时间：2023-11-10 11:08:23
导语：在高中数学片段教学设计的撰写旅程中，学习并吸收他人佳作的精髓是一条宝贵的路径，好期刊汇集了九篇优秀范文，愿这些内容能够启发您的创作灵感，引领您探索更多的创作可能。
关键词：课堂教学模式；单元教学；教学原则
《普通高中数学课程标准（实验）》的实施建议指出：“丰富学生的学习方式、改进学生的学习方法是高中数学课程追求的基本理念。”笔者在三十余年的高中数学教学中，经过长期探索，总结出以“自学自改”为引领的高中数学单元教学新模式。
这一教学模式以单元为学习单位，每个单元用三个课时完成。一个单元包括三种课前作业和六个课堂教学环节（见下表）。其中三种课前作业分别为自学自改、展题探究和过关检测，三种作业要求分别在一个单元的三节课前完成。六个课堂教学环节分别为作业展评、问题讨论、背景拓展、展题展示、疑难解析和归纳引申等，依次每两个环节用一课时完成。在笔者看来，其中的“自学自改”环节是该教学模式中最关键的一环。
突出“自学自改”的高中数学单元教学各环节分布表
下面我结合《普通高中课程标准实验教科书（数学）》选修4-4坐标系与参数方程中“直线的参数方程”一单元（以下简称本单元）中的教学设计片段，介绍单元教学的流程，并简单分析实施这一教学模式应遵循的教学原则。
一、第一课时教学设计
1.自学自改――自主体验增强自信
一个新的教学单元的第一课前，教师布置学生完全自主学习，包括阅读教材、完成作业、核对答案、纠正错误四步，即“自学自改”。
当前，高中数学教学中普遍存在让学生“悟”的过程太短，常常是直接介绍知识点后进行海量做题的状况。而且课前普遍采用导学案，导致给学生预设的环节过于充分，课堂进行得过于顺畅，挤压了学生独立思考和交流的空间。
“自学自改”不设课前导学案，完全放手让学生自主学习，增加了学生“悟”的时间，让学生全方位体验阅读、思考、理解和应用的完整过程。
2.作业展评――典型问题精准解决
第一课时的第一个环节，教师评价作业，师生探讨作业照片中的问题和产生的原因。
教师在课前检查、批改、整理学生自主学习后完成的作业，对各小组作业数量、质量进行量化统计。教师根据作业的情况了解学情，摸清本节学习容易出现的问题，挑选重点题目作为作业展评的教学内容。然后筛选最有代表性的作业，拍照准备课堂上使用。
上课后，教师首先简短引入，然后对各小组作业完成的情况进行表扬或批评，最后与学生共同分析典型作业。主要和学生共同探讨作业的质量优劣及原因。
下图是本单元中利用参数t的几何意义解题时的作业，教师可以依次询问学生以下问题：“这个表达有问题吗？”“哪一步有问题？”“前面式子中的和与积和后面结论中的和与积各指的是什么？”“中间过程缺了什么？”“请大家写出该题的步骤！”只要学生能回答清楚这些问题，那么他们对参数的几何意义就能正确理解。
这个教学环节类似于作业讲评，之所以把它放在教学的第一个环节，是因为“自学自改”后，学生会产生很多模糊的认识，教师及时给予准确地反馈，学生理解知识的效率就会提高。
3.问题讨论――合作探究领悟内涵
第二个环节针对教师出示的问题，学生进行小组讨论。
要求学生在小组内围绕老师的问题提出疑问、发表看法，形成全组统一的答案，准备参加全班交流。
讨论结束后，教师组织小组代表在全班进行交流，教师总结点评。
比如，在本单元中，我们给出下列问题供小组讨论：
问题一：对于直线的参数方程x=x0+tcos？琢y=y0+tsin？琢（t为参数），x0，y0，？琢，cos？琢，sin？琢分别表示什么？
问题三：通过问题二中的向量等式解释t的符号和大小分别具有什么几何意义？
问题四：如何用直线x=x0+tcos？琢y=y0+tsin？琢（t为参数）中的参数t的值t1，t2表达弦长？弦的中点？为什么？
以上问题从基本知识到基本方法层层递进，由易到难。学生经过认真思考、小组讨论和全班交流，必定会准确地理解相关知识。
实践表明，小组讨论对于增强语言表达能力、提高合作意识和合作能力，对于提升学习的自信心都有好处。因此，从学生的发展来考虑，我们没有理由不把问题讨论引入课堂。
二、第二课时教学设计
1.展题探究――独立思考，精研细磨
第一节课后，布置学生完成指定的展题，要求尽可能一题多解。学生通过自主完成展题，加深对知识的理解，提高学生分析问题和解决问题的能力。
2.背景拓展――扩大范围，突显价值
运用思维导图将思维外化为图，帮助学生梳理解题思路，使数学概念和知识系统化，实现个性化的高效记忆．如理解不同象限角的三角函数值正负时可以借助“才”字决．思维导图有利于迅速激活学生的空间智能，给学生予视觉冲击，利用他们的好奇心，给充满枯燥数字和公式的数学课多增添一些光彩，也可以让一些空间智能稍强但数学学习困难的学生学会把知识、学习材料和概念图像化，用另一种方式建构数学知识．我相信，如果可以经常运用这种思维导图，即增进了学生的记忆力和图像表征的能力，又提高了系统掌握数学知识的水平．
二、组织“做数学模型”和“数学实验”的活动
高中生有一定的创造力和想象力，对于高中数学课程的某些模块，教师可以结合做实验展开教学，让学生在做中学到真正能应用的数学．例如:《几何概型》这一课时完全可以利用随机摸地球仪的实验证明海洋占地球表面的三分之二;必修二中空间点线面的关系则必须要经常借助现有的场景，如墙角、书本和纸笔等进行观察;对于“等底等高的锥柱体积为一比三”的结论，可以让学生制作相应的学习道具，进行试验再得到;所有的函数图像均可以借助几何画板软件作出，那也是很好的数学实验．组织“做数学模型”和“数学实验”的活动可以很好地促进身体－动觉智能、自然观察智能以及视觉－空间智能等智能的发展，是很好的教学方式．
三、鼓励学生利用微信、博客或QQ流心得
