时间：2023-09-17 15:03:42
导语：在统计学的概率的撰写旅程中，学习并吸收他人佳作的精髓是一条宝贵的路径，好期刊汇集了九篇优秀范文，愿这些内容能够启发您的创作灵感，引领您探索更多的创作可能。
关键词：初等数学；概率和统计；教学方法
概率和统计是既有联系又有区别的两部分内容，就其内容而言，初等概率论属于数学思维的范畴，而描述性的统计学属于数学常识的范畴。中学“概率和统计”教学也只是初步传授概率思想和介绍数据的分析与描述。当然，概率论的教学能提供更多的培养数学思维的机会，而统计是不能离开思维而进行的，它对发展学生逻辑思维能力、提高运算能力、培养良好的个性品质等都有很大益处。更重要的是，它对于完成教学大纲的教学要求，学生今后的全面学习和走上社会从事劳动生产及研究现代技术都有很大帮助。
一、通过介绍数学史使学生明确学习概率和统计的意义
教学应从概率论的渊源讲起，如关于赌场的概率论从16世纪就开始了，1797年第一次出现了统计这个词。历史上，帕斯卡、费尔马和贝努利都对统计学作出了开创性的贡献，但与研究确定性现象的数学问题相比它起步较晚，直到20世纪才作为一种数学思想和科学方法登入科学殿堂。教学时，应引导学生认识我国概率统计学科教育的现状，20世纪60年代大学数学系才有概率课，80年代以后才在理工大学普及，但也出现了许宝J这样驰名世界的数理统计学家。通过数学史的讲述，使学生明确学习概率统计基础知识的重要性，它是我们在日常生活和生产实践中经常用到的工具，也是今后进一步深入学习的基础。
二、发展学生的逻辑思维能力，提高学生的运算能力
“概率”部分中概念较多，公式规律性较强。教师应通过大量实例讲清它们的意义，使学生正确理解并准确区分概念，学会利用有关定义和公式计算事件的概率，掌握求解一些事件概率的方法。在统计部分主要和数据打交道，如计算很大数据的平均数、方差等，需要一定的计算能力和灵活的计算方法，应该引导学生选择最简便的方法，使学生熟悉数学工具的正确使用方法。
三、引导学生领会数学思想方法，形成数学观念
在众多数学问题中，随机性数学与确定性数学紧密联系。一方面，概率论的使用方法主要是确定性的数学方法，只是对推导出的结论作不同的解释。如初等概率论中的概率计算主要使用排列组合的计算方法，而将结果给予概率解释。另一方面，概率思想反过来推动确定性数学的发展，例如著名的蒙特卡洛方法就是用随机数学方法求确定性的数学问题，这些都可举例向学生阐述。
统计数据隐藏着概率特性，统计数字虽然枯燥，但有概率分析就活了起来。统计的任务是通过对样本分析来推断总体的特性。统计部分渗透了许多数学思想，如转化、比较、估计等。当数据较大且在一定位置上下波动时求平均数或方差，若用常规方法计算量大且较烦琐，因此可以“转化”为用简化公式的方法，通过对众数、中位数和平均数的“比较”，从不同角度描述一组数据的集中趋势，还可以通过样本平均数或方差来“估计”总体平均数或方差。
四、展现知识形成过程，激发学习兴趣
本章概念较多，而正确理解概念是准确解题的关键。如引入概率定义时，可举“生日问题”，与学生打赌，激发其学习兴趣。统计部分中涉及的问题与学生生活密切相关，如求数学平均成绩，比较两班学生成绩哪个班较好，计算商店销售额与纯利润相关程度等。这些问题学生都很感兴趣，都能主动阅读本章内容。教学时要充分利用课后的习题激发学生的求知欲，调动学生学习的积极性，从而使学生感到数学并非枯燥无味。本章教学若能注意到这一点，将会取得很好的教学效果。
五、引导学生透过偶然看必然
关键词:概率统计；数学建模；教学
数学建模主要是借助调查、数据收集、假设提出，简化抽象等一系列流程构建的反映实际问题数量关系的学科，将数学建模思想融入到概率统计教学中，不仅能够帮助学生更好地理解与掌握理论知识，同时对于提高学生运用数学思想解决实际问题的能力大有裨益。可以说，概率统计教学与数学建模思想的融入具有重要的理论以及现实意义。
1.教学内容实例的侧重
在大学数学教育体系中最为重要的一个目标就是培养学生建模、解模的能力，但是在传统概率统计教学中，教师大多注重学生的计算能力训练以及数学公式推导，而常常忽视利用已学知识进行实际问题的解决，使得大多数学生的应用能力无法得到提高。所以，为了能够在教学中提高学生应用概率与统计的实际能力，教师应在教学内容设计中吸收与融入与实际问题息息相关的题目，使学生在课堂中不仅能够轻松学习概率知识，增加学习主动性，同时能够尝试到数学建模的乐趣，提高自身数学素养。例如，在古典型概率问题的教学中，为了加深学生对于该部分知识的理解，教师可以引入彩票概率的实际问题，通过引导学生分析各等奖的中奖概率，使学生获得极高的建模、解模能力。
2.在教学方法中融入数学建模思想
在概率统计教学中，教师还需要在教学方法中融入数学建模思想。首先，采取启发式教学方法。在课堂教学中，教师应引导学生利用已学知识开展认识活动，在问题发现、分析、解决的一系列锻炼中获得概率统计知识的自觉领悟。其次，采取讲授与讨论相结合的教学方法。在课堂中，讲授是最为基本的教学方式，不过单一的讲授很可能导致课堂的枯燥，所以课堂中还需要适当穿插一些讨论，使学生在活跃的氛围中激活思维，延伸知识面。再次，采取案例分析的教学方法。案例分析是在概率统计教学中融入数学建模思想的一种有效方法。在教学中应用的案例应进行精选，其不仅需要具有典型性，同时还需要具备一定的新颖性以及针对性，通过缩短实际应用与数学方法间的距离，使学生学习数学的兴趣被大大激发。最后，采取现代教育技术的教学方法。在概率统计的问题中常常需要较大的数据处理运算量，所以为了简化问题，使学生掌握一定的统计软件具有重要意义。通过结合具体的概率统计案例，在学生面前演示统计软件中的基本功能，为提高学生掌握统计方法以及实际操作能力奠定坚实基础。知识的获取并不是单纯的认识过程，其更应偏向于创造，在不断强调知识发现的过程中帮助学生认识科学本质、掌握学习方法。
3.在概率统计教学中融入数学建模思想的案例分析
一个完整的数学思维必须经过问题数学化以及数学化问题求解两个方面，只有让学生体验以及掌握到一般的数学思维方法，才能使其真正拥有利用数学知识解决实际问题的能力。而具体分析在概率统计教学中融入数学建模思想的案例，能够为引导学生发现生活中的数学，开拓学生眼界奠定坚实基础。很多概率的实际问题中均存在着随机现象，其可以视作许多独立因素影响的综合结果，近似服从于正态分布。例如，某高校拥有5000名学生，由于每天晚上打开水的人较多，所以开水房经常出现排长队的现象，试问应增加多少个水龙头才能解决该种现象？对于该问题的解决，教师首先应组织学生对开水房现有的水龙头个数进行统计，然后调查每一个学生在晚上需要有多长时间才能占用一个水龙头，最后引导学生分析每一个学生使用水龙头这一情况是否是相互独立的，通过联想中心极限定理以及考虑每个人具有占用水龙头以及不占用水龙头两种情况，得到每人占用水龙头的概率为0.01。所以，每名学生是否占用水龙头能够被视作一次独立试验，其能够看作是一个n=5000的伯努利试验，假设占用水龙头的学生个数为X，那么其满足X～B(5000,0.1)，通过借助中心极限定，使得该问题被快速解决。
4.总结
在概率统计教学中，教师应强调理论与实际问题的联系，通过加强概率统计教学中数学建模思想的融入，使得学生的理论知识以及实际应用能力得到快速提高，为培养适合现代社会发展的综合型人才奠定坚实基础。
作者:辛德元 单位:东北石油大学数学与统计学院
参考文献：
关键词： 高中数学 概率统计 数学思维培养
在高中概率统计学习阶段培养学生的数学思维需要从培养学生辩证观、归纳观等方面入手。数学思维简单概括起来就是辩证思维、转换思维等科学思维方式的结合体，因此首先要从教学设计上做出改变，帮助学生建立数学的基本思维模式。
