时间：2022-03-27 18:22:17
导语：在初中数学教材的撰写旅程中，学习并吸收他人佳作的精髓是一条宝贵的路径，好期刊汇集了九篇优秀范文，愿这些内容能够启发您的创作灵感，引领您探索更多的创作可能。
一、“四大难关”的成因
立足于帮助学生顺利渡过“四大难关”，教材研究的首要任务是搞清各个“难关”的成因。对此作宏观分析，我们容易概括出下面三个方面的成因：
1、抽象层次的提高
教学内容的抽象性是众所周知的，但作为数学教材的教学内容，则着意体现由直观到抽象的渐变过程，以适应学生认识的发展。在这种变化过程中，起伏程度有所不同，各大难关所表现的正是抽象程度的骤变过程。抽象层次骤然提高，这种变化若学生不能立即适应，就成为学习数学的巨大障碍，就成为“难关”了。
2、研究对象的转变
恩格斯在《反杜林论》中曾指出：“……纯数学是以现实世界的空间形式和数量关系——这是非常现实的材料——为对象的。”这给数学尤其是初等数学的本质作出了很科学的概括。数学是围绕“数”和“形”这两个方面的讨论而展开的。而在教材内容的发展过程中，由以数为主要研究对象的内容转变到以形为主要研究对象的内容时，其角度、特点以及抽象程度都有显著的变化，这一转变过程中，学生不能很快适应，就会形成由代数到几何的过渡——初二平面几何入门的一大难关。由数到形，又到数形结合，研究量与量之间运动、变化过程中表现出的关系，则又是一类研究对象，这就是函数概念的引进——因研究对象与研究方法的转变而导致的不适应，就出现了由常量数学到变量数学过渡的难关。而其它几大难关也不同程度地涉及到研究对象的改变。由此可知，数学内容研究对象的转变也是“难关”的成因之一。
3、思维方式的转变
每一次“难关”的出现，都相应地出现思维方式上大的转变，都是对前面习惯思维的扬弃。
当教学思维从特殊转入对一般情 况的研究时，就是相应的第一大难关的来临，此时可以说思维进入了归纳思维的范围；而当平面几何以全新的研究对象出现时，演绎推理——从一般到特殊的思维方式占了主导地位，这种改变又导致了第二大难关的产生；而对辩证思维要求的提高，是导致后两大难关的重要因素，因为这要经受“相对稳定——运动变化——无限领域”的一系列重大变革。数学中的静与动、有限与无限等矛盾在运动中被一一揭示出来，在思想方向上使中学生经受了一次又一次的重大洗礼。由此可见，思维方式的转变是“难关”的重要成因。
二、对策
1、广泛联系、挖掘量变因素
前面已经指出，“难关”的出现其实质是一个质变过程，它需要量变的积累，如果量变有了充分准备，质变就显得自然，“难关”也就容易克服。因此，就需要深刻挖掘量变因素，将教材抽象程度加工到使学生通过努力能够接受的水平上来。在代数关系的研究中，要积极注意挖掘与几何结合较紧密的内容，广泛联系，缩小接触新内容时的陌生度，避免因研究对象的变化而产生的心理障碍。
2、重点深入，合理设置问题
要将“难关”分散到普通教材中来，就需要注意对普通教材由微观到宏观的透彻研究与重点深入。首先，要明确局部内容在整体数学教材体系中的地位和作用；其次，要运用前文所述的教材研究方法，合理设置问题，使问题的步子与学生的思维水平同步前进，以局部知识的掌握为整体服务。例如，针对某一概念，可围绕下面几个角度设置问题：概念的构成，概念所涉及的子概念，概念的外延，概念的内，概念的确定与否定，概念之间的关系，概念的应用以及由概念而设计的一些构造性问题等等。当然有些问题可设置一些启发性的提问以使学生独立获得知识，问题与问题之间要有一定的梯度，以利于教学时启发学生思维。
3、合理吸收，突出思想方法
数学探究是学生学习数学的重要活动之一，数学教材作为数学探究的重要来源，是影响学生探究能力的重要因素。通过对上教版和人教版初中数学教材探究内容的比较分析，发现两版教材探究栏目类型丰富，形式多样，都以解答活动为主，上教版更偏向纯数学情境的运用和封闭式问题表述，而人教版较注重创设真实、开放的探究情境。
关键词
初中数学教材;探究内容;上教版;人教版
21世纪以来，数学课程改革为数学学习赋予新的内涵，强调数学学习的过程不能只依靠简单的记忆和模仿，而且要借助实际的探索和动手操作。《义务教育数学课程标准(初中)》中也指出:学生应当有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程。［1］数学教材中的探究活动在培养具有自主学习、探索能力和实践能力的人才中起到重要作用，成为数学课程改革中所倡导的重要学习活动之一。以往关于数学探究的研究主要分为三个层面:教学层面的数学探究、学习层面的数学探究和课程层面的数学探究。［2］从课程层面出发，研究教材中的数学探究比较少，且主要集中在不同国家高中学段的比较，对国内初中学段的研究较少。故将从宏观和微观两个层面考查上海教育出版社出版的九年义务教育课本七到九年级(试用本)(以下简称“上教版”)和人民教育出版社出版的义务教育教科书七到九年级(2012年版)(以下简称“人教版”)初中数学教材的探究内容。通过对两版教材探究内容的比较，以期对初中数学教材探究内容的改进和发展提供参考。
一、研究方法
(一)研究问题
探讨不同版本初中数学教材探究内容在数量分布、编排特点、情境类型、问题类型及活动类型等方面存在的异同。
(二)研究对象
通过对相关文献的分析整理，采用徐斌艳教授提出的数学探究的定义，即学生围绕某个问题情境或者数学问题，去观察、分析、推测数学事实，提出有意义的数学问题，猜测、验证适当的数学结论或规律，或给出解释或证明，再反思结论或产生新一轮问题。［3］结合上述概念界定，研究对象为两个版本的初中数学教材中显性探究内容，人教版中标有的“归纳”“思考”“探究”“实验与探究”“阅读与思考”“观察与猜想”“数学活动”“信息技术应用”等显性栏目，上教版中标有的“阅读”“思考”“观察”“探究活动”“实践活动”“阅读材料”“想一想”“议一议”等显性栏目。
(三)研究框架
