时间：2023-09-25 17:40:41
导语：在弹性函数的经济学意义的撰写旅程中，学习并吸收他人佳作的精髓是一条宝贵的路径，好期刊汇集了九篇优秀范文，愿这些内容能够启发您的创作灵感，引领您探索更多的创作可能。
关键词：微积分；边际分析；弹性；成本；收入；利润；最大值；最小值
1导数在经济分析中的应用
1.1边际分析在经济分析中的的应用
1.1.1边际需求与边际供给
设需求函数Q=f（p）在点p处可导（其中Q为需求量，P为商品价格），则其边际函数Q’=f’(p)称为边际需求函数，简称边际需求。类似地，若供给函数Q=Q(P)可导（其中Q为供给量，P为商品价格），则其边际函数Q=Q(p)称为边际供给函数，简称边际供给。
1.1.2边际成本函数
总成本函数C=C(Q)=C0+C1(Q)；平均成本函数=(Q)=C(Q)Q；边际成本函数C’=C’(Q)．C’(Q0)称为当产量为Q0时的边际成本，其经济意义为：当产量达到Q0时，如果增减一个单位产品，则成本将相应增减C’’(Q0)个单位。
1.1.3边际收益函数
总收益函数R=R(Q)；平均收益函数=(Q)；边际收益函数R’=R’(Q)．
R’(Q0)称为当商品销售量为Q0时的边际收益。其经济意义为：当销售量达到Q0时，如果增减一个单位产品，则收益将相应地增减R’(Q0)个单位。
1.1.4边际利润函数
利润函数L=L(Q)=R(Q)-C(Q);平均利润函数;=(Q)边际利润函数L’=L’(Q)=R’(Q)-C’(Q).L’(Q0)称为当产量为Q0时的边际利润，其经济意义是：当产量达到Q0时，如果增减一个单位产品，则利润将相应增减L’(Q0)个单位。
例1某企业每月生产Q（吨）产品的总成本C（千元）是产量Q的函数，C(Q)=Q2-10Q+20。如果每吨产品销售价格2万元，求每月生产10吨、15吨、20吨时的边际利润。
解：每月生产Q吨产品的总收入函数为：
R（Q）=20Q
L（Q）=R（Q）-C（Q）=20Q-（Q2-1Q+20）
=-Q2+30Q-20
L’(Q)=(-Q2+30Q-20)’=-2Q+30
则每月生产10吨、15吨、20吨的边际利润分别为
L’(10)=-2×10+30=10（千元/吨）；
L’(15)=-2×15+30=0（千元/吨）；
L’(20)=-2×20+30=-10（千元/吨）；
以上结果表明：当月产量为10吨时，再增产1吨，利润将增加1万元；当月产量为15吨时，再增产1吨，利润则不会增加；当月产量为20吨时，再增产1吨，利润反而减少1万元。
显然，企业不能完全靠增加产量来提高利润，那么保持怎样的产量才能使企业获得最大利润呢？
1.2弹性在经济分析中的应用
1.2.1弹性函数
设函数y=f(x)在点x处可导，函数的相对改变量Δyy=f(x+Δx)-f(x)y与自变量的相对改变量Δxx之比，当Δx0时的极限称为函数y=f(x)在点x处的相对变化率，或称为弹性函数。记为EyEx•EyEx=limδx0
ΔyyΔxx=limδx0ΔyΔx．xy=f’(x)xf(x)
在点x=x0处，弹性函数值Ef(x0)Ex=f’(x0)xf(x0)称为f（x）在点x=x0处的弹性值，简称弹性。EExf(x0)%表示在点x=x0处，当x产生1%的改变时，f（x）近似地改变EExf(x0)%。
1.2.2需求弹性
经济学中，把需求量对价格的相对变化率称为需求弹性。
对于需求函数Q=f（P）(或P=P（Q）)，由于价格上涨时，商品的需求函数Q=f(p)（或P=P(Q)）为单调减少函数，ΔP与ΔQ异号，所以特殊地定义，需求对价格的弹性函数为η(p)=-f’(p)pf(p)
例2设某商品的需求函数为Q=e-p5，求(1)需求弹性函数；(2)P=3,P=5,P=6时的需求弹性。
解：(1)η(p)=-f’(p)pf(p)=-(-15)e-p5.pe-p5=p5；
(2)η(3)=35=0.6;η(5)=55=1;η(6)=65=1.2
η(3)=0.6<1，说明当P=3时，价格上涨1%，需求只减少0.6%，需求变动的幅度小于价格变动的幅度。
η(5)=1，说明当P=5时，价格上涨1%，需求也减少1%，价格与需求变动的幅度相同。
η(6)=1.2>1，说明当P=6时，价格上涨1%，需求减少1.2%，需求变动的幅度大于价格变动的幅度。
1.2.3收益弹性
收益R是商品价格P与销售量Q的乘积，即
R=PQ=Pf(p)
R’=f(p)+pf’(p)=f(p)(1+f’(p)pf(p))=f(p)(1-η)
所以，收益弹性为EREP=R’(P).PR(P)=f(p)(1-η)ppf(p)=1-η
这样，就推导出收益弹性与需求弹性的关系是：在任何价格水平上，收益弹性与需求弹性之和等于1。
（1）若η<1，则EREP>0价格上涨（或下跌）1%，收益增加（或减少）(1-η)%；
（2）若η>1，则EREP<0价格上涨（或下跌）1%，收益减少（或增加）|1-η|%；
（3）若η=1，则EREP=0价格变动1%，收益不变。
1.3最大值与最小值在经济问题中的应用
最优化问题是经济管理活动的核心，各种最优化问题也是微积分中最关心的问题之一，例如，在一定条件下，使成本最低，收入最多，利润最大，费用最省等等。下面介绍函数的最值在经济效益最优化方面的若干应用。
1.3.1最低成本问题
例3设某厂每批生产某种产品x个单位的总成本函数为c(x)=mx3-nx2+px，（常数m>0,n>0,p>0），（1）问每批生产多少单位时，使平均成本最小？（2）求最小平均成本和相应的边际成本。
解：（1）平均成本(X)=C(x)x=mx2-nx+p，C’=2mx-n
令C’，得x=n2m，而C’’(x)=2m>0。所以，每批生产n2m个单位时，平均成本最小。
（2）(n2m)=m(n2m)2-n(n2m)+p=(4mp-n24m)，又C’(x)=3mx2-2nx+p，C’(n2m)=3m(n2m)2-2m(n2m)+p=4mp-n24m所以，最小平均成本等于其相应的边际成本。
1.3.2最大利润问题
例4设生产某产品的固定成本为60000元，变动成本为每件20元，价格函数p=60-Q1000（Q为销售量），假设供销平衡，问产量为多少时，利润最大？最大利润是多少？
解：产品的总成本函数C(Q)=60000+20Q
收益函数R(Q)=pQ=(60-Q1000)Q=60Q-Q21000
则利润函数L(Q)=R(Q)-C(Q)=-Q21000+40Q-60000
L’(Q)=-1500Q+40,令L’(Q)=0得Q=20000
L’’(Q)=-1500<0Q=2000时L最大，L（2000）=340000元
所以生产20000个产品时利润最大，最大利润为340000元。
2积分在经济中的应用
在经济管理中，由边际函数求总函数（即原函数），一般采用不定积分来解决，或求一个变上限的定积分；如果求总函数在某个范围的改变量，则采用定积分来解决。
例5设生产x个产品的边际成本C=100+2x，其固定成本为C0=1000元，产品单价规定为500元。假设生产出的产品能完全销售，问生产量为多少时利润最大？并求出最大利润。
解:总成本函数为
C(x)=∫x0(100+2t)dt+C(0)=100x+x2+1000
总收益函数为R(x)=500x
总利润L(x)=R(x)-C(x)=400x-x2-1000，L’=400-2x，令L’=0，得x=200，因为L’’(200)<0。所以，生产量为200单位时，利润最大。最大利润为L(200)=400×200-2002-1000=39000（元）。
在这里我们应用了定积分,分析出利润最大,并不是意味着多增加产量就必定增加利润,只有合理安排生产量,才能取得总大的利润。
综上所述，对企业经营者来说，对其经济环节进行定量分析是非常必要的。将数学作为分析工具，不但可以给企业经营者提供精确的数值，而且在分析的过程中，还可以给企业经营者提供新的思路和视角，这也是数学应用性的具体体现。因此，作为一个合格的企业经营者，应该掌握相应的数学分析方法，从而为科学的经营决策提供可靠依据。
参考文献
［1］?@聂洪珍,朱玉芳.高等数学（一）微积分［M］.北京：中国对外经济贸易出版社，2003,（6）.
［2］?@顾霞芳.浅谈导数在经济中的应用［J］.职业圈，2007,（4）.
