时间：2023-09-25 17:40:30
导语：在数学中的反证法的撰写旅程中，学习并吸收他人佳作的精髓是一条宝贵的路径，好期刊汇集了九篇优秀范文，愿这些内容能够启发您的创作灵感，引领您探索更多的创作可能。
一、反证法的简单介绍
反证法又称归谬法、背理法，是一种论证方式，属于“间接证明” 的一种（引用于现行人教版数学教材）.所谓反证，就是将要证明的反面情况驳倒就可以了.首先假设原命题不成立（即我们在原命题的条件下，假定结论不成立），据此推导出明显矛盾的结果，从而得出结论说原假设不成立，原命题得证.
关于反证法的逻辑依据不得不提两个重要的思维方式――“矛盾律”和“排中律”.矛盾律：在同一论证过程中，两个互相反对或互相否定的论断，其中至少有一个是假的.排中律：任何一个命题判断或思想或者为真或者为假（不真），二者必居其一. 法国数学家J・阿达玛曾概括为：“这证法在于表明：若肯定定理的假设而否定其结论，就会导致矛盾.”这就是说反证法并非直接证明命题的结论，先是提出与需证结论反面的假定，然后推导出和公理、定理、定义或与题中假设相矛盾的结果.这样，就证明了与待证命题的结论相反的假设无法成立，从而肯定了原来待证命题.用反证法完成一个命题的证明，大体上有三个步骤：否定结论 推导出矛盾 结论成立.
二、反证法在数学解题中的应用
（一）在肯定性命题中的应用
即结论以“……总是……”、“……都……”、“……全……”等出现的，这类肯定性命题可以用反证法进行尝试.
如（代数问题）求证：无论n是什么自然数，总是既约分数.
证明：假设不是既约分数，
令21n+4=k？琢 （1），14n+3=kb （2），（k，？琢，b？缀N，k>1）
既约，由（2）×3-（1）×2得3kb-2k？琢=1？圯3b-2？琢=，因为3？琢-2b整数，为分数，则3？琢-2b=不成立，故假设不成立，分数是既约分数.
（二）在否定性命题中的应用
即结论以“没有……”“不是……”“不能……”等形式出现的命题.
（三）在限定性命题中的应用
在命题结论中含有“至少”、“不多于”、“至多”或“最多”等词语.
如（代数问题，抽屉原理）把2110人分成128个小组，每组至少1人，证明：至少有5个小组的人数相同.
证明：如若128个小组中，没有5个小组的人数相同.则至多有4个小组的人数相同.那么不同人数的小组是：128÷4=32个，对32个小组，我们这样分组：有4个组每小组1人，有4个组每小组2人，有4个组每小组3人，依法分组……有4个组每小组32人，故有：
4×（1+2+3+……+32）=4×[32×（1+32）÷2]=2112
这样2112-2110=2（人） ，多出2人.故以上多于1人或2人的某一个小组人数就减少1人或2人，那么相同人数的组数就比4个多了，即5个或多于5个以上. 故至少有5个小组的人数相同.
（四）在不等量命题中的应用
不等式是学生需掌握的一大重点.当不等式的反面情况比较少时，题中若要求证明不等式成立时，那么只需用反证法来证实其反面不成立.
（五）在互逆命题中的应用
已知原命题是正确命题，在求证其逆命题时可使用原命题结论，此时反证法为解题提供更多便捷.
如（平面几何问题）
原命题：若四边形有一个内切圆，则对边之和必相等.
逆命题：若四边形对边之和相等，则它必有一个内切圆.
逆命题的证明：
三、对反证法运用的思考
（一）在解题时，仔细审题是第一步.当运用反证法时，正确否定命题的结论是首要问题.要使一个待证命题的结论成立，需根据正难则反的原则.从结论的反面来间接思考问题，值得注意的是命题结论的反面情况并非唯一.若结论的反设只有一种情况，称之为简单归谬.例如，证明根号2是无理数，只需证根号2不是有理数.若结论的反面不止一种情况，称之为穷举归谬.必须将所有可能情况全部例举出来，并需要不重不漏地一一否定，只有这样才能肯定原命题结论成立.例如，证明某类数不为正数，则可以从正数的反面负数与零入手.
（二）明确逻辑推理的特点
反证法的任务首先需否定结论导出矛盾.至于出现什么样的矛盾，何时出现矛盾，矛盾是以何种方式存在，都是我们无法计算和预测的.证明的过程没有一个机械的统一标准，但最终都会得到矛盾，而这个矛盾一般总是在命题的相关领域内进行考虑.例如，空间解析几何，平面几何，代数等问题常常与相关的公理、定理、定义等相联系.正因为与这些公式的规则，定理相互矛盾，进而说明原结论的正确性.这便是反证法的推理特点.做到正确否定命题结论，严格遵守推理规则，推理过程中步步有理有据，矛盾出现时，证明就已完成.
