时间：2023-08-30 16:37:33
导语：在数学原始概念的撰写旅程中，学习并吸收他人佳作的精髓是一条宝贵的路径，好期刊汇集了九篇优秀范文，愿这些内容能够启发您的创作灵感，引领您探索更多的创作可能。
【关键词】原始概念；规定式概念；构造式概念；逻辑式概念；数形结合式概念
数学概念是人类在长期的实践中经过千锤百炼的数学精华和基础，它的起源与发展都是自然的。数学概念是人类对现实世界空间形式和数量关系的概括反映。数学概念是数学的根基，所有的数学内容都必须建立在数学概念之上。数学概念是形成数学法则、公式、定理，也是运算、推理、判断和证明的基础，还是数学思维、交流的工具。数学概念包括概念的名称、定义、正例反例、表征特性。最重要的是其定义，定义对明确概念具有清晰、扼要、确定和醒目的作用。学生对概念的理解和掌握如何，对后续知识的学习将产生重要的影响，教师必须做好概念教学。
数学概念的学习不应只限于接受、记忆、模仿和练习，还应倡导自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等多种学习方式。但在教学实践中，我们一线教师都有一个共同的困扰，即在学生自主探索的时间内，①有的学生根本提不出问题，②有问题也无从下手分析，③大部分学生抓不住要点。一节时间过去了，什么教学任务没有完成。教师看在眼里，急在心上，属于无效教学。现代教育提倡自主探索、情景激发、合作学习，但并不是每节数学课必不可少的步骤，数学课不能以“生活化”和“社会化”代替“数学化”。一个数学概念的形成是前人把大量的同类事物某方面的特性单独抽出来研究，经过比较、分析、归纳和抽象再把这类事物的共同特性综合起来概括出数学概念。严谨科学的数学概念的理解，对学生来说不是一下子就能领会深刻的。因此教师必须搞清楚数学概念的属性，有些概念只需识记；有些概念需弄清楚它的来龙去脉、深刻理解；有些概念不仅要理解还要应用其解决问题。这样就能合理地安排教学。
原始概念指不加定义的概念，根据人们的直觉，形象描述，举例说明。我们在教学中要找到现实的最佳原型，把这个概念的特性表征出来。如：自然数、点、线、平面、集合、对应、平行、相交、代数式、等式、不等式等。例1：代数式的说明：经过举例后，描述为像这样由数和字母乘积组成的式子就叫代数式。例2：集合的说明：通过举同种性质事物全体后，描述为像这样特定对象的全体构成集合。原始概念是概念中的基石，有了原始概念就可以在其基础上抽象出新概念。这类概念的教学，只需举出日常生活、生产中的实例形成这类概念的印象，搞清楚其特征。教学的要求是达到了解水平，即能说出这些知识是什么，能在有关问题中识别它们。
二、规定式概念的教学
由于数学发展的需要而作出的规定。模长等于1的向量是单位向量。非零实数的零次方等于1。还有绝对值、圆周率、自然对数的底数等。教学要求也只需达到识别、回忆、套用即可。因为这些概念是硬性规定的。但应用时要抓住使用条件。
三、构造式概念教学
日常生活、生产中研究的对象变化符合某种规律，就可构造出相应数学模型。通常由数与式通过运算法则和符号组成固定形式。如：“形如y=ax（a>0且a≠1）的函数”叫指数函数。这类概念形式有严格的要求。要理解这类概念，就需进行概念辨析。如：y=3-x，y=2·3x，y=（-3）x，y=3x+1是不是指数函数。这类概念教学用不上情景和启发，用得上点拨与讨论，记住这些基本函数的形式。
四、逻辑式概念的教学
在已学过的数学概念基础上，用若干个原始概念或者改变某些条件形成新的数学概念。例：棱柱的定义为：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面围成的多面体。其中已学过的定义有“平行平面”、“四边形”、“公共边”、“平行”、“多面体”。此类的概念还有：等腰梯形、圆锥等。教学中需要用到原来已学过的概念，再搞清要改变的条件即可。
五、程序性概念
经过有限步骤的运算或画图由数学基础知识和技能而形成的概念。此类概念是教学中的重点，有时也是难点。这类概念占的比例最大，又可细分为两种情况：（1）过程型定义：完成运算步骤，就可以得到该概念的定义。例1：要想理解平均数的定义。①给出一组实数，②求这组实数的和③用和除以这组数的个数④所得的数即为这组数的平均数。例2：理解函数的定义。①观察两个非空数集A、B中有哪些元素，②分析对应关系f，③集A中的元素在f作用下的结果在B中能否找到④做出判断。（2）结构型定义：观察数学对象的各部分结构加上组合方式做出的判断。例1：理解单项式定义时：举出几个式子，观察每个式子都是数字与字母的乘积。例2：理解三角形定义时：观察三条线段首尾顺次相连即可。 教学中要搞清楚形成该概念有几个步骤或分解这个概念的组成成分。
六、数形结合式定义
先通过画图认识其形状结构，再通过蕴含的数量关系搞清其本质特性。例1：在平面内到两个定点距离的和等于定长的点的轨迹形成椭圆。我们虽然通过线绳操作画出椭圆，但这些感性知识还是不够的。其中的数量关系式①两定点距离为2c，②动点到两定点的距离之和为2a，③2c
数学概念除了定名称，搞清定义以何种方式形成外，还应举出适当数量的正例和反例加深理解和记忆。要熟练的掌握数学概念，还应对定义进行变式训练，即加强或减弱或隐含某些条件来辨析概念的正误以及适用范围。
【参考文献】
[1]齐建华、王红蔚.数学教育学：郑州大学出版社.2006
数学概念是反映一类对象本质属性的思维形式，它具有相对独立性。概念反映的这一类对象本质属性，即这类对象的内在的，固有的属性，而不是表面的属性，而这类对象时现实世界的数量关系和空间形式，它们已被舍去了具体物质属性和具体的关系，仅被抽取出量的关系和形式结构，在某种程度上表现为对原始对象具有内容的相对独立性。
数学概念具有抽象与具体的双重性，数学概念既然代表了一类对象的本质属性，那么它是抽象的，以“矩形”概念为例，现实世界没有见过抽象的矩形，而只能见到形形的具体的矩形，丛这个意义上来说，数学概念“脱离”了现实。由于数学中使用了形式化，符号化得语言，是数学概念离现实更远，即抽象程度更高，但同时，正因为抽象程度愈来愈高，与现实的原始对象联系愈弱，才使得数学概念应用愈广泛。但不管怎样的抽象，高层次的概念总是以低层次的概念为具体内容。且数学概念的数学命题，数学推理的基础部分，就整个数学体系而言，概念是一个实在的东西。所以它即抽象又具体。
数学概念还具有逻辑关联性。数学中打多数概念都是在原始概念（原名）基础上形成的，并采用逻辑定义的方法，以语言或符号的形式使之固定。其他学科均没有教学中诸如概念那样具有如此精准的内涵和如此丰富，严谨的逻辑关系。
数学概念教学是中学教学中至关重要的一项内容，是基础知识和基本技能教学的核心，正确理解概念是学好数学的基础，学好概念是学好数学的重要一环。一些学生数学之所以差，概念不清往往是最直接的原因，特别是像我校这样普通中学的学生，数学素养差的关键是在对数学概念的理解，应用和转化等方面的差异。因此抓好概念教学时提高中学生数学教学质量的带有根本意义的一环。教学过程中如果能够充分考虑到这一因素，抓住有限的概念教学的契机，以提高大多数学生的数学素养是完全可以做到的，同时，数学素养的提高也为学生的各项能力和素养的培养提供了有利条件以及必要的保障。