［关键词］边际函数弹性经济函数
［中图分类号］O13［文献标识码］A［文章编号］2095-3437（2013）08-0056-02
在经济管理中，数学知识是必不可少的，本文就如何把高等数学的有关知识用于解决相关问题加以讨论。这有助于相关专业学生更好地掌握专业知识。
一、连续复利――e在经济中的应用
利息是银行对储蓄（或借贷）所支付（或收取）的除本金以外的货币。银行支付（或收取）利息的多少，以利率的高低来表示
单位时间的利率=单位时间的利息/存入的本金
（一）单利
设本金为A0（可指投资,存款等），年利率是i，所谓单利是指仅按本金A0计算利息。例如：A0的投资时间为t年，那么七年后,可得单利:I=A0it
本利和是A=A0+I=A0（1+it）
例如：1000元投资5年，年利率6%，于是5年后共得单利
I=1000×0.06=300（元），A=1000+300=1300（元）
（二）复利
所谓复利是指经过一年时间，将所生利息加入本金再生利息。逐期滚算。
假定本金是A0元，那么一年后的利息是A0i，此时本金就成了
A0+A0i=A0（1+i）
再经过一年又得复利iA0（1+i）
本金成了A0（1+i）2,
依次类推，t年后本金A（t）就成了A（t）=A0（1+i）t
例如：将1000元投资5年，年利率6%，按年计算复利，那么5年后本金就A（5）=1000（1+0.06）5＝1338.23（元）,利息是338.23元。
设年利率为i，如果一年计算m次复利，那么t年后就计算mt次，每次的利率算作■。设本金为A0元，年利率为i，每年计算复利m次，那么t年后本金为A（t）=A0（1+■）mt。
例如：将1000元投资5年，年利率6%，每年计算复利4次，那么5年后本金就成了A（5）=1000（1+■）5×4=1346.86（元），利息是346.86元。
（三）连续复利
A（t）=■A0（1+■）mt＝A0■［（1+■）■］it=A0eit
这种计利方法称为连续复利。
连续复利的计算方法在其他许多问题中也常有应用，如：细胞分裂、树木的生长等。
二、边际与弹性――导数与微分的简单应用
（一）边际概念
在经济学中边际表示的是变化率，函数的导数称为边际函数。
如：成本函数C（x）的导数C′（x）称为边际成本函数。
边际成本具有怎样的经济意义？
当产量由原产量x单位增加一个单位（Δx=1）时，成本C（x）的真值为C（x+1）-C（x），但当产量的单位很小或一个单位与原产量x值相比很小时，则由近似式■=■≈C′（x）（|Δx|很小时）
取Δx=1，得C（x+1）-C（x）≈C′（x）
这表明当产量达到x时，再增加生产一个单位，成本的增加值就可以用边际成本C′（x）近似表示。这就是边际成本实际的经济意义。
在经济学中，通常略去“近似”二字，将边际成本C′（x）解释为：
当产量达到x时，再增加生产一个单位产品所增加的成本。或生产x+1个产品所需的成本。
例如：设生产x件某产品的成本为C（x）＝200+0.03x2
生产100件的总成本为C（100）=200+0.03×（100）2=500
每件产品的平均成本是■=■=5
边际成本函数为C′（x）=0.06x
产量在100件时的边际成本为C′（x）=0.06×100=6
它近似表示生产第101产品的成本。这件产品的真值是
ΔC=C（100+1）-C（100）=6.03
除边际成本函数外，收入函数的导数称为边际收入函数；利润函数的导数称为边际利润函数；需求函数的导数称为边际需求函数等。他们的实际经济意义都可以如边际成本一样理解。
（二）弹性概念
经济学中把一个变量对另一个变量相对变化的反映程度称为弹性。
例如：需求对价格的弹性就是商品需求量对价格相对变化的程度。设需求函数x=f（p），其中x需求量，p是价格，η=p■
由于Δp很小时，η=p■≈■■所以需求弹性近似表示在价格为p时，价格变动1％，需求量将变化|η|%，通常也略去“近似”二字．一般来说，需求函数是一个减函数，需求量随价格的提高而减少，因此需求弹性一般是负值，它反映了商品需求量对价格变化反应的强烈程度，即灵敏度。
对任何函数都可以建立弹性，一般地，函数y=f（x）在点x处的弹性定义
为η=x■
它表示的是相对变化率。相对变化率便于比较不同市场的需求对价格变动的反应。它是无纲量。便于比较单位价格不一致的单位的灵敏度。
通常表示为：εyx=■=■■
例如：某种产品的需求量x与价格p的关系为x（p）=1600（■）p，
（1）求需求弹性η（p）;（2）当商品的价格p=10元时，再增加1％，求该商品需求量变化情况。
解:需求弹性η（p）＝p■=p×ln■=（-2ln2）≈-1.39p
需求弹性为负，说明商品价格p增加1％时，商品需求量将减少1.39p%
当商品价格p=10元时 η（10）≈-13.9
这表示价格p＝10元时，再增加1％，商品的需求量将增加13.9p%，如价格降低1％，商品的需求量将增加13.9p%。
三、积分在经济问题中的应用
例：已知某商品每天生产x单位时，边际成本为C′（x）=0.4x+2（元／单位），其固定成本是20元，求总成本函数C（x）。如果这种商品规定的销售单价为18元，且产品可以全部售出，求总利润函数L（x），并问每天生产多少单位，总利润最大？
解可变成本就是边际成本函数在［0，x］上的定积分，又已知固定成本为20元，所以总成本函数C（x）=■（0.4t+2）dt+20=0.2x2+2x+20
当销售单价为18元时，总利润函数为
L（x）＝R（x）-C（x）=-0.2x2+1.6x-20
由L′（x）=-0.4x+16=0，得x=40
又因为L″（x）=-0.4＜0，所以，每天生产40单位可获最大利润，最大利润为L（40）=300（元）。
高等数学在其它各个领域中的应用不胜枚举：如物理学中有速度、加速度、角速度、线密度、电流、功率、温度梯度、衰变率、变速直线运动的路程、非均匀细杆的质量、变力沿直线作功、抽水作功、引力等等；化学中有扩散速度、反应速度，溶液连续稀释问题等；生物学中有（种群）出生率、死亡率、自然生长率等等；社会学中有信息的传播速度、时尚的推广、人口自然增长规律等，几何学中曲线的切线问题，曲边图形的面积等这类涉及微小量无穷积累的问题。这些都可以用高等数学加以讨论。
［参考文献］
项目化教学 经济数学 整体教学设计考核方案《经济数学》系统项目化整体教学从《经济数学》课程能力训练项目设计、考核方案、第一次课设计梗概、其他需要说明的问题四个方面进行全面系统设计，课程内容进行了优化整合，其内容共分5个模块，每个模块设计1个能力训练项目，共设计5个能力训练项目。每一模块内容结束时，学生提交本模块能力训练项目的分析报告或解决方案。使学生在完成项目的过程中学习经济数学知识，获得解决简单经济应用问题的能力。
一、《经济数学》课程能力训练项目设计
1.能力训练项目名称
能力训练项目名称有：寻找经济学中常用的经济函数；连续复利问题；边际与弹性问题及最值经济问题；由边际函数求总函数，资本现值与投资问题；经济学中的线性规划问题。
2.拟实现的能力目标
第一，能识别需求函数、价格函数、供给函数、总成本函数、收入函数与利润函数，并掌握这些函数的性质及图像画法。
第二，理解函数的变化趋势、变化的连续性，会用单利、复利两种方式计算利息。
第三，能求解经济学中边际与弹性问题及最值经济问题。
第四，掌握由边际函数求总函数的方法；会讨论资本现值与投资问题。
第五，会求解经济学中较简单的线性规划问题。
3.相关支撑知识
第一，理解函数的概念，会正确求解函数的定义域；理解函数的性质，会判断函数的奇偶性等。
第二，理解极限的概念，掌握求极限的方法；理解无穷小量、无穷大量的概念，会正确判断无穷小量、无穷大量；理解函数在一点X0、区间（a，b）、闭区间[a，b]上连续的概念；理解函数间断点的概念，知道间断点的分类，能判断函数的连续性等。
第三，理解导数与微分的概念，了解导数的几何意义并能加以应用。
第四，理解原函数和不定积分的概念；熟练掌握不定积分的直接积分法、凑微分法、第二类换元积分法及分部积分法；掌握微积分基本定理和定积分的计算公式；掌握定积分的概念和性质；熟练掌握定积分的换元积分法和分部积分法。
第五，理解行列式、矩阵、逆矩阵、矩阵的初等变换及矩阵秩的概念；熟练掌握行列式的两种计算方法；熟练掌握矩阵的线性运算及矩阵的乘法运算；熟练掌握求逆矩阵的两种方法及求矩阵秩的方法；掌握克莱姆法则求线性方程组的方法；理解n维向量、向量组线性相关、线性无关、向量组的秩、基础解系、齐次线性方程组的通解、非齐次线性方程组的通解这几个重要概念；熟练掌握线性方程组解的结构及其判别法则。
4.训练方式手段及步骤