一、在高中概率统计教学过程中培养学生数学思维的设计与基本要求
在高中数学的概率统计学习过程中，学生普遍出现了这样的问题：学生对概率统计中的计算方式、公式等都非常熟悉，记忆也是不在话下，但是对于这些计算公式的原理、原理运用及公式本身的运用效果和运用程度却极低。对于公式的运用主要还是停留在浅显的数字计算上，他们很难把握公式的运用范围，也不会用公式的原理解决问题，简单概括就是学生还无法形成强烈的数学思维，更没有形成专业的统计学思维模式和思考方式。因此，老师在进行讲学的时候就不能够照搬书本，而是要对书本中的内容、公式等进行原理分析，深究其来源和规律，并教授学生如何灵活运用这些公式。
首先，要求老师在教学方式上必须做出创新和改变。高中的概率统计学教学是培养学生数学思维能力的重要方式，但常常是因为教学方式运用不得当而影响了它的作用发挥，所以，老师必须致力于探究新的教学方式，多举并措，将各种优秀的教学方式集中在一起，并进行融合；其次，在教学中时刻不忘培养学生的数学思维，养成进行思维培养性教学的习惯，可以采用主导式教学、实践教学及情景教学等模式开展课堂教学。
二、加大教学中学生辩证观的培养力度
在培养学生数学思维的过程中应当将培养学生的辩证思维作为其中的一个重点。
从哲学的角度上可以认为任何事物都不是独立存在于世界的，它的出现必然与存在于世上的另一个事物有一定的相互关系，而对于数学中的概率统计尤其如此：从概率统计的教学讲，几乎每一个包含在其中的元素都存在着紧密的相互关系，它们或是相互制约、或是相互依存、或是相互转换……高中的概率统计学习中有这样两个概念：第一，某个事件的发生是不可预见的，或是不确定的；第二，某个事件的规律性表现出了其必要性。
例如：抛掷一枚硬币，检验出现正面和反面的偶然性和不必然性。在首次的派之中，并不能确定出现正面还是反面，而经历多次的抛掷实验之后，我们发现硬币出现正面与反面会受到抛掷方法、空气流动及重力加速度等因素的影响，所以说，该事件属于偶然事件，从这个结果可以看出，偶然性与必然性之间存在辩证关系，因此在进行概率统计教学时，老师可以套用同样的思维模式，从解释事物存在的全面规律与本质出发，培养学生的辩证思维，教授他们如何用数学思维解释客观存在的事物。
三、培养学生的归纳观以培养学生数学思维
从观察推测局部资料的统计特征判断全局的系统特征与规律是概率统计学习的基本思维，这需要学生具备强大的归纳观，也就说学生必须学会如何归纳资料中的特定形态，将其总结为一条具有代表性的规律，这也是数学思维中的重要组成部分。
在实际教学中，老师应当让学生自主从统计图表等资料中探析其中的规律，对给出的资料进行深入解读，而后对学生归纳出的信息进行补充和评价。
四、从培养学生统一观出发培养其数学思维
数学的学习尤其讲究数形结合，“数”与“形”是两个不同的概念，分别指数学中的数学符号与图形、表格。概率统计的学习及习作题目所给出的资料几乎都包含了数与形，这是用于培养学生统一观的很好的机会。在实际教学中，教师需要教授学生如何将题目中的数学符号与图形、表格等结合起来参考，并且在实际的课题讲解中，要注意全面运用题目中的数与形。
五、结语
作为培养学生数学思维的重要方式，高中概率统计教学应当受到老师和学校的重视，通过改变教学方式、革新教育理念及提高教育认知度等方式对教育教学进行全面改革，在概率统计教学中培养学生的数学思维。当然，学生数学思维的培养更应当深入到其他数学知识的教学中，以加大培养力度。
参考文献：
[1]张德然，茆诗松.高中概率统计统计教学中关于随机性数学思维的培养[J].课程・教材・教法，2003（09）：64-65.
【关键词】概率论与数理统计；兴趣；概念；案例；多媒体
“概率论与数理统计”这门学科，是数学中一个比较特殊的分支，一般来说，是大部分本科院校中理工、经管相关专业的必修课程，大学本科生学习这门课的目的是学习现实生活中众多随机现象在统计学上有怎么样的规律性，这门课的知识面非常广泛，并且其中所教授的知识也非常的深刻，通过这门课所学到的统计学规律在自然科学等生活中的众多领域都可以有所应用.
首先，“概率论与数理统计”之所以从属数学，是由于在概率论使用的过程中比较频繁地用到了数学中的集合、微分等知识，其次，它之所以是数学殊且活跃的一个分支，是因为这门课在研究方法以及思路上都和其他分支有所区别.由于它们之间的关系界定不是非常清晰，所以难免会有很多学生在学习的过程中感觉这门课和数学之间的关系比较模糊，虽然很多地方用到了数学知识，但是如果完全用数学方式来学习又很难掌握这门课程，还无法解决部分问题.通过以往这些年的教学，笔者认为，要想解决这个问题，就要从根本上让学生领会这门课的学习思路，在遇到问题的时候，能够灵活使用学到的知识来解决问题，要达到这种效果，要从以下几个方面着手.
一、在授课的过程中激发学生的兴趣
大部分大学生对新知识还是抱有很浓厚的兴趣的，所以说我们要充分利用这一点，在教授课程的时候，可以加入其他的一些知识，让学生们在学习的过程中，产生联系思维，从而更加专注于课程内容，并且借此来提高他们对这门课程的兴趣.如果说能够在这门课一开始就调动起学生的积极性，那之后的课程讲解中，就会减轻很多的压力.比如，开学第一堂课一般会讲赌博和概率论的起源，出于对未知事物的好奇心，往往就能有效地调动学生的积极性.
二、概念的分析和讲解
由于这门课与以往的数学还是有所区别，所以在学习的时候，要让学生能够清楚地了解和记忆相关的概念.可能会有人觉得概念非常无聊，并且很多教师也不会在课程上花费很多精力去进行概念的讲解，更多的是把精力放在应用上面.但是如果教师都这样教授，只会把学生也引入误区，如果学生对概念还没有一个清楚透彻的了解就去专注于计算，就只能在之后的学习过程中解一些比较直接、简单的题，一旦遇到比较灵活、难度大的题，就很难灵活地运用概念来完成解题.
所以说，这就需要我们对这门课的概念有一个正确的认识，概念相当于一门课程的沟通基础，如果不能熟练掌握，就很难保证在之后的学习中能够有更深入的体会.所以说，教师在进行授课的过程中，要用恰当的方式来进行概念的教授，让学生理解这门课是为了解决什么问题，用什么方法可以更巧妙地解决这些问题.比如，我们在教学“数学期望”的过程中，就可以向学生讲述帕斯卡和梅耳的故事，来跟他们讲述期望实际上是指什么，通过这样一种更加生动的教授，学生就可以更加清晰地了解这个概念究竟要如何使用.在教授的过程中，我们需要有所注意，还可以在讲概念的基础上，加上一些简单的运用以及衍生，比如，帕斯卡的分法和2∶1分法，哪一种是更加有效的，重点是要能够清楚地阐释帕斯卡分法，“2∶1”仅仅想到了现有的状况，帕斯卡却想到了未来的各种可能，并且进行了加权处理，这才是帕斯卡分法的意义所在.
三、教学案例要贴近学科现实
本门课程并不是一门非常抽象、远离实际的课程，而是与实际密不可分，特别是我们在讲解一些经典例题的过程中，更是可以生动体会到这一点.正是由于它的这一特性，我们更是要注意在列举题目的时候，不能够太过于生硬、死板，这样非常不利于学生的理解和记忆，而如果我们可以在平时积累一些有趣的例子，应用在课堂的教学中，相信可以在很大程度上帮助学生理解和记忆相关的知识点.比如，我们经常会遇到的抽签，或者说保险相关的一些问题等，都可以运用到课程的教授当中来，通过探讨，第一，可以减少这门学科和学生日常生活之间的距离感；第二，也可以帮助学生理解知识点，并调动他们的积极性；第三，还能够帮助学生锻炼自己的解决问题能力；最后，还能让学生在今后思考问题的时候，更加全面，更加理性.