从平常数学概念的教学实际来看，学生往往会出现两种倾向，其一是有的学生认为基本概念单调乏味，不去重视它，不求甚解，导致概念认识和理解模糊：其二是有的学生对基本概念虽然重视但只是死记硬背，而不去真正透彻理解，只有机械的，零碎的认识。这样久而久之，从而严重影响对教学基础知识和基本技能的掌握和运用。比如有的同学在解题中得到异面直线的夹角为钝角，有的同学认为函数与直线有两个交点，这些错误都是由于学生对概念认识模糊造成的。从一定意义上来说，数学水平的高低，取决于对数学概念的掌握的程度。
二、数学概念的教学形式
1.重视概念的本源，概念产生的基础，体验数学概念形成过程。
学生如能在教师创设的情景中像数学家那样去“想数学”，“经历”一遍发现，创新的过程，那么在获得概念的同时还能培养他们的创造精神。由于概念教学在整个教学中起着举足轻重的作用，我们应重视在教学概念教学中培养学生的创造性思维。引入时概念教学的第一步，也是形成概念的基础。概念引入时教师要鼓励学生猜想，即让学生依据已有的材料和知识作出符合一定经验与事实的推测性想象，让学生经历教学家发现新概念的最初阶段，猜想作为数学想象表现形式的最高层次，属于创造性想象，是推动数学发展的强大动力。
比如，在立体几何中异面直线距离与概念，传统的方法是给出异面直线公垂线的概念，然后指出两垂足间的线段长就叫做两条异面直线的距离。教学可以先让学生回顾一下过去学过的有关距离的概念，如两点之间的距离，点到直线的距离，两平行线之间的距离，引导学生思考这些距离有什么特点，发现共同的特点是最短与垂线。然后，启发学生思索在两条异面直线上是否存在这样的两点，它们间的距离是最短的？如果存在，应当有什么特征？于是经过共同探索，得出如果这两点的连线段和两条异面直线都垂直，则其长时最短的，并通过实物模型演示确认这样的线段是否存在，在此基础上，自然地给出异面直线距离和概念。
2.挖掘概念的内涵与外延，理解概念。
新概念的引入，是对已有概念的继承，发展和完善。有些概念由于其内涵丰富，外延广泛等原因，很难一步到位，需要分成若干个层次，逐步加深提高。如三角函数的定义，经历了以下三个循环渐进，不断深化的过程：
（1）用直角三角形边长的比刻画的锐角三角函数的定义，
（2）用点的坐标表示的锐角三角函数的定义，
（3）任意角的三角函数的定义。由此概念衍生出：三角函数的值在各个象限的符号；三角函数线；同角三角函数的基本关系式，三角函数点的图像性质；三角函数的诱导公式等。可见，三角函数的定义在三角函数教学中可谓重中之重，它贯穿于与三角有关的各部分内容并起着关键的作用。
3.寻找新概念之间的联系，掌握概念。
数学中有许多概念都有着密切的联系。如函数概念有两种定义，一种是初中给出的定义，是从运动变化的观点出发，其中的对应关系式将自变量的每一个取值，与唯一确定的函数值对应起来，另一种高中给出的定义，是从集合中的每一个元素与象集合中唯一确定的元素对应起来。从历史上看，初中给出的定义来源于物理公式，而函数可用图像，表格，公式等表示，所以高中用集合与对应的语言来刻画函数，抓住了函数的本质属性，更具有一般性。认真分析两种函数定义，其定义域与值域的含义完全相同，对应关系本质上也一样，只不过在叙述的出发点不同，所以两种函数的定义，本质是一致的。
一、计量概念教学中，“情景式”生活化应以真切的感知为目的
现行小学数学课程标准需要学习的计量概念主要有长度、质量、时间、货币、面积、体积（容积）等。这些概念与学生生活实际的联系非常紧密，然而要在学生初级日常概念的基础上建立定义明确，有一定逻辑意义的科学概念仍是一个漫长的进程。
以人教版（注：本文引用教材均来自人教版）二年级上册《长度单位》的教学为例。米和厘米是两个最基本的长度单位，教学的最终目的是让学生对这两个长度单位的实际“大小”形成较为鲜明的表象。其中《厘米的认识》教材内容编排通过三个情景呈现（图略，详见二年级上册教材P3）。
第一个情景是直观呈现1厘米的长短，再借助图钉、手指的宽度帮助学生建立表象。在教学设计之前，教师首先应该认识到，厘米属于一个原始概念，难以用简练确切的语言定义，甚至无法准确地进行描述。对于1厘米的实际长度，每个学生甚至每个人的感知标准受到年龄特征和生活经验的影响都不尽相同。因而，这样的“情景式”生活化与学生对于1厘米的清晰表象建立之间仍存有不小的差距。
用怎样的方式缩短或者弥补这一差距呢？笔者认为，需要给学生一种真实的感觉，第一次呈现的时候应该是标准的，这就需要借助实物教具进行。在类似的原始概念的教学中，甚至应当减少多媒体这一现代化教学方式的运用。试想，1厘米的距离，或者含有1厘米的一些生活情景，在多媒体上表现出来往往会有较大的偏差，这将对概念清晰表象的建立产生负面作用。
再如二年级下册关于质量的概念《克与千克》的教学，如果说长度单位的教学还能借助视觉的作用力，那么质量概念则完全需要依赖真切的感知。教学之后学生的实际经验到底如何呢？这里引述一个真实的例子。在一次面向小学中高年级学生的调查测试中，有这样一题“一个鸡蛋约重（ ）。A.4克 B.40克 C.400克 D.4千克”这样一个在教师看来非常简单的题目，城区和农村学生的正确率分别为69%和61%。此一现象值得引起教者广泛的反思，而首先应对《克与千克》概念的教学进行剖析。
首先看教材的编排，先是通过一个主题图，包含6个苹果重1千克，一盒饼干110克，一壶豆油5千克等信息，引出“表示物品有多重，可以用克和千克做单位。”然后通过情景以设问的方式呈现（图略，详见二年级下册教材P86）：1克有多重？1千克有多重？并指出1个2分硬币重约1克；1袋盐重1千克。提出：“分别用手掂一掂，感觉怎么样？”
再看教学目标的设定：在具体生活情景中，使学生感受并认识质量单位——克和千克。《教师教学用书》关于该部分教材说明中有这样的表述：学生在日常生活中已经对质量的概念有了感性的认识，建立了初步的质量概念。
笔者认为，这里需要引起教师特别关注的有以下两点。
1.学生对质量概念的感性认识（即建立的表象）究竟处于怎样的水平？
2.呈现式的生动、具体的“情景”对于学生理解质量概念的作用应该以怎样更为准确的方式体现？
实用主义哲学的创始人，教育家杜威认为：“一盎司经验胜过一吨理论。”小学数学概念教学的核心便是让学生去获得那珍贵的一盎司经验。“情景式”生活化可以认为是教材编排无法规避的现象，但是实际的课堂教学应该始终围绕引导学生真切地感知为最终目的，只有这样，学生建立起来的关于概念的表象才是真实的、科学的。
二、几何概念教学中，“直观性”生活化应避免造成理解的困惑
有研究表明，儿童在感知周围的物体时，首先注意的是物体的形状，而且对外部特征鲜明的物体兴趣尤为强烈。随着学生思维能力的提高，教师可将储存在学生脑子里的丰富感知经验抽象化，并在此基础上开发学生关于空间观念的“元认知”，从而使其达到知觉水平，这一过程便是图形与几何教学的实质。