第一，让学生自学第一章函数第三节经济中常用的函数；找出经济函数、观察函数的性质、图像；最后得出经济函数分析报告。
第二，通过对函数变化趋势的讨论，引入数列、函数极限概念，引导学生寻找极限的计算方法；通过函数图像的观察，分析函数变化过程中的两个不同特点，引导学生得到函数连续的概念、判断函数连续的方法；最后推导连续复利公式、并解释其经济意义。
第三，通过分析函数因变量随自变量变化的快慢程度，引导学生发现导数概念，为更好计算导数，寻找计算导数的方法；为寻找计算函数改变量的近似方法，引导学生探寻微分概念，进一步寻找计算微分的方法，最终找到用微分计算函数改变量的方法；为找到判断函数单调性、极值、最值、函数图像的做法，引导学生发现使用导数这一重要工具。
第四，通过已知某函数导数求某函数问题的讨论，引导学生发现原函数的概念，通过寻找求原函数的方法，发现不定积分的概念，最后找到求不定积分的四种方法。
第五，通过求解二元一次方程组、三元一次方程组，引导学生发现二阶行列式、三阶行列式概念，通过归纳法引导学生发现n阶行列式概念，在寻找计算行列式方法中得到行列式性质等。
5.结果
结果有：经济函数分析报告；连续复利公式的推导及经济意义解释；边际与弹性问题及最值经济问题解决方案；由边际函数求总函数，资本现值与投资问题解决方案；经济学中线性规划问题解决方案。
二、考核方案
对学生考核分三个方面：平时成绩（占30%）+能力考核（占25%）+期末考试成绩（占45%）。期末考试采取相同教学内容的班级统一命题、闭卷考试的方式。命题的范围和水准严格按照《概率论与数理统计》课程整体教学设计的要求执行。期末考试出同等难度和题量的A、B、C三套试卷及评分标准。
平时成绩及能力考核具体内容设计：
1.平时成绩
考核项目：出勤；课后作业；课堂表现。
考核内容：迟到、早退、旷课、事假、病假、上课睡觉；完成作业情况；上课态度、参与程度、处理问题准确度。
考核标准：迟到、早退、旷课、事假、病假、上课睡觉此项共计10分。学生上课迟到一次扣1分，请事假一次扣1分，病假一次扣0.5分，上课睡觉一次扣1分，旷课一次扣2分，扣完10分为止。完成作业情况此项共计10分。少交一次作业扣2分，作业不认真、质量差一次扣1分，扣完10分为止。上课态度、参与程度、处理问题准确度此项共计10分。上课积极参与，主动并能正确回答问题或板书做题正确一次得2分、两次得5分、三次得8分、四次得10分。上课不回答问题或板书解题此项得0分。
2.能力考核
（1）考核项目
提交经济问题解决方案或分析报告。
（2）考核内容
第一学期：第一章内容学完后提交经济函数分析报告；第二章内容学完后提交连续复利公式的推导及经济意义解释；第三章内容学完后提交边际与弹性问题及最值经济问题解决方案。
第二学期：第四章内容学完后提交由边际函数求总函数及总函数改变量，资本现值与投资问题解决方案；第五章内容学完后提交经济学中简单线性规划问题的解决方案。
（3）考核标准：
此项共计25分。提交方案或分析报告内容翔实、准确，第一学期提交一个得8分、提交两个得16分、提交三个得25分。第二学期提交一个得12分、提交两个得25分。一个学期内一次也不提交方案或分析报告此项得0分。
三、第一次课设计梗概
1.设计思想
4个关键词：沟通、介绍、渗透、要求。
2.教学过程
师生相互介绍用多媒体课件――财经、金融专业中的数学函数导入新课并介绍课程内容介绍课程教学方法介绍学习方法介绍考核方式与学生约法三章，提出纪律要求进入正题――研究函数、反函数概念及函数四个基本性质课堂小结、布置课外作业。
四、其他需要说明的问题
第一，以启发式教学为主。
第二，注重数学文化的学习。
关键词 投资；投资效率；投资制度；转轨经济
作者简介：何志强，男，西南财经大学工商管理学院，成都610074
李一鸣，男，西南财经大学工商管理学院，教授，成都610074
投资是一个相对宽泛、内容丰富的概念，但如果仅从产出角度看，主要是指物质资产投资。本文所指的投资主要是指实物资产投资或产业投资，与虚拟经济下的金融投资相对应。对投资、投资活动、投资与经济增长关系等方面的研究可以追溯到亚当・斯密时代，而在现代的经济学范畴内，投资已经成为一个不可或缺的部分。
一、研究视角：资本与投资
资本作为最基本的生产要素之一，一直是古典、新古典、凯恩斯以及新古典综合经济学的重要研究内容。只有具备一定的资本，并与劳动要素相结合，生产方可能顺利进行，资本便成为经济研究最为基本的命题之一。由于资本是通过投资形成的，从关注资本过渡到关注资本的形成――产业投资，是顺理成章的事情。资本既然重要，资本形成过程――产业投资过程也就相应的变得重要。因此，资本和投资成为经济理论研究中两个相互联系而相对独立的视觉。
经济理论对资本与投资的研究往往包含在其他经济问题的研究中。一类基本问题就是生产的物质产品多少用于生产，多少用于投资形成资本，以实现效用最大目标，也就是最优资本积累问题。Barnsey(1928)率先从动态角度对经济增长过程中的最优资本积累问题进行了开创性研究，建立了著名的Ramsey无限期界最优化模型。考虑到人生命的有限性，在Ramsey模型基础上，Allais(1947)，Samuelson(1958)，Diamond(1965)和Blanehard(1985)以微观为基础建立了代际交叠模型。[1]由于代际交叠模型可以研究个人寿命期间储蓄的总影响，进而研究最优资本积累问题，所以较Ramsey模型应用广泛。Ramsey模型和代际交叠模型都是从动态的角度，寻求最优资本积累路径，实现效用最大化。但两类模型在处理投资与资本问题时的一个共同点是将资本、资本形成――投资简化处理，这样就忽略了作为资本形成过程的投资行为与最终的资本存量之间的差异，而这种处理方法出现在很多经济理论模型中。[1]由于资本形成(投资)和资本存在根本差异，前者是一个过程，后者是结果，并且投资过程(资本形成过程)受到众多因素的影响，本身具有独立性。所以，研究投资行为过程本身及其与资本存量的关系成为经济学研究的新领域，也就是探寻哪些因素影响和制约着投资行为进而影响资本存量，进而探讨其对经济的影响。由于这一研究内容非常复杂，随着投资理论研究的深入，经济学者也试图通过建立不同的计量经济模型来分析投资行为，并利用产业层面、企业层面的数据进行经验实证分析，这对于我们从中微观层面认识投资运行特征进而认识资本存量及其变动问题具有重要意义。
出于对我国经济的关注，我们更在意对转轨经济的资本和投资的认识。吕炜(2000)[2]在其专著中扩展了马克思关于“资本不是物而是人与人的关系”的定义，认为资本具有阶级和功能双重属性，前者可以划入历史范畴而后者则划人技术范畴，而技术范畴的资本的本质特征是盈利最大化趋势。从技术范畴的资本化运动来理解我国整个经济转轨特征具有一定的创新性，现实意义就是认识到资本不仅是生产关系的表现，也是一种具有技术性质的生产要素，所以在转轨经济中，资本是可以参与利润分配的。更进一步理解转轨经济的资本和投资行为，一方面表现为投资主体的多元化，投资目标的多元化，融资渠道的多元化，另一方面表现为对低效率存量资本的调整，也就是国有企业改革问题。在这两种趋势下，经济的转轨过程也就是如何保证投资与资本效率不断提高的过程。
综上，当分析资本时更多地与总量经济的运行情况相联系，而分析投资时，更多地与投资主体行为、投资决定因素联系在一起。所以，资本和投资是两个有区别但同时又有联系的概念，从而形成两个既有联系而又相对独立的研究视角。
二、研究方法：模型与现实
(一)简单加速模型
早在1917年，J．M．Clark将固定(实物)资产投资与产出联系在一起，认为投资取决于未来的产出需求，建立了简单的加速模型，也是研究投资行为最基础的模型，它是其他模型的基础。其表达式为：Kd=aY (1)
其中，Kd是合意资本存量，a是不变的资本产出比率，Y是产出水平。合意资本存量指在增加的净资本能够以不变价格瞬时获得的情况下，企业家选择的资本存量水平。而实物资本投资一般不可能没有时间滞后性，即意愿资本水平不能立即通过投资实现，Koyck和Chenery等对(1)式进行了改进，认为资本对于投资来说是一个缓慢而富有弹性的过程，通过增加滞后系数，建立了弹性加速数模型。
(二)弹性加速数模型
其中，YP是GNP，bn=αβn，μ是误差项，N为滞后期。如果将利润或者现金流加入模型中在理论上将更具有解释力，因为企业或产业的投资受自有资金充裕情况的影响较大，而外部融资一般有较高的成本。另外一个重要原因是投资往往受到预期盈利能力的影响，所以将包括利润在内的现金流加入模型(4)而形成现金流加速数模型。
(三)现金流加速数模型