四、借助多媒体提高教学效率
以往的教学过程中，教师主要借助一些简单的教具，例如，黑板、教材来完成教学任务，而现如今，随着科技发展，越来越多的教学工具开始走进课堂.比如，我们可以利用计算机，直接进行一些图形上的演示，或者文字的说明，通过这样的一种教学方式，可以让学生通过更直观的方式接收到更多的信息，相比于以往的教师口头讲授，也有更强的教学效果.除此之外，我们还可以把正态分布、二维正态分布等等原本很难教授的课程的实验过程，直接通过计算机进行演示，这样，比起口头讲述，可以给学生留下更加深刻的印象，学生也更容易理解这些概念.
我们日常生活中遇到的很多问题，都可以用概率解决，概率也为我们的学科进步做出了巨大的贡献，所以说，我们站在巨人的肩膀上，更要尽自己最大的努力，把概率这门课程用更灵活的方式教授给我们的学生，只有这样，学生才能够把这门课应用在自己的日常生活中，并且将概率学发扬光大.
【参考文献】
[1]盛骤，谢式千，潘承毅.概率论与数理统计[M].北京：高等教育出版社，2010.
[2]陈晓龙，施庆生，邓晓卫.概率论与数理统计[M].南京：东南大学出版社，2003.
数学史是学习数学、认识数学的工具．人们要认识数学概念、数学思想和方法的发展过程，建立数学的整体意识，就必须运用数学史作为指导．概率论与数理统计也有其自身不断发展和完善的历史，当前我国正在推进基础教育改革，十分重视数学史和数学文化的教育，在中学概率统计教学中运用数学史有助于学生理解数学知识之间的联系和不确定性数学特有的思想方法，从而提高学生的数学应用和创新能力．
1解读史实，促进学生对概率定义的理解
概率的古典定义是拉普拉斯1812年给出的,它讨论的对象仅限于随机试验中所有可能的结果为有限多且等可能的情形．教学中可结合“赌金分配”问题，体会古典概率的模型特征，加深对定义的理解．举该问题的一个简单情形：甲、乙二人赌博，各出赌注30元，共60元，每局甲、乙胜的机会均等，都是12．约定：谁先胜满3局则他赢得全部赌注60元，现已赌完3局，甲2胜1负，而因故中断赌博，问这60元赌注该如何分给2人，才算公平．初看觉得应按2：1分配，即甲得40元，乙得20元，还有人提出了一些另外的解法，结果都不正确，正确的分法应考虑到如在这基础上继续赌下去，甲、乙最终获胜的机会如何．其实，至多再赌2局即可分出胜负，这2局有4种可能结果：甲甲、甲乙、乙甲、乙乙．前3种情况都是甲最后取胜，只有最后一种情况才是乙取胜，二者之比为3∶1，故赌注的公平分配应按3∶1的比例，即甲得45元，乙得15元．
概率的古典定义具有可计算性的优点，但它也有明显的局限性．要求样本点有限，如果样本空间中的样本点有无限个，概率的古典定义就不适用了．把有限个样本点推广到无限个样本点的场合，人们引入了几何概型，由此形成了确定概率的几何方法．学习概率的几何定义的最典型的例子是“会面问题”和历史上著名的“蒲丰投针实验”：平面上画着一些平行线，它们之间的距离都等于 a，向此平面任投一长度为L（L小于 a）的针，试求此针与任一平行线相交的概率．这个几何概型问题可运用积分运算求得P =2Lπa．由于“蒲丰投针实验”的理论概率中含有常数 π，教学中可以通过设计L和 a，经统计实验估计出概率P，然后运用以上给定的概率模型公式求出圆周率．这样将概率的几何定义和概率的统计定义的学习有机联系起来，同时学生又体验到求 π的方法的多样性和数学知识之间的广泛联系性．
概率的古典定义和几何定义都要求在随机实验中基本事件发生的可能性相等，但人们发现在相同的条件下做大量重复试验，一个事件发生的次数n和总的试验次数N之比，在试验次数N很大时，它的值将稳定在一个常数附近．N越大，这个比值“远离”这个常数的可能性越小，这个常数就称为这个事件的概率．这个定义与统计有密切的关系，它建立在频率稳定性的基础上，所以称为概率的频率定义．这种概率讨论的对象不再限于随机试验所有可能的结果为等可能的情形，因而更具一般性．教学中可以在学生动手操作抛掷硬币的统计实验基础上，参照历史上著名科学家大数次地投掷硬币的结果，进一步感受频率概率的大数次实验要求以及概率统计的随机性和统计规律性．
由下表容易看出，当投掷次数较少时频率的波动较大，当投掷次数增大时频率呈现稳定性，即出现正面的频率在0.5附近摆动，而逐渐稳定于0.5．概率的这三个定义属于描述性定义，在叙述中都用了“可能性”一词，而概率恰是关于“可能性”的概念，所以这些定义从理论上看是不严格的，有循环定义之嫌．由于缺乏严格的理论基础，常常被人找到一些可钻的空子，其中最为典型的要算1889年法国数学家贝特兰提出的概率悖论：在圆内任作一弦，其长度超过圆内接等边三角形边长 a的概率是多少?作者给出了三种不同的答案:
第一种解答是假定弦中点H在直径PQ上均匀分布时P=12（图1）；
图1图2图3第二种解答是假定弦中点H在小圆周上均匀分布时P=13（图2）；
而第三种解答是假定弦中点H在小圆内均匀分布时P=14（图3）．这个悖论产生的根本原因是三种解法所作的等可能假设是不同的，所对应的样本空间是不同的，它们是三个不同的随机试验．因此，在样本点为无限的情况下，必须对样本空间及样本点作具体限定，概率的公理化定义由此应运而生．教学中适时给学生传授这种概率统计发展中的焦点问题的产生和解决过程有助于学生对数学定义的内涵有更加科学的理解．
近年来随着数学发展的领域不断拓宽，主观概率日益受到人们的关注．概率的主观定义也称直觉定义，“它是指在一次性事件中，认识主体根据其所掌握的知识、信息和证据，而对某种情况出现的可能性大小所作的数量判断”（陈希孺2000、6）．英国学者贝叶斯提出的“贝叶斯公式”被认为是使用主观概率的第一个公式．问题在于，实践中对许多事物由于所考虑的过程还没有进行，因而往往无法得到概率．但实际上，如果人们根据以往的经验数据，甚至根据主观或客观上的某一要求而得到的数据予以分析，估计出一个最优值，作为研究总体的假设概率，最后在得到新的信息的基础上对假设概率重新予以修正，这样做是无可非议的．在现代愈来愈复杂的经济活动中，某些决策无法用理论概率或经验概率来判断时，如投资等经济决策问题中应用主观概率是可行的办法．教学中适当介绍主观概率可以丰富学生对概率的认识．
2 剖析史情,培养学生正确的概率直觉
英国学者威尔斯说:“统计的思维方法，就像读和写的能力一样，将来有一天会成为效率公民的必备能力．”然而，概率统计不同于几何、代数等研究确定性现象的数学分支，在理论和方法上有其独特的风格，在概率统计的学习中，学生们会遇到许多随机数学理论．由于各种随机现象不能用“因果关系”加以严格控制和准确预测，也不能用一些简单的定律加以概括，而需要从大量观测中综合分析找出规律性，所以培养学生正确的概率统计思维方法是必要的．
教学中我们经常发现许多学生在学习概率统计课程的时候，往往囿于确定性数学的思维方式，不能建立正确的概率直觉，在概率学习和问题解决中存在大量的错误认识．实际上，对于教师来讲，保持概率统计课程的逻辑严谨性并注重学生概率直觉能力的培养是必须处理好的重要问题．让学生尽早体验概率与实际事物的紧密联系，敏锐感受实际事物中的随机性，是建立正确概率直觉的必备条件．例如，在学习“生日问题”时，教师可以先引入以下史情：美国历史上至今已有42位总统，其中第11任的波尔克和第29任的哈定生日都是11月2日，还有亚当斯、杰斐逊、门罗三位总统都死于7月4日，这是一种历史的巧合，还是很正常的现象呢？
“生日问题”也许令人十分困惑：50个人中有两人生日相同，你也许认为这只是巧合，其实几乎可以肯定至少有两人在同一天过生日．我们可以用概率的方法测算一下．为了简便，我们不记闰年，一年按365天算，那么该问题的理论概率为1－A5036536550≈0.97．这件事情发生的概率，并不是大多数人直觉中想象的那样小，而是相当大．这个例子告诉我们，通常的“直觉”并不很可靠，这就有力地说明了研究随机现象统计规律的重要性．本例的错误直觉源于人们潜意识中把50个人中相互间有两人生日相同直觉成50个人中有人和自己的生日相同，而后一种情况的理论概率仅为：1－（364365）49≈0.13．所以形成“50个人中有2人生日相同”的概率不是很大的错觉．教学中可以通过统计调查或随机模拟实验让学生经历估计和验证随机事件发生概率的过程，逐步建立正确的概率直觉．