通过对已有文献的梳理发现，对数学教材探究内容的分析角度呈现多样化，徐斌艳教授提出情境表述、问题表述、活动组织形式、活动类型、与教材上下文的关系这五个分析指标，每个指标又分别分解为若干二级或三级指标。［4］根据以往研究，结合人教版和上教版初中数学探究内容的特点，主要从宏观和微观两个方面进行比较分析，宏观分析包括探究内容的数量分布和编排特点，微观分析包括情境类型、问题类型、活动类型三个方面，并对每个方面进行再次细分。
二、探究内容的宏观分析
(一)数学探究内容的数量分布
数学课程内容在义务教育课程标准中被划分为数与代数、图形与几何、统计与概率、综合与实践四部分，两版教材探究内容都涉及四部分，从探究问题总量上看，人教版(834个)多于上教版(654个)，从各部分数量分布来看，两版教材探究问题除了统计与概率部分数量相同外，其余三个部分的数量都是人教版多于上教版。从各部分所占比例来看，人教版探究问题涉及数与代数部分偏多(44.48%)，其次是图形与几何(40.05%)、综合与实践(12.11%)、统计与概率(3.36%)，上教版探究问题中数与代数、图形与几何部分比例较接近，都是44%左右，其次是综合与实践(7.18%)、统计与概率(4.28%)。
(二)数学探究内容的编排特点
研究对象是教材中显著标出的有探究意味的栏目。人教版数学教材中的探究栏目以“思考”和“探究”居多，一般出现在章节开头和中间，旨在引导学生通过观察、分析、猜想、试验、推理、反思、交流等活动获取数学知识，积累学习经验，逐步学会发现、提出、分析和解决问题;“归纳”一般出现在章节中间，主要是对方法和规律的总结，促进学生的反思性学习;“阅读与思考”“数学活动”和“信息技术应用”主要出现在章节末尾或者章节外，旨在通过生动活泼、积极主动的学习，培养学生更广泛的数学学习兴趣，不断增强探究能力。［5］上教版中的探究栏目以“问题”“想一想”和“思考”居多，主要出现在章节开头和中间，用于引发学生思考，帮助学生理解新知，引导学生开展数学活动;此外，还配备了“阅读材料”“探究活动”“实践活动”等专题，出现在章节末尾或章节外，旨在拓展知识，丰富数学文化，促进学生的体验性学习和探究性学习，不断增强探究能力和实践能力。总体来看，两版教材探究栏目类型丰富，形式多样，均为学生提供了较多探究性学习的机会和方式。
三、探究内容的微观分析
主要从情境类型、问题类型和活动类型等方面对探究内容进行编码分析，分析结果如下。
(一)数学探究内容的情境类型
教材探究内容需要通过一定的情境来呈现，通过对相关文献的分析，将探究内容的情境类型分为纯数学情境和非纯数学情境。纯数学情境指纯粹数学问题表述的情境，非纯数学情境指来自日常生活、外部现实世界(自然、艺术、体育、人文等)或文学作品、科幻作品等故事情节类情境。根据统计分析发现，两版教材探究内容都以纯数学情境为主(上教版:85.63%，人教版:71.11%)，上教版纯数学情境比重更加突出，而人教版更加关注非纯数学情境的运用，其比例是上教版的两倍。纯数学情境关注数学知识本身，从数学知识、规律与关系来创设情境，注重数学的严谨性;非纯数学情境赋予数学以生动、亲和的形象，有助于学生通过自己的观察、操作等活动亲身经历知识的建构过程。上教版中纯数学情境很多，非纯数学情境较少，这对于学生基于现实生活经验进行数学学习会产生一些困难;人教版涉及很多非纯数学情境，包括日常生活和其他学科的情境问题，更注重问题情境的真实性、趣味性，有利于激发学生探究生活中的数学规律，帮助学生体会数学与生活之间、数学与其他学科之间的联系。例如，人教版七年级下册第144页的实验与探究中的“瓶子中有多少粒豆子”，此探究内容主要介绍抽样调查方法和样本估计总体的思想，重点在于让学生通过数学的思想方法，解决来自日常生活中的情境问题，为非纯数学情境。
(二)数学探究内容的问题类型
根据探究活动的解答过程和结论是否唯一，将探究活动的问题类型分为封闭式问题和开放式问题。封闭式问题的答案和解答方法都是唯一的，开放式问题包括解答方法多元的过程开放问题和答案多元的结论开放问题。两版教材探究内容都以封闭式问题为主，上教版中的比重相对人教版更高，上教版中开放式问题占11.64%，人教版中开放式问题占22.22%，且结论开放问题和过程开放问题所占百分比都高于上教版。由此可知，上教版探究内容封闭式问题很多，开放式问题比较缺乏，人教版探究内容更加注重开放式问题设计，鼓励学生大胆假设与探究，寻找多种方法分析并解决问题，寻求多元化结论，更加符合课程标准中对探究内容的要求，如“有助于鼓励学生发挥自己的想象力和创造性”“探究课题应具有一定的开放性”“培养学生善于质疑和善于反思的习惯”［6］。人教版八年级上册第11页的探究，要求学生将任意一个三角形的内角剪下拼合在一起得到一个平角，学生可以有不同的拼合方法，故此题为过程开放问题;人教版八年级下册第79页的思考，要求学生说出三种函数表示方法各自的优点，学生在解题过程中不仅要理解这三种表示方法的界定，还要考虑如何根据具体情况选择适当的方法，以及在运用方法时可能会遇到的问题，因此可能会出现多种不同的答案，故此题为结论开放问题。
(三)数学探究内容的活动类型
数学探究内容的活动类型指教材在设计数学探究内容时，为学生创造的数学活动条件和空间，本文将其分为解答活动、写作活动、项目活动、阅读活动和实验活动。统计结果表明，两版教材的探究内容均以解答活动为主，其他活动类型都比较少。相对上教版而言，人教版探究内容的活动类型和数量较多，其中实验活动主要借助信息技术实验性的探索问题，项目活动主要以实物作品呈现活动成果，阅读活动包括有问题和无问题的文本阅读，写作活动非常少;上教版教材中，阅读活动以无问题文本阅读形式为主，项目活动主要以文本作品呈现活动成果，实验活动很少，没有写作活动。据此可以看出，两版教材强调对知识的理解和运用，忽视了活动类型的多样性和趣味性。解答活动又分为“验证反思”“计算证明”和“推测解释”三类，两版教材探究内容都是以“计算证明”类为主，旨在培养学生利用数学公式、定理等进行数学计算、证明或作图的能力;其次是“推测解释”类，关注学生对可能的解答过程或结论进行推测或解释的能力;最后是“验证反思”类，培养学生对已有的解答过程和结论进行验证或反思的能力。例如，上教版七年级上册第104页中的思考，要求学生把三角形ABC绕着AB边的中点O旋转180°，并画出旋转后的图形，学生在解题时需要根据旋转等相关知识作图，以此加深对中心对称等相关概念的理解，此题为解答活动中的“计算证明”类。总体来看，两版教材都比较重视学生的探究活动，探究内容都以解答活动为主，上教版更偏向纯数学情境和封闭式问题，注重数学的严谨性，而人教版更关注开放式问题的设计，鼓励学生寻求多元的方法和结论。