其中，CF是实际现金流，名义现金流：税后利润+资本消耗前的资本消耗折扣+存货价值调整，名义现金流除以投资平减指数便得到实际现金流，其余符号同上。(1)、(4)式主要差异表现在模型(5)不仅关注产出需求对投资的影响，也关注供给对投资的影响，如现金流、资金使用成本，将需求和供给因素对投资的影响都纳入模型中，这是投资计量模型的一个重大进步。
(四)新古典投资模型
由于在投资行为进行中必然伴随有资本供给与需求的变化，这种变化影响着
资本的供给价格，而价格是新古典经济学的核心内容，Jorgenson及其合作者将资本价格因素引入投资行为分析中，形成了最为有名的新古典投资模型：
其中，γ为产出中的资本份额，P为产出价格，c为资本服务租赁价格。结合上面的模型，得到如下可进行回归分析的计量模型：
为新增资本购买价格(相对于产出价格)，为净资本税的真实融资成本，a为资本折旧几何比率，m为投资税收抵免比率，z为折旧税收减免贴现比率，t为公司所得税。
(五)证券价值Tobin’sQ模型
随着金融市场的发展，除了上述基于产出的产业投资行为研究计量模型外，投资研究可以通过资本市场的变化来研究投资行为，Bminard和Tobin(1968，1969)在Keynes(1936)的理论基础上建立了投资的证券价值(Tobin’sQ)模型：
其中，I为本期投资，K-l为上一期资本存量，a为常数项，N为滞后期，m为系数，Tobin’sQ=市场价值／重置成本。与基于产出的模型相比，Q模型在经济理论上更加完备和更有解说力，原因在于投资与Q对未来产出与价格的长期预期会有相同方向的反应，在预期真实资本有盈利能力时，投资与Q值都将上升，而预期悲观时投资将受到抑制，Ciceolo(1978)的研究表明投资与Q是正相关的。但在利用Tobin’sQ模型进行实证研究是有条件的，更详细的理论分析可以参看Hayashi(1982)[3](213―224)的文章。
Chirinko(1993)[4](875―1911)根据投资计量模型对动态(dynamics)的处理，将相关的投资计量模型分为隐式模型(implicit model)和显式模型(explicit model)。如果动态因素显示地出现在最优问题估计系数中且估计系数显式的与潜在技术和预期参数相联系，那么就是显式的，否则为隐式的。由于包括动态因素和未来预期的显式模型与实际的投资活动更加接近，所以能够更好地解释投资行为，To-bin’sQ模型是显式模型的典型代表，其余四个模型都是隐式的。当然，模型与现实之间仍然还有很大的差距，不确定下的投资行为研究推进了现有研究，[5](54―65)在此不再赘述。
三、投资环境：制度与效率
从经济理论角度，投资制度环境可以简要分为市场经济、计划经济和转轨经济各自所包括的投资制度设计。当前我国经济正处在完善社会主义市场经济时期，是典型的转轨经济，如何在我们这样的转型国家建立一套有利于提高投资效率的投资制度成为转轨经济制度设计的重要内容。
首先是以投资和资本形成为工具变量，研究中国经济增长可持续性的问题。这方面以张军最具有代表性，其相关研究体现于其专著上[6]，认为我国经济在“边际资本―产出比率”不断上升的情况下，存在“过度工业化”趋势，经济增长“不具备持续的动态改进力量”。此问题也得到中国社会科学院经济研究所绍济增长前沿组的关注，在他们的系列文章[7]中，对我国投资形成、投资效率与经济增长的关系进行了分析，认为我国20多年来，高投资、高增长的模式是以宏观成本积累为代价，并从理论上说明了中国高投资的政府激励机制及宏观成本边界和高成本增长的临界点。
其次，对我国投资效率及其的相关研究。沈坤荣等(2004)[8](52―63)从金融发展视角考察了我国资本形成、投资效率、储蓄向投资转化的效率及由此产生的经济波动，认为投资效率低下，进而全要素生产率(TFP)不高是影响我国宏观经济波动的重要因素。韩立岩等(2005)[9](77-84)利用Jeffrey Wurgler的“资本配置效率”模型，考察我国1993―2002年间资本在各行业间的配置效率，结果显示我国的资本配置效率非常低，说明我国的资本市场化水平偏低。秦朵，宋海岩(2003)[10](807―832)从基于标准生产函数的投资需求模型出发，从投资需求所处的非均衡状态人手讨论了我国1989--2000年的投资效率特征，发现扩张性的中央与地方财政对投资需求有着强烈的影响，地区间投资不均的程度有所下降，东部，沿海省份的效率一般高于西部省份的效率。可见，投资效率有助于认识和解释现实经济活动的合理与否。
再次是对转轨经济中投资膨胀机制的研究。与计划经济中的“投资饥渴症”相比，我国转轨经济中仍然存在非市场因素影响的投资膨胀。易纲等(2004)[11]从产权逻辑来解释转轨经济中的投资膨胀机制，认为过度投资和投资效率低下是产权约束和地方政府政绩观导向的问题，理论新意主要将转轨经济中产权不健全和政府职能定位不清作为解释投资膨胀和投资效率低下的因素，对于转轨经济投资制度的未来改革方向具有指导意义。中国社科院经济所宏观组(1999)[12](16―25)也认识到体制对投资的影响，一方面可能导致投资饥渴症，进而导致“经济过热”，造成经济波动；另一方面，转轨时期体制对经济发展政策的执行障碍，形成体系性紧缩。
综上，投资、投资效率是考察经济运行状态的好视角，如总量经济波动、资本市场运行、区域投资差异等，但如何设计制度保证高效率投资的实现，是研究投资效率问题的必然归宿，特别是对于转轨经济。所以，转轨经济的产业投资制度是当前投资研究的重要内容，只有好的投资制度才能保证投资的顺利进行和投资效率的提高，而这正是我国当前转变经济增长方式所需要实现的目标，具有很强的现实意义。
四、未来研究方向探讨：投资制度、演进博弈与GES生产函数
尽管产业投资制度对投资、投资效率有重要影响，但国内相关的研究内容较少，大致有三方面的原因：首先是在市场经济里由于投资活动属于投资主体自己的事情，不存在统一的投资制度安排框架，政府要做的是要保证投资活动的自由、流动，投资制度设计思想及其研究相对模糊；其次是投资内容的广泛性，主要表现为投资可以通过金融、会计、企业、宏微观经济等多个角度来研究，缺乏
统一研究视角；再次是投资制度研究方法，由于当前流行的制度分析方法本身缺乏一致的理论模型，[13](143-150)投资制度研究目前找不到更好的制度分析工具和分析模式。下面从研究方法角度，尝试性的探讨投资制度研究可能的方向：演进博弈分析和CES生产函数。
(一)转轨产业投资制度与演进博弈分析
面对产业投资制度分析的难题，笔者认为一种新的制度分析方法――演进博弈可以用来分析转轨产业投资制度，这方面青木昌彦等(2005)[14](1-21)已经作了尝试性研究。一般的博弈理论对博弈参与人理性做了严格的假设，它不仅要求每个行为人是理性的，而且还要求这种理性是所有参与人的共同知识(CommonKnowledge)。就人对现实世界的认知能力而言，“完全理性”是一个相当严格的假设，而博弈任意一方的理性和能力的任何缺陷都会导致纳什均衡难以实现。演进博弈论在一定程度上对这种完美理性假定进行了补充和修正，它只要求博弈方具有一种能够根据情况和新的信息调整判断与改进策略行为的理性，这种理性在一定程度上对博弈方的预见力和判断其他博弈方的情况要求较低，并且允许犯错误，这种理性被称作“过程理性”(procedural rationality)。Friedman(1998)给出了设定演进博弈的三个基本假设条件：高的支付策略会随时间逐渐取代低的支付策略；博弈中存在惯性；博弈参与者并没打算系统影响其它参与者的未来行动。[15](15-43)而演进博弈的其它限制条件，如大群体、有限理性、随机配对、可观测策略等都没必要。演进博弈分析制度相较于非合作博弈有另外一个优点，演进博弈强调惯性(inertia)在制度变迁中的作用，也就是制度的演进具有路径依赖性，制度变迁受起点的影响，而用“休克疗法”式思维来理解和进行制度变迁存在缺陷，因为制度是一个“演进”式变迁过程。演进博弈可以用来分析影响转轨投资制度演进的基本因素、博弈均衡下制度的特征，进而从制度设计角度使转轨经济产业投资向着利于提高产业投资效率方向演进。
(二)CES生产函数与产业投资制度变迁实证分析
注重对经济理论的经验检验是当代经济学的一个重要特征，最主要表现为利用计量模型来进行分析。在研究转轨经济的投资制度变迁过程中，我们发现不变替代弹性生产函数(constant elasticity of substitution，CES)可以用来检验转轨经济的投资制度设计运行效率情况：不同投资主体在转轨经济中投资地位的变化是否遵循效率原则，进一步可以概括转轨经济中国有投资与非国有投资之间的相互替代是否遵循效率原则，这通过CES生产函数的替代弹性大小变化体现出来，进而检验投资制度设计的合理性。CES生产函数规范的表达形式为：
