学生的思维特征，能促进学生创造性思维能力的培养，让例题教学的质量更高.
四、化归思想
化归思想是指在研究和解决有关数学问题时，采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而达到解决问题的一种方法.教育家波利亚曾经说过：“解数学题转化是关键，就是把那些陌生的、较为困难或复杂抽象的数学问题，通过某种转化方式转化为某些熟悉的、已经解决的或容易解决的数学问题.”因此，教师在教学过程中要注意渗透转化思想，从而提高学生应用勾股定理解决实际问题的能力.
【例4】 如图4，一块长、宽、高分别是6cm、4cm、3cm的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体的一个顶点A处，沿着长方体的表面到长方体上和A相对的顶点B处吃食物，那么它需要爬行的最短路线的长是（ ）.
连接EF，在RtEBF中，根据勾股定理得
BE2+BF2=EF2.
∠DCE=45°，
∠2+∠4=∠4+∠3=45°，即∠DCE=∠ECF，
CDE≌CFE，
DE=EF，
关键词教育改革；新课程；应用
新课程标准下的初中数学教材各章中都介绍了相关的数学史，随着数学教学改革的逐步推进，数学史渐渐受到教师的重视，在数学教学中应用数学史的重要作用逐渐凸显出来．在数学教学中，适当的引入数学史能让学生了解数学在实际生活中的应用，感受数学的美，并且能够对学生进行爱国主义教育，增强他们的民族自豪感。因此，引入了教学中引入数学史会极大的激发学生学习数学的兴趣，对于数学教学大有裨益。下面结合实际教学中数学史的一些应用案例，谈一谈我对于这个问题的一点看法。
一、依据教材特点，让数学是自然融入课堂教学
园是一个历史悠久的课题，生活中到处都能见到他的身影，对于圆的认识，人类从6000多年前就开始了，讲课中适当的引入有关史料，作为教材知识的补充和延伸。在讲解圆的定义和性质是，我向学生介绍，2000多年前我国的墨子就给出了圆的概念“圆，一中同长也。”即：圆周上的各点到圆心的距离相等。这个概念不仅和欧几里得所给的概念相似，并且比之早了100多年。又如圆的另一些知识，我都用了比较简洁的几句话想学生介绍了关与它们的数学史。随着这一章教材的不断展开，同学们对我国古代在相关领域的发展概貌有个初步的了解，明白我国古代就对这些内容有了比较全面、系统的认识。特别是早在战国时期就有了论证几何学的萌芽，几乎与古希腊的几何学同时产生。这样，让数学史自然而然的融入课堂教学，提高了学生的积极性，达到了良好的教学效果。
二、结合教材内容，选择前挡的数学史料使之贴近教学内容
勾股定理是几何学中的明珠，它充满魅力，千百年来，人们对它竞相证明，这也许是因为它既重要又简单，更容易吸引人。关于勾股定理的知识在《周髀算经》、《九章算术》、《几何原本》等书中都有记载，其中《周髀算经》中记录了商高曾说过：“数的产生来源于对方和圆这些形体的认识。其中有一条原理：当直角三角形‘矩’得到的一条直角边‘勾’等于3，另一条直角边‘股’等于4的时候，那么它的斜边‘弦’就必定是5。”从上面所引的这段对话中，我们可以清楚地看到，我国古代的人民早在几千年以前就已经发现并应用勾股定理这一重要懂得数学原理了。讲授勾股定理这一知识时，我把这段话向学生做了介绍，并与教材中的“毕达哥拉斯定理的传说”作了对比，让学生了解到我国对于勾股定理的认识比西方早了五百多年，调动了学生学习的积极性和增强了他们的民族自豪感。在对勾股定理进行证明时，采用了三国时期的赵爽利用他所创制的“勾股圆方图”证明勾股定理的方法。这一恰当的数学史料不仅使得教学过程简洁明了，而且对学生进行了爱国主义教育，可谓选材精巧，打到了一箭双雕的效果。