四、启示
(一)密切生活实际
数学课程内容的选择要贴近学生的生活实际，有利于学生体验与理解、思考与探索，使学生经历从实际背景中抽象出数学问题、构建数学模型、寻求结果、解决问题的过程。［7］通过比较发现，两版教材探究内容更多的是纯数学情境，非纯数学情境较少，而非纯数学情境作为数学知识的一种载体，与学生的生活经验有关，能够更好地激发学习兴趣、引起思考且乐于探索。因此，两版教材中的探究内容除了关注数学知识之间的联系，也要关注数学与日常生活、数学与其他学科等领域的联系，尤其是上教版教材，可以适当增加一些与学生联系密切的生活情境或者自然科学、人文艺术类情境，重视学生已有的生活和学习经验，激发学生学习数学的兴趣。
(二)加强多角度探究
探究内容中的封闭式问题更注重问题的严谨性，而开放式问题中的过程开放旨在鼓励学生进行自由反思和探索多样化的解题方法和策略，结论开放旨在鼓励学生对未知、多变的结论进行发散性探寻。［8］两版教材探究内容都以封闭式问题为主，开放式问题为辅，尤其上教版中的开放式问题仅占11.64%。封闭式问题对于巩固所学知识和开发智力是不可替代的，但是不能完全满足对学生数学思维能力的训练。开放式问题具有非完备性、不确定性、发散性等特点，有助于调动学生学习的积极性，激发学生好奇心和求知欲，培养学生主体意识和多角度探究能力。［9］因此，上教版教材可以以数学教学内容为载体，创设开放式问题情境，激发学生自主探究，通过学生相互讨论交流和教师补充引导，促进学生思维发展，拓宽解题思路。
(三)丰富活动类型
数学学习不仅需要教师的言传身教，还需要学生自己去经历、体会、感悟、积累，而不同类型探究活动正是为学生提供这样的机会，去获得基本的数学活动经验，发挥学习的能动性，锻炼学生写作能力、动手操作能力，体会探究的乐趣。两版教材探究内容都以解答活动为主，其他类型的探究活动所占比例很少，其中实验活动主要以如何使用信息技术解决数学问题为主，对学生进行实践操作的要求不高，项目活动的探究价值不高，写作活动非常少，且缺乏对数学概念、探究过程和探究结论方面的写作。因此，两版教材应该适当增加实践活动、项目活动、阅读活动和写作活动比重。不仅注重学生的解题能力，还要关注学生的动手操作能力、阅读理解能力和写作能力，注重活动的丰富性和趣味性，使学生在不同活动类型中获得更丰富的探究体验和更全面的发展。
作者：尚念 单位：华东师范大学教育学部
参考文献:
［1］［7］中华人民共和国教育部．义务教育数学课程标准(2011年版)［S］．北京:北京师范大学出版社，2012:2－3．
［2］刘海宁．高中数学新课程中数学探究设置之研究［D］．兰州:西北师范大学，2003:2．
［3］［4］徐斌艳．高中数学探究内容的分析指标体系及比较研究［J］．课程•教材•教法，2012(10):35．
［5］中学数学课程教材研究开发中心．义务教育教科书数学七年级上册［M］．北京:人民教育出版社，2012:2．
［6］中华人民共和国教育部．普通高中数学课程标准(实验)［S］．北京:人民教育出版社，2003:99．
【关键词】 活用教材 教学改革 初中数学
社会在发展，人类在前进，一切事物都在不断地变化着，因此数学教材的发展变化也是势在所趋。初中数学新教材的编写普及性、基础性、发展性体现的都较强，也落实了“标准”中关于数学、数学课程、数学学习、数学教学活动、评价和现代信息技术的基本理念，力求突出学生的主体地位，体现学习方式的转变。如何在数学教学中使用好教材包含着两个方面的工作，一是教师在教学中如何恰当地运用教材，二是如何经常地指导学生阅读与钻研教材。
1 对教材内容进行适当的补充
我们在使用教材的过程中，根据本校实际需要对教材内容进行适当的补充，以便更加符合学生的需要。例如，在数学课堂上，适当地介绍一些数学家的故事、数学趣闻和数学史，由于数学史料涉及数学概念的产生背景及发生、发展、演变的过程，就便于学生了解数学概念的全貌，对学生的学习具有启发作用。如学习七年级（上）“1.1正数与负数”时，可介绍“负数是中国人最先使用的”及《九章算术》中有关负数使用的记载。又如学习八年级（下）第十八章“勾股定理”给学生补充我国古代数学家刘徽、赵爽的故事和关于勾股定理的证明与运用及数学成就《周髀算经》，这样可以丰富课堂内容，拓展学生的学习兴趣，激发学生的爱国热情，并体会数学在人类社会发展中的重要作用。
2 尊重学生的个体差异
要深入了解学生的实际情况，明确哪些内容是难以理解的，哪些是难以记忆的，哪些是容易错混的，哪些是容易忽略的，然后考虑如何相应地恰当的运用教材与指导学生阅读教材。比如，对于七年级一元一次方程的应用问题，考虑到学生的思维和条理性都处于一般发展阶段，我们就可以借助线段图、表格为学生导航。在本次数学课程改革中，关于学生的差异问题被提到了一个显著的位置，各学段的数学课程标准都强调在教材编写中，注意内容呈现形式的丰富多彩，以提高学生的学习兴趣，进一步加深对所学内容数学意义的理解，而且建议教师在教学过程中尊重学生的个体差异，满足他们多样化的学习需要，在教学中尽可能给学生更多的时间思考、鼓励学生的合作交流，尽可能的利用新技术，为不同的学生提供多样的方式来理解数学，比如，上“数轴”一课时，教师可喊口令，使学生同步口令操： “双臂伸直似直线，右手伸直似箭头，双手握拳似箭尾，点点头，是原点。向右跑，我变大，往左跑，我缩小，我在街上来回跑，变大变小要记牢”，数轴，作为数与形的第一次碰撞，需要建立一种新的思维模型，对于许多七年级的学生是困难的，因此，尽可能地采用多种方式来表达和解释是必要的。义务教育阶段，课程标准也提出“不同的人在数学上获得不同的发展”，其目的也在于提供多样的课程适应学生的个体差异。