如今，国内沿海的学生很幸福，基本上可以用手机上网，这让他们实现网上交流学习心得成为可能．利用微信、QQ日志和QQ群可以让学生记录自己对某些数学问题的理解、解答，也可以对教师的教学设计提出改进的意见．网上心得交流可以包含四个方面的内容:一是对课堂上老师讲授的数学定义、解答方法和推理过程的掌握程度的反馈;二是对教师的临场发挥和教学过程进行简单评价及褒扬，包含对交流活动、作业布置和测试等流程发表意见;三是无主题漫谈，可自由表达自己的经验、困惑或者寻求帮助等;四是建立一个属于个人特色的错题备忘录，用最简单的文字备份自己在学习过程中掌握较差的知识点．通过网上交流心得和记录学生自己的学习日志，学生可以对自己的学习和成长不断反思，同学之间也可以互相参考学习方法，解析自己且鞭策他人，增强自我认知智能，提升书面语言表达能力和解决各种逻辑—数学问题的能力．
四、音乐智能在教学过程中的合理运用
【关键词】价值；原则；方法；意义
初中数学是一门理论性和实用性较强的学科，枯燥的理论知识容易让学生们产生厌倦，而活泼、有趣的数学情景模式的创设正是解决这一问题的钥匙。
我们为什么要创设初中数学教学情境呢？笔者认为主要是因为初中数学情境的创设具备以下三个方面的价值。
一、情境创设的价值
1.可以增强学生学习数学的兴趣。
数学问题情境的创设，可以把枯燥的数学学习变成生动、活泼、直观的学习，能够激发学生学习数学知识的兴趣。
讲述九年级上册《车轮为什么做成圆形》这一节课的内容时，我的教学情境设计片段如下：
（1）多媒体演示：一辆卡车在高速公路上直驰的情境。卡通人物画外音问：“卡车的轮子为什么要做成圆的？假如卡车的轮子做成三角形，卡车行驶起来会出现什么情况？”
（2）让学生分组讨论。
（3）教师提问各小组的讨论情况。
（4）多媒体演示：把上面卡车的轮子改成三角形或四边形，卡车在高速公路上一瘸一拐、慢吞吞地行驶。
学生在我教学设计的指引下进行探究，马上引起学生的共鸣，学生们热烈地进行小组交流，达到了预期的教学效果。
2.可以让学生们深刻体会数学来源于实践又指导实践的理论思想。
通过一个个数学情境的创设，能让学生们充分理解数学学习是前辈们从无数生活实践中经过艰辛的努力得出的结晶，而这些结晶又反过来指导生活实践，促进实践的进步。让他们初步体会数学学习的价值和意义并能初步培养他们数学研究的思维。
3.可以提高学生们的动手能力。
教师通过操作数学情境的创设，让学生参与数学学习的全过程。在实际操作过程中探索数学的奥秘，从而不仅可以提高学生的动手能力，还可以提高学生分析问题，解决问题的能力，还可充分调动了学生学习的积极性，学生的思维一下子得到激发，学生掌握知识快、掌握知识牢固，教学效果不言而喻。
二、情境创设的原则
1.注重形象化和直观化。
形象化、直观化的问题情境适合初中生思维形象具体的特点，容易被学生理解，集中学生的注意力，从而激发学生学习的主动性和积极性。例如在讲解《正数和负数》的时候，教师事先准备一个学生熟知的温度计，引导学生观察温度计的刻度，使学生们很容易理解正负数的概念。这种形象直观的演示，教师易操作，学生学习的兴趣浓厚，教学效果可想而知。
2.注重问题的层次性。
情境的设计必须由浅入深，由易到难，层层递进，把学生的思维逐步引向深入。创设阶梯式问题情境，把大的问题化成一个个小的问题，而且前面的小问题提示学生思考后面的小问题，化难而易，从而可以让学生们易于接受乐于接受。
3.注重发散性。
教学具有高度的抽象性、严密的逻辑性和广泛的应用性，而初中生的思维正处于以具体形象思维为主要形式向以抽象逻辑思维为主要形式逐步过渡的阶段，数学知识的抽象性与学生认识的具体形象之间存在着矛盾。因此，在初中数学教学活动中，应以问题为主线，通过创设问题情境来调动学生思维的参与，激发其内驱力，使学生真正进入学习状态之中，达到掌握知识、训练思维和提高能力的目的。
4.注重问题性。
“问题”是探究的方向与动力，是学生学习新知的源头所在，学生要在解决问题的过程中学会学习，建构新知，根据学习内容，创设学生熟悉或感兴趣，与学习新知紧密相关的情境，利于学生提取信息，提出数学问题。
5.注重启发性。
作为数学情境的材料或活动，必须富有启发性，能激发学生的求知欲，引发学生广泛的联想和想象。
三、情境创设的方法
1.在学生生活经验的基础上创设问题情境。
数学来源于实践，又去指导实践，这是数学研究和学习的思维。同样在数学教学过程中，我们也应当遵循这一指导思想，从初中数学学生所具备的基本生活经验出发，创设他们能够理解和易于接受的实际问题。当数学和现实生活密切结合时，数学次优生命力，数学教师设计贴近生活数学情境入课，学生们才会感到亲切和易于理解和接受。
2.讲述数学典故来创设问题情境。
历史上的数学典故有时反映了知识形成的过程，有时反映了知识点的本质，用这样的故事来创设问题的情境不仅能够加深学生对知识的理解，还能加深学生对数学的兴趣，提高数学的审美能力。如在学习“圆周率”的时，教师可以讲述祖冲之是怎样通过艰苦的努力得出圆周率，并讲述这一研究成果的历史地位和意义。
3.“试误性”情境的创设。
学生在理解、应用数学知识和方法的过程中，常因各种原因犯一些似是而非的错误，适当创设“试误型”教学情境，可为学生尝试错误提供时间和空间，并通过反思错误的原因，加深对知识、方法的理解和掌握，提高学生对错误的认识和警戒，培养思维的批判性和严谨性。
四、初中数学情境创设的意义
关键词：高中数学 信息技术 整合
将信息技术运用于数学教学，弥补了传统教学的不足，不仅可以提高教学效率，同时也可以培养学生的信息技术技能和解决问题的能力。信息技术与数学教学的融合，顺应时代的要求，如何实现数学教学与信息技术的整合？这是一个值得探讨的问题。
一、激发学习兴趣培养参与意识
如何激发学生的学习热情是上好一堂课的关键。近半个世纪来，中国的教育受凯洛夫教育思想的影响极深，注重认知，忽略情感，学校成为单一传授知识的场所。这就导致了教育的狭隘性、封闭性，影响了人才素质的全面提高，尤其是影响了情感意志及创造性的培养和发展。情境教育反映在数学教学中，就是要求教师注重数学的文化价值，创设有利于当今素质教育的问题情境。