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3 挖掘史料，让学生体会概率统计的思想方法
概率统计是中学数学新课程的重要组成部分，它研究随机现象的统计规律性，具有独特的概念、方法和理论．教学中应更多地关注实验与统计过程，结合史例，及早培养学生的随机思想和统计观念．
3.1 随机思想
随机思想的核心是认识隐藏在随机现象背后的统计规律性，强调随机现象的个别观察的偶然性与大量观察中的统计规律性之间的联系．必然性通过偶然性表现出来，偶然性背后总是隐藏着必然性，大量的随机现象正体现出事物发展过程中的必然性的一面．随机思想正是通过对这种偶然性的研究去发现其背后的必然性―即统计规律性，并通过这种必然性去认识和把握随机现象．
随机试验是随机思想中的一个重要方法，历史上为了研究随机现象呈现的统计规律性，进行过非常著名的随机试验，如蒲丰、皮尔逊等所做的掷硬币试验，高尔顿设计的高尔顿板试验模型等．例如，投掷硬币中，假如我们进行大量投掷，正面朝上的频率就非常接近一半，即正面朝上的理论概率为12，我们把这种个别结果不确定，但是多次重复之后，结果有规律的现象称为随机现象．“随机的”不是“偶然的”同义词，而是描述一种不同于确定性的秩序，概率统计是描述随机性和统计规律性的数学．
理解随机思想的关键是理解某一事件发生的试验频率与理论概率存在偏差，而且偏差的存在是正常的．虽然多次试验的频率渐趋稳定于其理论概率，但也不排斥无论做多少次试验，试验概率仍然是理论概率的一个近似值，而不能等同于理论概率．例如理论上事件“随意抛掷一枚硬币，落地后正面朝上”发生的概率为12，但试验100次，并不能保证恰好50次正面朝上，50次正面朝下．只要学生真正动手做试验，必能体会到这一点．事实上，做100次掷币试验恰好50次正面朝上，50次正面朝下的概率仅为C50100(12)100≈ 8%，远远低于投币二次有一次正面朝上的概率50%．教学中要防止学生把概率直觉地理解为“比率”，这样才算对某一事件发生的概率有较为深刻的认识．
随机思想还包括统计实验过程中抽样的随机性及模拟试验或随机抽样结果的随机性．只有学生认识到这一点，才能真正明白现实世界广泛存在的随机性，并主动地应用到生活中去．抽样的方法很多，但无论用什么方法抽样，都要坚持随机抽取的原则．这是避免人为的影响，保证样本客观、真实的基本要求．
3.2 统计推断思想
统计课程的核心目标是引导学生体会统计思维的特点和作用，体会统计思维与确定性思维的差异．例如，在运用样本估计总体的学习中，应通过对具体数据的分析，使学生体会到由于样本抽取具有随机性，样本所提供的信息在一定程度上反映了总体的有关特征，但与总体有一定偏差．另一方面，如果抽样的方法比较合理，样本的信息还是可以比较好地反映总体的信息．例如著名数学家拉普拉斯对伦敦、彼得堡、柏林和法国的男婴和女婴出生规律进行研究，得到的统计资料显示：10年间，男孩出生的频率在2243附近摆动；我国历次人口普查总人口性别构成数据，与拉普拉斯所得到的结果非常的接近．
科学家发现，不仅在人类社会生活中，在大自然中，生命的繁殖、进化也莫不服从概率统计规律．早在1843年，捷克修道士孟德尔首先通过研究豌豆的遗传规律为世人揭示了大自然的奥秘．由于豌豆的两种遗传基因在进入下一代的杂种细胞时，彼此分离，互不干扰，最后在生物传粉过程中随机组合，所以这个规律又称“分离定律”．后来孟德尔经过艰苦的探索又发现了两对性状不同的植株进行杂交时，不同对的遗传基因自由组合，而且机会均等，这就是孟德尔第二定律，也称“自由组合定律”．孟德尔发现的分离规律和自由组合规律实质上就是概率统计规律在遗传过程中的体现．
统计推断的过程不同于数学中的逻辑推理，是带有概率性质的一种推理方法，其依据是“小概率事件原则”．小概率事件原则认为:概率很小的事件在一次试验中是几乎不会发生的．如假设检验问题的解法便是统计推断思想的体现．对于某个假设，给定一小概率水平标准，通过对抽样数据进行整理、计算，如果结果使得一小概率事件发生了(这与小概率事件原则矛盾)，我们作出拒绝接受原假设的推断；否则，认为原假设是可接受的．这种统计推断思想的实施使数理统计的实用性得到充分的展现．教学中可以利用药效检验等实例重点介绍统计推断思想．
4 运用概率模型史例，启发学生的创新意识
随机数学有很大一部分可以用概率模型进行描述，如有限等可能概型(古典概型)、伯努利概型、正态分布等．应用概率模型方法就是根据随机问题的具体特点，模拟建构一个随机问题的现实原型或抽象模型，借以反映问题的内在规律，然后 选择相应的数学 方法对 求得的数学模型作出解答，表现出从实践到理论又回到实践的过程．概率统计教学中应重视对概率模型的理解和应用，淡化繁杂的计算，使学生经历从多个实例中概括出具体的概率模型的过程，体会这些例子中的共同特点，培养学生识别模型的能力．美国普渡大学统计学教授大卫.s.莫尔曾经这样论述道:“学习组合学并不使我们增进对机遇概念的理解，也不比其他学科更能发展使用概率建模的能力．在大多数情况下，应该避免组合问题，除非是最简单的计数问题”．使用概率模型解决问题是归纳思维的一种典型方式，它离不开人们的观察、试验与合情推理，是数学化意识和思想方法的体现，有助于培养学生将数学理论应用于解决实际问题的能力和创新意识．
数学史在展现随机数学知识发展过程的同时，数学家也常给后人在数学方法的运用和解决实际问题的创新思维方面带来启示，例如利用概率模型求 π就是典型的史例，一部计算圆周率的历史，被誉为人类“文明的标志”．1872年英国学者威廉.向克斯已把 π的值算到了小数点后707位．此后半个多世纪，数学家法格逊对向克斯的计算结果产生怀疑，法格逊的疑问是基于以下奇特的想法:在 π的数值中，大约不会对一两个数码存有偏爱，也就是说各数码出现的概率都应当等于110．随着电子计算机的出现和应用，计算 π的值有了飞速进展，1973年，法国学者让.盖尤与芳旦娜小姐合作，对 π的前一百万位小数中各数码出现的频率进行了有趣的统计得出的结论是：尽管各数字出现也有某种起伏，但基本上平分秋色．看来，法格逊的想法应当是正确的，在 π的数值展开式中有: P(0)=P(1)＝P(2)=…＝P(9)＝0.1．但有时由于概率模型含有不确定的随机因素，分析起来比确定性的模型困难．在这种情况下，可以考虑采用蒙特卡洛（Monte Carlo）方法．Monte Carlo方法是计算机模拟的基础，它的名字来源于世界著名的赌城――摩纳哥的蒙特卡洛，其历史起源于1777年法国科学家蒲丰提出的一种计算圆周率的方法――随机投针法，即著名的蒲丰投针问题．蒙特卡洛方法属于试验数学的一个分支，它的基本思想是首先建立一个概率模型，使所求问题的解正好是该模型的参数或其他有关的特征量．然后通过模拟统计试验，即多次随机抽样试验，统计出某事件发生的百分比．只要试验次数很大，该百分比便近似于事件发生的概率，最后利用建立的概率模型，求出要估计的参数即问题的解．
参考文献
1 李文林.数学史概论［M］.北京:高等教育出版社,2002
2 张丹.统计与概率［M］.北京:高等教育出版社,2006
3 张远南.概率和方程的故事［M］.北京:中国少年儿童出版社,2005
一、大学概率统计教学和高中数学教学内容的衔接问题
通过对高中数学和高等数学两者之间进行对比，大学概率与高中概率在教学内容上有许多重复之处，对于一些内容在高中教学中要求较低，比如对概率的概念以及频率与概率的区别等方面，高中数学教学中就没有严格的要求，也没有要求学生掌握比较严密的公理化定义.大学统计与高中数学教学内容的对比分析不难看出，两者在教学内容上有很多相似之处，大学数学统计教学内容反映到高中，更多的是偏向于计算技巧的训练，而大学教学在涉及统计教学内容时，比较要注重数学思想的挖掘及数学方法的应用.高中教材统计学的教学要求比较侧重于实际运用，对相关的理论的了解和掌握程度较低，因此，对大学生的统计部分的教学体系基本上没有影响，两者之间的衔接方面存在着一定的不足.