3 适当替换教材的例题
新课程提倡："教科书归根结底必须由教师自主编制或对现成的教材进行再加工，这是一线教师必须拥有的权利。"因此，我们必须创造性地使用教材。例如平均数、中位数和众数的选用，我认为教材提供的3个例子对于初一学生来说很难断定究竟是使用平均数、中位数还是众数，各自的使用范围特点不免鲜明，况且我校是农村学生，学生基础较差，对于我校学生来说就可想而知了。我在备课时就想以什么恰当的例子呈现给学生，使学生容易理解掌握呢？应当设计学生最熟悉的且平均数，中位数和众数各自使用范围较明显的例子，所以我进行实验教学，一个班按教材例题教学，另一个班按我自行设计的以下例题教学。
【关键词】初中数学 教材 学习
新课程标准的实施，可谓是基础教育的一场革命。新课标下数学教学过程是教师组织和引导学生主动掌握数学知识，发展数学能力，形成良好的个性心理品质的认识与发展相统一的过程，而教师的“教”和学生的“学”的双边活动要以教材为中介，教材把他们紧密地联系在一起。教材的编写在一定程度上决定着教师的“教”和学生的“学”法。 新课程标准的观念强调我们教师要变“教教材”为用“教材教”。在新课标的观念下所编写的新教材将数学知识形成的基本过程和基本方法贯穿始终，教师善于发掘出新教材优点，转变教育观念，培养出适应时代要求的新型人材。 我本人的教学，主要从新教材具有的几个突出的优点着手，进行教学：
一、教材的实例多、实物图多。化深奥为浅白，化抽象为直观，降低了教师“教”的难度
传统的数学教材即使是学习成绩很好的同学也产生这样的疑问“我们为什么要学习这么深奥的数学呢，它们有用吗？”而现在教材举也很多实际的例子，不用教师费心说，学生看题或在学的过程中已感知到数学在我们生活中发挥着重要的作用。如九年级下册“船有触礁的危险吗”这一节内容，它是利用三角函数知识求路线或物高的内容，本是难度大而又枯燥无味的内容，但因其实例，学生生活中会应用到的知识，学生很感兴趣，并且再加上美丽的实物图，把学生感官也动员起来了，那学的劲就不用说了。而教师也不用把知识“形象化”了才去让学生理解，相对来说教师讲授的时间少了，学生学的时间多了。
二、每一章节基本上都按排了“想一想”、“议一议”、“做一做”的内容。教师根据教材内容的安排，把学生引进探索、创新的空间，彻底改变在教学中教师包办代替，一讲到底的教学方式
教师按照教材编排上述的内容留给学生思考的时间和空间，充分体现教师组织学生主动获取、掌握数学知识，发展学生的数学家思维能力。如学习平行线之间的距离相等时，教材设计了“想一想”在笔直的铁轨上，夹在两根铁轨之间的枕木是否一样长？教师不要急着下结论，给出定理，而是组织学生展开思考。有的学生认为不一样长，因为当铁轨的宽度不一样，那么夹它们之间的枕木就不一样长了；有的同学则反搏说，铁轨是让火车行走的，而火车的两边的铁轮位置是固定不变的，也即它们的距离是不变的，要是铁轨宽度不一样，火车就会出轨造成事故。此时课堂成了学生的辨论台，然而教师作适当引导，题目的前提是在笔直的铁轨上，不用考虑转弯时的变化，学生一点即明。同学们开心的笑了“哦！”，“我早说了吗！”等声一遍，再转入下面的学习就从容多了，也体现了教师组织、引导学生主动获取和掌握知识。
又如“议一议”：举出生活中的几个实例，反映“平行线之间的垂线段处处相等”的几何事实。教师组织学生分组讨论，让学生合作交流，调动学生学习数学的积极性，让每个学生都有机会发表自己的意见，培养学生的创新精神。并且学生举出多种多样的例子，丰富了学生的知识面。
三、新教材从学生的身边出发，确实把知识体现在现实生活中，教师引导学生回忆，让学生产生对知识的浓厚兴趣
“教学课程标准指出，教学课程不仅要考虑教学自身的特点，更应遵循学生学习数学的心理规律，强调从学生已在的生活经验出发。数学教材每一章开始，都是一个典型的例子引入，体现整章的核心，而每节课开始，也安排生活中的例子。在学习平面直角坐标系时，教材创设电影院的情境。在电影院内如何找到电影票上所指的位置？此时学生七嘴八舌地说出自己的意见，有的说先看第几排再看第几号，而有的同学说还要看是几楼（因为有的电影院是两层甚至是多层的）这是每一位同学都很熟悉的，即使平时考试成绩很差的同学也不陌生，能充分引起学生学习的愿望和增强学好数学的信心。此时教师作适当的鼓励，学生的热情就更高了。
??? 又如，学习旋转知识中，举出生活中钟、车的方向盘等，观察它们在转动过程中其形状、大小、位置是否发生改变，从而导出旋转的概念，化抽象为直观，教师点出有的知识虽然抽象但有可直观理解，消除学生对几何知识的恐惧心理。
四、教材课后编排了大量的“读一读”环节，教师充分利用这一点延伸课堂教学，丰富学生的知识面
1 准备阶段
1.1 前期调查
课题组成员曾利用课外时间和每周二下午的集备时间,围绕学校的教研计划,对广大师生展开前期调查,我们的调查包括教师和学生,调查学生对老师上课全部用书本上的例题的看法,学生方面反馈回来的信息是：很乏味,上课不认真听课也没关系,反正课后不懂可以自己回家看书；教师方面反馈回来的信息是：很别扭,数学本身就枯燥,以书讲书,效果不好.鉴于这种情况,课题组的老师对“如何处理初中数学教材中的例题”这个问题进行了认真研究,初步形成了较完整的认识.
1.2 制定研究方法
本课题研究主要采用行动研究法,辅之调查法、文献法、比较研究法等研究方法.
1.3 收集例题阶段
每周四下午均有开展教研活动,这给收集例题带来了很大便利.从开课教师的说课、上课,其它老师的评课,还有我们自已平时的备课中,我们收集到了许许多多有关课堂教学的例题.我们对这些例题进行了整理、分析、归类,对不同类型的例题研究出了不同的处理方法.
