时间：2023-09-14 17:39:21
导语：在三角函数变换规律的撰写旅程中，学习并吸收他人佳作的精髓是一条宝贵的路径，好期刊汇集了九篇优秀范文，愿这些内容能够启发您的创作灵感，引领您探索更多的创作可能。
自2007年湖南省全面进入新课程标准教材教学以来，我们就高中数学必修5个模块的呈现顺序和呈现方式以课题研究形式进行了有益的探索。不仅在呈现顺序上，尽量保持旧教材的逻辑系统和知识体系，以适应学生的认知特点和系统的知识学习和掌握，同时考虑到教学在学习其他学科中的工具性，调整优先学习三角函数主干知识，以便于学生学习高一物理时能彰显数学工具作用，以回归旧教材数理多年磨合形成的协调一致性的整体推进形式。为此，我们对5个必修模块的呈现顺序采用了1-4-2-5-3的模式。经过近几年教学实践研究证明，这是一种较为合理的呈现顺序。
（1）必修1后接着学习必修4有利于对基本初等函数有一个系统掌握。函数是初中阶段学生已经接触过的知识点，但初中是用变量与变量间关系来介绍函数概念的，其重点是研究函数解析式；而高中的函数概念则是在映射观点下的对应学，是建立在非空数集之间的一种对应关系。它的表现形式除解析式外，还可以运用图象或列表。它的核心是三要素――定义域，对应法则及值域，而且函数可由定义域和对应法则完全确定。在此基础上我们还研究了函数的单调性，奇偶性等性质，还学习了指数函数，对数函数及幂函数三种新的基本初等函数。回头我们还用它们进一步理解了函数的概念。但对于函数概念理解难以达到完美，这样需要我们学习另一类基本初等函数――三角函数。与其他函数相比它是具有很多重要的特征，它以角为自变量，是周期函数，同时也是解决其他函数问题的重要工具，与后续学习的很多内容有联系，是深化函数性质的极好教材。因此，接着必修1后学习必修4让我们对基本初等函数有一个整体掌握，形成一串牢固的知识链条。
（2）必修1后接着学习必修4有利于高一物理等学科的学习。新课程开始几年，我们按1-2-3-4-5顺序安排5个必修模块，结果发现学生在高一第一学期学习物理需要的三角函数和向量的知识，要在高一第二学期才能学习，从而造成物理老师上数学课的现象。然后我们成立课题组，通过对按1-2-3-4-5和1-4-2-5-3两种模式学科的不同年级进行全面跟踪研究后，发现后一种选课模式基本上解决了上物理课时数学知识滞后的问题，从而真正实现了新课程标准要求的“人人学会自己须用和会用的数学”的大众数学理念。
2. 第一章三角函数部分知识点教学设计与生成后的思考
（1）任意角的三角函数的概念。三角函数概念的发展前后经历了4000多年，就初、高中教材体系而言，首先初中是把正弦、余弦、正切定义为直角三角形的边长之比。因此，初中讨论“三角函数”仅限于三角形内的三角函数。它解决的问题限于平面图形相关的几何问题。由于我们不能把任意角的三角函数看成锐角三角函数的推广（或一般化），所以在高中学习的任意角三角函数内容应该是以函数的眼光对待，把对它的学习作为理解函数一些性质，如周期性。强调三角函数是用于刻画生产生活中周期性发生变化的一个经典模型。为了建立角度集合与实数集间的一个对应，教材引入了弧度制。接下来就用单位图给出了任意角的三角函数。教学中，大多数教师从给学生回顾初中锐角三角函数定义入手，然后让学生考虑如何将锐角三角函数推广到任意角三角函数，这样的方式会使学生觉得任意三角函数是锐角三角函数的一种推广。这样方法会有以下不足：①没有讲明高、初中学习的三角函数研究方法本质上不同，容易引起概念的混淆。②没有利用好单位图。其实单位图是函数周期性的一个很好体现，它是学生后续学习逐步认识三角函数周期性的重要模型。
理解三角函数概念我们要多视角，如几何的、代数的、解析的等。教师的教学也不能将三角函数概念理解局限于一节课，一个章节里，了解学生的学习更是一个循序渐进的过程，因而在整个单元教学中应做到反复重视学生对任意角的三角函数概念理解的情况，从而达到对函数概念理解的又一次升华。
（2）正弦函数，余弦函数的图象与性质。我们知道，实数集与角的集合之间可以运用度与弧度的互化建立一一对应关系。而一个确定的角又对应着唯一确定的正弦（或余弦）值，于是，给一个实数x，有唯一确定的值sinx （或cosx）与之对应，由这个对应法则所确定的函数y=sinx（或y=cosx）叫做正弦函数（或余弦函数），其定义域为R。
《必修4》在讲述三角函数后，将简谐运动作为正弦（型）函数图象的教学情景和应用。而普通高中物理课程标准在选修模块《选修3-4》才介绍简谐运动。显然，高一物理课程不讲授简谐运动，因此，高一第一学期教授学生三角函数时，将简谐运动作为正弦（型）函数图象的教学情景应用就不合适了。为此，我们采用圆周运动或教室里日光灯的电流强度随时间变化的规律作为教学的情景，因为它们的变化都呈现了周期性规律。
通过上述实验或例子，对正弦函数和余弦函数的图象形成一个较直观的印象后，我们运用单位图中的正弦线来画比较精确的正弦函数图象。在进行教学设计时，为了培养学生的学习能力和实践操作能力，首先我们课前设计了一个3～4分钟时间可播放完的“微视频”，将运用单位图中的正弦线画正弦函数图象分步展示给同学。在实验操作完备后展示给同学们课堂上集中观看“微视频”。当视频播放结束后，我们把预先设计好并打印的坐标纸发给每一个学生，给学生5分钟时间完成用单位图中的正弦线作y=sinx，x∈[0，2π]， 的图象。当时学生表现出十分高的学习热情。制图完成后抽样展示时发现都完成得十分认真。当老师再此提出如何获得y=sinx，x ∈R的图象时，绝大多数同学能回答出将图象左、右平移（每次2π个单位长度）即可。这都是前面的实验呈现出重复次数的周期性规律的成果。至于由y=sinx，x∈R的图象获得y=cosx，x∈R的图象，学生们还回答出通过单位图中余弦线或由公式cosx=sin，将y=sinx向左平移即得。
当然，这堂课的最后成果不仅仅是获得正弦函数和余弦函数的图象，而是从图象上观察出5个关键点决定正弦函数和与弦函数在长度为一个周期内的图象，如y=sinx，x∈[0，2π] 的图象上起关键作用的点为（0，0），（π，0），（2π，0），在精确度要求不太高时，找出了这五个点，再用光滑曲线连接，就可以得到函数的简图。这就形成了今后我们研究正弦（型）和余弦（型）函数图象简图的通法“五点法”。本堂课产生知识环节的教学设计是：实验―尝试―探究―提炼。四步骤体系新课程标准课堂教学以学生为本，以学生主动学习为本的理念。贯穿于教学全过程就是教师主体引导下的学生主体活动由浅入深地连续开展，更符合运用数形结合的手段研究函数的一般规律。
（3）函数y=Asin（？Ax+？渍）的图象。在A>0，？A>0的条件下，如何由y=sinx 的图象经变换获得y=Asin（？Ax+？渍）的图象呢？教材上在探究每种变换时，并没有用具体例子通过人工画图象后提炼规律，而是运用电脑软件――几何画板的功能代替了，这样过程令学生眼花缭乱，其变换规律难以体验到位。因此，在我们的教学中，对于每种变换我们均设计例子并引导学生在课堂上动手用五点法操作，然后再结合电脑动画进一步体验规律。这样的教学设计表面上因让学生动手操作花了一些时间而“降低了”课堂效益，其实际上经学生动手的过程体验而形成了理解性的知识规律，最后引导学生探讨“图象变换”法的具体过程。如何由y=sinx的图象经历平移变换和伸缩变换得到y=Asin （？Ax+？渍）的图象，每经历一部变换，五个关键点须作相应的变换，每一步变换却抓住了这五个关键点，得到的简图就可据“五点法”画出。这样学生不但掌握了研究这类函数图象的两类方法，而且了解了两类方法各自作用和互相联系性。
3. 教学后的启示与反思
（1）数学教师应该具有独立处理教材，研究并合理运用好教材的能力，而不是照本宣科。随着新课程改革向纵深发展，从传统的“教教材”到现在的“用教材教”理念的转变已经深入人心。教材仅是课程标准下提供给教师教学、学生学习知识的一个重要载体，但不是唯一载体。