例如，在学习函数基本性质的最大值和最小值时，可以先播放一段壮观的烟花片段。“”盛放，制造时，一般期望它达到最高点时爆炸。那么，烟花距地面的高度h与时间t之间的关系如何确定？如果烟花距地面的高度h与时间t之间的关系就为h(t)=-4.9t2+14.7t+18。烟花冲出，什么时候是它爆裂的最佳时刻？这时距地面的高度是多少？
通过创设问题情境，让学生感受数学是非常有趣的，数学不只存在于课堂上、高考中，数学的价值是无处不在的。情境教学能促进教学过程变成一种不断引起学生极大兴趣的，向知识领域不断探索的活动。借助多媒体强大的图形处理功能，新异的教学手段，创设生动有趣的情境，激发学生的学习情绪，使学生固有的好奇心、求知欲得以满足，同时给学生提供了自主探索与合作交流的环境。
二、拓展教与学的资源
信息时代，网络为师生提供了新的学习资源。新的课程资源除课本外，还有网络资源，地方课程资源，社区课程资源和校本课程资源。新课程中，学生的学习也离不开网络，网络课程资源是对课本的重要补充。许多研究性学习课题，探究课题，都需要学生自主查找资料。目前，查找资料最方便、快捷的方法无疑是网络。
例如，在学完《导数》一章后，有一个研究性学习课题——“走进微积分”，让学生自愿组成学习小组，上网查找下列资料：①我国古代有哪些微积分思想的例子；②微积分产生的时代背景；③牛顿、莱布尼茨的生平；④微积分对人类科学和社会的影响。大多数同学利用网络资源完成了这个课题，对微积分有了更加深刻的认识。
信息技术与数学的整合也要求教师不断学习先进的教育、教学理论和方法，学习信息技术。这些学习，除参加各级教研活动，参加各种培训外，最适合教师的，也是最方便、快捷的，就是网络学习。高中数学是抽象性和灵活性较强的学科。成功的数学课，不仅要看到教学素材的合理选取，教学方式的变化，更需要体现的是老师与学生的思维、语言以及情感的交流。所以，在运用信息技术时，也要注意以下几点。
1.不宜过分追求大容量、高密度
不少教师对信息的大容量、高密度，津津乐道。教学中不给学生思考、讨论的时间，甚至一节课完成过去两节或三节课才能学完的内容，“人灌”变为更高效的“机灌”。失去了学生的思考，看似充实的内容，也失去了它的意义。
2.不应忽视师生情感交流
有些教师将预先设计好的或网上下载的课件输入电脑，然后不加选择地按程序将教学内容一点不漏地逐一展现；或片面追求多媒体课件的系统性和完整性，从组织教学到新课讲授，从巩固练习到课堂作业，每一个细节都有详尽的与画面相配套的解说和分析。至于这些内容是否适合学生，是否具有针对性，则无暇顾及。忽视教学中最为重要的师生之间的情感交流，让学生体验学习数学的价值就无从谈起，数学的教育性就大打折扣。
3.继承传统教学中的合理成分
虽然信息技术与数学教学整合具有传统教学手段所不具有的很多优势，但传统教学手段，无论是物质形态，还是智能形态，之所以可以延续至今，是因为它有巨大的教育功能。信息技术不可能简单、完全地取代传统教学手段。何况，目前很多课件的设计，也来源于一些教师在传统环境下的教学经验。因此，数学教学在使用信息技术的同时，要吸收传统教学手段中合理的东西，做到优势互补，协同发挥其教育教学功能。
三、要善于应用多媒体教学
在新课标和新教材的背景下，教师掌握现代化的多媒体教学手段显得尤为重要和迫切。多媒体教学的显著特点：直观性强，容易激发起学生的学习兴趣，有利于提高学生的学习主动性。在课堂教学结束时，教师引导学生总结本堂课的内容，学习的重点和难点。同时通过投影仪，同步地将内容在瞬间跃然“幕”上，使学生进一步理解和掌握本堂课的内容。在课堂教学中，对于板演量大的内容，如立体几何中的一些几何图形、一些简单但数量较多的小问答题、文字量较多应用题，复习课中章节内容的总结、选择题的训练等等都可以借助于投影仪来完成。此外，教学可以自编电脑课件，借助电脑来生动形象地展示所教内容。如讲授正弦曲线、余弦曲线的图形、棱锥体积公式的推导过程都可以用电脑来演示。
【关键词】 问题引领；问题链；设计
中图分类号：G423.04 文献标识码：A 文章编号：1671-0568 （2014） 28-0091-05
美国著名数学家哈尔斯（P.R.Halmos）曾说“问题是数学的心脏”，良好的问题不仅可以完成课程教学的任务，激发学生参与课堂活动，更为重要的是可以更有效地培养学生的思维能力，培养学生的问题意识，而问题意识是创新人才的关键素养之一。课改十年来，江苏省常州市在课堂教学中始终把问题作为教学设计和教学组织的核心，提出了以问题引领课堂教学的核心理念。
所谓问题引领课堂，就是根据教学目标的要求，围绕核心问题（思想或思维模式），设计若干个有逻辑关联（如按认知发展顺序等）、有层次梯度的子问题组成的系列问题作为教学活动的主要方式，是课堂互动的材料，该系列问题又称为问题链。以问题链为主要形式的课堂教学，不仅可以落实数学课程的培养目标，体现数学课程独特的育人价值，更能以问题链为平台培养学生的思维能力，在连续的有逻辑关联的问题链中让学生的思维得到有效发展。
一、如何理解问题引领课堂
很多人认为满堂提问就是以问题引领课堂，其实不然，当前的数学课堂教学中随处可见的无思维含量的伪问题、琐碎无关联的零散问题等，这些“问题”既没有提纲挈领的反映数学概念形成过程或解决问题的思维过程，也没有体现学生在解决问题中能力发展的脉络，反而令学生的思维碎片化。只有围绕教学目标，精心设计体现思维价值的问题链，才能让学生的思维得到有效发展。
1. 问题引领课堂的重要性。纵观古今中外，重视问题在教学中重要性的教育家比比皆是，古有古希腊思想家苏格拉底的“问答法”及中国孔子的启发式，孔子在《学记》中说，“道而弗牵，强而弗抑，开而弗达”，“道”就是引导，“开”就是启发，这两者都要以问题为载体。20世纪著名的数学教育家弗赖登塔尔反复强调：学习数学的惟一正确的方法是实行“再创造”，也就是由学生本人把要学的东西去发现和创造出来，教师的任务是引导和帮助学生去进行再创造的工作。学生的“创造”和教师的“引导”显然离不开数学问题作为工具、途径的作用，数学发现和创造仅仅依靠事实材料是不够的，需要有反映本质属性的问题链的引领，需要有适当长度的问题链的引导，在问题链中逐渐逼近对象的本质，进而提升自己的建构层次。