2 处理教材例题的原则
要处理好初中数学教材中的例题,达到自如驾驭教材,提高课堂效率的目的,就要遵循一定的原则：
2.1 目标性原则：每一节课的教学目标是课堂教学的出发点和归宿,在课堂教学中起着导航的作用.教师对例题的“开发”必须围绕教学目标进行,开发后的内容要体现目标性原则,不同的教学目标决定着不同的处理方法.
2.2 科学性和现实性原则：数学知识具有严格的逻辑性和高度的科学性, “开发”的例题必须具有科学性.教师选择和创造的例题要与学生的生活实际相结合,对于某些陈旧的、不适合社会发展的内容要删除,要把某些新进展的、具有时代性的内容编成例题,从而充实学生的学习生活,充实教材内容.
2.3 主体性原则：教师处理例题必须根据学生的具体情况,在内容的呈现形式上要适合学生的年龄特点,满足学生的需要,不同地区、不同基础的学生应该采用不同的处理方式,做到因材施教.处理例题时还要注意培养他们解题的技能技巧,提高他们的数学学习能力,使学生学会学习.
3 处理教材例题的方法
首先要尊重教材,毕竟专家在编写教材时是经过从理论到实践的多重思考与验证的,教材中有许许多多现成的例题,它们能很好地实现教学目标,很好地促进学生的数学学习,对于这类例题,我们可以根据以往积累的成功经验直接传授给学生.当然,在牢牢把握课时教学目标的前提下,可对教材中的某些例题作出合理 “开发”. 处理后的例题是教师心中的教材,这教材不是原教材的复印,而是根据教学的目标任务、教材内容以及学生的实际情况、运用恰当的教学方法与教学策略进行优化整合的.只有这样经过优化整合的教材,才能使它有效地内化为学生的知识、能力与观念.例题的再次“开发”,往往能促使学生的学习由“重结论轻过程”转向“过程与结论并重”的方向发展,从而使学生达到“举一反三”效果.
综观在教学实践中作出的探索,对于那些需要“加工”的例题,我们就如何“开发”例题方面总结出以下几种方法：
3.1 不改变例题改变教学方法与教学策略
在平时的的教学中不但要积累成功的经验,还要总结失败的教训,并以此为鉴,才能使自已的教育教学水平得到提高.有时即使不改变例题而改变教学方法与教学策略,也能使我们的课堂教学起到事半功倍的效果.
3.2 利用教材中的例题改动一些小知识点
这是教师在上课时常用的方法,成特别是在讲解计算型的题目时,如：合并同类项时,举例2a+3a,我们给改成5a+6a或7b+2b,继而再改成-2a+3b,然后再总结合并同类项的规律,这对教学效果是没有任何影响的,同时这样随意改动,自已也觉得得心应手,会给自已增加自信心,自然也就提高了课堂教学效果.
3.3 改变题目的背景
有时为了激发学生的学习兴趣,活跃课堂气氛,不要忽视了课堂情感的投入,在上课时可以对题目的背景进行适当更改.教师有意识地进行题目背景的更换,使知识溶入在不同的背景中,选择的背景是学生熟悉的事物和情景,这会让数学教学因贴近生活而变得更加可亲.让学生在数学的世界里开拓出可供他们思索、探讨和发展的用武之地,使数学课程更具现实性.比如在上抛物线的图象时,我们就可以用寿宁县本地知名的木拱桥为背景,向当地学生介绍抛物线的特点,学生自然能倍感亲切和自豪,学习兴趣也就更加浓厚了.
3.4 拓展例题的知识范围
有的例题仅仅针对一个知识点,解决一个问题,但在实际教学时有时可能会根据实际情况,需要“借题发挥”,对例题的知识范围进行拓展.例如在学习“变化中的三角形”这节课时,分析了三角形的面积公式S＝ah÷2中,“高h为6不变,底a变化时,有S＝ah÷2＝6a÷2＝3a,点明变量S怎样随着自变量a的变化而变化.在学生掌握了这个例题之后及时渗透行程等常用公式中因变量怎样随着自变量的变化而变化的例子,教学效果非常好.
3.5 创造全新的例题
教材处理过程中不能只盯着课本中的题目,应选择和创造一些与学生的生活实际相结合的例题,增加一些书本上没有但是今后又要用到的知识,以促进学生今后的发展.如在上因式分解时可增加“十字相乘法”等的相关例题,二次函数补充“交点式”等等.
4 “处理例题”的实践阶段
要开展好“处理例题”这项活动,就要关注好以下几个阶段：
4.1 例题的选取阶段
题目涉及的知识要点应覆盖本节课的内容,有一定的代表性；所选例题要能体现“通法通用”, 遵循思维的认知规律,从易到难,循序渐进.所以所选例题不要一心追求偏、怪、难题,也不要贪多,要重视一题多解、一题多变,注重培养学生解题的能力.
4.2 指导学生分析阶段
教师引导学生研读例题,启发学生积极思考例题中的有关问题,包括看懂例题、理解概念、分析问题、得出解题思路、完善解题步骤.
4.3 教师的讲解阶段
数学例题的讲解分计算题、作图题、证明题等,对不同类型的题目一般采用不同的方法,即使是同一种类型的题目也可以用多种思考的方法,下面就以证明题为例：首先是直接证明,直接证明有综合法和分析法两种：综合法是一种由已知走向求证,即从数学题的已知条件出发,经过逐步的逻辑推理,最后达到待证结论或需求的问题的证明方法.综合法的特点是从“已知”看“可知”, 逐步推向“未知”,实际上是寻找它的必要条件.分析法与综合法刚好相反,这是由求证走向已知,即从数学题的待证结论或需求出发,一步一步地探索下去,最后达到题设的已知条件.分析法的特点是：从“未知”看“需知”,执果索因,逐步靠拢“已知”.其逐步推理,实际上是要寻找它的充分条件.其次是间接证明,间接证明有两种思路：反证法和举反例的方法.
4.4 提高总结阶段
例题解答之后,要引导学生反思解题过程,总结解题的经验教训,对一些常用的教学方法,解题策略予以归纳概括,提示学生今后注意运用.对于学生易错又不容易改正的习题要引导学生做好用好错题集.错题集的格式：
5 实施“处理教材例题”策略的效果
近几年来我校的数学成绩在本地总是遥遥领先,这与开展“如何处理初中数学教材中的例题”活动有很大关系.在数学课堂教学中有时对例题进行适当改动,或调整对例题的授课方式方法,有助于提高学生的学习积极性,学生的学习兴趣提高了很多,大部分同学感觉上数学课比以前有意思多了,他们课堂上积极性提高了,成绩也就自然提高了.当然,也有少数一些基础较差的同学在学习中表现不够突出,他们虽然改变了以往“坐不住”的现象,但成绩提高不明显,有些甚至有退步的现象,这是值得我们注意的地方.