Arrow等(1961)在其经典文献首先分析了一类不变要素替代弹性生产函数，也就是CES生产函数。与单位替代弹性生产函数不同的是，不变替代弹性生产函数中要素K、L之间的替代尽管其数值不变，但其替代弹性并不为1，也就是说不同经济体之间、不同行业之间、不同时间段间要素替代的弹性可以不同或变化，这就包含了丰富的经济学内容，这主要通过(9)中的参数ρ变化体现出来。P的原始含义是要素替代参数，定义为资本―劳动替代弹性σ=1/1+ρ，表示资本―劳动比率每上升1％，厂商将用相对便宜的资本代替劳动，资本―劳动比提高σ％。所以，σ的大小可以说明一个国家要素市场的完善程度，当σ越大，说明生产过程中的要素替代对价格的变化越敏感，要素市场相对完善、要素市场相对完整。反之，当σ越小，说明一国要素配置效率低下，或者经济单位并没有追求效率最大化，在生产中的要素选择存在偏差。所以，σ(或p)的大小可以用来评价一国资本―劳动配置效率的高低。[16]
可以用CES生产函数来考察转轨经济产业投资制度变迁及其效率，主要的变化是用非国有投资I和国有投资IG代替函数中的劳动L和资本K，有投资效率生产函数：
其中，Y是产出变量，可以是CDP，也可以是利税、工业总产值、工业增加值等产出指标，IG国有部门经济产业投资，I是非国有部门产业投资；A为除产业投资以外使产出效率提高的其他因素，a是非国有部门产业投资参数。在变形后的模型中，η表示产出一投资系数，令I/IG=i，即非国有和国有投资比值。
将ρ变形表达为决定弹性系数的变量：
其中rG和r分别是国有和非国有产业投资绩效。在此，σ可以理解为非国有―国有投资的替代系数，在国有―非国有投资效率比值每下降1％时，非国有投资的比重会增加σ％，所以它是一个反应系数，当其越大说明这种替代越有效，进而表明转轨经济的投资制度遵循效率原则，更具效率和市场性，反之则说明投资制度存在阻碍投资向高效率转化。进一步，可以利用不同时间段、不同区域间投资替代弹性的差异考察投资制度的变迁及其相应效率。
上面从方法论角度讨论了利用演进博弈方法、CES生产函数对转轨经济的投资制度及其变迁效率进行理论和实证分析的可能性，笔者及其合作者正开展这方面的研究，以期能够加深我们对转轨产业投资活动的理解。如果将Chirinko(1993)认为未来产业投资需要研究的内容[17](73-124)――金融结构与流动约束、公司及其投资决策的扩展、投资动态性，与转轨经济的投资制度研究结合，可能形成转轨经济投资研究的基本内容。
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关键词:货币政策;货币需求函数;协整;误差修正
中图分类号:F031.2文献标识码:A文章编号:1672-3198(2009)18-0014-02
1 引言
货币政策作为中央银行的金融调控的核心工具,也是宏观经济理论的重要组成部分,同时,又是各国央行实行货币政策最重要的依据,历来受到各国政府和经济学家的重视。目前我国货币政策的中介目标是货币供应量,运用货币供应量这个中介目标,以加强对经济的宏观调控,就需要建立相应的货币需求函数。因此,研究货币需求与产出、利率、通货膨胀率等经济变量间的相互关系并建立适合我国的货币需求函数,具有重要的意义。
2 理论分析与模型的选定
(1)古典学派货币数量论。
“古典”货币数量论有三种形式:其一是欧文•费雪于1911年提出来的交易方程式(又称费雪方程):MV=PT,其中,T代表一段时期内用于交易的商品与服务的数量、V为货币流通速度、P代表商品与服务的价格、M为名义货币供应量。这一结论被认为是经济学最重要也是最成熟的规律之一; 其二是国民收入方程式:MV=PY,其中,M是货币存量,Y是实际国民收入,V为货币流通速度、PY即名义产出或名义国民收入。国民收入方程式可以看做是费雪方程和剑桥方程的过渡;其三是剑桥大学的马歇尔和庇古建立的剑桥方程式:M=KPY,其中,K代表货币量与国民收入或国民生产总值之比,其它的参数意义同上。
(2)凯恩斯学派。
凯恩斯认为,公众之所以对货币有需求,主要有三种动机:交易动机,即为应付日常交易而持有一定量的货币;预防动机,即为了谨慎起见以应付不时之需而持有一定量的货币;投机动机,即利用证券市场进行投机而持有一定量的货币。为满足这三种动机所需而持有的货币总量,共同构成了人们对货币的需求。影响货币需求的主要因素是收入和利率,货币需求与收入同向变动,与利率反向变动。由此,得出货币需求函数L=L1(y)+L2(r)。
(3)我国货币需求函数的构造。
影响货币需求的因素,一般包括规模变量和机会成本变量。收入、财富或消费常用来表示规模变量;而机会成本变量则通常用持有货币的收益、以及持有货币的机会成本表示。持有的机会成本指金融资产和实物资产的收益,一般用国内利率水平和预期通货膨胀率来表示。这样我们可以得出货币需求基本模型;结合我国实际,我们认为现阶段对我国货币需求具有决定性影响的主要因素有:国内生产总值(GDP)、利率(R)、预期通货膨胀率,外汇储备FRT及随机扰动因素。
因此可构建我国的货币需求函数Mit=f(Yt,Rt,FRTt,RPIt,μt)。
LnMit=β0+β1lnYt+β2LnRt+β3LnFRt+β4LnPt+β5t+μt(i=1,2)(1)
式中:M1t:即期对狭义货币M1的需求;M2t:即期对广义货币M2的需求;Yt:即期国内生产总值,也是持久收入;Rt:即期利率;Pt:预期通货膨胀率;FRT:即期的外汇储备;t:时间变量;μt:随机变量。上式中各个变量均为关于时间t的函数:
β1=dLnM0dLnY,β2=-dLnMdLnR,β3=dLnMdLnFR,β4=dLnMdLnP
3 数据处理与模型估计
(1)时间序列的平稳性检验。
常用的协整检验的方法有:格兰杰―恩格尔两步法、约翰逊秩检验法以及博斯维克误差纠正法。其中,格兰杰―恩格尔两步法是最常用的,它是格兰杰和恩格尔于80年代末提出的协整检验,所针对的是一组变量之间是否存在长期的均衡关系。协整检验即检验一组变量是否为平稳过程,若为平稳过程,则称其为I(0)过程,否则,对各自进行一阶差分,若一阶差分为平稳过程,则称为I(1)过程。只有当这组变量均为I(0)或I(1)过程,即所谓的同阶单整过程才可意味着它们是协整的,即各变量间存在长期的均衡关系。这样,就可以直接建立回归模型,运用OLS进行参数估计。
(2)误差修正模型估计短期货币需求函数。
第二步:记方程(2)、(3)的残差序列为e1 、e2,对残差序列e1 、e2 进行单位根检验,检验结果如表1 所示。从表1可看出,残差序列e1 、e2 为平稳序列,说明时间序列LnM1 、LnGDP、LnFRT、LnR 、LnRPI及LnM2、LnGDP、LnFRT、LnR 、LnRPI 存在协整关系,可建立误差修正模型。
剔除回归系数t值不显著的项得误差修正模型:
DLnM1)=1.059DLnGDP+0.649DLnRPI-
( 42.64)(4.24)
0.206DLnR-1.0181Ecm1(-1)-0.641AR(2)(2)
(-7.524)(-5.6)(-4.188)
R2=0.8649 D-W=2.17
DLnM2=1.187DLnGDP-0.1492DLnR-0.7363Ecm2(-1)(3)
(34.62) (-5.53)(-2.94)
R2=0.8690D-W=2.02
ECMM1(-1),ECMM2(-1)分别为(2)、(3)的误差修正项。
在狭义短期货币需求函数和广义短期货币需求函数中,误差修正项的系数别为-1.018和-0.736,符合反向修正机制,由于差分会丢失部分信息,所以拟合优度有所下降,其它检验模型整体效果的统计指标均较好,说明本文设定的误差修正模型符合反向修正原理,能够很好的表述变量的动态结构。
4 结果分析及其启示
从以上的分析可以看出,不论是狭义货币需求M1还是广义的货币需求M2,与GDP、物价水平、一年期存款利率和外汇储备均存在长期的的均衡关系:也就是说,中国的货币政策长时间以来是比较合理的,基本上能够适应宏观经济发展的需要。综合来看,上述模型的估计结果能够帮助我们获得以下的基本认识:
(1)我国巨额的外汇储备,对基础货币的发行量有一定的影响。
我国现行的外汇管理体制,要求流入中国的外汇必须由中国央行用基础货币收购,而从央行流出的基础货币进入到货币市场,在“货币乘数”作用下,按目前条件计算会产生4倍以上的放大效果,由于经济增长也需要货币投放来支持,在外汇储备规模还不算特别大的时候,由外汇占款原因所形成的货币投放,可以基本上为经济增长所吸收,因此在以往这个矛盾还不突出,但是自2003年以来,中国的外汇储备年均增长率高达41.5%,数倍于经济增长率,这样一来,巨额的外汇储备也大幅提高了对货币的需求,这也是自2007年以来我国面临的严重的通货膨胀压力之一。因此,如何发挥外汇储备的作用并保持在一个合理的水平上,值得我们去思考。