“直观性”生活化在几何概念教学的导入阶段是非常必要和重要的，它起到了将生活实际与数学概念沟通的桥梁作用。但是，教学中仍然需要处理好一些存在着矛盾的关系，从而避免使学生造成理解困难的现象，切实提高教学的有效性。
1.生活的直观性与数学的抽象性
譬如说直线、点等原始概念。教师通过直观性的生活化展示给学生的始终是具体的形象，科学意义上的点、直线的概念具有纯抽象性，生活中找不出严格意义上的原型，只能建立并存在于学生的个人意识中。因此教师的教学重点应该是在丰富直观呈现的基础上进行抽象和归纳，从而完成学生意识形态上的概念建构。只有这样，直线的概念才不止步于初级思维当中的“直的线”，而是科学意识形态上可以向两端无线延长的几何形状。
2.生活的丰富性与数学的科学性
生活对数学的切入并非一对一的对应关系，有时还会产生一定的消极因素。例如，关于“角的初步认识”，学生原始生活经验与数学概念之间并没有直接联系。生活中“角”的概念包括：动物的角，数学广角的角，货币单位中的角及形态上像“角”的事物。《新华词典》关于“角”的意义解释多达13种，而数学概念上的“角”只是其中之一。
因而开展“角的初步认识”教学，实际上就要建立在消除学生原有认知结构不良影响的基础之上。有一个案例是教师在课堂中根据学生的表述，采用拍照的方式将学生在课堂上所能见到的角真实地记录并用多媒体的方式即时呈现，进而引出将立体的角转化成平面意义上的角这一教学要点。这样的教学可以说是从生活实际延伸到数学概念教学的一种自然而又恰当的方式。
3.生活的呈现性与数学的过程性
苏联数学教育家斯托利亚尔指出：“数学教学是数学活动（思维活动）的教学，而不仅是数学活动的结果——数学知识的教学。”但事实上，任何数学概念不管采用怎样的生活化呈现都已经具备了结果的“雏形”，这使得数学活动（思维活动）的过程性体现大打折扣。从另一个角度来说，过程的体现在很多地方是不认可的，因为做不到，或者说做了也不充分，但这并不妨碍教师在教学实践中需要在这方面付出努力、进行探索。
例如某位教师在《直角的认识》教学中开展的活动如下（仅摘录教师引导部分）：
（1）这么多角里，找一找与直角能重合的；
（2）比较角的大小；
（3）画一个接近于直角的角，比较大小；
（4）利用吸管做一个直角；
（5）你觉得你做出来的角是不是直角？
（6）做一个比直角大一点的角，做一个比直角小一点的角；
（7）老师手上的吸管这么长，能不能做一个比较小的角？你的吸管那么短，能不能做一个比较大的角？
（8）请你坐正，坐成直角；
（9）让我们一起来体验滑滑梯吧（多媒体呈现三种不同角度的滑梯）；
……
这样的设计注重知识过程性的体验，借助多样的生活化表现方式，通过数学课堂切实地将学生原有的生活经验提升到了数学理解的层面。
三、数与代数概念教学中，生活化的呈现应多与学科特质相联系
新课程标准倡导学生自主式的发现学习，而我们习以为常的教学形式是：教师用多媒体的方式展示一幅情境图，然后问“你能提几个数学问题吗？”“用数学的眼光去观察，你有什么发现？”这样的教学形式在数与代数概念的教学中经常会让人觉得牵强甚至于无奈。数与代数的概念是学生进行运算的基础，是孕育“算理”的根本。另一方面，在“生活化”的大潮里，很多教师都进行了对课堂教学“数学味”的理性思考与探索，而这些努力的效果体现通常取决于生活化的课堂教学与数学学科特质的结合是否密切。
例如六年级上册《百分数的意义》设计思路：让学生初步感受生活中的百分数（直观认知）；再到各个百分数意义的充分表述（感知体验）；逐步归纳出百分数意义的符号化模式（初级模型），即“表示（ ）是（ ）的百分之几”；最终提炼出 “百分数表示一个数是另一个数的百分之几”（科学概念）。这样的教学设计以模型思想的建立为依据，既是概念的建构性体现，也是切实提高学生学习数学兴趣和应用意识的根本途径。
又如五年级上册《用字母表示数》的概念教学，对于小学生来说，由具体的、确定的数引申到用字母表示抽象的、可变的数是认识上的一大飞跃。这就要求教师在课堂中既要发挥具体实例对于抽象概括的支撑作用，又要及时引导学生超脱实例的具体性，实现必要的抽象概括。实践中通常利用正方形、三角形等图形化符号作为过渡，应该说是在数形结合知识的基础上开启了“发展符号化意识”之门。
数学概念是进行数学推理、判断的依据，是建立数学定理、法则、公式的基础，也是形成数学思想方法的出发点。因此学好数学的基础关键是数学概念的学习，数学概念教学是数学教学是一个重要的组成部分。
一、数学概念的意义和定义方式
数学概念形成是从大量的实际例子出发，经过比较、分类从中找出一类事物的本质属性，然后再通过具体的例子对所发现的属性进行检验与修正，最后通过概括得到定义并用符号表达出来。实际上应包含两层含义：其一，数学概念代表的是一类对象，而不是个别的事物。例如“三角形”可用符号“”来表示。这时凡是像“”这样具有三个角和三条边的图形，则不论大小，统称为三角形，也就是说三角形的概念，就是指所有的三角形：等边的、等腰的、不等边的、直角的、锐角的、钝角……；其二，数学概念反映的是一类对象的本质属性，即该类对象的内在的、固有的属性，而不是那些表面的非本质的属性。例如，“圆”这个概念，它反映的是“平面内到一个定点的距离等于定长的点的集”，我们根据这些属性，就能把“圆”和其他概念区分开。
我们把某一概念反映的所有对象的共同本质属性的总和叫做这个概念的内涵，把适合于这个概念的所有对象的范围称为这个概念的外延。通常说，给概念下定义，就是提示内涵或外延。一般说，定义数学概念有以下几种方式：
1.约定式定义
由于数学自身发展的需要，有时也通过规定给术语以特定的意义。如“不等于零的数的零次幂等于1”，规定了零指数幂的意义，但要注意，约定式不能随心所欲，必须符合客观规律。
2.描述性定义
数学是一门严谨的科学，每个新概念总要用一些已知的概念来定义，而这些用于定义的已知概念又必须用另一些已知的概念来刻画，从而构成了一个概念的系列。在概念的系列中，是不允许有循环的。因此总有些概念是不能用别的概念来定义。这样的概念，叫做数学中的基本概念，又称为“原名”（或不定义概念、原始概念），它们的意义只能借助于其他术语和它们各自的特征予以形象地描述。如：几何中的点、直线、平面，代数中的集合、元素等。
3.构造式定义
这种定义是通过概念本身发生、形成过程的描述来给出的。如椭圆的定义“平面内与两个定点的距离的和等于定长的点的规迹叫做椭圆”。
4.属加种差定义
如果某一概念从属于另一个概念，则后者叫做前者的属概念，而前者叫做后者的种概念。如实数是有理数的属概念，而有理数是实数的种概念。
在同一个属概念下，各个概念所含属性的差别叫种差。如对于四边形这个属概念，平行四边形和梯形都是它的种概念，它们的种差是：“两组对边分别平行”和“一组对边平行，另一组对边不平行”。
用属加种差来定义概念，“就是把某一概念放在另一更广泛的概念里”来刻画它的意义，通常的方法是用邻近的属加种差来进行表述。如：平行四边形的定义，它的邻近的属概念是四边形，种差是两组对边分别平行，因而平行四边形的定义表述成“两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形”。