6 实施“处理教材例题”策略后的反思
目前教师已经有了主动驾驭教材的热情和意识,一般会对例题作出相应的处理,但是还要注意：要真正用好教材,用好例题,在教学中要时刻树立通过自己的实践来验证完善教材的意识,让教材为我所用.经过这一段时间的实践,我深深体会到有以下几点要引起关注：
(1)在教材处理过程中会不会因为不断地回想起以往的教学经验,而让“习惯做法”影响了我们对教材的理解？如果课后总是觉得知识讲得不到位,然后在以后的教学中费力地去补充、拓展、加深,那是因为我们更着眼于对知识本身的处理,而没有在如何调动学生的积极情感方面下功夫？应该把教学的“支点”放在如何使学生乐学、善学,使之由客体变为主体,使之积极的,目的明确地、主动热情地参与到教学活动中来.
(2)学生要成长,教师也要成长. 教师大多是在传统教学模式下成长起来的.新课程带给教师的是全新的教育理念,为了不断适应新课改的需要,教师间的交流、合作就显得尤为重要,教师要多参加各项继续教育,要不断钻研,给自已充电,才能更有效地去指导学生的学习.可以要把教学中成功(失败)的经验、教学 心得、教学反思、论文、等及时地积累下来,作为自已成长的记录,让自已不断成长.
(3)这种处理教材的策略虽然有很多优势,但它还不很完善,也有缺陷,还有些需要改进的地方, 面对新课程,要积极探索,不断挖掘教材知识背后所蕴涵的思维方式、方法,展示出知识产生、形成、创新和发展的过程,创造性地运用教材.努力在知识与技能,过程与方法,情感态度与价值观三方面平衡,在摸索中前进,在反思中提高,更好地把握教材、处理教材.
一、加强探究性教学
探究性教学近年来非常流行，主要原因是它能极大地调动学生的积极性，让学生自己阅读、去观察、去理解，然后总结出规律，得出结论。再辅以教师必要的讲解、归纳总结，学生易于理解掌握。因此，在教法的选择上，教师要从教学内容的实际和学生的学情出发，内容适宜学生探究的，就让学生探究。
二、对教学内容作适当的调整和补充
教材选择的内容及呈现方式，既要符合大多数人的认知规律，又要照顾知识体系的完整性。由于学生、教师、教学目标等方面都存在差异，同一内容对于不同的教学对象会有不同的价值效果，因此，对教学内容进行适当的取舍调整便在情理之中。既应认真研究教材的教学价值，不轻易舍弃，又不迷信教科书，大胆创新。
在教学有理数的加法和乘法法则时，教材上是采用数轴引入运动情景的，我认为这样有所不妥，其—，运动时只规定了左右方向，未规定起始点（即原点）；其二，数轴上左右运动使学生晕头转向，尤其在乘法中，对时间规定了“现在前”为负，更让学生一头雾水。所以我把这部分内容作了调整：教学加法法则时，我用学生们都熟知的足球赛的净胜球数引入，让学生思考某球队在一场比赛中的胜负会有哪些不同情形，这样对下面的讨论内容有一个整体韵把握，而且挣胜球数远比教材中在数轴上左右运动更符合实际，更容易被学生理解接受。教学乘法法则时，我作了同样类似的调整。
另外，在进行有理数的运算教学时，用到了去括号法则，但教材中只轻描淡写地一带而过。我认为去括号法则对于有理数的运算乃至求解一元二次方程等，都具有非常重要的作用，不容忽视，括号不会去或去不对，直接影响到学生对知识的掌握。所以在教学时，我给学生补充了去括号法则，收到了良好的效果。
三、对分散的知识进行整合
新教材打破了传统的代数、几何的分科，代之以“数与代数”、‘空间与图形”、“统计与概率”三大板块，采用螺旋上升的方式编排，由简单到复杂，由低层次的展开到高层次的综合，不断深化，符合学生的认知规律，收到了很好的效果。但有些知识在结构上表现为松散、跳跃，给教和学带来了困难。
《一元—次方程》一章中列方程是重点，为了突出显示方程应用的重要性，教材把对实际问题的讨论作为贯穿全章前后的一条主线，把解决问题分散于全章。对一元一次方程解法的讨论也始终是结合解决实际问题进行的，即先列方程，再去学习如何解方程。这样不仅把一元一次方程的解法分散了，而且也把实际的各类问题情境分散了，还给人一种“不会走，先学跑”的感觉。我在教学这—章时，打破了教材顺序，按方程的定义——解方程——列方程的顺序进行。即先学习一元一次方程的解决，然后再去应用方程的知识解决实际问题。这样层次分明，循序渐进，符合学生的认知规律。同时，本章对实际问题的讨论分散在前三节中，而只在最后一节中安排了“再探实际问题与一元一次方程”的内容，选择了三个问题（“销售中的盈亏”、“用哪种灯省钱”、“球赛积分表问题”），这种“分散”内容的安排，学生不容易找出问题中的基本数量关系，遇到实际问题时思路不清晰。所以我在方程的应用这部分内容教学时，按实际问题情境分类，如行程问题、工程问题、销售中的盈亏问题、利率问题、方案设计问题等，引导学生探索每类问题的共性，探究出其内在规律，构建模型。当学生遇到不同实际问题时，脑海里马上显现出此类问题的通性解法，解决起来得心应手。在学习完了一元一次方程解应用题之后，我又顺便举了一个分式方程的例子，让学生认识到关于方程的应用知识远不止这些，既增强了进一步探索的欲望，又对方程的应用有一个比较系统的了解。
【中图分类号】 G633.6
【文献标识码】 A
【文章编号】 1004―0463（2017）
03―0109―01
义务教育人教版数学新教材和旧版教材相比发生了翻天覆地的变化，新教材对教师的教育思想、教育理念、教学方法等提出了更高的要求。经过几年的教学实践和探索，笔者在使用新教材的过程中，有了一定的收获和突破。下面，笔者谈谈自己的做法。
一、学习章前引言，使数学教学系统化
引言是全章的引领、序曲，起到了提纲挈领的作用，能使学生了解本章概貌，了解本章的思想方法和学习方法，使数学教学系统化。但在教学实践中，极少有教师引导学生学习章前引言。其实章前引言在每一章的学习中具有承上启下、统率全局的重要作用，因此教学中，教师要引导学生学好章前引言，对本章知识要整体把握，让学生明白这一章要学什么，学会这些知识能解决什么实际问题。教师要做好教学的组织和学生的引导工作，充分挖掘和利用好章前引言。