（三）了解产生矛盾的种类
矛盾的出现有很多种，知道导致矛盾的种类，可以更迅速，更有效的解题.
数学命题的证明分直接证法和间接证法两种．在间接证法中，最常见的是反证法．虽然平时我们接触了相关方面的知识，但比较零散，对其概念、应用步骤、使用范围等没有系统的认识，并且由于数学命题的多样性、复杂性， 哪些命题适宜用反证法很难给与确切的回答，本文就反证法的概念、分类、步骤以及哪些适宜从反证法出发进行证明的问题进行了归纳．
2 反证法的定义
什么是反证法？法国数学家阿达玛曾对它做了一个精辟的概括：此证法在于表明：若肯定定理的假设而否定其结论，就会导致矛盾．可见，利用推理中出现的矛盾可以证明数学中的一些结论，这就是反证法．
反证法是从一个否定原结论的假设出发，经过正确的推理而得到（与公理、定理、题设等）相矛盾的结论，由于推理和引用的证据是正确的，因此出现矛盾的原因只能认为是否定原结论的假设是错误的，从而得到原结论成立．
用反证法不是从正面确定论题的真实性，而是证明它的反论题为假或改证它的等价命题为真．
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“反证法”是数学中的一种重要的证明方法，不少的数学问题的证明都要用反证法，但是不少学生对学习反证法感到吃力。这里的原因除了与在证明过程中的其他因素有关外。还有一些阻力是来自学生心理上的障碍。其实心理障碍即使在使用直接证明方法时，也或多或少干扰着学生推理的顺利进行。比如，看到两个三角形相象时，思考过程中就老是受视觉上的支配而不自觉地用这两个三角形全等作为条件来进行推理。这种来自心理上的障碍虽然老师们都能明显的感觉到，但通常易把它与来自其他因素的推理障碍相混。没有在客观上把清除心理障碍当作突破反证法的教学难点来考虑。
二、克服反证法教学心理障碍
学生的心理结构的发展过程包括图式—同化—顺应—平衡等四个过程。当一个新知识出现时，学生首先是用旧的认识结构对其进行解释与吸收，将新知识纳入原有的认识结构之中。当原有的认识结构不能解释，不能容纳新知识时，则内部系统及对原有认识结构进行重新改组，扩大。使之足以包摄新知识，达到新的平衡。学生在以往学习的只是直接证明方法，推理中的每一步在感知上和逻辑上都不会与原有的知识系统和认识图形相互矛盾。他们在具体证明某一题目时，只须将题目具体内容“同化”到他们原有的认识结构或演绎体系中去。这种感知上与逻辑上的一致性已经形成了他们进行演绎推理的心理基础，成为他们达到心理平衡的依据。运用直接证明方法时，也有心理障碍存在，但那是由于在错觉影响下，或在下意识作用下的原因所造成的。而学习反证法时，推理过程中出现的是感知与逻辑上矛盾的情形，与错觉或下意识是不同的。要使学生真正掌握反证法。不将学生原有的演绎体系提高到更高的层次，也就是进行“顺应”的过程，是不可能的。反证法的教学，不应拘泥于教材，宜采取分散难点，逐步渗透，不断深化的方法。有步骤、有计划地落实到教学之中，着重培养学生进行形式演绎的能力。
结果，指导学生练习时，一定要突出两点：一是要将结论的反面当成新的已知条件后，才能由此推出矛盾的结果，否则就不能导致矛盾。二是推理要合乎逻辑，否则即使推出了矛盾后，也不能断言假设不成立。也就是说在“归谬”的过程中其推理应是无懈可击的，其矛盾的产生并非别的原因，只因反设不成立所致。同时，导致矛盾又有如下几种情况：一是与已知条件矛盾。
二是与已学定义、公理、定理相矛盾。三是与题设相矛盾。
3、“结论”的练习：“反证法”中的结论是指最后得出所证命题的结论。教学时，一定要严格要求“结论”准确。否则，将前功尽弃。
（四）比较辨析，恰当运用“反证法”
“反证法”在几何、代数、三角等方面都能应用。教学时，为了扩展学生的视野，激发学生积极性，可适当补充这方面的练习题。另一方面，学生学了“反证法”之后，企图什么证明题都想用“反证法”来证，结果使一些简单问题复杂化了，以致弄巧成拙。教学时还应强调，什么时候用“直接证明法”，什么时候用“反证法”，应依所证命题的具体情况恰当使用。 原则上是“以简
（一）浅显事例引入“反证法”的基本思想