(2)我国货币需求的收入弹性较高。
从货币需求的长期方程来看,M1与GDP的弹性为0.893,M2与GDP的弹性为0.865,这恰好说明随着居民收入的提高,民众更愿意以银行储蓄的形式来持有其财富,提高了对货币的需求。
(3)利率对货币的需求调节,有着相当重要的影响力。
利率的影响力主要是通过调节货币总量的结构,即M1占M2的比重实现的。利率的提高或降低,会引导M1(作为购买手段和支付手段的货币)和M2(具有储蓄性质的准货币)之间相互转化,从而实现总需求与总供给的均衡。
参考文献
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关键词： 微积分； 数学模型； 数学建模
中图分类号： G642文献标识码： A 文章编号： 1009-8631（2011）08-0097-02
自从Newton 和Leibniz发明微积分以来，微积分在阐明数学、物理、工程技术、生物以及科学等方面的问题时展示出了强大威力。因此，几乎所有大学生都要学习高等数学（微积分），其中很多内容与一些实际问题的数学模型中要解决的数学问题密切相关，例如：导数在优化问题中的应用，积分在自然科学与社会科学中的应用等。因此在讲述这些内容时，把数学建模的思想和方法融入进去十分自然，把一些实际问题或者有强烈实际应用背景的问题的数学模型融入课堂教学中，学生不仅能初步学到数学建模的思想和方法，更能进一步深刻体会到数学的重要性，更有兴趣、更加主动地学习数学。
1 我国微积分教学改革的背景和现状
1.1 教材内容和实际脱节
我国的微积分教材主要是将定义、定理、公式、证明罗列汇集在一起，可以说是一副没有“血肉”的“干骨头架子”，学生很难看懂，实际上微积分的数学核心内容虽然相当稳定，但是微积分的应用却越来越广泛，而我们的教材涉及到的应用问题基本上还是微积分在物理、几何中的传统应用，缺少时代气息，感觉所学知识与现代实际问题相距甚远，降低了学生的学习兴趣。
1.2 教学方法落后
许多高校的微积分教学体系基本上还处于传统模式之下，采用注入式。在教学上过分强调理论的严谨性，注重严密的逻辑推理。虽然使学生具备了比较扎实的理论基础，但忽视了微积分教学中的直观化和形象化，使内容抽象难学。同时由于教学中不重视微积分的应用性和实际意义，学生学完了也不知道有什么用，更谈不上主动去用。至使学生学习兴趣低，微积分课程教学效果不好。
绝大多数高校开设了数学建模和数学实验课程，但在许多高校，数学建模和数学实验课程只是个别院系开设的学时很少的课程，或是为参加数学建模竞赛的学生开设的。如何充分利用现代技术，使计算机成为微积分教学的有力工具，并将数学建模的思想和过程融入微积分教学中，是我国微积分教学改革面临的重要任务。
2 在微积分教学中融入数学建模的思想
微积分教学应注意加强建模意识，培养学生应用微积分方法解决实际问题的能力。一些可以用微积分模型来描述的问题，如疾病传染、人口增长、种群竞争等问题，应在教学中引导学生通过建立数学模型来解决。一些重要模型的求解和分析应在教学中有所反映，比如Logistic模型能描述人口、生态、广告等许多领域的问题。在微积分教学中融入数学建模的思想是加强数学的应用、激发和培养数学学习兴趣的最佳方式，通过建模活动还可以改善教学内容与应用脱节的状况，促进学生尽早接触微积分的应用领域。具体融入的教学单元有：
2.1 导数的意义
在介绍导数的意义时，除了可以介绍教材中物理、几何方面的传统应用，还可以与时俱进，引入经济学中的边际函数、弹性系数和化学中的衰变率、浓度改变率等， 以使学生感觉到导数在现代实际问题中的应用，了解导数的意义。
2.1.1边际函数
经济学家经常把一个函数的导数称为该函数的边际值。例如：总成本C(x)是指生产一定量产品所消耗的全部成本。边际成本C′(x)是指每增加一单位产品所增加的成本；总收益R(x)是厂商销售一定量产品得到的全部收入。边际收益R′(x)是厂商每增加一单位产品所增加的收入；总利润P(x)是总收益减去总成本。边际利润P′(x)等于边际收益减去边际成本。
例1某企业生产一种产品，每天的总利润P(x)（元）与产量x（吨）之间的函数关系是P(x)=250 x－5x2 ，其边际利润P′(x)=250－10 x。
分析： 当x=10时，P′（10）=150（元），它表示在每天生产10吨的基础上，再多生产1吨，总利润将增加150元。
当x=25时，P′（25）=0（元），它说明当每天产量是25吨时，再多生产1吨，总利润几乎没有变化，这一吨产量并没有产生利润。即此时利润达到最大。
当x=30时，P′（30）=50（元），它表明产量在30吨时，再多生产1吨，总利润就要减少50元。这说明并非生产的产品数量越多，利润越高。
2.1.2 弹性系数
弹性概念在经济学中应用广泛，只要两个经济变量之间存在着函数关系，我们就可用弹性来表示因变量对自变量的反应的敏感程度。设两个经济变量之间的函数关系为Y=f（X），则弹性公式为：ε==・，其中ε为变量Y对变量X的弹性系数，ΔX、ΔY分别为变量X、Y的变动量。ε给出当经济变量X发生1%的变动时，由它引起的经济变量Y变动的百分比。
例2?摇假设某种商品的市场需求函数是Y=4000（100―P■），需求量Y的单位是，价格P的单位是元。如果目前这种商品的价格是5元／，求这时需求量对价格的弹性ε■。
解：?摇Y′（P）=8000P
当P=5时，Y（5）=3×10■， Y′（5）=4×10■／元。
所以，ε■= Y′（5）・■ =■≈0?郾67，这说明当这种商品的价格在5元／的水平时，价格上升1%， 市场的需求量相应地下降0.67% 。在经济学中，如果|ε■|＜1，则称之为低弹性，表示价格的变化对需求的影响不大。
2.2 函数极值的应用
导数在优化问题中有着广泛的应用，在介绍导数的应用时，可选用实际问题，通过建立数学模型来求解，既使学生看到了导数在实践中的应用，也学会了建模的基本步骤。
例3?摇易拉罐的优化设计
生活中，可口可乐、雪碧等饮料采用易拉罐来包装。由于饮料销量极大，饮料生产企业为了降低成本，就必须考虑将制罐材料减少到最小限度，这对于每天生产成千上万听饮料的大厂来说，尤其必要。试对制作易拉罐所用材料最省进行优化设计。
（1）问题分析：以可口可乐饮料为例，一听饮料其净重基本保持不变。要求饮料罐内体积一定时, 使易拉罐制作所用的材料最省的顶盖的直径和从顶盖到底部的高之比。
（2）模型简化与假设：
①将易拉罐近似看成一个直圆柱体。开罐装置及上、下底的其他设计忽略不计。
②设易拉罐的侧壁厚度为b，顶盖厚度为αb，底部厚度为βb，所用材料的体积为T，这里α>β≥1 ，记k=α+β。设易拉罐的体积用 V 表示, 内部半径为r，罐的内部高度为h。根据对问题的分析，其中，b与V为固定的参数，α与β为待定参数，r与h为自变量，T=T(r,h)为因变量。
（3）模型构成：
T=［π(r+b)2-πr2］h+π(r+b)2αb+π(r+b)2βb
=πb(2r+b)h+πkb(r+b)2
=2πbrh+πb2h+πbkr2+2πkb2r+πkb3
由于b
而易拉罐的容积为V=πr2h，记?准(r,h)=πr2h-V
于是建立的数学模型：T(r,h)=2πbrh+πkbr2s.t. ?准(r,h)=0
（4）模型求解：这是一个带约束条件的极值问题，可以化为无条件极值，运用导数方法求解。
把约束条件?准(r,h)=πr2h-V=0代入目标函数, 得到
T=+πkbr2?摇T′=πkbr2-?摇?摇令 T′=0
解得驻点r*=，根据实际情况知有极小值，所以r*是一个极小值点。此时，h*=kr*,T=3b。
（5）模型检验：经过测量，α=3, β=1 ，即底部厚度与侧壁厚度基本一样，而顶盖的厚度为侧壁厚度的3倍，这样α+β=4，代入结果得h*=4r*=2d。即在满足上述厚度和容积要求条件下，易拉罐的高为直径的2倍时，所用材料最省。这与实际基本吻合。
2.3 积分的应用
人口预报模型：
问题重述：今年人口数量为x，年增长率为常数r。问t年后人口数量将达到多少。
模型构成：设时刻t的人口数量为x(t)。
由分析知： x(t+Δt)-x(t)=r・Δt・x(t)
即得=rxx(0)=x，分离变量后，积分得到：x(t)=xert。从而，任意给出时间t，就可求出对应的人口数量x(t)。
参考文献：
[1] 姜启源,谢金星,叶俊.数学模型[M].高等教育出版社,2003.