例如，教学“平面直角坐标系”时，笔者指导学生认真阅读章前引言，并向学生提出：“这章将要学习什么内容？”“为什么要学习这章知识？”等问题，引导学生从宏观上感知学习本章教材知识的目的，为学生学习新的一章开好头，这也能使学生对本章内容有全面把握，有利于知识的系统化。
二、开展课题研究，使数学教学实践化
开展课题学习是实践与综合应用活动的主要呈现形式，也是新课程标准的一大特色。课题学习是强调以“课题研究”为学习方式，将研究性学习的方法运用在数学教学中，让学生体验研究性W习，使教学过程变成一种“微科研”过程。
例如，七年级上册学习了“空间图形的基本认识”后，教材设置了“制作长方体包装纸盒”课题；七年级和八年级下册学习了“数据处理和分析”后，设置了“从数据谈节水”和“中学生体质健康调查表”等课题。为了培养学生关注社会生活及参与社会实践的兴趣，笔者在学生学习了“相似三角形”、“解直角三角形”、“投影”的知识后，设计了实践课《测量旗杆的高度》，把学生每三人分成一个小组，要求用不同的方法测量旗杆的高度。学生热情高涨，积极参与。全班出现了利用影子、利用标杆构造相似、借助等腰三角形、利用镜子反射、利用照相机、利用三角函数等6种不同的测量方法。数据的测量、数据的处理、调查报告的撰写，都是学生自己完成的。他们通过实践，体会到了学习数学的乐趣，激发了学习兴趣，提高了综合实践能力。
三、创设问题情境，使数学教学生活化
德国一位学者有过一个比喻：将15克盐放在你的面前，你难以下咽，但将15克盐放入一碗美味可口的汤中，你就在享用佳肴时，将15克盐全部吸收了。情境之于知识，犹如汤之于盐。这充分说明恰当的问题情境，能够很好地促使学生将抽象的新知识融入已有的知识体系中。
例如，在教学“直线与圆的位置关系”一课时，首先利用直线和圆画了两幅简笔画――自行车和笑脸，然后让学生观察简笔画自行车和笑脸的构成，学生很容易发现两幅图画都是由直线和圆构成的。接着提问这些直线和圆有什么样的位置关系，以此来引出课题。随后用多媒体播放海上日出的视频，让学生感受数学知识与生活现象的密切联系。课外要求学生用硬币代替太阳，画一条直线代替海平面，模拟演示在太阳升起的过程中，直线与圆有哪几种不同的位置关系。这样的探究活动都是学生在观察操作和交流中完成的，贴近生活，容易完成。直观形象，不仅使学生在感悟体验中学到了新知，还激发了学生学习的兴趣。
四、 重视阅读思考，使教学过程趣味化
新人教版初中数学教材“阅读思考”的内容丰富多彩，有许多富有趣味的数学常识、数学发展历史、数学小故事等。教学中，教师要鼓励学生阅读这些材料，并积极思考材料中蕴涵的数学知识。
新教材充分体现了新课程改革的意图,改变了以往课程内容偏难、繁琐、陈旧的倾向,并打破了单一的课程结构,构建了体现综合性、均衡性、选择性的新课程体系。新教材改变了以往数学教材只注重单纯数学知识、远离生活实际的体系,充分体现了数学知识就在实际生活中,就在我们身边的理念。
新教材编写中,尽可能地把数学知识引入到社会生活场景中,把生活中的计算编到例题和习题里,体现了生活中有数学也需要数学。带领学生感受到生活中到处都有数学,现代化的生活更是离不开数学,数学就在身边,我们时刻都在和数学打交道,数学已是我们最亲密的朋友。需要就足以引起学习的愿望,何况教材中许多有趣且富有挑战性的问题,也激发了学生好胜心和兴趣,缩小了学生和数学理论的距离,数学不再是枯燥无味的了。
在新教材实施过程中,也遇到了新教材和旧体制的不协调问题。如:这一届初一年级的学生,在上小学时没有实施新教材,是按着原有教材上的课,且正好赶上全社会都在呼吁给中、小学生减负,其综合素质达不到新教材对学生的要求。学生不仅不善于积极思考,也缺少主动思考的习惯,甚至连这个能力也不具有。再如:好多日常生活中的名词和概念,学生都不知道就更不懂,象“时差”、“成本价”、“利率”、“利息”、“销售量”,表现出理解能力差。教学中为了向学生解释清楚这些名词和概念,占用了较多的教学时间,直接导致练习时间的减少,进而导致教学进度的推迟。
二、新教材使课堂活跃了起来
新教材章节的安排呈专题的形式,并增加了许多活动课内容,十分有利于激发学生的学习热情,也有利于开发学生的创造思维能力。新教材能使学生在学习数学知识时,不单纯地依赖于模仿和记忆,而是着重培养学生动手实践、自主探索、合作交流等创造能力。
在新教材的教学过程中,学生可通过“做一做”、“想一想”、“议一议”等栏目,锻炼自己动手实践、自主探索、合作交流等能力。实际教学过程中,多数学生很喜欢“做一做”、“想一想”、“议一议”等栏目。课堂上学生思维变得活跃,讨论交流时敢于发表观点,甚至争论激烈,不仅议明了当前的问题,思维还经常由一个知识点发散到多个知识点,知识间的相互关联也清晰明了。数学课堂不再是过去的教师“一言堂”,教师在教学活动中引导、辅助学生的活动,与学生合作探讨、研究问题,围绕学生组织教学,使学生真正成为课堂上的主人。
通过“做一做”、“想一想”、“议一议”等学习活动,可很好地激发学生的兴趣挖掘学生的潜能,促使他们在自主探索与合作交流过程中理解、掌握知识,并且学会学习。数学技能和思维方法得到锻炼,意志力得到培养、自信心不断发展、科学精神逐渐形成。
当然,在实践过程中,也遇到了一些困难。首先一个障碍是,在做这些活动时,性格开朗、表达能力强的学生,会主动发言,锻炼的机会多;而性格文静、不善讲话的学生(多为女生),得到锻炼的机会就少(教学时间有限)。为了克服这个障碍,我们在教学中,尝试着将学生分成几个小组,所有的活动在小组中进行,并要求组内同学互相帮助,这么做确实使更多的学生得到锻炼和帮助。