在教学中，我们既考虑如何充分利用好教材，但又不能被教材所困。这就是需要吃透课程标准的前提下深入研究并发现学科知识本质的东西，尤其是考虑到“因材施教”，对于教材一些“启”而未“发”的内容，我们可考虑重新按认知观设计教学，教师做到对教材上一些概念、定理、公式、法则充分理解的前提下传授给学生。比如：在研究三角函数的单调性时，学生总是吃不透函数单调性概念必须指明在特定的区间上，二者不可分割。因此出现有的同学提出y=sinx，x∈R在第一象限内是增函数问题时，教师必须强调象限角不是区间角，二者不能等同。我以y=在（-∞，0）和（0，+∞）内分别是减函数，而不能讲y=在其他定义域内是减函数为例，考虑它的定义域已经不是独立的区间了。文章第二部分提到几个问题，也正好是体现了“用教材教”的理念。
（2）教学设计与生成应熟悉基本课型，规范操作须始终把学生的发展摆在首位。教学工作的主阵地是课堂。因此，学科教学能力是任何一个数学教师必须具备的基本能力。通常说教学有法，教无定法。所谓“有法”就是指教学应遵循一定教学规律与原则，每位数学教师应对新课程标准下高中数学教学基本课型“概念课”“习题课”“复习课”等进行系统梳理与探究，形成个人课堂教学的风格，而“教无定法”则是将其运用在具体课时进行教学设计与生成时做到“因时制宜”灵活使用。
如何在教师的教学工作中，始终将学生的发展放在首位？我想必须从以下几点入手：①在教学设计时教师必须站在教学者的角色上，按知识产生发展及生成的认知规律去思考教学的基本环节；②教学生成做到问题引入尽量给出合适的情景，探究知识过程中通过预设好适合的问题串，引导学生充分思考后步步为营朝知识产生的路径推进，切忌用师生交流替代生生间交流，培养学生学习过程中同伴互助的团队精神，以达到既学习到学科知识，又提升了学科学习的文化素养，从而形成较完美的学习过程。尤其是课堂结束时的总结，更适合在学生间的交流与对话中形成，从而全面培养学生的自主学习能力；③作为课堂学习的延伸，教师在布置学生课外作业时，一方面要做到基础性与综合性比例适当，重视课本习题在巩固知识与方法的基础作用和引领作用，对于教辅上的习题，必须做到适当的取舍，考虑到学生层次差异可布置适合每层学生发展的习题；另一方面必须留出时间给学生对明天学习内容的预习，必要时可给学生提供学习新知的自学提纲或突破知识学习重难点的“微视频”，以充分调动学生预习的灵动性，服务于明天的课堂。
（3）科学又适时的教学评价为师生教与学提供反思的素材。数学教师应立足工作实际，关注常态课堂。对于每一堂课，课前应认真进行教学目标分析，教学重难点确立，教学环节预设，板书合理设计等工作。同时在教学生成过程中，要适时用好学生学习过程性评价，特别关注学生课堂上主动思考后参与教师设问的回答。参加课堂上学习小组的研讨与交流及课堂上在教师指导下的练习成果展示，尤其是课堂上练习的评价，教师可改过去一问一答的方式，而是通过一定数量的抽查，借助网络直接传送到教室媒体给大家展示，展示后的现场点评也无须由教师一个人包办，可请同学上台点评并说出自己的不同想法，让整个课堂都动起来。通过这种过程性评价，极大调动学生主动学习与合作学习能力，教师适时做好活动后的推手，让活动在不断培养学习成功的成就感中风声水起，学习过程的反思就会在这种全员参与过程中落到实处。上述活动是否能达到目的，其中一个关键就是在教学设计时必须设计好检验学生学习状况的目标检测题，在这些检测题命制时是否领会了蕴含的数学思想。因此，命制目标检测题必须围绕教学目标、教学重点，更要体现试题层次性，如：研究y=Asin 图象时，第一层次是“五点法”画出它的图象，属基本题；第二层次是“变换法”由y=sinx图象经变换后得出它的图象；第三层次则是逆向设计，即如何由y=Asin 的图象经变换得出y=sinx的图象或者已知y=Asin 的图象经若干次线性变换后的解析式，求原函数y=Asin 的解析式，从而训练学生的逆向思维式发散性思维，促进学生数学思维碎片的提升。
【关键词】三角函数；化简；求值；图像；性质；应用
三角函数是高考的热点和重点，每年都会在主观题和客观题上出现它的身影。三角函数具有一般函数的性质，还具有自己独特的特性――周期性和对称性，使其产生并可以解决的问题内容多样、丰富多彩。在每年的高考中，围绕三角函数的考题具有新意，给人新颖的感觉，这已经成为了高考命题的热点。下面就三角函数在高考中如何考，谈谈自己的几点看法：
一、三角函数的化简、求值、求最值
三角函数式的化简、求值及求最值是高考考查的重点内容之一 通过三角函数学习使学生掌握化简和求值问题的解题规律和途径，特别是要掌握化简和求值的一些常规技巧，优化学生的解题效果，做到事半功倍。
求值问题的基本类型及方法：①“给角求值”一般所给的角都是非特殊角，解题时应该仔细观察非特殊角与特殊角之间的关系，通常是将非特殊角转化为特殊角或相互抵消等方法进行求解；②“给值求值”即给出某些角的三角函数（式）的值，求另外的一些角的三角函数值，解题关键在于：变角，使其角相同；③“给值求角”关键也是：变角，把所求的角用含已知角的式子表示，由所求得的函数值结合该函数的单调区间求得角；④化简求值。
.
三角函数的化简、求值及求最值的难点在于：众多的公式的灵活运用和解题突破口的选择，认真分析所给式子的整体结构，分析各个三角函数及角的相互关系是灵活选用公式的基础，是恰当寻找解题思维起点的关键所在。
二、三角形中的三角函数，即解三角形
分析近几年的高考试卷，有关解三角形的问题几乎是每年必考内容.试题主要是考查正、余弦定理及其变式或推论的内容及简单应用。解三角形的关键是在转化与化归的数学思想的指导下，正确、灵活地运用正弦、余弦定理、三角形的面积公式及三角形内角和等公式定理。
评注：三角函数与解三角形的综合性问题，是近几年高考的热点，在高考试题中频繁出现。这类题型难度比较低，估计以后这类题型仍会保留，不会有太大改变。解决此类问题，要根据已知条件，灵活运用正弦定理或余弦定理，求边角或将边角互化。
三、三角函数与其他知识交汇的设计题和应用题
此类问题主要考查与三角函数有关学科内综合问题，如与平面向量、不等式、数列、解析几何等相结合，多为解答题，考查三角函数实际应用。对待应用题没有什么通解通法，只要认真读题、审题，合理分析已知量间的关系，总是能够解决问题。解决三角应用题的关键是认真阅读题目，正确理解题意，运用所学知识建立适当的三角模型，准确无误的计算等，其基本步骤如下：
第一步，阅读理解，审清题意。读题要做到逐字逐句，读懂题中的文字途径，理解叙述所反映的实际背景，在此基础上，分析出已知什么，求什么，从中提炼出相应的数学问题。
第二步，搜集整理数据，建立数学模型。根据搜集到的数据，找出变化规律，运用已掌握的三角知识、物理知识及其他相关知识建立关系式，在此基础上将实际问题转化为一个三角函数问题，实现问题的数学化，即建立三角函数模型。
第三步，利用所学的三角函数知识对得到的三角函数模型予解答，求得结果。
第四步，将所得结论转译成实际问题的答案。
关键词：sinα±cosα；sinαcosα；关系
三角函数是历年高考的一个热点，除了书上涉及的知识点，由同角三角函数关系和二倍角延伸出的sinα±cosα与sinαcosα的关系，即（sinα+cosα）2=1+2sinαcosα=1+sin2α，（sinα-cosα）2=1-2sinαcosα=1-sin2α也是一个考点。本文从几道例题出发，就sinα±cosα与sinαcosα的运用举例说明。
一、sinα+cosαsinαcosα
例1.若sinα与cosα是方程x2-■x+n=0的两个根，则n= .
分析：本题通过韦达定理和sinα±cosα与sinαcosα的关系，求得n.
解：因为sinαcosα=n，sinα+cosα=■且（sinα+cosα）2
=1+2sinαcosα，所以2=1+2n，得n=■.