[关键词]生产函数 商业银行 内控管理 管理经济学
每个企业的运作都离不开必要的经济理论和管理知识，商业银行的运作也包含其中。只要通过对管理经济学的学习，就可以了解经济理论在企业运营决策过程中的科学理论依据，为企业实现业务目标提供经济分析工具。如果一个企业能成功地运用管理经济学原理建立自己的经营策略，并把它应用到日常商务管理中，将会给企业的运营带来很大的好处。如何把企业运营和经济理论有效的结合起来？
首先，可以将产品价格弹性结合需求规律，运用于市场。在市场条件下，一般商品需求规律是：所有其他条件不变,价格下降,需求量上升；价格上升,需求量下降。但是，如果要为企业的市场战略服务，就必须将需求价格弹性和市场需求结合起来。在一般情况下，任何缺乏需求弹性的产品，企业都应设法提高价格。需求弹性充足的产品，企业可以降价销售，提高总收入。有效运用这个经济原则，用低的价格，可以薄利多销，进行更多的销售。快速销售可以提高市场竞争力，利润率虽然低，但通过更多的销售，更快的销售可以增加总利润，加快资金周转。
再次，可以利用生产函数，对企业产品降低成本，增加产量。生产函数是指在一定时期内，在技术水平不变的情况下，生产中所使用的各种生产要素的数量与所能生产的最大产量之间的关系，又称短期生产函数。公式为：q = f (l ,k0 )k0不变 ,l增加带动产出增加。譬如说，康柏公司从1993年起开始改革传统组织形式，在苏格兰的工厂试行“三人劳动组”制，结果证明这种组织形式大大优于流水线，每个工人的产出提高23％，实现了目标。“三人劳动组”运作情况如下：生产流水线一般由20名工人参加，每个人只干一种活。改革是将流水线的全部工种交给3个人承担，每个人要干6种～7种活。如第一个人负责把要组装的部件准备好；第二个人负责把那件组装到个人电脑的机壳内；第三个人负责全部测试工作，确保所有线路畅通无阻。“三人劳动组”的优越性表现在：（1）占据厂房面积小，平均每平方米的产出比流水线提高16％。（2）流水线的方式使电脑在组装的过程中触摸人数多，不但延长产品组装时间，而且增加影响产品质量的机会，因为电子产品质量的高低同被触摸的人数多少成正比。（3）流水线一旦出现故障或其中的一个成员在操作中发生问题，20个人都要停工，而小组若出现问题，受影响的则仅限于3个人。但是“三人劳动小组”要求每个工人能够干多种活，他们必须经过多方面的培训方能上岗。在这个案例中还运用到了边际产量原理，即在其他生产要素投入量固定不变条件下 ,该可变要素投入量变动一个单位所导致的总产量的变动量，公式为:mpl =q/ l，边际产量是可变的，它涉及到固定的要素的数量，在一般情况下，单位可变要素平均配置的固定要素越多，边际产量就会更大;由公式可知，在总产出不变时，劳动力的减少可使产量增加。
从内部因素的影响，中国理念的商业银行及其制度的缺乏，制约了其内部控制和管理的有效性。从概念上讲，没有将业务发展和风险管理这两种关系有机统一，有一个片面的业务发展和风险规避的两个极端片面强调的重点。也没有真正建立全面风险管理，整个过程缺乏，品种齐全，完整的风险管理意识的概念。风险管理制度，虽然在中国已经建立了一个现代商业银行制度的基本框架，但往往商业银行的初步建立只能做到“看起来像”。管理制度的发展滞后于风险的发展最终建立还没有完全垂直，独立的风险管理制度，风险管理部门的设置，业务流程，岗位职责，也仍然有许多违反内部控制原则的情况。
从实际角度来看，金融诈骗和其他商业银行系列事件的出现或发生重大案件是对内部控制失控的反应。失控客观和主观的原因很多，外部原因是对重新审核公司内部控制的有效性外部审计的不足，也没有对商业银行监管当局建立内部控制制度，正确的评价标准，内容，方法和措施；银行的内部原因主要是内部控制制度的实施，缺乏监督和约束机制，会计，控制或管理控制失灵，信息不充分交流，有效的内部审计评价和监督缺乏。深层次的原因是中国商业银行缺乏有效和健全的公司治理结构。
首先，企业在决定上要做很多市场需求的分析。市场需求，价格弹性的产品分析，以确定产品价格，来判断什么价格可以提供最大的利益。通过定价策略，一个企业决策者，以改善企业状况，就必须明确产品的价格弹性，价格弹性不足，不够灵活削减下来，否则，就是自我毁灭。预测价格弹性是发展市场营销计划的关键。通过价格的营销推广，交易折扣，产品抽奖等，以实现利益最大化企业管理者，你必须了解不同客户群体和特定商品的价格弹性的喜好。也就是说，要知道是否销售价格上涨抵消了单位收入的下降。从经济管理角度出发，在一般情况下，一个企业从零产量开始，首先需要一个更高的价格，然后慢慢地降低价格，因为利润最大化的输出总是在适当范围内的需求弹性。显然，如果企业能够自觉地使用和管理的理性思维的经济原则，我们就可以得到企业利润的最大化。
一、数学在经济学中应用的必要性
（一）是经济发展的必然要求
而今，在经济学发展进程中，人们的经济理论知识点不断提升，且经济意识不断增强，面对新时期的考验，实施经济知识点研究时，若仅仅运用以往的文字表述实施思辨式的推理工作，经济讨论的规范性、严谨性、逻辑一致性等无法得到充分保证，且在结论精准度、精密性等方面也无法得到保证，进而不利于经济学知识点的精准性。借助数学思想能让经济学的相关研究目标、经济变量间的实际关系更加明确，进而提升逻辑推理实施规范性与严谨性[1]，让所得出的理论也就更加明确、清晰，以适度降低不确定因素的出现概率，以满足经济学的实际发展需求。例如，在经济学中，弹性分析、聚类分析、经济增长模型、边际分析、回归分析等知识点，都在经济学中得到了广泛的应用，且这些知识点是借助数学方法来解释与解决经济类问题。
（二）让经济学研究与推理更精确、严谨
在经济学领域所产生一系列行为与突破，其都与数学存在着密切的联系。从古典经济学到新型的古典经济学的转变，从边际革命至凯恩斯革命的变革，这对数学知识点的应用具有重要意义。将数学知识点应用到经济学领域，能明确经济学与数学间的密切联系，其也对人们的经济思想与思维模式等产生很大的影响，让人们在行为与思维上都更具定量特性[2]。数学是一门严谨、逻辑性很强的学科，很多人员在使用语言来表示逻辑关系时，时常会发生语言不严谨的情况，让整个数学思维漏洞百出。面对此类问题，就需要开展经济学交流与论述条件下，能及时将严谨性不强的文字语言转变为专业性的数学语言。应用数学语言时，让语言更加简练、严谨，且在表述上也更加准确、精准。
二、数学在经济学中的应用