二、实现大学概率统计教学与高中数学教学内容衔接的方式
1.课程内容的衔接
大学数学概率统计教学内容是在高中知识基础上的提高和扩充，其显著特点是知识量增大、理论性增强、系统性增强、综合性增强.我们在高中初步、直观地学习了概率统计的基本知识，在大学我们将对有关知识进行理论化、系统化，合理地编制教材，并且进行一些研究性学习，以实现两者之间更好的衔接.
2.学习方法的衔接
由于高中的学习密度和作业量大，简单的死记硬背的方法和被动的学习态度都会使学习出现僵局，必须使学生意识到调整自己的学习方法的必要性与紧迫性.例如，让学生了解大学所学习的概率统计知识中随机现象及其统计规律性以及全概率公式与贝叶斯公式等，有助于学生对概率统计知识的更好理解，从而实现了大学概率统计知识与高中数学教学内容的衔接.比如高中在古典概型问题的讲解时比较细，题目难度也比较大，因此在大学时就不需要在古典概型上花太多的时间，以有效提高学习时间的利用率，从而使学习效率大大提高.如例题：储蓄卡的密码一般由6位数字组成，每个数字可以是0，1，2， …，9十个数字中的任意一个.假设一个人完全忘记了自己的储蓄卡的密码，问他到自动取款机上随机试一次密码就能取到钱的概率是多少？在该例题的解析中，可以运用高中数学中所学的基本事件的特点以及结合高等数学中古典概型的有限性和等可能性的两个特征，随机试一个密码，相当于作一次随机试验.所有的六位密码（基本事件）共有1000000种.
3.教学方法的衔接高中与大学的数学教学方法均以讲解法为主，但高中教学要对概率统计知识进行详细的讲解，然后总结题型，归纳方法方式，提高教学知识的系统性与网络化.大一应承接高中教学对解题方法有总结归纳，增加练习课次数和题量训练量，先让学生掌握通性通法，使刚入学的学生度过适应期.例如在概率统计内容的概念学习中，可以对易混淆的概念（定理）对比学习；对公式、定理各字母的含义、适用范围、特例等作补充说明等来帮助学习，在老师的指导下使其成为学生自身的学习方法和习惯.例如在例题“在1000个有机会中奖的号码中，在公证部门监督下按照随机抽取的方法确定后两位数为××的号码为中奖号码，应该采取什么样的抽样方法”中，该种类型的例题就可以通过高中数学中系统抽样的方式和高等数学中间隔距离相等的抽取相结合，对例题进行解答.
4.增设数理统计试验
数学课是一门实践性较强的课程，在统计与概率教学内容中，存在许多随机试验，许多规律是从试验中总结出来的.因此，在大学概率统计和高中数学教学内容衔接改革过程中，应该充分利用Excel作为数据处理平台，让学生更好地进行数据的采集和处理，在计算标准差、相关系数、平方和分解等问题时能够收到事半功倍的效果，并且还有利于培养学生的研究、概括、总结能力，巩固和加深统计和概率的知识内容，有利于学习效率的提高，从而实现大学概率统计与高中数学教学内容更好的衔接.
5.高考命题与高等数学知识的衔接
数学考试大纲明确指出，数学高考命题紧密联系高等数学知识内容，已为学生进入大学学习做好准备.因此要做好高中数学和高等数学概率统计的衔接工作，就必须把高考命题作为重要考虑内容，实现与高等数学的紧密衔接，主要方式为在高考命题中直接出现高等数学符号、概念，或以高等数学的概念、定理作为依托融于初等数学知识中.此类题目的设计要基于高中数学概率统计基础上，又要涉及高等数学概率统计知识，其解决方法还是高中数学知识，较易突破.在高考命题中融入高等数学内容，能全方位、宽角度、多层次地考查学生基本的数学素养，以便于实现高中数学与高等数学的紧密衔接.
关健词：概率论与数理统计；教学方法；教学改革
作者简介：阮万清（1979-），女，黑龙江安达人，黑龙江科技大学理学院，讲师；张鸿艳（1970-），女，黑龙江佳木斯人，黑龙江科技大学理学院，教授。（黑龙江 哈尔滨 150022）
基金项目：本文系黑龙江省教研科学“十二五”规划2012年度课题（课题编号：BB1212056）、黑龙江省高等教育学会“十二五”期间教育科学研究规划课题（课题编号：HGJXHC110909）的研究成果。
中图分类号：G642.0 文献标识码：A 文章编号：1007-0079（2013）19-0087-02
概率论与数理统计是研究随机现象内部统计规律性的一门数学学科，包括概率论和数理统计两部分的内容。前者是后者的理论基础，后者是前者的应用。理论学时为54，实验学时为6。该课程是继高等数学和线性代数后开设的第三门数学基础课。由于该课程所研究的对象是随机现象，所以不同于其他学科，有着自己独特的研究风格。因此，该课程在学习中具有随机性和抽象性等特点。通过教学发现，学生在学习的过程中普遍感觉到有些概念难懂、定理抽象、思维方式独特，而且所学的理论部分与实践内容脱节。这就要求教师在讲授该课程的时候要采用适当的教学方法，真正达到学以致用的目的。同时，随着计算机的普及和各种应用软件的开发，概率论与数理统计的理论在金融学、统计学、运筹学和经济学等各个学科领域都有着广泛的应用。因此，在理论学时较少的情况下，要深入思考如何提高该课程的教学质量、如何让学生获取更多知识。这就要求在教学中对该课程的教学方式方法进行研究和探索，找到适合黑龙江科技大学学生特点的教学方法，以便达到更好的教学效果。本文结合笔者多年教学经验，介绍了对该课程教学实践的几点认识，仅供同仁们参考。
一、激发学生的学习兴趣，消除学生的认识障碍
著名科学家爱因斯坦曾经说过：“兴趣是最好的老师”。[1]无论做什么事情，有了兴趣才能积极主动地投入到当中去。作为学生，在学习每门课程的过程中只有先有了兴趣，才能增强对所学课程的求知欲和好奇心。而“概率论与数理统计”是一门源于现实生活的课程，很多的定理和现象都源于生活。因此，它并不是一个凭空想象的学科。为了更好地激发学生的学习兴趣，“第一次课”的教学就显得尤为重要。
下面对该课程的第一次课进行简单的介绍：
（1）介绍概率论与数理统计的起源和相关的背景材料。概率论部分起源于赌博，可以介绍17世纪中叶法国的赌徒梅累向帕斯卡提出的“赌博中止，赌金该如何分配的问题”。随着该问题的解决，进而产生了概率论这门课程。而数理统计源于人口普查问题，是概率论部分的应用。通过这些介绍可以让学生大致了解该课程的发展过程，增强学生的学习兴趣。
（2）介绍该课程的地位和与专业之间的联系，进而建立各学科之间的联系，同时也说明每门学科的产生都不是孤立的。
（3）介绍课程的基本框架，让学生从大体上了解学习的内容。
（4）介绍课程中能够解决生活中常见例子和结论的一些常识。比如，“抽签不必争先恐后”就可以用第一章的乘法公式来解决。另外，常见的一些谚语也可以从理论上得以解决。比如，“常在河边走，哪能不湿鞋”就可以通过小概率事件原理来解决；“三个臭皮匠顶个诸葛亮”就可以通过概率的性质来解决；“不要把鸡蛋放到同一个篮子里”就可以通过装置的使用寿命来解决；“真金不怕火炼”就可以从比赛获胜的可能性角度来解决。[2]通过这些实例更进一步激发学生的好奇心，同时也拉近了与该课程的距离。因此，激发学生的学习兴趣、消除学生的认识障碍是学好这门课程的重要保障。
二、加强案例教学的运用，改进教学方法