20世纪80年代以后，以认知主义学习理论为基础的建构主义学习理论成为主流，建构主义认为学习并非学生对于教师所讲授的知识的被动接受，而是依据已有的知识和经验所作的主动建构。适合的问题能调动学生学习的积极性，让学生积极反省，改善自己的认知结构，促使已有图式的扩展和更新，而知识的不断重构是数学思维的一个重要特点。从心理学角度分析，思维靠问题激发，靠解决问题过程中不断出现的新问题延续、展开和深入。
问题引领是数学教学的重要理念和方法。没有问题作引导，仅仅通过叙述的方式阐述知识，不是数学的教学方式。数学教材所呈现的一般是固态的知识形态，掩盖了问题源头，掩盖了发展线索。教师要把掩盖在背后的价值挖掘出来，通过问题链展示知识及问题解决背后蕴含的思维价值，引发学生领悟知识发生发展过程中的方法与思想，让学生在螺旋上升式的问题链中加深理解。倘若教师能将课程标准规定的知识体系转换成连续性的问题链，就能使教学过程成为循序渐进、逻辑建构的认知途径，使教学活动成为围绕问题解决的一种能动性主体建构活动。
问题引领也是学生学习数学的需要。亚里士多德有一句名言：“思维从疑问和惊奇开始”，由此表明数学学习中以问题为载体对提高学生学习积极性的重要性。新课程特别强调学生在数学课堂中的主体地位，通过问题引领，可以激发学生的问题意识进而彰显学生主体思考的特征。设计问题链，从横向看可以让不同层次的学生参与到思考的世界里，让不同层次的学生都能有思维的空间，达到面向每一个学生的教育目标，从纵向上看，螺旋上升的问题串可以让学生的思维不断爬坡，学生的理解层次不断提升。学生只有在具有一定结构的问题链中思考，让问题链成为思维发展的台阶，学生的综合能力才在问题链中螺旋上升。
2. 问题链的特征。在教学中，问题链的创设是开展问题链教学的前提和起点。问题链要有效，笔者提出应具备以下特征：
第一，生成性。问题链设计要处理好预设与生成的关系。预设，就是强调精心设计，以数学教学重点内容及如何帮助学生的学为核心，通过设计问题链体现知识发展的脉搏，尽可能符合学生思维的脉搏，但课堂更要注重生成，因为人的思维有差异性，教师的经验有局限性，教师设计问题链的目的不能满足于得到教师所需要的答案，而是要尽可能激发更多的学生参与思考，让学生在更广阔的思维空间进行探索，充分利用学生思考的结果。
第二，开放性。正因为问题链之间是逻辑紧联的，所以每一个问题的设计要体现思维的发散性，问题之间的衔接要留有学生发挥的空间。问题设计指向太死，会限制学生的思维，失去了问题引领的意义。放得太开，学生无所适从，失去了有效思维的效果。问题链要尽可能创设一个充满张力的场景，让具有不同思维特点的学生都能有自己独特的意义建构。
第三，价值性。问题链的设计要符合数学课程的育人价值，体现数学最重要的思维模式和过程。问题链的内容要反映核心数学概念的发生发展过程，反映学生最想解决的问题，要在数学的重点知识上设计问题链，要在能让学生感悟数学方法数学思想的地方设计问题链。问题链要培养学生核心思维模式，传递最重要的数学思想。
3. 问题链的类型。根据不同的教学目标和教学任务，问题链有不同的类型。根据问题链的目的，可以分为探究寻因式，追询结果式。从问题链的开放程度看，可以分为开放式、收敛式、半开半收式。从问题链中问题之间的关系看，可以分为递进式、并列式。递进式问题链是指教师设计的系列问题在知识结构上依次加深、环环紧扣，此类问题串逻辑严谨，能够激发学生强烈的求知欲，是课堂教学最为常见的形式。并列式问题链是指教师设计的系列问题在逻辑关系上属于并列关系，无前后主次之分，此类问题串主要在活动探究中使用。
当然结合具体的教学内容，更多的问题链是上面几种的组合。下面案例用来说明最为常见的递进式问题链中各个子问题之间的关系。
案例1：“抛物线的标准方程”（苏教版普通高中课程标准实验教科书选修2-1 2.4.1）
学生对“抛物线”这个名词并不陌生，因为在中学阶段曾经三次出现过“抛物线”概念，第一次是二次函数的图象是抛物线，第二次是重力作用下的平抛物体或斜抛物体的轨迹是抛物线的一部分，第三次就是此处，抛物线作为圆锥截面曲线的形状之一，虽然学生曾经三次接触过抛物线，但没有深入思考这三者之间的联系，因此如何把函数图象的抛物线与圆锥曲线截面的抛物线有逻辑的关联起来，使三个概念归一，是本节课的核心问题。设计如下问题链：
问题1：请同学们回忆二次函数如y=x2、y=ax2等的图象，这些曲线一定是抛物线吗？为什么？
问题2：如果y=x2，y=ax2的图象是抛物线，那么你能求出它的定点与定直线吗？
问题3：如果不能求出定点与定直线，也就是不能从数到形，那么你能否换个角度研究呢？
问题4：你已经知道了抛物线的定义，那么能否从形到数，建立关于抛物线的方程？
问题5：你能否大胆预测求出的抛物线方程与二次函数解析式之间的联系？
问题1的目的是唤醒，提取学生知识结构中已有的抛物线的知识。问题2的目的是关联，把函数的抛物线与此处解析几何中的抛物线联系起来。问题3的目的是诱思，在问题2产生思维障碍的基础上，引导学生深入思考，提升思维的层次。问题4的目的是明题，综合问题3的思考结果，点明本节课的主题。问题5的目的是提升，从数形结合的思想方法的角度，帮助学生归一，提升知识结构的层次。可以深刻揭示从函数角度出发的抛物线图象与从几何定义出发求得的抛物线的方程是一致的，只是研究的路径不同，函数是从数到形，抛物线方程是从形到数。从本节课的最后结果看，函数解析式y=x2，y=ax2其实就是抛物线的标准方程，所以这样的函数式（方程）特征决定了对应的图像必然是抛物线。它们的差异在于顺序的不同，函数是由数到形，曲线的方程是由形到数，但归根到底是统一的，是抛物线的两个侧面。
二、如何实践问题引领课堂