点评：本题主要考查韦达定理及sinα±cosα与sinαcosα的关系.
二、sinα+cosαcosα-sinα
例2.已知α为第二象限角，sinα+cosα=■，则cos2α= .
错解：因为sinα+cosα=■得1+sin2α=■
所以sin2α=-■.
又因为α为第二象限角，即2kπ+■
所以4kπ+π
所以cos2α=±■.
分析：
（1）利用同角三角函数关系，但要注意角的范围；
（2）利用已知条件与同角三角函数关系，求sinα和cosα；
（3）利用二倍角余弦公式建立所求与已知条件的关系.
解法一：因为sinα+cosα=■>0，且α为第二象限角 所以2kπ+■
即4kπ+π
又因为sinα+cosα=■得sin2α=-■
所以cos2α=■=-■.
解法二：因为α为第二象限角，且sinα+cosα=■sin2α+cos2α=1
得sinα=■+■cosα=■-■
所以cos2α=cos2α-sin2α=-■.
解法三：因为sinα+cosα=■，所以sinαcosα=-■则（cosα-sinα）2=■
又因为α为第二象限角，即cosα
点评：本题考查二倍角公式和同角三角函数关系的灵活运用.
三、sinαcosαsinα-cosα
例3.已知■=k（■
分析：利用同角三角函数关系、二倍角公式进行三角恒等变换，将已知条件与所求化到相同角，以便建立关系.
解：因为■=k，
得■=2sinαcosα=k
所以（sinα-cosα）2=1-k
又因为■
得sinα-cosα=■.
点评：本题主要考查二倍角公式、同角三角函数关系及与的关系，特别注意sinα-cosα的符号.
四、sinα+cosαsinαcosα
例4.求y=（1+sinα）（1+cosα）的最大值和最小值.
分析：利用sinα±cosα与sinαcosα的关系进行换元，减少变量，变成熟悉函数求最值.
解：y=（1+sinα）（1+cosα）=1+sinα+cosα+sinαcosα
令t=sinα+cosα（-■
则y=1+t+■=■（-■
所以ymin=0，ymax=■
点评：主要考查sinα±cosα与sinαcosα关系的运用情况，关键注意新元的范围和一元二次函数在指定范围求最值.
通过上述的四个例题发现，sinα±cosα与sinαcosα关系的使用不是单独存在的，其核心是掌握三角函数与三角恒等变换的相关公式，并能熟练进行运算，这样一切问题才会迎刃而解。
参考文献：
1.内容与要求
1.1 本章主要内容是任意角的概念、弧度制、任意角的三角函数、同角三角函数间的关系、诱导公式、两角和与差的三角函数、二倍角的三角函数，以及三角函数的图象和性质，已知三角函数值求角等
1.2 章头引言安排了一个实际问题――求半圆内接矩形的最大面积.这个问题可以用二次函数来解决，但如果设角度为自变量，就会得到三角函数式，学生尚未学过求它的最大值
第一大节是“任意角的三角函数” 教科书首先推广了角的概念，介绍了弧度制，接着把三角函数的概念由锐角直接推广到任意角（都用坐标定义），然后导出同角三角函数的两个基本关系式及正弦、余弦的诱导公式教科书在本大节的各小节中，都安排了许多实例以及知识的应用
第二大节是“两角和与差的三角函数” 教科书先引入平面内两点间距离公式（只通过画图说明公式的正确性，不予严格证明），用距离公式推出余弦的和角公式，然后顺次推出（尽量用启发式）其他公式，同时安排了这些公式的简单应用和实际应用，包括解决引言中的实际问题，引出半角公式、和差化积及积化和差公式让学生有所了解
第三大节是“三角函数的图象和性质” 教科书先利用正弦线画出函数 ，x∈[0， ]的图象，并根据“终边相同的角有相同的三角函数值”，把这一图象向左、右平行移动，得到正弦曲线；在此基础上，利用诱导公式，把正弦曲线向左平行移动个单位长度，得到余弦曲线接着根据这两种曲线的形状和特点，研究了正弦、余弦函数的性质，然后又研究了正弦函数的简图的画法，简要地介绍了利用正切线画出正切函数的图象以及正切函数的性质最后讲述了如何由已知三角函数值求角，并引进了arcsinx、arccosx、arctanx等记号，以供在后续章节中遇到求角问题时用来表示答案
1.3 本章的教学要求是：
1.3.1 使学生理解任意角的概念、弧度的意义；能正确地进行弧度与角度的换算
1.3.2 使学生掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义，了解余切、正割、余割的定义；掌握同角三角函数的基本关系式；掌握正弦、余弦的诱导公式
1.3.3 使学生掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式；掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式通过公式的推导，了解它们的内在联系，从而培养逻辑推理能力
1.3.4 使学生能正确运用三角公式，进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明（包括引出积化和差、和差化积、半角公式，但不要求记忆）
1.3.5 使学生会用单位圆中的三角函数线画出正弦函数、余弦函数、正切函数的图象，并在此基础上由诱导公式画出余弦函数的图象；理解周期函数与最小正周期的意义，并通过它们的图象理解这正弦函数、余弦函数、正切函数的性质；会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数的简图，理解A、、φ的物理意义
1.3.6 使学生会由已知三角函数值求角，并会用符号arcsinx、arccosx、arctanx表示
2.考点要求
2.1 理解弧度的定义，并能正确地进行弧度和角度的换算。
2.2 掌握任意角的三角函数的定义、三角函数的符号、同角三角函数的关系式与诱导公式，了解周期函数和最小正周期的意义，会求的周期，或者经过简单的恒等变形可以化为上述函数的三角函数的周期能运用上述三角公式化简三角函数式，求任意角的三角函数值与证明较简单的三角恒等式
2.3 了解正弦、余弦、正切、余切函数的图象的画法，会用“五点法”画正弦、余弦函数和函数的简图，并能解决正弦、曲线有关的实际问题
2.4 能推导并掌握两角和、两角差、二倍角与半角的正弦、余弦、正切公式
2.5 了解三角函数的积化和差与和差化积公式
2.6 能正确地运用上述公式简化三角函数式、求某些角的三角函数值 证明较简单的三角恒等式以及解决一些简单的实际问题
2.7 掌握余弦定理、正弦定理及其推导过程、并能运用它们解斜三角形
3.考点分析
三角函数是一种重要的初等函数，由于其特殊的性质以及与其他代数、几何知识的密切联系，它既是研究其他各部分知识的重要工具，又是高考考查双基的重要内容之一
本章分两部分，第一部分是三角函数部分的基础，不要求引入难度过高，计算过繁，技巧性过强的题目，重点应放在结知识理解的准确性、熟练性和灵活性上
试题以选择题、填空题形式居多，试题难度不高，常与其他知识结合考查
复习时应把握好以下几点：
3.1 理解弧度制表示角的优点在于把角的集合与实数集一一对应起来，二是就可把三角函数看成以实数为自变量的函数
3.2 要区别正角、负角、零角、锐角、钝角、区间角、象限角、终边相同角的概念
3.3 在已知一个角的三角函数值，求这个角的其他三角函数值时，要注意题设中角的范围，并对不同的象限分别求出相应的值在应用诱导公式进行三角式的化简、求值时，应注意公式中符号的选取
3.4 单位圆中的三角函数线，是三角函数的一种几何表示，用三角函数线的数值来代替三角函数值，比由三角函数定义所规定的比值所得出三角函数值优越得多，因此，三角函数是讨论三角函数性质的一个强有力的工具
3.5 要善于将三角函数式尽可能化为只含一个三角函数的“标准式”，进而可求得某些复合三角函数的最值、最小正周期、单调性等对函数式作恒等变形时需特别注意保持定义域的不变性
3.6 函数的单调性是在给定的区间上考虑的，只有属于同一单调敬意的同一函数的两个函数值才能由它的单调性来比较大小
3.7 对于具有周期性的函数，在作图时只要先作它在一个周期中的图象，然后利用周期性就可作出整个函数的图象
3.8 对于，，等表达式，要会进行熟练的变形，并利用等三角公式进行化简