另外，在教材里，还会遇到一些通过揭示概念的外延的方式给概念下定。如实数的定义：“有理数和无理数统称为实数”。
最后，还需声明：定义是数学概念的方式，以上分析是相对的、不严格的。例如，“异面直线所成角”定义，我们既可以认为它是约定式的，即规定“把经过空间任意一点所作的两条异面直线的平行线所成的锐角或直角叫做异面直线所成的角”，也可以把它理解为发生式的：即通过取点、作平行线构成两对对顶角，把其中的锐角或直角叫做异面直线所成的角。总之，我们理解定义并不在于区分它是属于哪种定义方式，而是要明确概念的外延与内涵，然后应用它们去解决问题。
二、怎样进行数学概念教学
对数学概念，即使是那些原始概念，都不能望文生义。在教学中，既要把握它的内涵，这是掌握概念的基础；又要了解它的外延，这样才有利于对概念的理解和扩展；同时，对于概念中的各项规定、各种条件，都有要逐一认识，综合理解，从而印象更深，掌握更牢。
一般来说，围绕一个数学概念，应当力求清楚下列各个方面的问题：
①揭示本质属性。这个概念讨论的对象是什么，有何背景？此概念中有哪些规定和条件？它们与过去学过的知识有什么联系？这些规定和条件的确切含义又是什么？
给出概念的定义、名称和符号，揭示概念的本质属性。例如学次函数的概念，先学习它的定义：“y=ax2＋bx＋c(a、b、c、是常数。a≠0)那么y叫做x的二次函数”。又如，一位教师教学“长方体和正方体的认识”时，在指导学生给不同形体的实物分类引入“长方体”和“正方体”的概念后，及时引导学生先把“长方体”或“正方体”的各个面描在纸上，并仔细观察描出的各个面有什么特点，再认识什么叫“棱”，什么叫“顶点”，然后，指导学生分组填好领料单，根据领料单领取“顶点”和“棱”，制作“长方体”或“正方体”的模型，边观察边讨论长方体与正方体的顶点和棱有什么特点，最后指导学生自己归纳、概括出“长方体”和“正方体”的特征，从而使学生充分了解“长方体”和“正方体”这两个概念的内涵和外延。
②讨论反例与特例。对概念进行特殊的分类，讨论各种特例，突出概念的本质属性。例如二次函数的特例是：y=ax2，y=ax2＋c，y=ax2＋bx，等等。
③新旧知识联系。此概念中有哪些规定和条件？它们与过去学过的知识有什么联系？使新概念与原有认知结构中有关观念建立联系，把新概念纳入到相应的概念体系中，同化新概念。例如把二次函数和一次函数、函数等联系起来，把它纳入函数概念的体系中。
④实例确认。辨认正例和反例，确认新概念的本质属性，使新概念与原有认知结构中有关概念精确分化。例如举出y=2x＋3，y=3x2－x＋5,y=－5x2－6等让学生辨认。
⑤具体运用。根据概念中的条件和规定，能够归纳出哪些基本性质？这些性质在应用中有什么作用？通过各种形式运用概念，加深对新概念的理解，使有关概念融会贯通成整体结构。
以上，我们只是介绍了概念教学过程的一般模式。把这个全过程可归结为三个阶段：
（一）引进概念途径
数学概念本身是抽象的，所以，新概念的引入，一定要坚持从学生的认识水平出发，要密切联系生产、生活实际。不同的概念的引进方法也不尽相同。对于一些原始概念和一些比较抽象的概念，教师应通过一定数量的感性材料来引入，要密切联系生活实际，使学生“看得见，摸得着”。引用实例时一定要抓住概念的本特征，要着力于揭示概念的真实含义。如“平面”的概念，可让学生观察生活中一些如桌面、平静的水面等，通过自己的探索和与同学们的交流得出结论。但是，教师一定要想办法让学生自己得到“无限延伸性和没有厚度”的本质特征。
（二）形成概念的方法
认识一个特殊的心理过程，由于每个学生之间存在一些差异，那么完成这个过程所需的时间也不一定相同。但是就认识过程而言，却不能跳跃。教学中，引入概念、并使学生初步把握了概念的定义以后，还不等于形成了概念，还必须有一个去粗取精、去伪存真、由此及彼、由表及里的改造、制造，必须在感性认识的基础上对概念作辩证的分析，用不同的方式进一步提示不同概念的本质属性。
1.在掌握了概念的本质属性之后，要引导学生作一些练习。例如，引入分解因式的概念后，可选下列一类练习让学生回答。
下列由左到右的变形，哪些是属于分解因式？哪些不是？为什么？
①（x+2）(x-2)=x2-4;
②(a2-9)=(a+3)(a-3);
③a3-9a=a(a2-9);
④x2-y2+1=(x+y)(x-y)+1;
⑤x2y+x=x2(y+1)
通过回答问题，特别是说明理由，可以初步培养学生运用概念作简单判断的能力。同时，每做一次判断，概念的本质属性就会在大脑里重现一次。因而，对于促进概念的形成是行之有效的。
2．通过变式或图形，深化对概念的理解。又如学习梯形这个概念时，可提供如下图形让学生观察：
这里，要注意三点：第一，所提供的感性材料（梯形）要足量，不可太少，也没有必要太多。太少不利于学生从中悟出规律，形成表象；太多会造成时间和精力上的浪费。第二，要引导学生对每一个材料加以分析和综合。第
三，要注意变式，全部材料要能反映出本要领的全部本质属性。
3．抓住概念之间的内在联系，通过新旧概念的对比，形成正确的概念。又如教学约数和倍数的概念时，可从“整除”这一概念入手，引出概念。
（三）概念的发展
学生掌握某一概念后，并不等于概念教学的结束，要用发展的眼光教概念。
1.不失时机地扩展延伸概念的含义。一个概念总是嵌在一些概念的群体之中。它们之间有纵横交错的内在联系，必须揭示清楚。如学习比的意义之后，就要及时地把“比”、“分数”、“除法”三者联系在一起，找出三者的联系和区别后，使学生居高临下，在一个广阔的背景下审视“比”这个概念，加深对概念的理解。
关键词：概念教学；自然；合理；人情味
数学概念的简洁与严谨之美容易使人感觉“高贵”与“冷艳”，缺乏“亲和力”。如何让学生体会数学概念美，需要教师在教学时揭示概念引入的必要性与合理性，展现人情味，增强亲和力。本文是笔者在概念教学中的实践与感悟，愿与同行一起分享，如有不当之处请批评指正。
一、课堂教学案例
案例：任意角的概念教学片段
师：初中我们已经学习了角度，0度到360度。若把机械表拨快2小时，分针转过多少度？
生：转过了720度。
师：怎么算？
生：360度加360度。
师：若把机械表拨慢2小时，分针转过了多少度？
生：720度。
师：怎么算？
生：360度加360度。
师：若把机械表拨慢1小时，之后又拨快1小时，分针转过了多少度？
生：转过0度。
师：这又是怎么算的？
生：一开始转过360度，后来又返回来360度，相当于分针没有任何转动。
师：那是怎样的两个度数相加呢？
生：360度与-360度相加。
师：负角？那机械表拨快2小时与机械表拨慢2小时转过角度还一致吗？
（学生思索，感觉两种转法转过的角度不同。）
生：对于顺时针与逆时针转动问题，我们应该让转动的角度有不同的表示。
师：你们说怎么规定好呢？
生1：规定逆时针转为正角，顺时针转为负角。
师：是书上看的，还是你觉得要这么规定呢？
生1：我自己觉得这样舒服些。
生2：我习惯看机械表，时间是往前走的，指针都是自动顺时针转的。所以，我喜欢规定顺时针转为正角，逆时针转为负角。
师：学生2说得很有道理，学生1也说说你为什么会觉得逆时针转为正角，顺时针转为负角舒服呢？