学生刚接触“反证法”时，对于此法中根据排中律而“否定反面，肯定正面”的基本思想感到陌生。教学时，可通过学生已有实践体会的浅显的生活方面的事例让学生逐步领会。开始将“反证法”用于解题时候，也宜于用学生已掌握的而且也是最浅显的例子引入。
（二）精讲例题，找出“反证法”的基本规律
有前面的基础，就要注意讲好每一个具有代表性的例题。特别是重要讲好建立新概念或引出新方法时的第一个例题。教学时，宜于运用具体的几何实例。逐步说明证明的过程，并启发学生沿着思维规律进行思考，得出“反证法”的一般步骤和规律：
1、反设：将结论的的反面作为假设。
2、归谬：将“反设”作条件，由此推出和题设或者和公理、定义、已证的定理相矛盾的结果。
3、结论：说明“反设”不成立，从而肯定结论不得不成立。
（三）加强练习，培养用“反证法”证题的基本能力
在学生初步领会“反证法”的基本思想，掌握“反证法”的基本方法以后，还应靠足够的练习来逐步培养学生运用“反证法”证题的能力。练习要有针对性，要重点突出，根据“反证法”的特点，练习的着重点应放在“反设”、“归谬”、“结论”三个方面。
1、“反设”的练习：“反设”即为“否定结论”，它是反证法的第一步，它的正确与否，直接影响着“反证法”的后续部分，学生初学时，往往去否定假设，教学时，应注意纠正。要突出“反设”的含义就是“将结论的反面作为假设”。在思考途径上可指导学生按以下几步进行：第一要弄清所证命题的题设和结论各是什么。第二找出结论的全面相反情况，注意不要漏掉又不要重复。第三否定时用“不”或“不是”加在结论的前面，再把句子化简。
2、“归谬”的练习：“归谬”即“假定结论的反面成立，而导致矛盾。”就是说将结论的反面作为条件后，经过逻辑推理，导出矛盾的结果，这不但是反证法的主要部分，而且也是核心部分。学生初学时，为宜”。一般来说，用“直接证法”的时候居多，但遇下列情况可考虑用“反证法”。
1、当直接证明某个命题有困难或不可能时，可考虑使用“反证法”。
2、否定性问题：在此类问题中，结论的反面即可能就更为具体，常常可以由此去推出矛盾，从而否定可能，而肯定了不可能。
3、唯一性问题：此类问题中，结论的反面是不唯一的，那么，至少可有两个不同者，由此去推出矛盾，来否定不唯一，从而肯定唯一。
4、肯定性问题：此类问题中，有个带肯定性的结论，其反面就是对前者的否定，由此去推出矛盾，从而使问题获证。
有个很著名的“道旁苦李”的故事：从前有个名叫王戎的小孩，一天，他和小朋友发现路边的一棵树上结满了李子，小朋友一哄而上，去摘，尝了之后才知是苦的，独有王戎没动，王戎说：“假如李子不苦的话，早被路人摘光了，而这树上却结满了李子，所以李子一定是苦的。”这个故事中王戎用了一种特殊的方法，从反面论述了李子为什么不甜，不好吃。这种间接的证法就是我们下面所要讨论的反证法。
二、反证法的定义、逻辑依据、种类及模式
定义：反证法是从反面的角度思考问题的证明方法，属于“间接证明”的一类，即肯定题设而否定结论，从而导出矛盾，推理而得。
种类：运用反证法的关键在于归谬，因此反证法又称为归谬法。根据结论B的反面情况不同，分为简单归谬法和穷举归谬法。
模式：设待证的命题为“若A则B”，其中A是题设，B是结论，A、B本身也都是数学判断，那么用反证法证明命题一般有三个步骤：
反设：作出与求证结论相反的假设；
归谬：将反设作为条件，并由此通过一系列的正确推理导出矛盾；
结论：说明反设不成立，从而肯定原命题成立。
三、反证法的适用范围
1、否定性命题
即结论以“没有……”“不是……”“不能……”等形式出现的命题，直接证法一般不易入手，而反证法有希望成功。
例求证：在一个三角形中，不能有两个角是钝角。已知：∠A，∠B，∠C是三角形ABC的三个内角。求证：∠A，∠B，∠C中不能有两个钝角。
证明：假如∠A，∠B，∠C中有两个钝角，不妨设∠A＞900,且∠B＞900，则∠A+∠B+∠C＞1800。这与“三角形内角和为1800”这一定理相矛盾。故∠A，∠B均大于900不成立。所以，一个三角形不可能有两个钝角。
2、限定式命题
即结论中含有“至多”、“至少”、“不多于”或“最多”等词语的命题。
例在半径为的圆中，有半径等于1的九个圆，证明：至少有两个小圆的公共部分的面积不小于。