1. 基于改善，立足课堂。基于课堂，同题异构。课堂是教学的主阵地，采用同题异构的方式展示不同教师的问题链的设计理念及实施效果，根据课堂教学效果反思问题链设计，重点评价问题链对学生的适切性如何。基于反思，课例分析。采用跟踪及录像课研究的方法，对课例中的问题链的设计进行深度的分析。基于研修，课题沙龙。以常州市教科院为主体的问题引领的课题就有省重点课题《中学数学课堂有效性的设计研究》、《有效组织高中数学学生课堂活动的策略研究》、《基于理解性学习的中学数学教学设计的研究》等，课题研究坚持立足一线教学，全体教师参与，骨干教师起核心作用，使得全市高中数学在问题链引领课堂教学的研究活动高质量、有成效。
2. 原则指导，案例示范。经过多年的实践，我们探索出设计问题链的三条原则，并以这三条原则指导全市的课例设计和展示，在多年实践反思的基础上，提供若干案例供教师参考。
原则一：突出核心问题。教师要思考教学问题中哪些是牵一发而动全身的，最体现教学目标或概念本质的，最能突破思维瓶颈的核心问题（如动机性问题――为什么要研究三角函数；模块思维方式问题――为什么要求椭圆的标准方程等），问题链的设计首先要从教和学两个维度把握核心问题，要围绕核心问题设计问题链，核心问题是主线，子问题围绕核心问题顺势展开、螺旋上升。
案例2：以《椭圆的标准方程》（苏教版选修2-1 2.2.1）引入为例
本节的核心思想是数形结合，这也是解析几何的基本思想，同时要整合三个方面的问题：
为什么要研究的椭圆的标准方程？同是研究平面图形，义务教育阶段的平面几何知识与高中阶段必修2的解析法思想如何更紧密地结合起来？怎么延续、提高必修2中《平面解析几何初步》的相关知识？以下是笔者执教的课堂实录的片段：
师：（展示几何图形：直线与圆）
问1：如何求圆心到直线的距离？
生1：用直尺测量。
问2：用的是几何方法。还有更准确的方法吗？
生2：刚才的方法不够准确。可以用点到直线的距离公式。
问3：该距离公式要具备什么条件才能使用？
生2：圆心坐标和直线方程。
问4：我现在给出的条件中有这些量吗？还需要借助于什么工具才能求出这些量？
生2：平面直角坐标系。
问5：这个过程体现了数学中的什么思想方法呢？
生：数形结合的思想，先从形到数，通过坐标系的工具求出圆心坐标及直线方程，后从数到形，利用平面解析几何中的点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离。
问6：我现在把上述坐标系连同曲线放进某个“特殊”空间――该空间有这样一种特殊功能，就是把坐标平面上所有点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的一半。设原来的圆和直线经过这个空间作用后所得曲线分别为C'，l'，你能说说它们分别是什么曲线吗？
生：l'还是直线，但是不知道C'是什么曲线。
问7：你是怎么判断的？
生： C'的方程是x-2y-3=0，属于二元一次方程，由此可以判断C'是直线。l'的方程是（x-1）2+4（y-2）2=4，它对应什么曲线，我前面没有学过。
问8：C'可能是圆吗？
生：不可能，因为不满足圆的方程特征。
师：（借助于几何画板演示， 似乎是椭圆）
既然利用曲线和方程的对应关系，根据方程特征可以判断曲线形状，那么我们显然面对的问题就是椭圆的方程特征又是什么呢？如果知道了椭圆方程的一般特征，我们就可以对C'方程对应的曲线是否是椭圆有个交代了。这就是本节课的课题椭圆的标准方程。
上面的问题链设计，利用问题解决的模式，从几何中的问题出发，由形到数，从几何的方法到代数的方法，利用变换，求出变换后的曲线对应的方程，让学生自然而然想到要利用曲线的方程特征来判断曲线类型，进而产生探求椭圆标准方程的迫切性。整个设计顺应数学之间内在的、本质的、必然的联系，凸显了数形结合的思想方法。
原则二：加强逻辑分析。围绕核心问题设置问题链，需要思考几个方面的环节，一是合理选择节点，设计的问题尽可能把握最有价值的环节，而不在非核心、非关键等细枝末节做文章；二是确定子问题之间的逻辑关系，是并列还是递进，先后顺序如何等，尽可能贴近学生思维区间；三是难度的梯度在学生最近发展区内，我们提出的设计指导思想是在学生最近发展区内，围绕关键节点，难度上螺旋上升，采用内在有序的结构化形式。
案列3：该教师选用的课题是江苏教育出版社出版的《普通高中课程标准实验教科书数学选修2-1》第31页“探究・拓展”第7题（操作题），
教师呈现如下问题情境：
1. 在白纸上画一个半径r为10cm的圆C；
2. 第k组在距离圆心2kcm处取一个定点F（学生分成了4组，k=1，2，3，4。）；
3. 将纸片折起，使圆周过点F，然后将纸片展开，得到一条折痕l1，画出直线l1；
4. 用同样的方法，画出l2，l3，l4，…； ――观察这些折痕，你有什么发现？
教师：好，刚才几位同学既展示了结果，又交流了折纸的过程，值得大家借鉴。我下面用几何画板演示一下（下略）。
在课后研讨中，很多教师反映余味未尽，觉得失去了锻炼学生思维的很好的机会，没有把握提升学生从具体到抽象这一更高层次思维能力的关键。在集体研讨的基础上，我们在刚才的基础上设计了下面问题链，引导学生像“爬山”一样的，让问题推动学生思维能力走上更高的平台，培养学生思维的敏捷性和深刻性。
问题1：能否将刚才的折纸问题抽象为一个数学模型？
问题2：同学们是否思考了设置参数k有什么数学含义？
问题3：怎么知道椭圆上的点恰好是图中的点P呢？
问题4：当点F分别在圆心、圆外时，折痕围成什么图形？
问题5：如果把圆换成椭圆，折痕围成什么图形？
原则三：体现学生主体。具体表现在问题链的设计应该针对学生障碍点，指向学生的发展点。教育学的研究表明，每一个学生在学习过程中，都有自己的活动经验和知识积累，都有自己的思维方式和解决问题的策略，问题引领实施过程中要激发学生更多在思维上参与，在参与中获得意义建构。要注意挖掘有闪光点、有个性、有独特思维价值的答案，要在学生独立、主动思考基础上组织有效的讨论，鼓励学生发表不同意见，通过促进学生在心理活动变化中的同化和顺应，深化思维，不断地提高思维能力。