本章第二部分是两角和与差的三角函数，考查的知识共7个，高考中在选择题、填空题和解答题三种题型中都考查过本章知识，题目多为求值题，有直接求某个三角函数值的，也有通过三角变换求函数的变量范围，周期，最小、大值和讨论其他性质；以及少量的化简，证明题考查的题量一般为3―4个，分值在12―22分，都是容易题和中等题，重点考查内容是两角和与差的正弦、余弦及正切公式，和差化积、各积化和差公式
考生丢分的原因主要有以下两点：一是公式不熟，二是运算不过关，因此复习时要注意以下几点：
3.8.1 熟练掌握和、差、倍、半角的三角函数公式复习中注意掌握以下几个三角恒等变形的常用方法和简单技巧
①常值代换，特别是“1”的代换，如：，，，等等
②项的分拆与角的配凑
③降次与升次
④万能代换
另外，注意理解两角和、差、倍、半角公式中角的实质，可以把公式中的角看成一种整体形式，可以锦成其他变量或函数，这样可加大公式的应用范围和力度
3.8.2 要会运用和差化积与积化和差公式对三角函数和差式，要善于转化为积的形式，反之亦然，对于形如的式子，要引入辅助角并化成的形式，这里辅助角所在的象限由的符号决定，角的值由确定对这种思想，务必强化训练，加深认识
3.8.3 归纳总结并熟练掌握好三角函数的化简与求值的常用方法和技巧
①三角函数化简时，在题设的要求下，首先应合理利用有关公式，还要尽量减少角的种数，尽量减少三角函数种数，尽量化同角、化同名等其他思想还有：异次化同次、高次化低次、化弦或化切、化和差为乘积、化乘积为和差、特殊角三角函数与特殊值互化等
②三角函数的求值问题，主要有两种类型 一关是给角求值问题；另一类是给值求角问题它们都是通过恰当的变换，设法再与求值的三角函数式、特殊角的三角函数式、已知某值的三角函数式之间建立起联系选用公式时应注意方向性、灵活性，以造成消项或约项的机会，简化问题
3.8.4 关于三角函数式的简单证明 三角恒等证明分不附加条件和附加条件两种，证明方法灵活多样一般规律是从化简入手，适当变换，化繁为简，不过这里的变换目标要由所证恒等式的特点来决定
①不附加条件的三角恒等式证明：多用综合法、分析法、在特定的条件下，也可使用数学归纳法
②附加条件的三角恒等式证明：关键在于恰当而适时地使用所附加的条件，也就是要仔细地寻找所附加条件和要证明的等式之间的内在联系常用的方法是代入法和消元法
三角恒等证明中要重点会用和差与积的互化公式，掌握等价转化的思想和变量代换的方法证明的关键是：发现差异――观察等式两边角、函数、运算间的差异；寻找联系――选择恰当公式，找出差异间的联系；合理转化促进联系，创造性地应用基本公式
而关于角的恒等式或条件恒等式的证明，一般来说，要证，先证明的同名三角函数值相等，即，再证明在三角函数的同一单调区间内，而后由函数的单调性得出
3.8.5 在解有关三角形的问题中，锐角三角函数的定义、勾股定理、正弦定理、余弦定理是常用的工具注意三角形面积公式，的妙用和三角形内角和的制约关系的作用
3.8.6 求三角函数最值的常用方法是：配方法、判别式法、重要不等式法、变量代换法、三角函数的单调性和有界性等其基本思想是将三角函数的最值转化为代数函数的最值
4.三角函数中应注意的问题
4.1 本章内容的重点是：任意角三角函数的概念，同角三角函数间的关系式、诱导公式及其运用，正弦、余弦的和角公式，正弦曲线的画法和正弦函数的性质难点是：弧度制的慨念，综合运用本章公式进行简单三角函数式的化简及恒等式的证明，周期函数的概念，函数的图象与正弦曲线的关系关键是：使学生熟练掌握任意角三角函数的定义，讲清余弦的和角公式的特征及其差角公式、正弦的和角公式的变化，正弦曲线的画法和正弦函数的性质
由于课时较紧，教学中应遵循大纲所规定的内容和要求，不要随意补充已被删简的知识点例如，三角函数基本上只讲正弦、余弦、正切三种；同角三角函数的基本关系式只讲，三个；除（k∈Z）外，其余诱导公式中，要求学生记住并能灵活运用的，只是用正弦、余弦表示那几个，以后求tan 可通过用科学计算器或者转化为来求；在推导正切的和角公式以及画正切函数的图象时，出现了正切的诱导公式，但这只作为推导的中间步骤，不要求学生记忆；积化和差与和差化积公式、半角公式也只是作为和（差）角公式的应用出现一下，结果不要求记忆，更不要求运用；此外，也不要补充“把化成一个角的三角函数的形式”这样的例习题
4.2 在讲述弧度制的优点、角度制的不足时，要注意科学性事实上，角的概念推广后，无论用弧度制还用角度制，都能在角的集合与实数集R及之间建立起一种一一对应的关系说“每个角都有唯一的实数与它对应”时，这个实数可以取这个角的弧度数，或度数，或角度制下的分数，或角度制下的秒数，所以对应法则不是唯一的，但每一种对应法则下对应的实数是唯一的所以不要认为只有弧度制才能将角与实数一一对应有的教师认为角度制的计量单位太小，而弧度制的计量单位大，而且可以省略不写，这种说法虽有一定道理，但在科学上并不具有充足的理由，因为小有小的好处，何况坐标系中两条数轴上的单位长度可以不一致关键在于用角度制表示角的时候，我们总是十进制、六十进制并用的，例如角其中61、21、12都是十进数，而度、分、秒之间的关系是六十进（退）位的，这样，为了找出与角对应的实数（我们学的实数都是十进数），要经过一番计算，这就不太方便了
4.3 定义了任意角的三角函数以后，严格地说，例如，只有，才可以说是正弦函数；六种函数统称三角函数，说明不是这六种函数的函数，都不能说是三角函数，例如可以说是2x的正弦函数（这时可说它是三角函数），也可以说是正弦函数与正比例函数的复合函数，但不能说是x的正弦函数另一点是函数的定义域，三角函数或与其相关的函数总是附带定义域的，所以教学中不宜随便说（或写）“正弦函数y=sinx”，需知“函数，”只是正弦函数的一个周期，不要把部分当作整体
4.4 关于已知三角函数值求角，在讲解相关例题时，可以利用设辅助角（即通过设辅助元素把未知转化为已知，这是化归思想的运用）来求解，把求解过程调整为：
4.4.1 如果函数值为正数，则先求出对应的锐角，如果函数值为负数，则先求出与其绝对值相应的锐角
4.4.2 决定角x可能是第几象限角
4.4.3 如果函数值为负数，则根据角x可能是第几象限角，得出 内对应的角――如果它是第二象限角，那么可表示为 ；如果它是第三或第四象限角，那么可表示为 或
也可以把上述辅助角看作参变量（x为自变量），那么所提供的方法就可以看作参数的应用新大纲把参数的知识分散在有关的教学内容中，教学时适时提醒学生注意使用，这是有好处的
4.5 本章所使用的符号及其用法，全部与国家标准所规定的取得一致，在板书中逐渐达到规范化 物理教科书也是这样做的因此在布置和批改作业时，对于本章中的几道与物理（力学、电学）有关的习题，解答时使用的符号及其用法，应与教科书上的相同，以免与物理教师讲课时的要求发生矛盾，弄得学生无所适从
学习三角恒等变换过程中，最难的是对公式的理解及灵活运用上.要想得心应手的应用三角公式，关键在于构建公式网络，理解其内在联系及相互转化关系.
本部分内容里，考生需要理解任意角三角函数的定义，以及同角三角函数的基本关系.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.在此基础上，能运用上图所述公式进行简单的恒等变换.
一、活用定义，巧妙解题
定义是对数学对象本质特征的刻画，因此定义是研究问题的基础和出发点，是揭示概念内涵的逻辑方法. 我们已经通过单位圆定义法得出了任意角三角函数的定义，从定义也导出了同角三角函数的基本关系式和诱导公式，为我们进一步研究三角函数性质奠定了基础.从这个意义上说，牢固掌握三角函数的定义是学好三角函数的根本保证.
考题1. 已知角？琢的终边经过点（-4，3），则cos？琢=（ ）
A. B. C. - D. -
【解析】根据余弦函数定义，cos？琢=y，其中y是角？琢的终边与单位圆交点的纵坐标，根据三角形相似可知y==-.答案选D.
【点评】本题是课本例题的一个改编，课本原题为“已知角？琢的终边经过点（-3，-4），求角？琢的正弦、余弦和正切值.”主要考查考生对单位圆定义法、三角形相似的判定定理的理解.从而进一步体会三角函数“终边定义法”与“单位圆定义法”一致性.