证明：每个小圆的公共部分的面积都小于，而九个小圆共有个公共部分，九个小圆的公共部分面积要小于，又大圆面积为，则九个小圆应占面积要大于，这是不可能的，故至少有两个小圆的公共部分面积不少于。
例已知方程，，中至少有一个方程有实数值，求实数的取值范围。
分析：此题直接分情况用判别式求解就特别麻烦，可用反证法，假设三个方程都无实数根，然后求满足条件的集合的补集即可。
证明：假设三个方程都无实根，则有：
解得
例已知m，n，p都是正整数，求证：在三个数中，至多有一个数不小于1．
证假设a，b，c中至少有两个数不小于1，不妨设a≥1，b≥1，则 m≥n+p，n≥p+m．
两式相加，得2p≤0，从而p≤0，与p是正整数矛盾．
所以命题成立．
说明“不妨设”是为了简化叙述，表示若有b≥1，c≥1和a≥1等其他各种情况时，证明过程是同样的．
所求的范围为、
3、无穷性命题
即涉及各种“无限”结论的命题。
例求证：是无理数。
分析：由于题目给我们可供便用的条件实在太少，以至于正面向前进一小步都非常困难。而无理数又是无限不循环的，“无限”与“不循环”都很难表示出来。当反设是有理数时，就增加了一个具体而有效的“条件”，使得能方便地将表示为一个分数。
证明：假设是有理数，则存在互质，使，从而，为偶数，记为，，，则也是偶数。由,均为偶数与、互质矛盾，故是无理数。
例求证：素数有无穷多个。
证明：假设素数只有n个：P1、P2……Pn，取整数N=P1?P2……Pn+1，显然N不能被这几个数中的任何一个整除。因此，或者N本身就是素数（显然N不等于“P1、P2、……Pn中任何一个），或者N含有除这n个素数以外的素数r，这些都与素数只有n个的假定相矛盾，故素数个数不可能是有限的，即为无限的。
四、运用反证法应注意的问题
1、必须正确否定结论
正确否定结论是运用反证法的首要问题。
如：命题“一个三角形中，至多有一个内角是直角”。“至多有一个”指：“只有一个”或“没有一个”，其反面是“有两个直角”或“三个内角都是直角”，即“至少有两个是直角”。
2、必须明确推理特点
否定结论导出矛盾是反证法的任务，但何时出现矛盾，出现什么样的矛盾是不能预测的，也没有一个机械的标准,有的甚至是捉摸不定的、一般总是在命题的相关领域里考虑（例如,平面几何问题往往联系到相关的公理、定义、定理等），这正是反证法推理的特点。因此，在推理前不必要也不可能事先规定要得出什么样的矛盾。只需正确否定结论，严格遵守推理规则，进行步步有据的推理，矛盾一经出现，证明即告结束。
五、小结
关键词:逆向思维 培养思维品质
中图分类号:G623.5文献标识码:A 文章编号:1673-0992(2010)05A-0145-01
逆向思维,是与人们长期形成的思维习惯相悖的思维方式,具有很强的创造性。因此,在数学教学中,注重对学生的逆向思维训练,对激发学生的学习兴趣,培养学生良好的思维品质是十分必要的,也是非常重要的。教学中要善于挖掘逆向思维训练素材,不失时机的对学生进行训练。笔者在长期教学活动别注重从以下几方面挖掘逆向思维素材。
一、激发学生思维的兴趣
外因是变化的条件,内因是变化的根据。兴趣是最好的老师,因此在数学教学中教师应该想方设法激发学生思维的兴趣,增强学生逆向思维的积极性。
(1)真正确立学生在教学中的主体地位。使学生成为主宰学习的主人、学习活动的主动参与者、探索者和研究者。
(2)实例引路。教师要有意识地剖析、演示一些运用逆向思维的经典例题,用它们说明逆向思维在数学中的巨大作用以及它们所体现出来的数学美,另一方面可列举实际生活中的一些典型事例,说明逆向思维的重要性,从而逐渐激发学生思维的兴趣,增强学生逆向思维的主动性和积极性。
(3)不断提高教师自身的素质。教师渊博的知识和超凡的人格魅力也能在一定程度上激发学生学习兴趣和思维的积极性和主动性。
二、帮助学生理顺教材的逻辑顺序
由于种种原因,教材的逻辑顺序与学生的心理顺序可能或多或少地存在着矛盾,而这些矛盾势必妨碍学生思维活动的正常进行,因此,教师在钻研教材时必须找出这些矛盾并帮助学生加以理顺,只有这样,才能保证学生思维活动的展开。例5ABC中,AB