例如，现行课程标准对椭圆标准方程的纯粹性和完备性不作要求，但是从数学课程的严谨性和数学思维的严密性的要求出发，需要对椭圆标准方程中的等价性进行思考，这里的问题链的设计目的是引发思考，引导思考，不直接给结论。
问题1：椭圆的标准方程为
中对方程 进行了平方的变形，那么这两个方程等价吗？
问题2：怎么证明你的结论？如何从数形两个方面思考？
学生在课堂对这个问题的讨论及解决办法争论了很长时间，乃至延续到课后好几天。笔者参与其中，一起分享争论、想法、问题，特别是学生不断出现的新问题让我感慨万分。问题链其实并不需要每次预设到位，有时教师的问题链只是个框架，起引导思路的作用，更多的是从学生的问题出发，在师生讨论的过程中逐步深入，将学生的思维由肤浅引导到深入，思考的过程、新问题的生成完全以学生为主。在不断生成新问题、解决新问题的过程中，师生都有收获，学生的收获不仅仅是解决了一个问题，更在于如何运用已有知识的策略，收获了方法、思想、信心和成功。教师的收获在于转变了一些想当然的观念和思维定势，促进教师进一步认识学生思维方式，研究学生的思维特点，真正做到教学相长。
三、实施问题引领课堂的反思
回顾十年问题引领课堂的研究和实践活动，受益匪浅，广大教师以此课题为载体的课程实施能力得到明显提高，常州市学生学习数学的热情和兴趣得到明显提升，同时我们也感觉到还需要进一步思考以下四个方面的问题：科学确定问题链的核心（线索），统筹确立问题链的节点，有效控制问题链的难度，合理设置问题链的台阶。
例如问题链的难度控制问题，为了面向大多数学生，问题链难度的起点要低，但实际操作中发现，教师常常对难度太低的问题不重视，误认为没有思维价值，忽视了它在问题链中的基础作用，忽视了基础问题的伏笔和线索作用。在问题链的台阶设置上如何控制好难度也是棘手的问题，台阶太小，学生轻易得出答案，问题失去了考验学生思维的价值，台阶太高，大多数学生没有能力思考，问题链失去了存在的价值。因此，阶度合理的问题链的组织方式是问题链设计的技术问题之一。
参考文献：
[1] 中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（实验）[S].北京：人民教育出版社，2003.
[2] 数学课程标准研制组.普通高中数学课程标准（实验）解读[M].南京：江苏教育出版社，2004.
[3] 单.普通高中课程标准实验教科书.数学[M].南京：江苏教育出版社，2008.
[4] [荷兰]弗赖登塔尔.陈昌平，作为教育任务的数学[M].上海：上海教育出版社，1995.
（江苏省睢宁县菁华高级中学，221200）
下面是我校一位青年教师上的一节研讨课《直线和椭圆的位置关系》的教学片段。
（课始，教师直奔主题，在黑板上出示了如下引例：当k为何值时，直线l:y=kx+1与椭圆
（1）有一个交点？（2）有两个交点？（3）没有交点？）
师前面我们学习了直线和圆的位置关系，那么直线和椭圆的位置关系又该用什么方法来解决呢？
生联立方程组，用“Δ法”来处理。
师说得很好！类比直线和圆的位置关系，直线和椭圆的位置关系可以用“Δ法”来处理。
（教师板书解题过程，并总结直线和椭圆位置关系问题的常规解法。教师刚要转入下一个环节，一位男生举手了。）
生老师，直线和圆的位置关系还可以用几何法来解决，那么，直线和椭圆的位置关系是否也可以用几何法来解呢？
师这——其他同学来说说看。
生我认为不行，圆和椭圆不一样。
（绝大多数学生认同这一观点。）
师（稍作思考）判断直线和圆的位置关系可以用代数法和几何法，而判断直线和椭圆的位置关系只能用代数法。
（此时，又有一位女生举起了手。）
生教材上有这样一段话：“e越接近于0，c越接近于0，从而b越接近于a，这时椭圆就越接近于圆。当且仅当a=b时，c=0（e=0），这时两个焦点重合，图形变为圆。”这说明圆是特殊的椭圆。既然这样，我认为椭圆也可以像圆一样，用几何法来处理。
师由于时间关系，这个问题请大家课后思考。
大概是因为心里没底，教师打断了这位女生的发言。那么，她的观点有没有道理呢？
课后，笔者和这位女生进行了如下的交流——
师你是如何用几何法处理直线和椭圆位置关系的问题的呢？
用几何法快速得到答案。
师你是怎么想到这样做的呢？
生教材中关于椭圆心率的描述，使我觉得圆是特殊的椭圆。这启发了我。
可见，学生的想法是有根据的。
实际上，人教版高中数学教材在介绍“椭圆及其标准方程”时（介绍椭圆离心率之前），就设置了这么一道例题：“如图1，在圆x2+y2=4上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足。当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹是什么？为什么？”
这道例题，有助于学生正确理解“圆是特殊的椭圆”——椭圆其实就是按比例均匀“压扁”了的圆。
因此，伸压变换不只是一种数学方法，更是一种处理问题的思想和思维方式。
生成性是当前课程改革中所倡导的重要理念之一（也许是最重要的理念）。华东师范大学叶澜教授认为：具有生成性的教学才是丰实的课堂教学。与预成式教学的被动接受相比，生成性教学更强调学习的自主建构;与预成式教学的静态预设相比，生成性教学更强调教学的动态生成。可以说，教学中，“生成性”是对“接受性”的一种批判和超越，是对“预设性”的一种补充和修正。其实，在平时的教学中，教师经常会遇到学生的奇思妙想。对此，有经验的教师不会轻易地否定，而能耐心倾听学生的思考过程，注意培养学生的创新意识和能力。实际上，课堂教学的精彩往往来自于精心预设基础上的绝妙生成。
第一，要关注表现性目标和偶发性事件。
美国课程学家艾斯纳把教学目标划分为行为目标、解决问题目标和表现性目标。表现性目标关注学生在教学过程中的表现，强调学生在学习过程中的个性化的表达、展现和个人意义的获得。由于生成性教学坚持以学生的发展为本，追求教学的真实自然，因而必然关注表现性目标。