相关链接1. 已知tan？琢=2，那么cos2？琢= .
【解析】cos2？琢====-.
【点评】本题为“知切求弦”题型，基本的解决思路是根据同角三角函数的基本关系式，列出方程tan？琢==2，sin2？琢+cos2？琢=1，求出sin？琢，cos？琢的值，从而根据二倍角公式cos2？琢=cos2？琢-sin2？琢可得结论.但是按这种方法解题时，需要注意tan？琢=2时，角？琢可以是第一象限角，也可以是第三象限角，所以需要分类讨论，但是结果是一致的.此外，本题也是标准的二次奇次式问题，也可以直接化弦为切，从而求值，也就是上面的解析.与此类似，2014丰台一模理第9题：“已知tan？琢=2，则的值为_____.”也是类似的解法.
二、化切为弦，关注通法
根据同角三角函数的基本关系式，我们知道tan？琢=，由于正弦和余弦的性质是我们熟悉的，所以在这样转化之后问题通常可以获得解决.其实通过“化切为弦”“正余互化”等途径来减少或统一所需变换的式子中函数的种类，这就是变换函数名法.它实质上是“归一”思想，通过同一和化归以有利于问题的解决或发现解题途径.
考题2. 设？琢∈（0，），？茁∈（0，），且tan？琢=，
则（ ）
A. 3？琢-？茁= B. 3？琢+？茁= C. 2？琢-？茁= D. 2？琢+？茁=
【解析】tan？琢=？圳=？圳sin？琢cos？茁=cos？琢（1+sin？茁）？圳sin？琢cos？茁-cos？琢sin？茁=cos？琢？圳sin（？琢-？茁）=cos？琢;
？琢∈（0，），？茁∈（0，），-
又cos？琢>0，0
所以？琢-？茁=-？琢，即2？琢-？茁=.答案选C.
【点评】本题是一道标准的化切为弦问题，全面考查了考生对“化切为弦”思想的了解，以及两角差的正弦公式.此外，考生也必须明白“对于锐角？琢，？茁，如果sin？琢=cos？茁，那么？琢，？茁互余”.本题另外一种解法如下：
tan？琢=======tan（+）.
？琢∈（0，），？茁∈（0，），
所以+=？琢，即2？琢-？茁=.
除本题外，考生尝试用不同方法解决课本练习“求证：=”.
相关链接2. 4cos50°-tan40°=（ ）
A. B. C. D. 2-1
【解析】
4cos50°-tan40°=
==
=
==.答案选C.
【点评】解决本题，考生不仅需要注意“化切为弦”，同时还得注意sin？琢=sin（？仔-？琢），同时注意到系数2倍的关系，整理即可.
三、正难则反，公式逆用
按常规的思路，大家习惯公式的正用，而不习惯“倒着想，反着用”.如果说公式的正用是拆分的过程，那么公式的逆用则是合并的过程.从思维上来讲，公式的逆用，体现了逆向思维，是一个配凑的过程，更体现了构造的思想，因此要求更高.
公式逆用中，考题最常涉及的当属辅助角公式了.在用辅助角公式时经常会涉及到三角函数中的二倍角公式，两角和与差的正、余弦公式.由于内容丰富，所以本部分内容命题形式不拘一格，对考生有比较高的要求.
考题3. 已知函数f（x）=cosx・sin（x+）-cos2x+，x∈R.
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期;
（Ⅱ）求f（x）在闭区间[-，]上的最大值和最小值.
【解析】（Ⅰ）由已知，有f（x）=cosx・（sinx+cosx）-cos2x+
=sinxcosx-cos2x+
=sin2x-（1+cos2x）+
=sin2x-cos2x
=sin（2x-）.
所以，f（x）的最小正周期为T==？仔.
（Ⅱ）因为x∈[-，]，所以2x-∈[-，].
于是，当2x-=，即x=时，f（x）取得最大值;
当2x-=-，即x=-时，f（x）取得最小值-.
所以，函数f（x）在闭区间[-，]上的最大值为，最小值为-.
【点评】本题不难，属常规问题.第（Ⅰ）问需要考生注意公式化简.而第（Ⅱ）问则需要注意三角函数定区间的最值问题.请各位考生注意，三角函数一章的公式必须熟练掌握.而在第（Ⅰ）问化简时考查知识点主要包括：正用两角和的正弦公式、逆用二倍角公式、逆用两角差的正弦公式.这种类型问题非常常见，大多数省市高考题均有涉及.
相关链接3 化简cos20°・cos40°・cos80°.
【解析】=cos20°・cos40°・cos80°=
=
=
=
=.
【点评】观察本式特征，20°与40°之间为二倍角关系，40°与80°之间也为二倍角关系. 所以我们尝试应用二倍角公式，添加分母，并同乘sin20°，则能很好利用正弦的二倍角公式.最终约分可得结果.
四、抓住整体，重点突破
前面我们已经构建了三角恒等变换的公式网络，这些公式意图通过已知的形如单角？琢，？茁的三角函数值来求出形如复合角“？琢±？茁，2？琢”等的三角函数值.出于公式的简洁性要求，更是出于角之间相互明了关系的表示，这里的已知角？琢，？茁写成了单角的形式，但这并不意味着具体问题中的角一定就是这样的简洁形式，我们还是要从整体着眼，关注整体间的关系.
考题4. 设？琢为锐角，若cos（？琢+）=，则sin（2？琢+）的值为 .
【解析】 0< ？琢 <， < ？琢 +<+=.
cos（？琢+）=， sin（？琢+）=.
sin（2？琢+）=2sin（？琢+）cos（？琢+）=2・・=.
cos（2？琢+）=.
sin（2？琢+）=sin（2？琢+-）=sin（2？琢+）cos-cos（2？琢+）sin=・-・=.
【点评】本题中有？琢与2？琢的两倍关系，但是2？琢+与？琢+之间不是两倍关系，所以我们需要对其进行进一步整理.，2（？琢+）=2？琢+-到这一步，命题者的思路就清楚了：先用关于角？琢+的二倍角公式求出角？琢+的正弦值和余弦值，再用两角差的正弦公式即可求出结果.与本题类似，有很多问题都可以类似解决，如“设tan（？琢+？茁）=tan（？茁-）=，则tan（？琢+）= .”只需要知道？琢+=（？琢+？茁）-（？茁-）即可.
相关链接4. 已知函数f（x）=sin（3x+）.
（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间;
（Ⅱ）若？琢是第二象限角，f（）=cos（？琢+）cos2？琢，求cos？琢-sin？琢的值.
【解析】
（Ⅰ）因为函数y=sinx的单调递增区间为[-+2k？仔，+2k？仔]，k∈Z，
由-+2k？仔≤3x+≤+2k？仔，k∈Z，得-+≤x≤+，k∈Z.
所以，函数f（x）的单调递增区间为[-+， +]，k∈Z.
（Ⅱ）由已知， 有sin（？琢+）=cos（？琢+）（cos2？琢+sin2？琢），
所以sin？琢cos+cos？琢sin=（cos？琢cos-sin？琢sin）
（cos2？琢-sin2？琢），
即sin？琢+cos？琢=（cos？琢-sin？琢）2（sin？琢+cos？琢）.
当sin？琢+cos？琢=0时，由？琢是第二象限角，知？琢=+2k？仔，k∈Z.
此时，cos？琢-sin？琢=-.
当sin？琢+cos？琢≠0时，有（cos？琢-sin？琢）2=.
由？琢是第二象限角，知cos？琢-sin？琢< 0，此时cos？琢-sin？琢=-.
综上所述，cos？琢-sin？琢=-或-.
【点评】本题第（Ⅰ）问考查正弦函数的单调性，第（Ⅱ）问考查三角函数的恒等变换.在第（Ⅱ）问中，考生需要注意我们要求的是cos？琢-sin？琢这个整体的值，所以我们不需要单独求得sin？琢与cos？琢的值.此外，在整理的过程中，要注意转化的等价性，换句话说，不能直接认为cos？琢+sin？琢≠0从而直接约分.
五、树立目标，提高效率
三角恒等变换是有一些基本的模式，但是如果以为掌握了这些所谓的方法和技巧，就能够通过套用“公式或套路”就能够顺利解决问题，那就大错特错了.要想顺利的解决三角恒等变换问题，出来熟悉公式网络以外，还要有强烈的目标意识，在目标的引领下，将已知条件进行转化，逐步推进，直至导出结论.