案例式教学是指教师首先要精选出适合本次教学内容的案例，然后学生利用所学和将要学习的知识点进行深入分析，并给出案例的策划方案。通过案例式教学法既看到了该门课程在实际生活中的应用，也提高了学生解决实际问题的能力。比如，在讲解贝叶斯公式时可以引入“狼来了”的案例，然后得出随着小孩说谎次数的增多，村民对他可信度依次下降的结论；也可以讲解该公式在医疗诊断、市场预测、信号估计、概率推理和工厂产品检查中的应用。在讲解乘法公式时可以引入“排队抽签”的案例，得出抽签不必争先恐后的结论。在介绍正态分布时可以引入“公交车车门高度的设计问题”的案例。在介绍数学期望时可以引入“装置的使用寿命问题”和“投资的风险问题”的案例。在介绍假设检验问题时可以引入“小概率事件的问题”进行说明等等。通过案例式教学法的应用，学生可以通过具体的实例来进一步理解所学知识点的内涵，真正体会到所学知识与现实生活的联系，体会到理论与实践相结合的情形，真正达到融会贯通。
三、加强实验教学，提高学生的动手动脑能力
实验教学是在理论教学的基础上进行的，同时实验教学也是高等学校进行理论教学的重要保障之一和对理论教学的检验。提高实验教学质量是培养创新型人才的重要组成部分。传统的教学模式多以理论教学为主、实验教学为辅，往往忽略实验教学部分。没有真正做到实验教学与理论教学的相结合。当今社会强调培养学生的动手动脑能力、实验技能、创新与开拓能力等，这些能力的提高在某种程度上都依托于实验教学的加强。因此，作为高校的工作者必须认识到实验教学工作的地位和作用，认识到实验教学是培养学生创新能力的重要途径之一。
对于概率论与数理统计理论课上的某些知识点，可以通过上机实验的形式得出既形象又直观的结论。目前，较为常见的软件为Mathematica、MATLAB和Spss。比如，在介绍当试验次数无限增大时频率稳定于概率时，可以通过上机模拟得出非常直观的结论。在描述常见分布的分布列和概率密度时都可以通过上机得出形象的结论。再比如，统计抽样检验、方差分析等一类实验不仅可以避免大量的计算，而且还使学生熟悉了各种软件在统计方法中的应用。因此，加强实验教学对提高教学质量、改进教学方法起到了重要的作用。
四、利用现代信息技术，丰富教学内容
利用现代信息技术是丰富教学内容的重要方法之一。特别是多媒体辅助教学。在“概率论与数理统计”课程中，可以充分利用多媒体技术突破教学难点，体现某些内容的直观性、动态性和立体性的特点。例如，在讲解正态分布时可以演示密度函数曲线的特点，进而可以直观地看出对称轴、最值、位置参数和形状参数等一系列的特点。在讲解二项分布x～B（n，p）的最值时：[3]
（1）当（n+1）p为整数时x在（n+1）与（n+1）p-1处的概率最大；
（2）当（n+1）p不是整数时x在[（n+1）p]处的概率最大。
这一性质的得出就可以通过多媒体进行演示，体现了直观性，同时也加强了对定理的理解。比如，在讲解中心极限定理时正态分布显得尤为重要，这一部分教师可以通过图像演示，进而得出结论。总之，该课程还有很多的知识点需要教师下大功夫推敲，需要教师对传统的教学方式进行不断的研究和探索，总结出适合学生发展的教学方法和教学模式，真正对该课程的教学起到一定的推进作用。
五、加强教材建设，更好地服务专业
教材是传授知识的载体，也是深化教育教学改革，全面推进素质教育，实现人才培养目标的重要保证。教材建设要以学科专业课程建设为依托，以创新人才培养模式、服务专业的思想进行建设，突出基础课程在专业中的应用。以专业中工程实例为载体，编写基础课程以专业应用为背景的案例式教材，形成满足黑龙江科技大学人才培养需要的高质量的教材体系。为了更好地结合黑龙江科技大学应用型人才培养实际，强化特色，各展所长，在不同层次不同领域办出特色、争创一流，提高基础课教学质量，加强基础课特色教材建设，理学院提出了进行案例式教材建设的方案，概率论与数理统计分为矿业与安全类、电气工程及自动化类、机械工程类、土木工程类、材料类和经济类共六大类进行建设。相信在广大教师的共同努力下，本系列教材一定能够建出特色，达到更好地服务专业的目的。
六、结束语
总之，在教学实践中不断改进教学方法，寻找适合学生特点的教学方法和手段是“概率论与数理统计”课程需要首先解决的问题。本文从激发学生的学习兴趣、加强案例教学、重视学生的动手动脑能力、利用现代技术手段提高课堂质量和加强教材建设五个方面进行探索，希望能为该课程的教学起到一定的促进作用。
参考文献：
[1]周玲，罗党，张清年.浅谈概率论与数理统计教学中学生学习兴趣的培养[J].中国电力教育，2011，7（3）：100-102
[2]曹宏举，曹彧涵.谚语背后的概率问题[J].大学数学，
关键词：概率统计；学习兴趣；考核模式
中图分类号：G642.4 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2017）14-0123-02
由于概率统计理论性强、内容抽象等特点，使多数学生普遍对《概率论与数理统计》课程有畏惧感，同时随着课程所学内容的不断推进，出现了有些学生忽视学习数理统计的现象。为了消除学生对概率统计学习的畏难情绪和不自信，学生更好地了解概率论与数理统计的实际应用，学会分析数据、处理数据、进行统计计算的方法，概率组在教学方法、教学内容、因材施教、考核方式等方面，以学生为中心[1]，以学生学习效果未导向[2]，做了大量的研究与实践工作。
一、采用多种教学方法，改革教学内容，提高教学效果
（一）运用趣味案例教学法，激发学生的学习兴趣
概率统计的最大特点是贴近生活，因此，在教学过程中注意引用生活中的实际案例，如通过介绍生日问题、彩票问题、学生分组等趣味小案例，使学生在轻松愉快中学会解决“古典概型”的方法，品尝到学习中的乐趣。这些案例的引入，可激发学生的学习热情，使学生感到学有所用，趣味案例教学法，不仅激发学生的兴趣、引发学生积极思考、调动学生学习主动性和积极性，而且有效帮助学生消除对概率统计学习的畏难情绪，增强学好概率统计的自信心。
多年来，课程组任课教师根据多年的教学经验收集了许多生活中的趣味案例，如色盲问题、产品的销售、公平分赌注、风险决策、病人排队、火箭的射程等案例，并将这些简单、易懂又具有代表性的案例分别编辑在校内《概率统计学习指导》、《教案汇编》和《数理统计案例及SAS软件实践》中。
（二）将数学建模思想融于教学，注重教学内容与数学建模之间的联系
多年来任课教师针对课程的部分内容编写了将数学建模思想融于教学中的教案集和小实验，教师在教学过程中，根据教学内容，适当精选这些应用案例，融入建模思想，指导学生运用所学知识寻找解决问题的思路和方法。如在讲完数学期望这节内容后，引出数学期望在风险决策中的应用模型，提出问题：某公司计划开发一种新产品市场，要想获得的利润最大，如何确定该产品的产量。求解此问题的教学过程，就是一个简单的数学建模过程，即从实际问题模型假设建立模型模型求解模型评价的过程，最后由模型应用，对此问题进行推广，引出相应的随机存储、报童的诀窍等问题，以此引发学生的学习兴趣。不仅达到让学生领会“数学期望如何应用”的目的，而且使学生了解数学建模的思想方法，真正领会某些概念的精神实质，实现概率统计知识、能力、素质的培养和提高。
（三）运用问题探究式教学法，培养学生丰富的想象力和探索精神
教学过程中适当提出探究性问题，可激发学生的学习潜能，培养学生的创新意识和探究学习的兴趣。通常根据教学的实际需要，设计不同层次的问题，在课堂上按照教学内容的进展寻机提问，对学生给予启发、引导、分析和评价。这种以学生为主体的问题探究式，促使学生独立思考、积极主动参与课堂互动，有利于学生对基本知识、基本技能的掌握，提高学生应用数学知识解决实际问题的能力，较好地锻炼了学生的创造性思维，培养了学生丰富的想象力和探索精神。
（四）引入讨论式教学法，相互交流、团结协作、共同提高
引导学生课下组成学习小组，进行合作学习、合作研究，对小组学习遇到的问题由组长及时反馈给任课教师寻求解决，教师通过课前或课下答疑等时间向各组长了解情况并及时集体解答。