在生成性教学观下，教学过程中师生的行为都具有一定的不能还原的不确定性，即客观上的不可预见性，因此，教学既不能完全由教师单方面决定，又不能全部在教学设计中预料到。生成性教学关注偶发性事件，倡导教师在教学过程中有灵活的教学机智，留意学生的反应与变化，及时捕捉偶发性的教育契机与智慧火花，并对教学预设进行调整，使课堂教学充满了生机和情趣、挑战和创新。教师可以通过学生自主提问、自主探究、自主释疑等方式，达到教学的自然高效。
第二，要有生成性的设计。
一方面，教学过程的生成性，要求教师在教学预设时，吃透教学内容、挖掘教学价值，并理解学生的学习基础和思维方式，做好整体谋划，创造性地使用、整合教材，从而尽可能多地预测教学中可能的生成。这也是每一位教师必须时刻不忘加强的基本素养。例如，以上教学片段中，教师如果能事先对“直线与圆锥曲线位置关系问题”有充分的研究，并对教材有深入的挖掘，就不会对学生提出的“是否也可以用几何法来解呢”
感到很突然，更不会对学生发现的“圆是特殊的椭圆”感觉心里没底，反而可以巧妙引导学生重视教材、主动思考、充分挖掘、深入探究，得出伸压变换的方法，并进行数学思想和思维层面的提升。
另一方面，教学过程的生成性，要求教师在教学预设时，以开放的心态设计灵活、动态的教学方案，不预设教学过程的全部细节，而为课堂教学的动态生成预留“弹性时空”、“广阔舞台”。生成性设计，不仅要考虑过程的“流”，而且要关注过程的“变”，因为生成性的核心强调发展和创造。例如，以上教学片段中，即使教师对“是否也可以用几何法来解呢”、“圆是特殊的椭圆”缺少预设，如果教师的预设具有弹性，那么教师也不会强行打断学生的思考、结束话题的讨论。
第三，要创设民主的氛围。
关键词：高中数学；课堂教学；点拨艺术
一、新课程导向
新课标指出，人人学有价值的数学，要求学生通过动手实践、自主探索与合作交流，真正成为学习的主人，把学习的主动权交给学生，让学生动起来，让课堂动起来。这种理念使得学生有更大的主动权和质疑空间，唤醒了学生的主体意识与参与意识，使课堂教学更具有活力，从而激发学生潜在的学习能力和创造力。
二、课堂上的问题
在以学生为主体的课堂中，如果一切以学生为重，一味地强调由学生自发地产生思想，就会流于拖沓，淡化教学的内容和目标，这种缺乏必要的约束和反馈调节的教学结构就会很松散。相同的问题传统教法一节课可以完成，课改或许要用一节半，甚至更多，教学的有效性大打折扣，教学质量下降。新课程改革流于形式和作秀，这就是目前新课程改革遇到的最大难题。数学被称之为思维的体操，课堂上的所有活动应该立足于启迪学生的思维。其实，无论是传统的模仿与记忆，还是新理念下的自主探索、合作交流，最终目的都是提高学生的思维能力，解决课堂有效性低的问题。
三、课堂点拨的重要性
新课改强调教师应该成为课堂节奏的控制者、课堂活动的引导者。笔者二十余年的教学实践表明，在强调学生主体地位的同时，决不能削弱教师在课堂上的主导作用，教师的适时点拨意识需要加强。只有教师引导下的有条不紊的合作和探索，才能具有高效率。所以说，点拨，作为课堂上的无形之手，有必要大力提倡。我们接触的尝试教学法，或是创新学习，包括我们礼嘉中学数学组的三步导学，都是殊途同归，强调点拨，着眼于高效课堂。
四、点拨的内涵
什么是点拨？我认为一切对学生有启发的行为都是点拨。一句话，一个问题，甚至一个眼神，只要是能够对学生产生有效的指导，都可以称之为点拨。点拨控制着课堂节奏，引导着学生探讨的方向。一次适时有效的点拨无异于醍醐灌顶，拨云见日，在学生苦苦思索茫然无措之际，具有峰回路转之效，这正是“山重水复疑无路，柳暗花明又一村”。课堂上的点拨无处不在：开题引课，问题探索，变式训练，课下延伸都有点拨的影子。但有一点需要注意，点拨要恰到好处，不能过早点拨，这样会打乱学生的思考，变成一言堂；又不能过晚点拨，这样会浪费课堂时间，降低课堂效率；点拨还不能牵引痕迹过重，那样学生会很被动，体会不到突破的愉悦感，失去学习的快乐。
五、实例探讨
下面，我通过一组例子来和大家一起探讨点拨艺术。
双曲线的几何性质引课片段：
师：前面我们学习了双曲线的标准方程，请大家思考一下双曲线的标准方程什么？
生：（略）
师：它表示的双曲线焦点在哪条轴上？
生：在x轴上。
师：当双曲线的焦点在y轴上时，它的标准方程又是什么？
生：（略）
师：很好，今天我们将根据双曲线的标准方程，研究它的几何性质。
接着教师板书课题，进入新课教学。
上述教学设计，虽然开门见山，点明主题，但在类比与启发上做得不够。首先没有抓住椭圆这个类比对象引入课题；其次是点明主题过早，缺乏启发引导，把研究的方法和内容直接告诉了学生，学生没有智力参与，思维未受到磨炼。不妨作如下设计。
师：前面我们研究了双曲线，请同学们回忆一下，我们是从哪些方面研究双曲线的？
生：先学习了双曲线的定义，然后根据定义研究了双曲线的标准方程。
师：双曲线的标准方程是什么呢？
生：（略）
师：在学习了双曲线的标准方程后，我们应该探究什么呢？
生：思考讨论。（学生回答不出）
师：我们可以与刚学习的椭圆进行比较，不妨回忆一下是怎样研究椭圆的？
生：我知道，学习了椭圆的标准方程后，我们研究了椭圆的几何性质，所以应研究双曲线的几何性质。
师：很好，你打算怎样去研究呢？
生：从双曲线的标准方程入手去研究它的几何性质。
师：运用曲线的方程研究曲线的性质，既是解析几何的基本问题，又是常用的研究方法，有了研究方法，我们应该从哪些方面去研究它呢？
生：与椭圆一样，研究双曲线的范围、对称性、顶点、离心率等。
师：那么，请同学们以小组合作的形式开始进行……
（杭州市萧山区第六高级中学，浙江 杭州 311261）