作ADBC,垂足为D点,在BC上截取DE=BD,连结AE,则∠AEB=∠B. 过AC中点M作MP∥AE,交BC于P,MD就是所求的剪切线。剪下MPC,可以拼成等腰梯形ABPQ。 可见教师在备课时能及早发现教材的逻辑顺序,发挥教材中互逆因素的作用
1.从定义的互逆明内涵
(1)重视定义的再认与逆用,加深对定义内涵的认识。许多数学问题实质上是要求学生能对定义进行再认或逆用。在教学实践中,有的学生能把书上的定义背得滚瓜烂熟,但当改变一下定义的叙述方式或通过一个具体的问题来表述时,学生就不知所措了。因此在教学中应加强这方面的训练。
逆用定义思考问题,往往能挖掘题中的隐蔽条件,使问题迎刃而解。
(2)过互逆定义把握定义间的联系。指数函数与对数函数、函数与反函数等都是互逆的定义,互逆定义之间有着天然的联系,教学中要着重使学生理解怎样从一个定义导出另一个与它互逆的定义,向学生灌输转化的思想,揭示定义间相互联系,当然也包括找出不同点。
2.从公式的互逆找灵感
(1)会公式的互逆记忆。很多数学问题是逆用公式的问题,要更好地解决这类问题,首先应该让学生知道公式的互逆形式,学会公式的互逆记忆。
(2)逆用公式(包括公式变形的逆用)。往往可以使问题简化,经常性地注意这方面的训练可以培养学生思维的灵活性、变通性,使学生养成善于逆向思维的习惯,提高灵活运用知识的能力。公式逆用是学生常常感到困惑的一个问题,也是教学中的一个难点,教学中必须强化这方面的训练。
3.从定理、性质、法则的互逆悟规律
数学中有许多可逆定理、性质和法则,恰当地运用这些可逆定理、性质和法则,可达到使学生将所学知识融会贯通的目的。
(1)让学生学会构作已知命题的逆命题与否命题,掌握可逆定理、性质和法则的互逆表述。交换原命题的条件和结论,所得的命题是逆命题;同时否定命题的条件和结论,所得的命题是否命题。教学中要用一定的时间、适当的训练量加强学生这方面的练习,打好基础。
(2)掌握四种命题间的关系。互逆命题和互否命题都不是等价命题,而互为逆否关系的命题是等价命题。学生搞清四种命题间的关系,不仅能掌握可逆的互逆定理、性质、法则,而且能增强思维的严谨性和灵活性,培养创造性思维能力,也是科学发现的途径之一。
(3)掌握反证法及其思想。反证法是一种间接证法,它是通过证明一个命题的逆否命来证明原命正确的一种方法,是运用逆向思维的一个范例。一些问题运用反证法后就显得非常简单,还有一些问题只能用反证法来解决,因此反证法是高中生必须掌握的一种数学方法。反证法的思想在其他学科和其他领域也有着广泛的应用,应该重视。
(4)正确应用充要条件。“充要条件”是高中数学中一个重要的数学概念,是解决数学问题时进行等价转换的逻辑基础。一个定理如果有逆定理,那么定理、逆定理合在一起,就可构作一个充要条件。重视充要条件的教学,使学生能正确应用充要条件可培养学生的逆向思维能力。
三、采用直观教学,为学生提供逆向思维的基础
一、创设问题情境，让学生在问题的处理中培养创新意识
数学是思维的体操，学生的思维孕育于问题之中。在数学教学中教师要精心创设问题情境，开启学生思维的闸门，促使学生的思维活动有序开展。
1.创设问题情境，开启学生思维之门。
问题是打开学生思维之门的钥匙。在课堂教学中，教师要恰当准确地提出问题，将学生的思维引入佳境。如在“空间中直线与直线之间的位置关系”的教学中，我首先引导学生思考：同一平面内的两条直线，其位置关系有哪几种？空间中的两条直线呢？在给学生出示了问题之后，我请学生观察教室的墙角线，课桌面的边线，教室的门沿线，思考它们所在的线面之间有什么样的不同关系？用大家熟悉的事物，激起学生的探究意识，吸引他们积极主动地发散思维，思考问题。
2.注重启发引导，保持思维的持续性。
人认识事物的过程是由具体事物到思维的抽象，再升华为思维的具体的过程。研究数学问题的过程一般都是从具体事物抽象为理性认知，在此过程中，将数学问题附着在数学例题之上，使被抽象出来的数学问题再回归实践。那么，如何实践，从而保持思维的持续性呢？
首先，要让学生有思维的时间。实践表明，学生思考的时间如果非常短暂，思维就会很仓促，思维的全面与完整就会大打折扣，这显然不利于培养学生良好的思维品质。