三、让数学史在课堂教学中多样化的呈现，提高教学效果
初中学生的逻辑思维能力还不是太强，因此需要通过直观、操作等手段帮助学生理解抽象的几何关系与演绎逻辑．而借助中国结、纸风车等为载体抽象出来的几何图形，通过拼图能直观地验证勾股定理，这对于数学学习基础尤其是抽象思维能力较弱的学生而言是极为重要的，降低了思维难度，但同时又提高了学生的参与度、兴趣与信心．其次，密切数学与生活的关联．在很长一段时间里，学生学校的数学学习与其生活是相互割裂的．这样的学习也造成了很大的教育问题，即学生的数学学习未能被正当地赋值，甚至有人还提出数学无用论．因此，在教学中需要借助学生生活中常见的素材，并由此学习这些素材中蕴含的数学元素与数学关系，这也即是“数学生活化”的教学设计逻辑．这即是指，教师首先确立的是“勾股定理”这一数学维度上的学习目标，然后寻找到如中国结、纸风车等生活中常见的素材，并使之融入到教学之中，以实现“数学生活化”．再次，为了学生文化浸润式的学习．除了密切学生的现实生活与数学之间的关联之外，还要让学生体会到数学的文化厚重感．即借助富有中国传统特色的中国结、流传历史悠久的纸风车来学习数学，能让学生产生历史厚重感．
二是在学生已经学习了勾股定理之后，向学生展现中国结和纸风车图片，要求学生抽象出其中的数学元素，并由此探索这些数学元素之间的数学关系．与前一种将文化素材作为验证勾股定理的载体不同，这里将其后置到定理学习之后作为拓展性的问题让学生探索．这种用法的价值除了具有前述“密切数学与生活之间的关系”、“为了学生文化浸润式的学习”等两个方面之外，还有以下意义．首先，为了知识的巩固与活化．学生在学习了勾股定理之后，除了常规的练习之外，事实上更重要的是要将知识迁移到类似的但又不那么封闭与明确的情境之中．后者不仅在于巩固知识，同时也使知识得到活化．因为，无论是中国结还是纸风车，都需要学生作一定程度的数学化，并将不熟悉的问题化归为刚刚学习的勾股定理相关的问题，显然这就不仅仅是知识的巩固了．其次，从教育目标的角度来看，这种做法还期待培养学生“生活数学化”的能力．关于数学价值，不同的人也许有着不同的理解．但显见的是，在数学上研究越深入的人越能认识到数学的内在价值．造成这种现象的一个重要原因在于，数学的价值有时是非常内隐的，甚至很难为人所感知的．如果在教学中不去挖掘数学的内在价值，有时就会产生误导，甚至会认为数学只是用于计算．也正因如此，我们强调这些文化素材在数学教学中加以应用，就是希望所培养的学生能逐渐拥有用数学思考问题的意识和习惯，拥有用数学更好地组织生活的能力．
就本案例而言，中国结与纸风车都是我们文化生活中所常见的，但我们更习惯于用工艺品(或艺术品)的角度来理解，而很少会从数学的角度研究这类物品．但事实是，当我们用数学的角度来理解生活中的这些事和物的时候，往往能带来惊喜:原来我们身边处处有数学．再次，有助于培养学生的数学学习习惯．过去我们所理解的数学学习习惯往往指的是学生伏在案头学习数学的习惯．我们认为，数学学习习惯除了上述方面外，一个更高的层次是学生随时而自然地会想着用数学的角度思考问题．后者当然是理想的状态，但教学中的有意识培养也能帮助学生朝着这个方向前进．其中一个重要的培养策略就是让学生尝试探索也许表面上与数学风马牛不相及的素材中的数学元素，除了中国结、纸风车，还有包括建筑物等素材．需要进一步说明的是，与前一种用法相比，这种用法对学生的数学要求也更高，当然所培养的探索能力也会更强一些．
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