（学生1说不出所以然。）
师：同意学生1说法的同学，来说说你的理由。
生3：我觉得这个规定与坐标系的象限1、2、3、4顺序一致。
师：啊？坐标系？你怎么想到坐标系呢？
生3：因为我们一直在学习函数，函数是要用图象解决问题的，也就是用坐标系解决问题。本章是学三角函数，我想需要引进坐标系。
师：嗯，说得有理有据！根据学生2与学生3的说法，哪个规定更合理呢？
生：学生3的说法更合理。
师：很好！学生3已经学会了函数的学习方法，我想本书主编也是这么想的。
（学生会心地笑了。）
二、教学感悟与思考
1.数学概念教学要体现自然、合理、人情味
人教版教材主编寄语中写道：“数学是自然的，数学概念……的起源与发展都是自然的。如果有人感到某个概念不自然，是强加于人的，那么想一下它的背景、它的形成过程、它的应用，以及它与其他知识的联系，你就会发现它实际上是水到渠成、浑然天成的产物，不仅合情合理，甚至很有人情味。”数学概念教学要让学生感觉到引入概念的必要性、合理性。让学生亲历概念的自然形成过程。这个过程不一定是数学家原本的思维过程，只要教学时能够让学生自圆其说，让教材中冰冷的规定与表述由教师通过适当的问题引导学生表述成功。教师在概念的背景引入上需浓墨重彩，显示数学概念逐步形成的过程，挖掘蕴涵在其中的思想方法，使学生体会内涵于概念中“冰冷的美”，背后的那些“火热的思考”。学生能感受数学概念是自然、合理，充满人情味的，能体会数学的美，乐于亲近数学。案例中的负角概念的出现与正负角规定都是在教师的诱导下学生表达完成。
2.数学概念教学要能“自圆其说”
张奠宙先生说过数学教学有三种不同的形态，第一种是数学家创建数学结构过程中的原始状态；第二种是整理研究成果之后发表在数学杂志上、陈述于课本上的学术形态；第三种是便于学生学习理解，在课堂上出现的教育形态。教师每天面对课本上的数学概念，就是张先生说的第二种形态。是严谨、简洁的知识成品，但对于学生来说它们犹如天外来客。如何把“冷冰冰的”第二种形态转化为学生易于接受的第三种形态，需要教师对数学第一种形态的探究。虽然很多数学概念的原始生成过程随着岁月的流逝，已经面目全非或无从考证，但只要教师具备考古学家的精神，深刻挖掘背景知识，探索数学概念和生活的联系，通过合理的想象与合情推理，尽可能地还原数学概念的本来面貌。在数学概念教学中做到“自圆其说”，使学生感受到概念不仅合情合理，甚至还很有人情味，从而让学生理解数学、喜欢数学。案例中学生对正负角规定的解释能够从函数学习的角度自圆其说。苏霍姆林斯基说过：“在人的心灵深处都有一种根深蒂固的需要，这就是希望自己是一个发现者、研究者、探索者。”自圆其说的过程，让学生有发现者、研究者、探索者的快乐感。他们从中感受数学的规定与发明并不神秘，他们能用自己的眼睛来发现、用自己的智慧参与数学创造，从而感受数学学习的快乐。
参考文献：
[1]章建跃，陶维林.注重学生思维参与和感悟的函数概念教学[J].数学通报，2009（6）：19-24.
数学概念分为原始概念和定义概念。原始概念往往是直接从客观事物的空间形式和数量关系抽象而来的,比较直观具体。在教学中,教师若能很好地利用直观教具,使学生通过观察而明确概念所反映的对象、特性,以及概念所适用的范围,则能收到较好的效果。定义概念,虽然是对客观事物的空间形式和数量关系的反映,但其产生和发展经历了抽象和概括的过程,具有其本身的复杂性和抽象性。因此,在进行定义概念教学时,教师有针对性地引导和帮助学生逐个角度、逐个层面地认识概念反映的对象,是很有必要的。
1.明确概念的研究对象
对概念要做到能够正确理解,明确概念的研究对象是第一要义。教师在进行概念教学,特别是在初步建立新概念时,必须首先明确指出概念的研究对象是什么,同时可采用类比、反例等手段对概念的研究对象进行个性凸显。例如,对“平行线”之一概念的教学,教师在引导学生通过观察得出平行线是“同一平面内的两条不相交的直线”时,要强调平行线概念的研究对象是同一平面内的两条直线,它不是射线、线段,更不是曲线。学生对于研究对象的明确,意味着对新概念已初步地接受,有了初步的认知。
2.明确概念成立的条件
要正确理解概念,明确概念成立的条件同样是很重要的环节。有些概念的表述很相似,但随着其限制条件的不同,概念的内涵可能完全不同。比如,“在同一平面内的两条不相交的直线是平行线”,这一关于平行线的概念,如果忽视了其前提条件“在同一平面内”,“平行线”之一概念就不一定成立。因为在空间中确实存在着不相交但也确实不平行的直线——异面直线;再如“圆”之一概念的表述为“在同一平面内,到一定点的距离等于定长的点的集合”,如果没有“在同一平面内”这一前提作保障,“圆”的概念同样不能成立,因为在空间中到定点的距离等于定长的点的集合可能是球面。像这样的条件性较强的概念在中学数学中是很多的,教师要用类比的方法,使学生对概念成立的条件有明确的认识和全面的理解。
3.揭示概念的内涵
概念的内涵是概念的反映对象在一定条件下所具备的本质属性,是此概念区别于其他概念的根本标志。一个定义概念,其研究对象及相应条件的确定,即意味着概念内涵的确定。因此,概念教学的主要任务之一即是要凸显概念的内涵本质和本质特征,同时要帮助学生排除误解因素对本质理解的干扰。
由于在教学中,给概念下定义常用“种概念加类差”的方式,因此概念教学时要重点讲解定义中种概念和类差,使学生认识到被定义概念既拥有它的种概念的一切属性,又有自己所独有的特性即类差。例如,“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”这一定义中,“四边形”就是平行四边形所具有的最邻近的种概念,类差是“两组对边平行”。应强调指出平行四边形首先是四边形,具有四边形的一切属性,如内角和为360°,具有不稳定性等,同时还应强调平行四边形是特殊的四边形,特殊在“有两组对边分别平行”。
有些概念的种概念和类差不够明确,教学时通常还要从侧面对这些概念的内涵进行阐述。比如“互为余角”概念的教学,必须强调两点:其一,必须是两个角,单独一个90°角或和为90°的三个角及三个以上角,都不能说互为余角;其二,两个角之和必须为90°。这两点即是“互为余角”这一概念的本质所在。另外,教学实践表明,很有必要向学生说明两个角是否互余与角所处的位置无关,比如南极有一个角为30°,北极有一个角为60°,但这两个角仍然互为余角。
4.在应用中加深对概念的理解
无疑,学习概念是为了应用。学生对初学概念即使能弄清其基本含义,也未必能运用概念进行运算、证明。同时,应用是对概念的加深理解最有效的方式和途径,具体应用过程可使概念的对象属格化、抽象的条件具体化、深刻的定义浅显化。所以,必须配以典型的例题,引导学生掌握概念的适用范围和方法,从而加深学生对概念的理解。仍以“互为余角”概念为例,配以如下例题,要求学生自己先行解答。
例:如图所示,在ABC中,∠ACB=90°,CDAB于点D,DEAC于点E,则图中互余的角共有( ?摇?摇)对。
A.6 B.7 C.8 D.9