经济学的发展，必须要全面渗透数学的学科知识点，以保证经济学研究的高效性与严谨性。新时期，在经济学理论研究与应用中，高等数学的应用频率很高，如线性代数和概率论、微积分与数据统计三类。经济学与数学间联系最为紧密的当属微积分，如，边际的出现，旨在实现导数的经济化，而“弹性”这一词语在经济学中的出现频率也很高，要全面渗透数学思想。在数学知识点中，线性代数是把复杂的多元化方程进行简单化处理与求解的一种数学工具，其主要内容就表现在计量经济学中实施数据处理。在保险学领域，数理统计与概率论等知识点所发挥的作用是无法忽视的[3]。实施经济管理工作时，还要做好前期的预测工作，这是实现商品产销、资金投放和人员组织的一项重要决策与重要依据。现如今，经济的全面发展，需要集合多种资源，科学设定经济目标与经济管理方法，从多种方法中选一，进而从中获取最高经济效益。为满足数学知识点的实际需求，要求目标性函数达到极值，且目标性函数也能表示所产生的损失，进而要求函数值能达到最小值。此类知识点时常会被转化成变分问题或求解目标函数的相关条件，且线性规划、非线性规划、优选法与最优控制法等都要致力于发展的优化上。若提出一个比较详细的经济性问题，会结合具体内容、具体条件，让整个数量关系变得更为抽象，还要建立相应的数学模式，以实现对经济问题的研究。1.结合研究对象与研究目的来实施周密性的调查，进而从中获取足够的信息数据，并及时数据信息与文件资料实施分组处理和管理工作。2.理论条件下，要强调对数据信息的科学性分析与观察，及时了解影响经济系统的因素有哪些，进而确定好相应的变量。3.及时了解事物数量与共性间的密切联系，同时了解制约系统运行的条件。4.严格规定代码与符号，合理罗列各个数量关系，设定数学表达式。对数学关系式实施合并与简化处理，科学设定相应的数学模型，并对数学模型进行纠正与规范。5.结合实际模型，对经济的实际变化规律、经济运行状态等进行科学性的描述，并提出理论假说。
综上所述，在经济学领域应用数学学科知识点，能促进经济学的全面发展，必须要深度分析数学在经济学中的具体作用，及时了解数学的精髓与基本方法，全面渗透数学思想，全部融入经济领域，促进经济学的全面发展，针对社会发展进程中各类经济现象实施科学而有效的剖析。
作者:王麒焱 单位:东北石油大学秦皇岛分校
参考文献：
［1］朱小飞.高等数学在经济学中的应用［J］.科教文汇（下旬刊），2015（3）：43-44．
【关键词】导数；单调性；凹凸性；拐点
导数是进一步学习数学和其他自然科学的基础，是现代科学技术研究必不可少的工具。导数反映了函数随自变量变化的快慢程度，即函数的变化率，它使人们能够用数学工具描述事物变化的快慢及解决与之相关的问题。
一、利用导数求切线方程
导数的几何意义是，曲线 在点 处的切线斜率，即
例1
求曲线 在点（1，2）处的切线斜率，并写出该点处的切线方程与法线方程。
解：所求的切线斜率为 。由于 ，于是 。
所求的切线方程为 ，即
所求法线方程的斜率为
所求的法线方程为 ，即
二、利用导数分析函数的单调性
函数单调性的判定法：设函数 在区间 上连续，在 内可导。
（1）如果在 内 ＞0，那么函数 在 上单调增加；
（2）如果在 内 ＜0，那么函数 在 上单调减少
例2讨论函数 的单调性
解：（1）函数的定义域为
（2）
（3）令 得 ，这两点把定义域区间分为 ， ， ， 四部分。
由此可知，在区间 和 内函数 单调增加，在区间 和 内单调减少。
注：导数等于零的点和导数不存在的点可能是函数单调区间的分界点
求函数的单调性的一般步骤为：
（1）确定函数的定义域
（2）求出使函数 或 不存在的点，并以这些点为分界点，将函数定义域分为若干子区间。
（3）确定 在各个子区间的符号，进而确定 的单调区间。
三、利用导数的性质证明不等式
例3 证明：当 ＞0时， ＞
证明：设 ，则
当 ＞0时， ＞0，所以 为单调增加，又因为 ，故当 ＞0时， ＞ ，即 ＞0
因此＞
注：当不等式不能做差或作商是可以用导数的性质来解决。
四、利用导数求函数的极限
在求函数 极限时常会遇到两个函数 ， 都是无穷小或都是无穷大的情况，即“ ”，“ ”型的极限，这类极限不能直接用四则运算法则求极限，那么可以用洛必达法则来求其极限。
洛必达法则：若函数 ， 满足
（1） ，
（2）在点 的某个去心邻域内 ， 存在，且 ≠0
（3） 存在或无穷大
则极限 存在（或为无穷大），且 =
注：当 换为 时，定理仍然成立
例4 求
解：这是 型未定式
= =
例5求
解：这是 型未定式
= = =0
五、利用导数求函数的极值
极值判定法：设函数 在点 处连续，且在点 的某个邻域内可导（点 除外），若在该邻域内
（1）当 ＜ 时，有 ＞0；当 ＞ 时，有 ＜0，则函数 在点 处有极大值 ， 为 的极大值点；
（2）当 ＜ 时，有 ＜0；当 ＞ 时，有 ＞0，则函数 在点 处有极小值 ， 为 的极小值点；
（3）若在点 的左右两侧近旁， 的符号相同，则函数 在点 处没有极值。
例6求函数 的极值点与极值
解：（1）函数 的定义域为
（2） ，令 ，得 ，
， 将函数 的定义域 分为3个子区间，在每个子区间内讨论 的符号。
（3）列表讨论如下
（4）由表可见， 为函数的极大点， 为函数的极大值； 为函数的极小点， 为函数的极小值。
由此题可知求函数 极值点和极值的一般步骤：
（1）确定函数 的定义域
（2）求出导数 ，并求出函数 的全部驻点和不可导的点
（3）列表讨论 在上述各点近旁的符号
（4）判定函数 的极值点，并求出函数的极值
六、利用导数求函数的最值
设 在 内的驻点为 ， ，…， ，则比较 ， ，…， ， 的大小，其中最大的便是 在 上的最大值，最小的便是 在 上的最小值。
例7求函数 在 上的最大值与最小值
解：
解方程 ，得到 ， ，由于
比较可得 在 取得它在 上的最大值 ，在 取得它在 上的最小值
七、利用导数研究函数的凹凸性与拐点
定理：设函数 在 上连续，在 内具有一阶和二阶导数，那么
（1）若在 内 ＞0，则 在 上的图形是凹的；
（2）若在 内 ＜0，则 在 上的图形是凸的.
例8求曲线 的拐点坐标及凹凸区间.
解：（1）函数 的定义域为
（2） ，
令 ，即 ，解得 ， .
从而 ， 把定义域区间分为3个区间： ， ，
（3）列表讨论曲线的凹凸性和拐点
由上表可知，曲线在区间 ， 内是凹的，在区间 内是凸的。曲线的拐点坐标为 ，
求曲线 凹凸区间及拐点坐标的一般步骤为：
（1）确定函数 的定义域；
（2）求出函数 的二阶导数 ，解出 =0的全部实根，并求出二阶导数 不存在的点；
（3）判断上述各点两侧 是否异号，如果 在点 的两侧异号，则点（ ， ）是曲线 的拐点；如果 在点 的两侧同号，则点（ ， ）不是曲线 的拐点。
八、导数在经济分析中的应用
（一）边际分析
边际概念是经济学中的一个重要概念，一般指经济函数的变化率。经济函数的导数，反映的是这个经济现象的瞬时变化率，可以近似的描述该经济函数的边际。
1、边际成本
设总成本函数为 ，其导数 称作边际成本，记作MC。它表明在生产或购销中，产量或购销量在Q水平上再增加一个单位引起的成本的改变量 。
2、边际收入和边际利润
设某产品的总收入函数为 ,称其导数 为边际收入，记作MR.。
设某产品的总利润函数为 ,称其导数 为边际利润，记作ML.。
例9设某产品的总成本函数和收入函数分别为
，
其中，Q为该产品的销售量。试求
（1）该产品的边际成本、边际收入和边际利润
（2）生产50个单位产品时平均单位成本和边际成本本值
解：（1）边际成本为
边际收入为
利润函数为
则边际利润为
(2) 时的平均单位成本为 ， 是的边际成本为
这表示生产第50个或第51个单位产品时所追加的成本为17.5
（二）、弹性分析
若函数 在点 处可导，则 的值称为函数 在点 处的弹性，记作 。
函数 在点 处的弹性 反映了当自变量 变化1%时，函数 变化的百分数为
若需求函数为 则需求弹性为
若供给函数为 则供给弹性为
例10某商品的需求函数为 ，求 时，需求对价格的弹性。
解：
当 时， ≈－1.7
其经济含义是，当 时，价格每上升1%，需求量则减少1.7%
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