讨论式教学法，充分发挥了群体的功能，合作学习、合作探索、集思广益，变“个体学习”为“小组学习”和“小组间学习”，有利于师生之间、学生之间的情感沟通和信息交换，使不自信但努力学习的学生消除恐惧，达到共同提高的目的。
二、因材施教，建立课堂教学与课外辅导相结合的分层次教学
（一）提前了解所任班级的学生状况，做好因材施教的准备
首先查阅学生的高等数学成绩，或与高数任课教师交流得到反馈，了解任课班级的学生状况，初步了解部分学生的知识水平、接受能力、学习态度、智力水平等。根据所获信息，初步制定教学方案、研究教学方法、根据学生的接受能力研究教学内容。在教学的全过程中，贯穿以学生为中心的理念，保证大多数同学按大纲较好完成的学习任务，同时兼顾学习基础好的同学在创新意识、实践能力上有提高，数学基础差的同学达到合格标准，使得每个同学在原有基础上得到发展，学有收获，实现共同进步，共同提高。
（二）对于数学基础差和成绩好的学生给予重点关注
利用了概率最贴近生活的优势，结合教学内容，如抽奖，把前排和部分过道的座位当作奖励奖给要关注的数学基础差的同学，教学过程中，注意他们的听课情况，课间随时交流，关注他们对授课内容的接收程度，及时解决或课下解决他们所遇到的问题。通过多关心，多交流，拉近师生之间的距离，形成良好的师生互动和生生互动。同时，向他们宣传学校或国家的各类竞赛和实践活动，介绍我校取得的成绩，引导和鼓励他们参与到我校举办的各类竞技活动中去，再如带领综合能力强的学生参加校内或北京市的大学生URT项目，使他们各方面的综合素质得到提高。
（三）课下积极为学生辅导答疑，完善教学过程，提高教学质量
辅导答疑是概率统计课在教学过程中不可缺少的重要环节。随着科技的发展，移动通信网络、互联网络的普及，使师生的联络更加快捷、方便，为学生答疑的方式也灵活多样。目前教师常用的是微信答疑、面对面答疑。然而，多数学生到了期末要考试了才去答疑。为了加强过程管理，及时得到教学反馈，增进师生感情，缩小了师生之间的距离，教师主动热情并有计划的邀请某些学生前去答疑，通过答疑，了解学生学习的状况，寻求良好的教学方法，充实了课堂教学成果，完善了教学过程，提高了教学质量。学生通过答疑，提高了学习效率，增强了学好概率统计课的自信心。
（四）充分利用W络，为学生自主学习、全面发展提供方便条件
学校的教育在线和精品课网站为教师与学生互相传达信息、学生自主学习、学生提交作业等提供了很好的平台，如何利用好这些网站是我们课程建设的一项重要内容。网站资源丰富，可以拓展学生的视野，课程组提供的网络教学资源主要有课程简介、教学大纲、教学日历、电子教案、电子课件、课后习题、期中和期末模拟试题、部分往届考题及答案、自测题、综合练习题、概率故事等，学生可以根据自己的需要有选择地学习。
三、改革考核方式，加强过程管理，培养学生良好的学习习惯
综合考核学生掌握所学知识的程度，主要包含两部分。
平时考核：注重对学生的过程管理，针对学生的学习态度、出勤率和课堂纪律、完成作业情况、参与教学活动的程度、课堂回答问题、讨论和课堂练习等进行综合评价。
期末考试：考试的内容覆盖教学大纲所要求的几乎所有内容，要求学生掌握基本概念、性质、简单运算以及推理，对学生是否掌握该课程做一全面的考察。概率部分闭卷，数理统计部分半开卷，即将数理统计部分的主要定义、公式、定理印发给学生，消除学生对数理统计公式烦琐、定义复杂的恐惧感，此方法减轻了学生对某些定义、定理和公式等内容进行死记硬背的负担，让学生把精力用在对知识的理解和应用上，以提高学生运用数理统计理论知识解决实际问题的能力。
近几年的考试结果表明，以上教学方法和考核方法不仅提高了学生对概率统计学习的兴趣，消除学生对概率统计学习的畏难情绪和不自信，而且提高了学生学习的积极性，全面提升了学生的综合素质，提高了教学效果。
参考文献：
[1]李志义.解析工程教育专业认证的学生中心理念[J].中国高等教育，2014，（21）：19-22.
[2]李志义.解析工程教育专业认证的成果导向理念[J].中国高等教育，2014，（17）：7-10.
关键词：案例教学法； 概率论与数理统计；独立学院
0. 引言
独立学院的教育承担着培养具有一定理论基础，较高综合素质和较强实践应用能力的技术应用型人才的重任，“把学生培养成务实性的一线技术、管理应用型人才”是独立学院的定位，然而独立学院的《概率论与数理统计》课程的教学并未充分体现这一理念。《概率论与数理统计》是一门研究随机现象及其统计规律性的数学学科，它是高等院校理工、经管等专业的一门重要的公共基础课。《概率论与数理统计》是为了解决与人们生活的现实世界客观事物相关的问题而产生的，因此该课程的最大特点是其应用特色，其理论与方法已被广泛应用于工程的可靠性度量、金融风险、保险精算、环境保护、可持续发展等领域，且其内容与方法对学生后继课程的学习及今后的科研、工作都会产生深远的影响。然而，目前我国《概率论与数理统计》的教学状况令人担忧，许多问题已经到了亟待解决的地步。许多教师在教学中过多地注重数学知识的传授、理论的讲解、逻辑的推导以及运算能力的训练，致使许多学生对《概率论与数理统计》的学习缺乏兴趣。另外，教师常常忽略了对《概率论与数理统计》思想和应用的讲授，致使学生虽然较为系统地学习了概率统计知识但却不知道如何应用，误使学生以为“学习《概率论与数理统计》没有什么实用价值”。因此，为增强学生运用《概率论与数理统计》知识解决实际问题的能力，在教学中适当引入与所讲内容有关的实际案例是解决当前独立学院《概率论与数理统计》教学中所存在问题的一种有效方法。 通过案例教学，不仅可以形象地解释抽象的理论与知识的要点，将理论与实践紧密结合，而且可以有效地开发学生的潜能，培养学生的学习兴趣与综合创新能力，使学生在生活中获得知识.那么，怎样才能将案例成功的运用于教学中呢？
1. 案例教学法的优点
所谓案例教学法是指教师根据教学内容选择适当的案例作为教学材料，引导学生独立思考，组织学生进行讨论和分析，最后提出见解、做出判断和决策的教学方法。案例教学法的优点主要有以下几个方面：
（1）有利于提高学生的学习兴趣。对独立学院学生来说，《概率论与数理统计》课程逻辑性强、理论抽象、枯燥难学。在教学过程中教师都尽量培养学生的逻辑思维能力，但在理论分析与定理证明的过程中，学生的学习兴趣也逐渐被枯燥的理论所消磨殆尽。教师经常在教学中大力宣扬这门课来源于生活，并可以用来解决生活中的问题。但学生始终不明白这些理论到底能用到哪里？怎样解决生活中的问题？案例教学法成功地把枯燥的理论知识与实际问题联系起来，把书本上不变的知识应用到了千变万化的实际问题中，既能加强学生对该课程重要性的认识，又能提高学生的学习兴趣。
（2）有利于全方位调动学生学习的主观能动性。在独立学院《概率论与数理统计》课程的教学中，大部分教师都采用传统的“一支粉笔+一块黑板=一堂课”的教学方法，学生在教学中都是被动的接受知识，讲师讲什么，学生就听什么，学生从不主动参与到课堂教学中，不能体现其主体地位。案例教学法是通过教师的引导、学生的独立思考以及学生之间的讨论来解决问题，而不是由教师直接告诉学生问题的答案。因此，在案例教学过程中，学生可以逐渐培养独立思考和主动学习的能力。
（3）有利于提高学生的语言表达能力。案例教学中，在教师给出问题的引导思路后，学生要各抒已见，在阐述自己观点的过程中，不但可以帮助学生加强理解和巩固所学的理论知识，增强学生的胆识，还能提高学生的口头表达能力。案例讨论结束后，学生需要写案例分析报表，这在很大程度上提高了学生的书面表达能力。