结果多数学生选C。我们对此题作如下分析:在解决直角三角形中的互余问题时,要考虑三种情况:①直角三角形中的直角被分成两部分的两个角互余:∠1与∠2,∠3与∠4;②同一直角三角形中的两个锐角互余:∠2与∠B,∠1与∠3,∠4与∠A,∠A与∠B,∠1与∠A;③等量代换得到的互余角:∠2=∠3,故∠3+∠B=90°,∠2+∠4=90°,即∠3与∠B、∠2与∠4也是互余角,所以共有9对互余角,正确答案为D。该题中学生出错的主要原因是不自觉中对“互为余角”强调了位置关系。通过以上分析,学生可以更全面、深刻地理解“互为余角”这一概念。
5.梳理概念之间的关系,形成概念体系
关键词:过程数学
数学教育不等同于传授数学知识，它不仅给学生提供了一种科学语言、一门知识，更应当是一种思想方法，是陶冶情操、训练心智的一种工具。数学学者何良仆曾经说过：数学教育中重要的问题，不是教什么题材，而是教给学生更珍贵的东西——如何掌握题材。也就是说，数学教育中的价值不在于掌握数学知识，主要在于“数学过程”。
一、对“数学过程”的认识
“数学过程”是一个有关数学思维及数学教育的核心概念。它主要是对一系列思维活动过程的概括，即：数学概念、公式、定理、法则的提出过程；数学结论的形成过程；数学思想方法的探索及概括总结过程，其本质是以“抽象——符号变换——应用”为核心的思维过程。即数学是来源于现实生活并用于现实生活这一根本，从最原始模糊而笼统的印象，丰富多彩的具体直观形象，直到最终形成抽象的形式体系，严格的逻辑演绎推理，进而在解决问题中加以应用，这就是数学过程数学过程是人们对客观世界定性把握和定量刻画、逐渐抽象概括、形成方法和理论，并进行广泛应用的最基本、最有效的方法。
数学学习是一个通过长期系统数学活动来培养学生的数感、符号感、逻辑性、空间观念、统计观念以及应用意识与推理能力的过程，它培养学生严谨的科学态度、科学方法、科学的学习习惯、能力以及探究精神、创造精神和协作精神，使学生充分经历“数学过程”的磨砺，在知识、智力、品质、情感、态度和价值观等方面得到全面发展，成为适应社会进步的高素质人才。
二、教学中无“数学过程”教学的原因及弊端
如果学数学知识只为懂得某一知识的结论，而不了解事物发生、发展变化的过程，这样的知识是残缺不全的、是静止的、孤立的知识。“数学过程”是数学知识之间的内在联系，是严密数学思维的必要环节，是知识内化、构建数学知识体系的关键元素。只有掌握“过程”才能将各部分的知识融为一体，举一反三，使学生的解题能力大大提高。
“数学是系统化了的知识。”数学的很多概念都蕴含了朴素的数学思想，基本上都来源于学生的生活经验。应该说，学生认识这些朴素的思想应该很容易，可事实上学生学习“课本上的数学”很困难。主要原因在于数学的学科定义高度抽象、概括，教材不易呈现其形成与发展的过程，它所呈现的是形式化的、冰冷的结果，教学如果从这些“冰冷”的形式开始，学生就不可能经历“火热”的数学思考过程，直接学习现成的结论也不符合学生的认知特点和思维水平
在有关概念、定理、法则教学时，有些教师似乎很少关注隐藏在其背后的丰富的数学过程知识，为了考试，知识体系被简单地肢解为一个个的知识点，强化题型覆盖知识的作用，注重结论的使用和各种操作步骤记忆，用机械记忆和反复强化的方法进行以落实知识点为目的的训练，这样我们的数学课堂成了解题教学，从而导致学生对数学的兴趣、态度、价值观等心理倾向得不到相应的发展。如果你认真观察比较教师发给学生的数学习题，不难发现，这些数学题不只十分样板，各学校所提供的数学题相当划一。原因显然是紧扣考试，于是不同老师给学生的数学题都十分类似，对于考试的试题，我们看到学生经年累月身处没有多大变化的数学经验空间，不难想象他们渐渐会形成机械化的数学观，也会逐渐失去学习数学的兴趣。
究其原因主要有两点：一是教者缺少追问学科概念的本质，二是没有真正了解学生的思维特点与已有的知识经验储备。对于前者，我们强调教师追问为什么学习这些内容、所学习内容的核心是什么、如何建立联系；后者主要包括学生的生活概念、学生的思维水平与认知特点及学生已有的知识储备。当教师对这两个根源有深入的思考后就能设计出有过程的教学。
三、注重“数学过程”教学、提高学生数学素质
要能充分发挥数学的作用，教学中必须设计有过程的教学，这就要求我们的教师备课时关注数学概念形成、思想的本质以及发展的历史本源和原始动力，关注学生朴素的问题与思维过程，关注学生的生活经验与数学概念之间的本质联系与区别，利用思维冲突、质疑与障碍使学生获得高水平理解力。激发学生学习的愿望与动机，体会到创造的乐趣。
注重培养学生观察和发现问题的能力，让学生在自主参与、合作探究中拓展实践思路，不断享受成功的体验，感受创造过程中的无限乐趣。比如在等差数列前n项公式中提出1+2+3+…+100=?让学生去探索为什么高斯用(1+100)×100/2式子计算，从而真正理解等差数列前n项和公式的由来，注重这个“数学过程”，学生即使忘记公式，他也能推算出等差数列求和结论。
对于学生来说学数学更要注重“数学过程”。学习数学时的重点应放在对事物认识的思考过程上，要理解和领会认识过程，而不能为了应付考试跳过对过程的认识而直接记忆结论。我们要重结论，更要重过程，只有两者共同结合才能体现数学知识的整体内涵和思想，才能真正使学生掌握一个完整的知识结构，提高学生的数学综合素质。学习数学其中一个重点在于向老师学习如何科学地思考问题，以使自己的思维能力的发展建立在科学的基础上，培养自己的科学思维能力，使自己对知识的领会进入更高级的境界。
总之，当《数学课程标准》提出了过程性目标时，我们应正视数学过程教学的价值，优化教学环节，突出数学过程教学，让学生在深刻体验“数学过程”中提升数学能力、数学素养。
参考文献：
关键词：高中数学；探究；问题呈现
在新课程走过的这些年里，数学探究已经成为数学教学研究中的一个常用语，这说明了新课程的相关理念已经成为高中数学教师的一种自然意识. 但有意思的是，数学探究这一概念对于很多同行而言，可能还停留在探索研究的理解上，对于《普通高中数学课程标准》（实验稿）提出的“围绕某个数学问题，自主探究、学习的过程”的表述，以及其他关于数学探究的文献中的表述，却没有给予太多的重视与关注，因而导致了从课程改革到现在，数学探究还停留在相对较浅的层面，应当说这是数学课程改革的一点不足. 从这个角度看，我们有必要对数学探究本身进行探究.由于数学探究涉及多个层面，又由于篇幅所限，本文主要以数学探究中的问题呈现为例谈谈笔者的看法，对于其他层面则做附带性的简述.
[?] 数学探究中问题呈现新思考
要深入理解数学探究，还是离不开数学探究这一概念及其定义的，事实上对概念及定义缺少理解，也是产生对数学探究只有经验性解读的根本原因. 根据国内高中数学同行及有关专家的研究，基于课程标准且更具针对性、科学性的定义是，“数学探究”指的是“学生围绕某一个问题情境，通过观察分析数学事实，以提出有意义的数学问题并解决问题的过程”. 在这个过程中，“情境表述”即产生问题的情境，以及“问题表述”被提高到一个新的高度. 也就是说，高中数学教学中，固然要重视探究过程的完成，但对于所探究的问题如何得出，或者说怎样让学生提出有意义的探究问题，成为数学探究的一个重要施力点.