其次，启发要密切联系学生的思维状况。教师在提出问题之后，要先给学生思维的时间和空间，在学生思维遭遇障碍之后，教师应作适当的启发引导。启发引导要瞄准学生思维的关键点，因势利导地给予点拨，既不能越俎代庖，让学生直达思维彼岸，又不能不顾学生的思维实际，蜻蜓点水，使学生不得要领，雾里看花，失去点拨的意义。
最后，通过不断迈向纵深的新问题延续学生的思维。问题是数学的心脏，学生的思维品质就是在不断提出问题、解决问题的过程中形成的。在数学教学中，教师要不断地给学生呈现新的问题，让学生的思维潜能最大限度地得以挖掘，从而使数学思维持续不断地健康发展。
数学课堂教学是数学思维的教学，在教学中，教师要想方设法地通过对学生数学知识的传授，让学生在数学问题的解决中全面准确地暴露思维过程，同时给予恰到好处的启迪和点拨，从而真正让思维发展为学生创新素养的提高奠定基础。
二、培养逆向思维，让学生在思维的互补中优化创新本领
伽利略说：“科学是在不断改变思维角度探索中前进的。”要培养学生的创新本领，提高学生的创新素养，对学生进行逆向思维的培养训练是不可或缺的。但是，普通高中学生往往习惯于正向思维，对问题的思考沿袭传统的方法，这显然会使个体的思维落入俗套，不利于创新思维的发展。因此，在数学教学中，教师要结合教材内容，强化学生逆向思维的培养，让他们学会从多个角度，尤其是从反面思考问题，从而帮助他们提高分析问题、解决问题的能力。
1.强化反证法教学。
反证法是数学教学一种常见的方法，其特点是先给出与结论相反的假设，然后得出与公理、定义或题设相矛盾的结果，从而说明前面的假设是错误的，是不成立的，也间接地肯定了原来求证的结论正确。因此，反证法可谓发展逆向思维的重要方法。部分数学教师在日常教学中，形成了固定的思维模式，只是在立体几何及不等式的教学中才会谈及反证法，而在其他地方则很少涉及，这样学生对反证法的印象好像只能在特定的问题上才能用，事实并非如此。教师在讲解很多问题时，都可渗透反证法的思想，让学生学会从问题的反面思考问题的形成过程，更容易让学生深化对问题的认识，对培养学生的逆向思维尤为重要。
2.注重分析法的运用。
数学分析是数学学习上升到一定阶段后一种非常重要的方法，它对培养学生的思维的逻辑性和严谨性具有独特的作用。古希腊数学之精华，欧氏几何的基础――《几何原本》就是古希腊数学家欧几里得运用分析法的结晶。在教学过程中，教师要充分引导学生学会分析，展示思维过程，从而优化学生的思维品质，为逆向思维能力的培养奠定基础。
3.学会搜集反例。
数学是严谨的科学，数学规律的形成必然注定是全面的。在数学发展中，巧妙地列举反例，灵活地引入一些个案，可让学生对规律形成过程的严谨性产生思考，从而更全面地认识事物，加深对规律的判断。
三、协调两种关系，让学生在思维品质的完善上发展创新思维
1.直觉思维与逻辑思维。
思维按其方式看，可分为逻辑思维和直觉思维。事实上，二者是密切联系、不可分割的，那种将二者对立起来，认为它们是水火不容的观点是错误的。教师在培养学生思维品质的过程中，要激发学生数学学习的自信心，引导他们大胆猜测，勇于提出自己的看法和观点，从而不断迸发创新的火花，产生顿悟的灵感。当然，这种顿悟和创新绝非空穴来风，也绝非主观臆断，它同样需要教师严格的推导和论证，这就要求培养学生严格的逻辑思维，从而为直觉思维提供理论基础。
2.定势思维与创新思维。
新n程标准指出，教师应激发学生的学习积极性，向学生提供从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验.学生是数学学习的主人，教师是数学学习的组织者、引导者与合作者.新课标把数学思想方法作为基础知识的重要组成部分明确提出来，不仅是课标体现义务教育性质的重要表现，也是对学生实施创新教育、培训创新思维的重要保证.
所谓数学思想，就是对数学知识和方法的本质认识，是对数学规律的理性认识.所谓数学方法，就是解决数学问题的根本程序，是数学思想的具体反映.数学思想是数学的灵魂，数学方法是数学的行为.运用数学方法解决问题的过程就是感性认识不断积累的过程，当这种量的积累达到一定程度时就产生了质的飞跃，从而上升为数学思想.若把数学知识看作一座宏伟大厦，一幅构思巧妙的蓝图就相当于数学思想，那么数学方法相当于建筑施工的手段.