考题5. 对于任意的？兹，求32cos6？兹-cos6？兹-6cos4？兹-15cos2？兹的值.
【解析】因为32cos6？兹=32（）3=4cos3 2？兹+12cos2 2？兹+12cos2？兹+4，
-cos6？兹=-4cos3 2？兹+3cos2？兹，
-6cos4？兹=-12cos2 2？兹+6，
-15cos2？兹=-15cos2？兹，
所以，各式相加，得32cos6？兹-cos6？兹-6cos4？兹-15cos2？兹=10.
【点评】初次接触本题，大多数考生都会感觉无从下手，因为这里的函数虽然都是余弦，但是角包括了？兹，2？兹，4？兹，6？兹，如果想把角都化简到？兹，明显工作量太大，毕竟涉及到了6倍角.所以我们把目标定位2？兹，这样4？兹是2？兹的二倍角，6？兹是2？兹的三倍角，？兹是2？兹的半角，操作起来必然事半功倍.
六、适当推广，提高能力
现在很多的考生都要参加各个学校组织的自主招生考试，自主招生试题与普通高考试题比起来，出题形式更加灵活，知识面更广、更深，对考生的能力要求更高.
考题6. 若cosxcosy+sinxsiny=，sin2x+sin2y=，则sin（x+y）= .
【解析】因为cosxcosy+sinxsiny=cos（x-y）=，
sin2x+sin2y=2sin（x+y）cos（x-y）=;
所以sin（x+y）=.
【点评】本题需要考生了解和差化积公式.其实，补充上和差化积与积化和差公式，以及万能公式的知识网络如下：
相关链接5. 已知sinx+siny=，cosx-cosy=，求cos（x+y），sin（x-y）.
【解析】由sinx+siny=，得sin2x+sin2y+2sinxsiny=……①
由cosx-cosy=，得cos2x+cos2y-2cosxcosy=………②
两式相加，得2-2cos（x+y）=+=，
所以cos（x+y）=1-=.
又由sinx+siny=，得2sincos=…………③
由cosx-cosy=，得-2sincos= …………④
两式相除，得tan=-，
所以sin（x-y）==
-=-.
【点评】本题要求的cos（x+y）=cosxcosy-sinxsiny，里面有cosxcosy和sinxsiny，而如果注意到已知条件只需要平方处理，也会包含cosxcosy和sinxsiny，并且由于cos2x+sin2x=1，容易得cos（x+y）的值. 而要求sin（x-y）的时候，则需要考生对和差化积公式有相当的了解.
例1 在RtABC中,各边的长度都扩大3倍,那么锐角A的三角函数值( ).
A.都扩大3倍B.都扩大4倍
C.不能确定D.没有变化
错解:A.
错因分析:三角函数的值是直角边与斜边或直角边与直角边的比值,三角形三边都扩大3倍后的三角形与原三角形相似,所以直角边与斜边或直角边与直角边的比值不变.错解没有真正理解三角函数的意义.
正解:D.
点拨:三角函数的值是直角边与斜边或直角边与直角边的比值,大小只与角的度数有关,与边的大小无关.
二、未能理解符号意义
例2 下列命题:①sinα表示角α与符号sin的乘积;②在ABC中,若∠C=90°,则c=αsinA成立;③任何锐角的正弦和余弦值都是介于0和1之间实数.其正确的为().
A.②③B.①②③ C.② D.③
错解:B.
错因分析:sinα是一个数学符号,不能理解为是α与符号sin的乘积的关系.因此①错;在ABC中,若∠C=90°,则sinA=,c=,所以②不正确;所以只有③正确.
正解:D.
点拨:锐角三角函数符号是一种表示方法,不要认为是运算符号.
三、忽视分类讨论
例3 RtABC的两条边分别是6和8,求其最小角的正弦值.
错解:因为6和8是直角三角形的两边,所以斜边是10,所以最小角的正弦值是即.
错因分析:已知条件中并没有告诉6和8是两条直角边,所以本题应分两种情况:
(1)6和8是两条直角边;(2)6是直角边,8是斜边.错在忽视了第2种情况.
正解:当6和8是直角边时,斜边是10,所以最小角的正弦值;
当6是直角边,8是斜边时,则另一直角边是=2,最短边是2,所以最小角的正弦值为=.
综上可知,最小角的正弦值或.
点拨:在直角三角形中,给出两边,在没有说明是直角边或斜边的情况下,要分这两边是直角边与所给的长边是斜边两种情况来讨论.
四、主观臆断
例4在RtABC中,∠C=90°,AB=4,BC=2,则sin=_______.
错解: 因为sinA===,所以sin=.
错因分析:本题错在将∠A一半的正弦值看作是∠A的正弦值的一半.实际上, 它们是不相等的.如sin90°=1,而sin45°=.本题正确的解法是先求出∠A的度数,然后再求其正弦值.
正解:因为sinA===,所以∠A=60°,所以=30°,所以sin= .
点拨: 求一个角一半的三角函数值,应先求出这个角的度数,然后再求其三角函数值,一定不能用三角函数值的一半作为角一半的三角函数值.
五、特殊角的三角函数值变换不清
例5 锐角α满足
A.30°
C.45°
错解:A.
错因分析:正弦值与正切值都随度数的增大而增大,而余弦值是随度数的增大而减小(在锐角范围内).本题错在没有准确掌握特殊角的三角函数,将特殊角的三角函数值张冠李戴,混淆了锐角的正弦值、余弦值的变化规律.
正解: cos60°=,cos45°=,
又cos60°
45°
点拨:在锐角范围内,正弦与正切可以看成是单调递增函数,即度数大三角函数值就大;而余弦正好相反.
六、忽视锐角三角函数值的范围
例6 已知α为锐角4tan2α-3=0,求tanα.
错解:因为4tan2α-3=0,所以tan2α=,两边同时开方得tanα=± .
所以tanα=± .
错因分析:锐角三角函数等于相应直角三角形边的比,所以tanα>0.
正解:因为4tan2α-3=0,所以tan2α=,两边同时开方得tanα=± ,因为tanα>0,所以tanα= .
点拨:锐角三角函数值的都是正数,在求解时不要忘记.
七、仰角、俯角概念不清
例7 如图1,直升机在长江大桥AB上方P点处,此时飞机离地面高度为am,且A、B、O三点在一条直线上,测得点A俯角为α,点B的俯角为β,求长江大桥AB的长度.
错解:在RtAOP中 ,tan∠APO=,
∠APO=α,
OA=OP•tanα.
在RtBPO中,∠BPO= β .
tan∠BPO= ,
OB=OP•tan∠BPO .
AB=OA-OB=OP(tanα-tan β)
=a(tanα-tan β).
错因分析:俯角与仰角都是指水平线与视线所成的角,一个指向下看,一个往上看.本题错在把从P点观测A点的俯角误认为∠APO,从P点观测B点的俯角误认为∠BPO,只有弄清俯角才能避免该错误.
正解:根据题意得∠CPA=α,∠BPC= β,
∠PAO=α,∠PBO= β .
在RtPOA中,
cot∠PAO=,OA=OP•cotα .
在RtPOB中,
cot∠PAO=,OB=OP•cot β .
AB=OA-OB=OP•cotα-OP•cot β
=OP(cotα-cot β )
=a(cotα-cot β ).
点拨:弄清俯角与仰角是解决观测问题的关键.
八、忽视三角函数是应用在直角三角形中
例8 已知等腰ABC中,AB=AC=10, BC=12.求sin∠ACB的值.
错解:因为AC=10,BC=12,所以sin∠ACB==
=.
错因分析:本题错在没有理解锐角三角形函数所使用的范围.只有在直角三角形中,才能根据锐角的三角函数定义求值.解决本题可作高,构成直角三角形来求解.
正解:如图2,作ADBC于D,因为AB=AC=10,BC=12,所以BD=CD=6.
在RtABD中,AD===8 ,所以sin∠ACB===.
点拨: 当已知条件为非直角三角形时,不能用对边比邻边直接求三角函数值,而应构造直角三角形后根据定义求值.
例9 已知ABC中,∠A、∠B、∠C的对边分别a、b、c,且a=17,b=15,c=8,求sin∠B.
错解:根据锐角三角函数的定义知sin∠B== .
错因分析:要求∠B的正弦值,需要先确定ABC是否是直角三角形,如果是,要先确定出直角和∠B的对边,然后再利用定义求解.