这一点与常规情况下对数学探究的观点是不一样的，一般情况下我们认为让学生探究的数学问题可以由教师提出（尽管实际教学中也是反对学生提出的，但总的来说真正由学生提出的可探究问题并不多），数学探究的重心在于探究过程. 而现在强调探究问题的提出，是对数学探究基础的重视与回归，某种程度上讲，具有爱因斯坦所说的“提出一个问题往往比解决一个问题更重要”的含义. 事实上，如果我们暂时不谈高考的要求（准确地说，是目前的高考中还没有出现考查学生提出问题能力的题型，因而没有出现这种性质的导向作用），我们就会更为客观地发现提出问题，对于高中学生的数学学习具有更为重要的作用. 曾经有很多高中数学同行在论文中都提出一个观点，就是当学生有了提出问题的意识之后，当学生在某个知识点的学习中有了问题并得到解决之后，他们对相应知识点的理解是超过单纯的听的效果的，这也打消了研究问题的提出会影响学习质量的担心.
那么，问题不是由教师或课本提出，学生怎样才能提出有意义的探究问题呢？关于这一点，我们的共识是：不是简单地在陈述句前面加一个为什么，而应该向学生提供合适的素材，让学生在一定的情境中去提出问题.
[?] 数学探究中问题呈现再实践
结合以上分析，我们在教学实践中进行了一些尝试，这些尝试有的是专题性质的，也有的是穿插在日常的数学知识教学中的. 现将实践所得到的一些认识形成文字，以与同行切磋.
首先，我们认为要想让学生提出有探究意义的问题，必须有合适的素材.
这里所说的“合适”，不完全是指合乎高中数学学习的需要，更指符合他们的兴趣与求知需要. 兴趣需要是不言而喻的，有了兴趣才会有探究的动力，而求知的需要则更多的是一种认知平衡的打破，亦即让学生去发现已有知识的体系是不能解决新问题的. 根据这一认识，我们进行了一些课例探究.
课例一：图象与函数. 在高中数学学习中，为了加强学生对函数的理解，必须让学生认识到函数可以描述具体的图形，认识到函数是一种数学语言. 除了课本上提供的三角函数、曲线函数外，我们还可以将其拓展到数学发展史上的其他事例.
笔者在课例中向学生提供的是“阿基米得螺线”. 阿基米得螺线在数学发展史上具有重要地位，在生活中也有类似的情形，因此容易激起学生的兴趣和求知欲.具体做法是，笔者首先让学生自己去想象出一个阿基米得螺线，具体方法如下：
第一步，想象生活中盘状蚊香；想象从螺丝的尖端看螺丝的螺纹. 教师也可以提供这些实物或投影片，以让学生直观感受，然后再让学生回忆，以在大脑中形成良好的表象，以建立一定程度的形象思维.
第二步，想象一根可以绕固定点转动的长杆在转动，然后一个小虫在杆上爬动，想象整个过程中小虫爬出的轨迹. 对于某些想象能力差的学生，可以用圆规作为教具绕点转动，用一个粉笔头比作小虫在圆规上由内向外爬，然后让学生去想象小虫的运动轨迹.
第三步，介绍生活中其他例子，如螺丝身上的螺纹等.
有了这样丰富的情境作为支撑，就可以引导学生去提出问题：这样美的曲线在生活中如此常见，引起了数学家的高度兴趣，面对阿基米得螺线，你们有什么探究的欲望呢？我们的教学目的自然是让学生想到用数学语言去描述数学事物，而这一问题只可能产生于学生具有良好的数学意识，进而我们又发现这种数学又来源于日常教学中的积累，因此每学习一个数学知识，都需要跟学生强化数学语言的认识. 事实上，本课例并不完全在于要求学生能够提出教师想要的问题，关键是培养学生一种提问的意识与能力，让他们自己生成数学问题来源于数学事例中的意识.
其次，要想让学生提出有意义的探究问题，教师应当向学生提供“原始问题”.
原始问题来源于首都师范大学邢教授的研究成果，数学作为物理的工具，与物理具有密不可分的关系. 在高中数学教学中，利用物理现象提生数学探究问题的土壤，可以让数学探究变得更为真实. 而且通过这种学科之间发生的联系，可以培养学生的数学视野与对数学的认识.
课例二：曲线方程. 曲线方程是高中数学的一个重要知识，新课学习中其都是在不同阶段呈现的，如何让学生对曲线方程形成一个完整、统一的认识呢？这是必须探究的一个问题. 而且我们注意到，类似于这种问题的探究，还有助于学生形成比较好的学习品质，让学生不仅得到一个良好的认知结构，更能够生成较好的学习方法.
我们向学生提供的原始问题是这样的：小明看到木匠师傅要得到一个特殊形状的木板，就在一个平面内确定了两个固定点A、B，其用一根线系住两个点，然后用铁钉将这根线向外拉直至绷直. 这个时候如果你是木匠师傅，你想得到的是什么形状的木板，你会怎么做？当学生对这个问题有了回答之后（预期答案是“画出一个图形”）；还可以引导学生生成“这个图形会是什么形状（预期答案是“椭圆”），可否用学过的知识来寻找曲线方程”等问题. 尤其是在此基础上，我们可以引导学生生成“今天研究图形所用的曲线方程与已经学过的哪些类似，有什么联系，又有什么区别”等问题. 这样就可以将椭圆与双曲线形成一个整体的认识，从而将双曲线和椭圆两知识组块合成一个，进而增大学生的记忆容量.
分析这一过程，我们可以看到最初提出的情境并没有明显的数学语言，有的只是一个生活情境，而这个情境中显然又包含着数学知识. 因此我们说这样的情境就是一个原始问题的情境，利用这个情境让学生生成问题，可以培养学生良好的数学探究意识. 事实上在教学实践中，我们看到起初在呈现这种原始问题时，学生往往无所适从，因为习惯了常规探究问题的学生不知道如何在这种原始事例中寻找数学知识，更加谈不上产生数学探究的问题了. 而经过了多次这样的训练之后，学生又很容易生成这样的数学问题与探究意识. 这说明通过原始问题来培养学生的数学探究问题呈现的能力是有效的.
[?] 数学探究中问题呈现再思考
作为数学探究的开端，问题的作用是不言而喻的，数学探究的价值在于探究环节本身，根据高中数学教学的国内外比较研究结果，数学探究所包含的五个因素中，有两个因素与问题相关. 因此从提高学生数学素养的角度来看，对于问题呈现的研究价值也是显而易见的. 我们要做的很大程度上是在应试的压力下，本着数学探究的本义去实施探究.