新课标要求，渗透层次教学.数学新课标对初中数学中渗透的数学思想方法划分为三个层次，即了解、理解和应用.在教学中，要求学生了解的数学思想有：数形结合思想、分类思想、化归思想、类比思想和函数思想等.这里需要说明的是，有些数学思想在数学新课标中并没有明确提出来，如化归思想是渗透在学习新知识和运用新知识解决问题的过程中的，方程（组）的解法中就贯穿了由“一般化”向“特殊化”转化的思想方法.
在教学过程中，教师不仅应该使学生领悟到数学思想的应用，而且要激发学生学习数学思想的好奇心和求知欲，促使学生独立思考，不断追求新知，发现、提出、分析并创造性地解决问题.在数学新课标中要求了解的方法有分类法、类比法、反证法等.要求理解或应用的方法有待定系数法、消元法、降次法、配方法、换元法、图象法等.在教学中，教师要认真把握好了解、理解、应用三个层次，不能将了解的层次提高到理解的层次，也不能把理解的层次提高到应用的层次.比如，初中数学九年级上册中明确提出反证法的教学思想，且揭示了运用反证法的一般步骤，但数学新课标只是把反证法定位在通过实例体会反证法的含义的层次上，教学中教师应把握住这个“度”，不能随意拔高、加深.
一、 了解课标要求，把握教学方法
《数学新课标》对初中数学中渗透的数学思想、方法划分为三个层次，即“了解”、“理解”和“会应用”.在教学中，要求学生“了解”数学思想有：数形结合的思想、分类的思想、化归的思想、类比的思想和函数的思想等.这里需要说明的是，有些数学思想在《数学新课标》中并没有明确提出来，比如，化归思想是渗透在学习新知识和运用新知识解决问题的过程中的，方程（组）的解法中，就贯穿了由“一般化”向“特殊化”转化的思想方法.
教师在整个教学过程中，不仅应该使学生能够领悟到这些数学思想的应用，而且要激发学生学习数学思想的好奇心和求知欲，通过独立思考，不断追求新知，发现、提出、分析并创造性地解决问题.在《数学新课标》中要求“了解”的方法有：分类法、类比法、反证法等.要求“理解”的或“会应用”的方法有：待定系数法、消元法、降次法、配方法、换元法、图象法等.在教学中，要认真把握好“了解”、“理解”、“会应用”这三个层次.不能随意将“了解”的层次提高到“理解”的层次，把“理解”的层次提高到“会应用”的层次，不然的话，学生初次接触就会感到数学思想、方法抽象难懂，高深莫测，从而导致他们失去信心.如，初中数学三年级上册中明确提出“反证法”的教学思想，且揭示了运用“反证法”的一般步骤，但《数学新课标》只是把“反证法”定位在通过实例，“体会”反证法的含义的层次上，我们在教学中，应牢牢地把握住这个“度”，千万不能随意拔高、加深.否则，教学效果将是得不偿失.
二、遵循认知规律，开展创新教学
要达到《数学新课标》的基本要求，教学中应遵循以下几项原则：
1.渗透“方法”，了解“思想”.由于初中学生数学知识比较贫乏，抽象思维能力也较为薄弱，把数学思想、方法作为一门独立的课程还缺乏应有的基础.因而只能将数学知识作为载体，把数学思想和方法的教学渗透到数学知识的教学中.教师要把握好渗透的契机，重视数学概念、公式、定理、法则的提出过程，知识的形成、发展过程，解决问题和规律的概括过程，使学生在这些过程中展开思维，从而发展他们的科学精神和创新意识，形成获取、发展新知识，运用新知识解决问题.忽视或压缩这些过程，一味灌输知识的结论，就必然失去渗透数学思想、方法的一次次良机.如，北师大版初中数学七年级上册课本《有理数》这一章，与原来部编教材相比，它少了一节――“有理数大小的比较”，而它的要求则贯穿在整章之中.在数轴教学之后，就引出了“在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大”，“正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数”.而两个负数比较大小的全过程单独地放在绝对值教学之后解决.教师在教学中应把握住这个逐级渗透的原则，既使这一章节的重点突出，难点分散；又向学生渗透了数形结合的思想，学生易于接受.