三角函数是高考常考不衰的热点，统计表明，各地高考试卷中都保持着一大一小的格局，分值在17分左右，通常设置在靠前位置上，一般为基础过关题.从考查内容上看，三角函数的图象以及单调性、最值、函数[y=Asin（ωx+φ）]的图象的平移和伸缩变换以及根据图象确定[A，ω，φ]的值等问题，一直是高考的热点内容.特别是与三角恒等变换交汇命题，在考查三角函数性质的同时，又考查三角恒等变换的方法和技巧，注重考查函数与方程、转化与化归等思想方法.
命题特点
密切联系教材，试题通常是通过对课本原题的改编，通过对基础知识的重新组合、拓广，从学科整体意义的高度去考虑问题，从而成为立意高、情境新、设问巧、并富含时代气息、贴近学生的问题.
考查基础知识的掌握程度，考查既注意全面，更注意突出重点，对支撑数学科知识体系的主干知识，保持必要的深度.试题在考查知识的同时更注重数学方法的考查，倡导通性通法，淡化特殊技巧，较好地体现了以知识为载体，以方法为依托，以能力为考查目的的命题指向.在知识网络的交汇处设计试题已成为命题方向，试题综合程度、整合力度不断加大已是必然态势.注重内容的联系性和知识的综合性，既能从学科整体的高度和思维价值的高度考虑问题，又能使基础知识的考查达到必要的深度.
试题注重了对正弦形函数的考查，近三年来出现的核心题型是：先用三角函数各类公式将题目给出的函数转化为的标准形式，然后再考查正弦型函数的八个考点：单调性，奇偶性，周期性，对称性，值域，解析式，图象的变换，图象的应用.
[y=Asin（ωx+φ）]的图象和性质
图象变换是三角函数的考查的重要内容，解决此类问题的关键是理解[A，ω，φ]的意义，特别是[ω]的判定，以及伸缩变换对[φ]的影响.
例1 设函数[f（x）=cosωx（ω>0）]，将[y=f（x）]的图象向右平移[π3]个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则[ω]的最小值等于 （ ）
A. [13] B. 3 C. 6 D. 9
答案 C
点拨 本题主要考查三角函数的图象变换中的平移变换、伸缩变换，特别是函数[y=Asin（ωx+φ）]中的[ω]对函数图象变化的影响，应引起重视.
例2 已知函数[f（x）=sin（2x+φ）]，其中[φ]为实数，若[f（x）≤f（π6）]对[x∈R]恒成立，且[f（π2）>f（π）]，则[f（x）]的单调递增区间是 （ ）
A. [kπ-π3，kπ+π6（k∈Z）]
B. [kπ，kπ+π2（k∈Z）]
C. [kπ+π6，kπ+2π3（k∈Z）]
D. [kπ-π2，kπ（k∈Z）]
解析 若[f（x）≤f（π6）]对[x∈R]恒成立，
则[f（π6）=sin（π3+φ）=1]，
所以[π3+φ=kπ+π2，k∈Z]，即[φ=kπ+π6，k∈Z].
由[f（π2）>f（π）]，[（k∈Z）]可知，
[sin（π+φ）>sin（2π+φ）]，即[sinφ
所以[φ=2kπ+π6，k∈Z]，代入[f（x）=sin（2x+φ）]得，
[f（x）=sin（2x+π6），]由[2kπ-π2≤2x+π6≤2kπ+π2]得，
[kπ-π3≤x≤kπ+π6].
答案 A
点拨 考查正弦函数的有界性，正弦函数的单调性.属中等偏难题.
备考指南
1. 要立足于教材，弄清公式的来龙去脉及适用条件；
2. 要归纳解题思路及解题规律.
3. 近年高考命题强调以能力立意，加强对知识综合性和应用性的考查，跨学科应用是三角函数的一个鲜明特点，应注意知识点交汇处的题型.
限时训练
1.函数图象的两条相邻对称轴间的距离为 （ ）
A. [π8] B. [π4] C. [π2] D. [π]
2. 函数[y=（sinx+cosx）（sinx-cosx）]是 （ ）
A. 奇函数且在[0，π2]上单调递增
B. 奇函数且在[π2，π]上单调递增
C. 偶函数且在[0，π2]上单调递增
D. 偶函数且在[π2，π]上单调递增
3. 函数[y=tan（-x+π4）]的单调递减区间是 （ ）
A. [（kπ-π4，kπ+3π4）（k∈Z）]
B. [（kπ-3π4，kπ+π4）（k∈Z）]
C. [（2kπ-π4，2kπ+3π4）（k∈Z）]
D. [（2kπ-3π4，2kπ+π4）（k∈Z）]
4. 函数[f（x）=sinx-cos（x+π6）]的值域为 （ ）
A. [-2，2] B. [-3，3]
C. [-1，1] D. [-32，32]
5. 为了得到函数[y=sin2x]的图象，可将函数[y=sin（2x+π6）]的图象 （ ）
A. 向左平移[π12]个长度单位
B. 向左平移[π6]个长度单位
C. 向右平移[π6]个长度单位
D. 向右平移[π12]个长度单位
6. 将函数[f（x）=22sin2x+62cos2x]的图象向右平移[π4]个单位后得到函数[g（x）]的图象，则[g（x4）=] （ ）
A. [62] B. -1 C. [2] D. 2
7.函数[y=cosx・tanx-π2
[A] [B] [C] [D]
8. 函数[f（x）=Asin（ωx+φ）， （ω>0，|φ|
A. [f（x）=-4sin（π8x-π4）]
B. [f（x）=-4sin（π8x+π4）]
C. [f（x）=4sin（π8x-π4）]
D. [f（x）=4sin（π8x+π4）]
9. 已知函数[y=2sinx]的定义域为[[a，b]]，值域为[[-2，1]]，则[b-a]的值不可能是 （ ）
A.[5π6] B.[π] C.[7π6] D.[2π]
10. 定义运算：[a1a2a3a4=a1a4-a2a3]，将函数[f（x）=3cosx21sinx2]的图象向左平移[m]（[m>0]）个单位，所得图象对应的函数为偶函数，则[m]的最小值是 （ ）
A. [π3] B. [2π3] C. [4π3] D. [7π3]
11. 函数[y=sin（-x+π3）（x∈0，2π]的单调减区间是____________.
12. 函数[f（x）=3cos2x+sinxcosx-32][（x∈0，π4）]的取值范围是__________.
13. 方程[sinπx=14x]的解的个数是__________.
14. 关于下列命题：
①函数[y=tanx]在第一象限是增函数；
②函数[y=cos2（π4-x）]是奇函数；
③函数[y=4sin（2x-π3）]的一个对称中心是[（π6，0）]；
④函数[y=sin（x+π4）]在闭区间[[-π2，π2]]上是增函数.
写出所有正确的命题的题号：___________.
15. 已知函数[f（x）=Asin（ωx-π4）（A>0，ω>0）]，[x∈R]的最大值是1且其最小正周期为[π].
（1）求[f（x）]的解析式；
（2）已知[α，β∈（0，π2）]，且[f（α2+38π）=35，f（β2+π8）=513]，求[cos（α-β）]的值.
16. 已知向量[a=（2sinx，3cosx），][b=（sinx，2sinx）]，函数[f（x）=a・b].
（1）求[f（x）]的单调递增区间；
（2）若不等式[f（x）≥m对x∈0，π2]都成立，求实数[m]的最大值.
17. 已知函数[f（x）=2cosωx（sinωx-cosωx）+1（ω>0）]的最小正周期为[π].
（1）求函数[f（x）]图象的对称轴方程和单调递减区间；
（2）若函数[g（x）=f（x）-f（π4-x）]，求函数[g（x）]在区间[[π8，3π4]]上的最小值和最大值.
18. 在公比为2的等比数列[an]中，[a2]与[a4]的等差中项是[53].
[⇩] 知识梳理
1． 三角函数为正的规律：一全正，二正弦，三是切，四余弦.
2． 诱导公式规律：奇变偶不变，符号看象限.