（4）有利于培养学生团结合作的意识。在案例教学过程中，教师与学生在教学中的角色发生转换。教师不再是讲授者，而是组织者、引导者，主要负责引导学生思考，组织学生进行讨论；学生不再是被动的听课、记笔记，而是积极参与到案例讨论中阐述自己的观点。在案例讨论中，学生需要与组内成员互相交流，能够培养学生团结合作的意识。
（5）有利于实现教学相长，提高教师的教学水平。在案例教学过程中，教师既是教学的主导，担负着把握教学进度、引导学生思考、组织讨论研究、进行归纳总结的任务；同时在共同讨论中，不但可以发现自己的弱点，还能发现学生知识的薄弱之处，在后续教学中可以及时进行查漏补缺，并且教学更有针对性。由于调动了全体学生参与其中，容易开阔思路，实现教学相长。
（6） 有利于形成师生之间更加和谐的关系。通过案例教学，教师与学生在课后的关系非常融洽，学生愿意向教师请教在学习、生活中所遇到的问题，教师也会给与一定的帮助，这样师生之间亦师亦友，形成了一种和谐的师生关系。
2. 案例教学法在独立学院《概率论与数理统计》课程教学中的实施方案
在独立学院《概率论与数理统计》课程教学中，大量理论知识的讲解与公式的推导会让学生对该课程的学习失去兴趣，结合案例教学可以使教学形式多样化，使教学内容生动化。案例教学把理论与实践进行有机结合，通过生动有趣的内容把学生吸引到教学中，调动了学生的学习积极性，从而有利于学生分析问题、解决问题能力的提高。
2.1.教学案例的选择
案例教学的成功取决于案例的选择是否合适。案例不同于一般的例题，必须有产生问题的实际背景，并且为学生所理解，这就要求教师在选择或编制案例时，应注意以下几个问题。首先，案例的选择要具有典型性。要能够从这个典型案例的解决过程中得出一种分析、处理类似案例的一般性方法，达到举一反三、融会贯通的作用；其次，案例的选择要具有针对性。教师在课前要根据教学内容与目标有针对性地选择案例。再次，案例的选择要难易适中，尽量由简入难。在教学中，需要选择不同难易程度的案例来实现教学目的，比如教学初期由于掌握的理论知识相对单薄，就选择分析已解决的简单案例，等到知识达到一定量时就可过渡到分析决策型案例，这类案例应作为案例分析的重点。最后，案例的选择要强调专业理论与实践的融合性。教师应选择紧扣时代热点的、与生活密切相关的、学生比较有兴趣的、与学生专业相关的、便于实际操作的案例，这样学生参与讨论的兴趣才会提高，才能达到案例教学的目的.
2.2案例的分析和讨论
在实施案例教学时，教师应根据教学内容与要求选择合适的案例，案例提供给学生以后，以方便讨论为原则将学生进行分组，以小组为单位对案例进行分析。在学生做好充分准备后，即可进入案例讨论阶段。案例教学法是以教师为主导，学生为主体的教学方式，因此，教师不仅要让出讲台，更要做好一名引导者和组织者。在开展案例讨论时，教师要维持好课堂秩序、把握好案例讨论的方向和进展，保证案例教学的重点突出，保证在有限的时间里完成教学任务。此外，教师应充分调动学生的主观能动性，让学生独立地应用所学的知识分析案例，找出解决问题的最佳方案。在讨论中，如何提出问题、展开讨论，如何突出重点、突破难点是教师要研究的重点。首先，教师应具有敏锐的观察力，从学生的表情中捕反馈信息，及时采取有效的措施进行引导。其次，要给学生创造一个相对宽松、愉快的课堂环境，有利于学生畅所欲言。案例教学给学生提供一个相互交流的平台，让学生通过讨论学会如何接受其他人的观点、如何与他人进行交流合作，如何理解并借鉴他人分析问题、处理问题的方法。案例教学需要打破常规的教学思维，比起结果，更看重的是分析问题的过程。
2.3案例的总结和案例分析报告的撰写
讨论结束后，教师要及时对讨论的思路是否清晰，分析的方法是否得当，解决问题的途径是否正确等进行总结。总结阶段是案例教学的最后一个阶段，也是堂该课的，教师要综合学生解决问题的思路与方法的难易程度，采用不同的策略进行点评，但不进行优先排序，以免使有些同学对自己的方法失去信心。在这一环节中，对学生在讨论中暴露出的问题和不足要给予正确的心析，并找出解决问题的最佳方案；同时，对于案例讨论过程中好的分析问题的思路和独特的见解要给予充分的肯定。学生在案例讨论结束后，要撰写案例分析报告。案例分析报告是一次案例分析课的全面总结，一方面可以巩固案例讨论中涉及的理论知识，还可以回顾案例分析中解决问题的方法，从而提高学生的学习能力；另一方面通过案例分析报告的撰写，可以逐步提高学生的总结能力和写作水平。
3. 案例教学法在组织实施中存在的问题
目前，案例教学已被越来越多的人接受，也逐步在各类法学与金融课程中广泛应用。但是，《概率论与数理统计》课程的案例教学还处于起步阶段，尤其是在独立学院。因此，在独立学院《概率论与数理统计》课程实施案例教学还存在一些问题。主要表现在以下几个方面：
（1）缺乏适应于教材内容的案例。案例教学法的支持系统是案例，要采用案例教学法，就需要有大量的与教学内容匹配的案例。目前，《概率论与数理统计》课程的案例教学还处于探索阶段，案例教材明显不足，这就需要广大教师在教学中积极搜集资料，围绕教学内容精心编制符合教学要求的案例教材，为实施案例教学奠定基础。
（2）教师的案例教学能力不足。采用案例教学法不但要求教师要具备较强的分析和解决实际问题的能力，还要对学生在案例分析讨论中具有较强的驾驭能力。由于独立学院的教师结构相对复杂，除了外聘教师外，自由专职教师都是近几年参加工作的，他们的教学经验不足，对案例教学更加缺乏经验，所以不能有效地引导学生对案例进行分析和讨论，在这种情况下进行案例教学，不能全面地对案例进行启发，也不能对案例进行深入、透彻地点评，从而影响案例教学的效果。所以，要在独立学院《概率论与数理统计》课程中使用案例教学法，教师就必须不断加强对专业知识的学习，不断提高自身的综合素质，不断提高自身的实践教学能力。
（3）学生的知识储备不足，学习方法不当。案例教学是具有较高难度的教学模式，在对教师要求较高的同时，对学生的要求也相对较高。案例教学要取得较好的教学效果，学生不但要掌握本课程的理论知识，还需要具有广泛的背景知识和相关知识。对于长期接受“填鸭式”教学的学生来说，案例教学尽管让他们有了新鲜感，并且对该课程产生了浓厚的兴趣，但对于案例中提出的问题往往束手无策，导致学生不能全部参与其中，学习效果不甚理想。
4. 结语
案例教学法作为一种开放的教学方式，其优点在于通过将实际生活中的具体问题引入课堂，并对其进行具体分析，使学生能够尽可能的参与到课堂教学中，成为教学活动的主体，从而克服了传统教学法中教师在唱“独角戏”的不足。案例教学法不主张学生死记硬背，更重视对学生思维能力、分析能力和判断能力以及综合运用所学知识处理现实中错综复杂问题能力的培养，最终的目的是达到学以致用。因此，案例教学法在提高学生的应用能力方面具有其他教学方法所不能比拟的优点。但案例教学法在独立学院《概率论与数理统计》教学中尚处于一个探索阶段，还需要广大教师在教学实践中不断地去思考、完善它。■
参考文献
【1】傅文.案例教学法在《概率论与数理统计》教学中的应用[J].教育教学论坛，2013，（1）：72-74.
【2】阮曙芬.独立学校《概率论与数理统计》教学的探索与研究 [J]. 数学学习与研究，2014，（1）：11，13.
【3】赵姝淳.概率论与数理统计创新教学模式初探[J].高等教育研究学报，2001，24（ 1）：49-52.
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