2.训练“方法”，理解“思想”.数学思想的内容是相当丰富的，方法也有难有易.因此，必须分层次地进行渗透和教学.这就需要教师全面地熟悉初中三个年级的教材，钻研教材，努力挖掘教材中进行数学思想、方法渗透的各种因素，对这些知识从思想方法的角度作认真分析，按照初中三个年级不同的年龄特征、知识掌握的程度、认知能力、理解能力和可接受性能力由浅入深，由易到难分层次地贯彻数学思想、方法的教学.如在教学同底数幂的乘法时，引导学生先研究底数、指数为具体数的同底数幂的运算方法和运算结果，从而归纳出一般方法，在得出用a表示底数，用m、n表示指数的一般法则以后，再要求学生应用一般法则来指导具体的运算.在整个教学中，教师分层次地渗透了归纳和演绎的数学方法，对学生养成良好的思维习惯起重要作用.
3.掌握“方法”，运用“思想”.数学知识的学习要经过听讲、复习、做习题等才能掌握和巩固.数学思想、方法的形成同样有一个循序渐进的过程.只有经过反复训练才能使学生真正领会.另外，使学生形成自觉运用数学思想方法的意识，必须建立起学生自我的“数学思想方法系统”，这更需要一个反复训练、不断完善的过程.比如 ，运用类比的数学方法，在新概念提出、新知识点的讲授过程中，可以使学生易于理解和掌握.学习一次函数的时候，我们可以用乘法公式类比；在学次函数有关性质时，我们可以和一元二次方程的根与系数性质类比.通过多次重复性的演示，使学生真正理解、掌握类比的数学方法.
4.提炼“方法”，完善“思想”.教学中要适时恰当地对数学方法给予提炼和概括，让学生有明确的印象.由于数学思想、方法分散在各个不同部分，而同一问题又可以用不同的数学思想、方法来解决.因此，教师的概括、分析是十分重要的.教师还要有意识地培养学生自我提炼、揣摩概括数学思想方法的能力，这样才能把数学思想、方法的教学落在实处.
一、 设置合作情境，点燃学生互助合作的情感“火花”
很多时候要想让学生彼此间展开合作需要教师设置良好的合作情境，在有效的情境下迅速激发学生的思维。有趣的情境是激发学生好奇心、诱发学生思考、引发学生强烈的求知欲的非常有效的途径。提出一个有意思的问题，往往能很好地吸引学生的目光及注意力，学生会迫切地想知道事情的原委，非常积极地跟随老师的步伐进行思考寻找答案。在课堂教学中，设置情境的最好时机是课堂的开始。情境设于此时，学生往往能迅速集中精力，激发兴趣，活跃课堂气氛。在这种情况下，通常从概念、定理、法则、公式的实质处设置悬念。
情境设置的一个非常有效的方式就是引发悬念。例如，在有关圆的教学时，课堂一开始我就向学生提问：一辆汽车的轮胎已残缺破旧，现在无任何标记的情况下，你能想办法找到一个与原来轮胎大小完全一致的轮胎吗？带着疑问及疑问引发的悬念学生们展开了激烈的讨论，学生的思维不仅迅速地被悬念点燃，学生间互助合作的情感“火花”也随之引发。在一阵激烈地探讨合作后学生还是没有找到理想的解决方法。当学生们纷纷表示疑惑时，我告诉大家，只要认真听今天的课，自然会找到结论。大家听了都非常兴奋，对于课堂产生了浓厚的兴趣及求知欲。
二、 重视学习方法，传授学生互助合作学习的“要诀”
学生只有掌握了正确的学习方法与合作方式，合作过程才能真正起到它的作用。教学过程中教师首先要引导学生找到问题的重点，并且让学生掌握正确的解决问题的方法。有了这些良好的工具后学生在此基础上再来展开互助合作，合作的效果将会非常好，学生们在合作学习的过程中也会有更多的收获。合作的重点应放在解决问题的方法上，掌握了方法，学生才能举一反三，教学才体现出其价值，碰到类似的问题自然能迎刃而解。
例如，在教学“有理数的加法”时，学生有必要掌握相应的运算方法及技巧，但这些又不是那么容易掌握。老师如果只是教条性地将方法灌输给学生，学生当时会用，过后三、 强化合作指导，奠定学生互助合作素养的“基石”
很多时候，学生们在展开合作学习时教师的指引是很重要的。对于很多重难点的合作学习过程，学生们很可能一时找不到合适的解决问题的方法与思路，这时就容易进入一些误区或者思维产生僵化。这时，教师应当及时给予学生正确的指引，只有将学生从误区中领出来，让他们换个思维模式，学生才能对于教学要点有更好地领悟与认识。现代教学中，老师已经逐渐从传统教学体系中的主导者演变为引导者，课堂教学越来越强调学生的参与性及主动思考能力，因此合作学习这种教学方式越来越被推崇。课堂教学中学生在展开合作学习时教师的作用也是不容忽视的，只有教师在旁边细心观察才能及时发现学生遇到的问题，进而帮助学生从不正确的思路中走出来。
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