3． （1）正（余）弦型函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于x轴的直线，对称中心为图象与x轴的交点（振幅关于x轴对称）；
（2）正（余）切型函数的对称中心是图象与x轴的交点或渐近线与x轴的交点,但没有对称轴（y轴方向无平移时）．
4． 两种三角变换（A>0，ω>0）
（1）先平移后伸缩：y＝sinxy＝sin（x＋φ）y＝sin（ωx＋φ）y＝Asin（ωx＋φ）；
（2）先伸缩后平移：y＝sinxy＝sin（ωx）y＝sin（ωx＋φ）y＝Asin（ωx＋φ）；
5． 两个非零向量平行的充要条件（a=（x1，y1），b=（x2，y2），λ为实数）
（1）向量式：a∥b⇔存在λ使得a=λb；
（2）坐标式：a∥b⇔x1y2－x2y1=0.
6． 两个非零向量垂直的充要条件（a=（x1，y1），b=（x2，y2））
（1）向量式：ab⇔a・b=0；
（2）坐标式：ab⇔x1x2+y1y2=0.
7． 设a=（x1，y1），b=（x2，y2），则a・b =|a||b|cosθ=x1x2+y1y2，其几何意义是a・b等于a的长度与b在a上投影的长度的乘积.
8． 数量积的坐标表示
（1）若a=（x1，y1），b=（x2，y2），则a・b=x1x2+y1y2；
（2）若a=（x，y），则a2=a・a=x2+y2， |a|=；
（3）若A（x1，y1），B（x2，y2），则
=（两点距离公式）.
[⇩] 模拟调研
1． 向量及三角函数平移
模拟题1（2008重庆，中）将f（x）=cos
x－的图象按向量c平移，得到函数f（x）=cosx+1，则c可以是（）
A．
，1 B．
－,1
C．
,－1 D．
－，－1
简析 将f（x）的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到f（x）=cosx+1的图象． 故选B．
高考题1（2008福建，中）函数 f（x）=cosx，x∈R的图象按向量（m，0） 平移后，得到函数y=－f ′（x）的图象，则m的值可以为（）
A．B． πC． －π D．－
点评 该模拟题主要考查了向量、三角函数平移问题，而高考题把向量、三角、导数融于一体，知识点较多，立意新颖，能够考查同学们对基础知识的理解程度以及分析问题和解决问题的能力．在知识交汇点命题是高考的一个亮点，估计2009年高考对三角函数图象平移的考查除了传统题型外，还可能与三角函数的单调性、对称性、最值等交汇命题． 试题类型主要是选择题．
2． 向量的基本运算及分解
模拟题2（2008北京西城区，易）已知P，A，B，C是平面内四点，且++=，那么一定有（）
A． =2 B． =2
C． =2 D． =2
简析由=+代入已知得=2． 故选D．
高考题2（2008辽宁，易）已知O，A，B是平面上的三个点，直线AB上有一点C，满足2+=0，则等于（）
A． 2－
B． －+2
C． －
D． －+
点评该模拟题考查了向量的基本运算及分解方法，此高考题和模拟题的考查点相同．估计2009年高考对向量基本运算的考查形式：①以类似的形式出现；②在三角形或四边形中结合考查平面向量的基本定理的形式出现． 试题类型主要是选择题．
3． 和（差）向量的长度
模拟题3（2008北京东城区，易）已知向量a，b满足|a|=2，|b|=3，|2a+b|=，则向量a，b的夹角为（）
A． 30°B． 45°C． 60°D． 90°
简析 求向量a，b夹角的关键是求出数量积，将|2a+b|=平方可求得a・b=3，所以cosθ==． 故选C．
高考题3（2008江苏，易）已知向量a和b的夹角为120°，|a|=1，|b|=3，则|5a－b|=_______．
点评该模拟题考查了向量夹角公式及和向量的长度，高考题是知道夹角求差向量的长度，两题的关键都是对和、差向量的长度作平方处理，这是平面向量的主要考点之一．2009年高考中对向量的夹角、和或差，向量的模的考查，估计还会以这种形式出现． 试题类型主要是选择题、填空题．
4． 以不等式为背景找范围
模拟题4（2008河北衡水，中）在（0，2π）内，使sinx≥cosx成立的x的取值范围是（）
简析 由x∈（0，2π）且sinx≥cosx，得0
sin2x≥cos2x，解得≤x≤. 故选D．
高考题4（2008四川，中）若0≤α≤2π，sinα>cosα，则α的取值范围是（）
A．
点评该模拟题和高考题均以不等式为背景，考查同学们对三角函数基础知识、同角三角函数之间的关系等的掌握情况及恒等变形的能力，考查利用数形结合的思想解题的技巧． 估计2009年高考对三角不等式、利用数形结合的思想解题依然是热点，试题类型主要是选择题和填空题．
5． 周期性及对称性
模拟题5（2008河北石家庄，中）已知函数f（x）=2sinω
x+，ω>0的最小正周期为4π，则该函数的图象（）
A． 关于点
，0对称
B． 关于直线x=对称
C． 关于点
，0对称
D． 关于直线x=对称
简析 T=4π，ω=，所以f（x）=sin
+，令+=kπ，解得x=2kπ－，k∈Z． 当k=1时，x=． 故选A．
高考题5（2008湖北，中）将函数y=sin（x－θ）的图象F向右平移个单位长度得到图象F ′，若F ′的一条对称轴是直线x=，则θ的一个可能取值是（）
A． B． －
C． D． －
点评 该模拟题直接考查三角函数的周期性及对称性，而高考题打破常规，把三角函数图象平移与对称性相结合，求参量的值，形式新颖别致，更能考查同学们分析问题、解决问题的能力． 估计2009年高考除了会直接考查三角函数的对称性外，极有可能与其他的性质交汇命题． 试题类型主要是选择题或填空题．
6． 平面向量坐标运算
模拟题6（2008山东，中）已知向量a=sinx，
，b=（cosx，－1）．
（Ⅰ）当a∥b，求2cos2x－sin2x；
（Ⅱ）求f（x）=（a+b）・b在
－，0的值域．
简析（Ⅰ）由a∥b可得tanx=－，所以原式===．
高考题6（2008福建，中）已知向量m=（sinA，cosA），n=（，－1），m・n=1，且A为锐角．
（Ⅰ）求角A的大小；
1 关于“三垂线定理及其逆定理”
很多教师都说，整个高中立体几何就是“三垂线定理”。 立体几何中的“三垂线定理”不见了，这是让很多教师都无法想象的.尽管说得过分些，但从另外一个角度说明，“三垂线定理”在整个高中“立体几何”中的地位和作用。确实，“三垂线定理”是整个立体几何内容的一个典型代表，处在整个立体几何知识的枢纽位置，综合了很多知识内容：直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直和平行。在数学2“点、直线、平面之间的位置关系”中虽然没有明确提到“三垂线定理”，很多老师都补充进去了，要求学生掌握运用，但是我认为这恰好是新课程减轻学生的课业负担的一个体现，其实不知道这个定理，直接做也不复杂，就多了一个线面、线线的垂直关系，这也能够让学生加强对线面垂直关系的理解，而且有些学生还会纠结在“三垂线定理”，还是“三垂线定理的逆定理”上面。
随着选修教材把空间向量及其运算引入“立体几何”内容中，用空间向量及其运算的向量方法（或坐标方法）处理有关垂直和平行问题成为一种普适的方法，用“三垂线定理及其逆定理”的综合方法退居其次。高中数学新课程中强调用空间向量及其运算处理立体几何中的角度、距离，淡化综合方法处理问题。
2 线段定比分点的坐标公式
在大纲教材中，这一公式是重要的学习内容，而课标教材中，只是把它作为平面向量的一个应用，因而降低了要求，我们只需利用向量工具推导出定比分点的坐标公式，不必要求记住公式并用来解决问题.因此在教学中完全可以不用补充让学生记忆了。
3 平行线的距离公式
教材中有一个例题是计算平行线的距离，处理的办法是在直线上任取一点，转化到点到直线的距离，把平行线的距离公式放到了习题里面，我觉得这个处理也很好，减轻了学生记忆公式的负担。
4 《新课标》指出“数学是刻画自然规律和社会规律的科学语言和有效工具”
数学是自然科学和其他科学的工具，是科研的工具，是日常生活的工具，作为重要的工具，它应用广泛，功能强大。在人教社高中数学教材中，新增了算法、定积分，加强了统计与概率等内容，更加直接、鲜明地体现了数学的工具性特点。在平面向量中单独增加一节内容《平面向量在物理学中的应用》，导数与定积分在物理学中有广泛的应用，可以改变中学物理教学的思路和方法；逻辑联结词与物理学中的逻辑电路可以联系在一起；概率与统计可以和生物学的有关内容整合。
5 大纲教材和课标教材
购物车(0)