新教材在活动课中学生讨论时会产生很多“意外”问题,教师在组织活动时既要考虑让学生尽量充分讨论,又要考虑教学进度和课时任务,教学中不免有些“束手束脚”。按照目前的课时安排,教学时间“捉襟见肘”,经常落后于应该达到的教学进度。最后还有一个问题,新教材把关于统计的相关知识放到各册中分别独立教学,虽然内容是由浅入深,但给人的感觉是相同的问题重复出现,而且每学期时间相隔太久,上学期学过的知识早就遗忘,学生和老师都不能很好地把握,学生难学,老师难教。
三、新教材的例题与习题进行了优化配备
新教材的专题形式的章节安排,既有利于创设学习环境,又有利于从学生熟悉或感兴趣的情境引入问题、开展数学探究。尤其是新教材的例题与习题配备,有百分之九十都是解决实际问题的,学生充分感到数学来自与生活实践的方方面面,实际生活离不开数学。为了解决问题,同学们会积极参与活动,想办法获取一些辅助信息,积极与同学们合作。在教学实践中,我们遇到了教学难度问题,按照新课程标准,每学年的教学难度不是很明确,不得已教师只能以教材中的例题和课后习题的程度,来指导自己的教学。
这本也无可厚非,问题是新教材的习题配备,并没有注意按难易程度排列,有些练习、习题中的问题,比章节复习题中的问题还难。教学中如不做大量的铺垫,学生很难理解。可是,章节复习题中的某些问题,却很简单。使得教师很难把握教材、教学的难度,拿不定中等程度的学生,是以习题难度为准,还是以复习题的难度为准,教学中容易顾此失彼。另外,习题中很少配备与例题类似的问题,使综合素质较差学生,得不到及时、充分的巩固练习,致使举一反三的没做到,学会的也忘了。
一、根据学生的认知水平，对教材顺序进行适当的调整
根据不同地域、不同学校环境及不同学生的认知水平等情况，可对教材内容的顺序进行适当的调整，有利于提高自己的教学效果。如七年级（上）“3.2―3.3解一元一次方程”这两节，是探究“一元一次方程的解法”。教材给出的首先是实际问题，然后列方程，利用等式的性质归纳出解方程的方法、步骤。由于我校地处贫困边远山区，学生列方程存在很大的困难，正确列方程会占据很多时间，教材对问题的解答也不很规范，无答语且步骤重复。所以我在教学时将这两节内容进行调整，先就一元一次方程的解题步骤，出示几道一元一次方程题（有梯度），要求学生利用等式性质解，然后归纳出方程的解法和步骤，最后解决教材提出的实际问题，这样所花时间会减少且解题规范。这样灵活地调整更符合学生的学习实际，也符合学生的认识规律，有利于学生对知识的探究和掌握，增强学生的成就感和提高学生的学习兴趣。
二、对教材内容进行适当的调整
1.对教材内容进行适当的补充
我们在使用教材的过程中，根据本校实际需要对教材内容进行适当的补充，以便更加符合学生的需求。如学习七年级（上）“1.4有理数的乘除法”时，可补充“水池中水位升降”或“汽车向东（或向西）行驶”的例子，以帮助学生理解有理数乘法法则。又如学习“勾股定理”给学生补充我国古代数学家赵爽的故事和赵爽弦图以及关于勾股定理的证明，二项式展开式介绍“杨辉三角”等。这样可以丰富课堂内容，提高学生的学习兴趣，激发学生的爱国热情，并体会数学在人类社会发展中的重要作用。
2.对教材中的例题进行适当的修改
在使用教材的过程中，教师可以根据学生实际及认知情况的需要对教材内容进行适当的删改，以便更加符合学生的实际。如七年级（上）第144页的“数学活动”中的“活动1：制作火车车箱的模型”。教材安排这个活动内容对我们贫困山区农村学校的学生来说，有的从来没有见过火车，这样的活动学生操作起来比较困难，而且教材在活动后面的问题“你见过其他形状的火车车箱吗？类似地制作出它们的模型？”学生会更加犯难。由此，我对这个活动的内容进行修改，改用当地学生常见的又符合当地学生实际的“汽车车箱”，这样学生操作起来比较顺利，容易体会到成功的喜悦，激起学生学习的兴趣。
三、对教材习题的教学要灵活多变
教材中的习题在解题思路上具有典型性和代表性，在知识掌握、运用和由知识转化为能力的过程中具有示范性和启发性。使知识相互联系，提高学生对解法的理解和提高解题的技巧。如已知：如图1，点C为线段AB上一点，ACM、CBN是等边三角形。求证：AN=BM
证明：ACM和CBN是等边三角形
MC=AC，CN=CB，∠ACN=∠MCB
ACN≌MCB
AN=BM
变式1：在上题中，连接DE，求证：（1）DCE是等边三角形（2）DE//AB
分析：（1）可证ADC≌MEC，则DC=EC，因为∠DCE=60°，所以DCE是等边三角形。
（2）由（1）易证∠EDC=∠ACM=60°，所以DE//AB
变式2：上题中，连接CF，求证：CF平分∠AFB
分析：过点C作CGAN于G，CHBM于H，由ACN≌MCB，可得到CG=CH，
所以CF平分∠AFB
变式3：如图2，点C为线段AB上一点，ACM、CBN是等边三角形，P是AN的中点，Q是BM的中点，求证：CPQ是等边三角形
证明：ACN≌MCB
AN=BM，∠ABM=∠ANC
又P、Q分别是AN、BM的中点
BCQ≌NCP
CQ=CP，∠BCQ=∠NCP
∠PCQ=∠NCP+∠NCQ=∠BCQ+∠NCQ=∠NCB=60°
CPQ是等边三角形
数学习题目的在于全面系统地巩固基础知识，进一步提高学生的分析能力和解题能力。
本例利用“泵站问题”进行迁移变式，逐步探究了几种常见的图形中两条线段之和最短问题，这样有利于学生解题思想方法的形成、巩固，达到了透彻理解该基本问题的目的。
灵活使用教材，应该是一项长期艰巨的工作。同样的教材会因为学生具体情况不同而出现不同的教学效果，所以我们经常说要树立“用教材教”的新观念，而不是机械地“教教材”，教材的编写也有意识地给老师留下研究和拓展的空间。作为教师，灵活地使用教材，变“死教”教材为“活用”教材，使课堂教学生动而有效。只有在教学中不断地学习教育理论，更新教育观念，大胆探索，积极思考，不断积累、总结经验，才能在教学实践中结合学生实际，更有效地挖掘教材内涵，轻松自如地驾驭教材，提高学生探究学习的能力，实现新课程目标。
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