关键词：概念教学；例题设计；策略
数学概念是数学思维的基本形式，是基本技能形成与提高的必要条件，数学概念具有高度抽象性和概括性的特点，数学概念与它的性质、公式、定理密切连系，比如“指数”这个概念理解不到位，那么“指数函数”这个概念理解也不可能到位，更谈不上理解“指数函数的性质”；比如“等比数列”这个概念只要能准确理解和熟练掌握，那么等比数列的通项公式与等比数列前n项和公式就能推出和记牢；比如“直线与平面垂直”这个概念如果不能正确理解和掌握，那么“直线与平面垂直的判定定理”就谈不上理解记忆，而只能是死记硬背。
因此概念教学在高中数学教学中的地位非常突出，不少教师也都非常重视数学概念的教学，并且很多有自己独到的见解和体会.而笔者在这过程中发现，目前概念教学最大的问题并不是如何引人概念，如何剖析概念，如何应用概念；而是有一些教师没有选择恰当的例题与合适的问题设计，没有意识到例题的重要性，仅仅是形象性地、比喻性地给学生解释概念，所以教学效果不好，既不能使学生准确理解概念，也不能使学生正确掌握概念.为此，笔者就概念教学中的例题设计与问题设计环节来谈谈自己的心得体会。
（一）概念引入时强调产生这个概念的问题情境
从无到有，学生必须要有一个契合处，以缓解新的概念对思维产生的“碰撞”。概念的引人意在新旧知识点或数学模型中找到一个结契合点，以实现新知自然衔接、过渡的目的.从学生对知识的认知规律来看，对抽象、概括事物的认识、理解需要一个具体化、形象化的过程.因此，教师在概念的教学过程中，要想方设法借助学生熟悉的或引起兴趣的问题情境选取较多的合适的例题与问题设计。
点滴渗透引出“数列”概念：
情景一、让学生看我国自主研发的神舟十一发射升空倒计时瞬间.让学生从中抽象出一列数.
情景二、从古语出发：一尺之棰，日取其半.万世不竭.让学生做数学实验“撕纸尺”。体会古语中的数学含义。
情景三、贴近学生的专业，分小组让学生课前收集必须是带数的儿歌，留作课上分享.然后在课上让学生从儿歌中找出隐藏着数.将它们组合成一列列数。不同的学生会得到不同的一列数。通过上述事例引出数列概念的讲解。
突出情境引出“弧度制” 概念：
在上“弧度制”这个概念教学时，上课教师可以手拿一面折扇，慢慢地走进教室，边走边打开折扇以引起学生的注意，上课之后就问：同学们请看我手中的是什么图形？学生回答：这是扇形。教师又问：你会做扇形吗？学生回答：会做。你做的扇形好看吗？学生回答：不怎么好看，怎样做才能使做的扇形好看？从而引出角度制与弧度制概念的讲解。
问题设计引出“补集”概念：
观察下面三个集合：S={x|x是高幼一（5）班的同学}，A={x|x是高幼一（5）班的男同学}，B={x|x是高幼一（5）班的女同学}。分析上面三个集合S，A，B的关系，从而引出补集的概念。
创设问题情境是概念引人中常用的方式方法，它不仅能够为概念的引人做良好的准备，而且还能够引起学生的好奇心和求知欲。
（二）概念剖析时抓住概念本质
引人概念之后，学生虽对其有了基本的印象，但仍处于一知半解的状态，易出现概念模糊、张冠李戴的现象，特别是有些数学概念概括性强，需要逐字逐句的分析、理解。
（1）剖析概念中关键词的含义 准确掌握概念
某些关键词是理解和掌握概念的钥匙，有些学生由于对少数概念理解不到位，特别是对原始概念的理解更是如此，从而为后继知识的学习埋下隐患，使学习效果大打折扣.因此，教师必须要强调关键词，并通过浅显易懂的方式进行讲解和剖析，确保每一位学生都能真正理解和掌握。
如在“集合”的学习中，要强调“集合”是一个原始概念，是不可能下定义的，因此不能用“叫做”这两个字，只能用描述性的语言表述为：在一定范围内某些确定的、不同的对象的全体能构成一个集合。教师可通过实例：（1）我们班中的每一名学生都是确定的，而且也没有相同的，因此我们班学生的全体能构成一个集合。（2）我们班中的美丽的女学生是不确定的，因为“美丽”这个词没有精确的定义，所以我们班美丽的女学生不能构成一个集合。（3）“good中的英文字母的全体”能构成一个集合，因为该集合中的不同英文字母只能是g，o，d三个，尽管o这个字母在单词good出现过两次，但也只能在该集合中看成一个。
通过以上实例让学生们深刻理解“集合”这个概念中的“确定的”、“不同的”两个关键词的准确含义。
如在“数列”的学习中，数列的定义为：按一定次序排列的一列数.看似简单的一句话，学生理解起来却并不乐观.很多学生对于“一定次序”四个字理解不到位，怎么样才算是‘一定次序’？”教师可以通过书本中一个例子：我国参加6次奥运会获金牌数依次为15，5，16，16，28，32，如果交换其中的数字5和16的位置，还能表达原来的含义吗？
显然不能，通过这个例子的讲解来帮助学生理解“一定次序”的准确含义；“同学们都知道1，3，5，7，…是数列，那么1，3，1，3，1，3，…是否也算是数列呢？ 2，4，6，8，10和10，8，6，4，2是不是属于同一数列？”在学生分组讨论之后，教师强调关键词 “一定次序”的含义，这样学生自然就能得出结论：如果组成两个数列的数是相同的而排列次序是不同的，那么它们就是不同的数列；既然定义中并没有规定数列中的数必须不同，那么同一个数在数列中可以重复出现。
（2）逐层分析，通过归纳现象找出规律，从而抓住概念的内在含义。
数学概念中符号式子具有高度的概括性，教师可以通过对符号式子进行逐层分析来理清概念的内在含义，从而达到抓住概念本质的目的.因此，教师在概念教学的过程中，要注意逐层地对概念进行展开分析整理，一方面深化学生对概念的理解和掌握，另一方面以培养学生思维的周密性、严谨性。
如在“奇函数概念”的学习中，教师可将其从图形与数式两方面进行分解，通过观察 图形，发现当自变量 取一对相反数时，通过计算得出 亦取得相反数，可得出它们关于原点对称对称；例如 ， ，…，进一步分析可知图像上的每一点关于原点都有对称点，而每一点都和唯一的一个数对一一对应，也就是它们的横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数，用数学式子可高度概括表示为： 。同样在“偶函数概念”的学习中，教师可让学生仿照“奇函数概念”的讲解过程进行类比对照理解学习。然后再强调：（1）式子 中的 与 的含义是代表着定义域中的任意一对相反数，即“函数的定义域必须关于原点对称”；（2）“定义域内任一个”是指对定义域内的每一个 ；（3）判断函数奇偶性的第一步是看定义域。通过这样由表及里的剖析、讲解，学生对概念的理解也能够从表层深人到其本质。
实际上，1366875元在已知各个定价对应的收入中是最大的，但是不可能实现，因为定价为1350元，收入至少是10的倍数，这是理论与实际的差距。
建模体会与反思
用函数的方法研究实际问题能够获得最大利润，能够解决最优化问题，尽管得到的结果可能与实际有出入，但是，它的建模和求解过程已经告诉我们答案了：数学是有用的，数学是可靠的。传统数学应用题的问题明确，条件一般都是充分的，而数学建模的问题一般来自实际，问题中的条件往往是不充分的、开放的或多余的，有时甚至要求学生自己动手去收集数据、处理信息。在建模的过程中作一定的假设是必须的，而传统数学应用题一般不需要假设。数学建模的讨论与验证比传统数学应用题的检验要复杂得多，不仅要验证所得到的模型解是否符合，而且要考察它们与假设是否矛盾，与实际是否吻合等等。
通过小组成员之间的合作与探讨从而加深对“数学建模”含义的理解。
（2）辨析质疑
正如亚里士多德所说：“思维从疑问和惊奇开始.”反思、质疑是数学学习深化的重要途径.在质疑的过程中，学生往往能够在细小的“漏洞”中，发现数学问题，窥见具有一般性的数学规律.因此，教师在概念的应用过程中要鼓励学生敢于质疑、敢于发问，以培养他们的思辨能力和质疑精神。
如在学习“函数”的概念之后，不少学生虽然对“定义域”印象深刻，但在实际做题目的运用中往往抛之脑后，忽略了定义域优先的原则.可以通过下面例题进一步加深对定义域优先的理解。
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