【摘要】预设与生成是高效课堂的两翼。两者既是课堂教学的一对矛盾体，也是共同体。教学实践中经常产生“重预设、轻生成”以及“重生成、轻引导”的现象，如何调整好两者之间的“度”， 使其和谐共存，共同缔造高效数学课堂应该是目前广大教师更为关注的课题。本文总结了多年的教学实践，通过“精心预设，诱导生成；依据生成，调整方案；利用生成，巧妙引导”等多种方式以实现预设与生成的和谐共存。
关键词 预设；生成；和谐
1 问题的提出
预设与生成是高效课堂的两翼。两者既是课堂教学的一对矛盾体，也是共同体。在高中数学课堂教学中预设是动态生成的前提和基础。而动态生成则是静态预设的完美体现。数学学科本身具有逻辑性强、教学目标高、解题方法繁多等特点，尤其到了高中数学这些特点更加明显，这为教师进行预设与生成开辟了更为广阔的空间。然而当更多教师将预设与生成的教学理念融人到教学实践中去时，我们也不难发现。“重预设、轻生成”以及“重生成、轻引导”的弊病也愈发明显。
1.1 重预设而轻生成
在中学数学教学活动中，有些教师过分拘泥于设计好的“预设”程序。这种系统性、强制性和规格化的“预设”，既让教师局限于数学教材的范围，又制约教师个性化光芒的散发和学生个性的发展。在本应该丰富灵动的数学课堂上，学生的数学素养得不到提高。这种僵化的教学模式不是新课标所倡导的高效课堂，更不受学生的欢迎。为了在课堂中“应对自如”刻意地完成预设流程，拘泥于程式化的预设实施步骤，让学生时刻在教师的掌控之中，使得学生多样的生成资源被抑制下去。
1.2 重生成而轻引导
课堂氛围是在现实自然的教学活动中，教师与学生以教学背景为衬托，所反映出的心理环境，表现在教师与学生的课堂状态、情感、人际氛围等中。为了打破传统教学中生硬、沉闷的课堂氛围，中学数学教师虽然做着不懈的努力，但还是存在盲目营造课堂氛围的现象。有些中学数学教师过分地强调生成，盲目地追求动态生成，认为只要是生成就是好的，他们并没有真正理解生成的含义。没有预设目标的牵引，一味地进行指向不清的生成，并不能给学生真正的数学体验，还会造成忽视预设基础的极端状况。
预设与生成同属课堂教学过程中不可或缺的两个重要环节，因此，摆正预设与生成的位置，调整好两者之间的“度”，使其和谐共存，共同缔造高效数学课堂应该是目前广大教师更为关注的课题。
2 理论思考
2.1 概念界定
2.1.1 预设
“预设”本来是逻辑学中的一个名词。《辞海》解释：“预设”就是“语句中所包含的使其具有真值或有意义的先决条件。
教学活动是有计划有目的的活动，预设是有效教学行为实施的前提。教师是预设的主体，教学预设（教学设计、教学准备）是教学中的确定性因素，主要包括：对课程标准和文本的研读和把握，对学情的了解和对学法的选择，情境的创设和问题的设计，总体设计与达成的预测等等。预设并非是一份对课堂每一个环节都进行了“完美”设计的详尽的教案，而是具有弹性和留白。
充分的预设是非常必要的，它既是保证教学顺利实施的必要条件，也是新的更有价值的生成的基础。一般说来，预设越充分，引导学生思考分析也就越深刻。要让学生完成知识的建构，就必须从学生的角度来预设我们的教学。也就是说，教师应该站在学生的角度，了解学生的经验背景、思维方式、情感体验，体会它们认识的局限性。
2.1.2 生成
“生成”这一概念最早出现在建构主义理论家维特罗克的《作为生成过程的学习》中，从学习者的角度阐释了“生成学习”的概念。
《教育大词典》第五卷中这样描述：生成是“强调学习过程是学习者原有认知结构与从环境中接受的感受信息相互作用、主动建构信息意义生成的过程”。显然，这已经是“教学生成”的意义了，“课堂教学生成”指的就是在课堂教学中的“生成”。有研究者把“课堂教学生成”看成是学习者的一种学习策略，并认为“生成性是有效使用学习策略最重要的原则之一，是指在学习过程中要利用学习策略对学习的材料进行重新加工，产生某种新的东西”。
叶澜教授曾经说过：“动态生成性是对教育过程生动可变性的概括，它是对过去强调教育过程的预先设定性、计划性的一个重要补充和修正。”在一定程度上指出了“生成”是教学过程的特性。实际上，“生成”是与“预设”相对应的，它是一种由无到有的过程。在数学教学活动中，“生成”是教师与学生共同配合，促使实现有意义、有目的的习得并完成自我构建的过程。“生成”在数学课堂中不应该是稍纵即逝的，而应该是一种常态的存在。
新课程理念认为，生成是生长和建构，是根据课堂教学本身的进行状态而产生的动态形成的活动过程，应该具有丰富性和生成性。
2.2 把握课堂预设与生成关系的原则
2.2.1 预设数学课堂教学的原则
（1）以生为本的原则
正是因为学生的兴趣爱好、课前准备等方面都不相同，教师在数学课堂教学预设时，应该了解学生，因材施教，从学生的实际情况出发，预测学生的学习方式，预设出能够有可行性和针对性的数学教学策略，体现数学课堂教学的以生为本特点。
（2）活用教材的原则
高中数学教材容量大，教师应从教学对象的实际情况出发，对该教材进行二次开发，教学内容、教学目标和要求的预设都要符合教学主体的要求，不能追求形式，而要看学生真正能学到什么，掌握什么，怎么去学，这样才能提高数学课堂教学的实效。在活用教材时，应该着重考虑：让学生从新旧知识的联系出发，找到知识的出发点；从学生的生活经验出发，找到学习的兴趣点；从学生具有的知识基础出发，找到学习新起点。
2.2.2 构建数学课堂生成的原则
（1）灵活性原则
教师在课堂教学过程中，不要机械地按原先预定的思路教学，要根据数学课堂教学的具体情况，进行灵活调整，生成最新的数学教学流程，这样就能使课堂教学取得最好效果。
（2）开放性原则
一是开放的时空环境。时间上不限制在一堂课和在学校学习时间，空间上注视教室环境的灵活安排，还要把课堂引伸到社会，充分利用广泛的教育资源，让学生得到广泛的发展与关注。
二是开放的人文环境。作为教育工作者，就应该及时转变教学观念，平等对待学生，营造和谐的数学课堂氛围，使数学教学具有灵活性、拓展性、开放性，进一步挖掘学生的潜能，发展和培养学生的个性。
2.3 正确处理预设与生成的关系
2.3.1 预设是生成的基础
凡事预则立，不预则废。没有高质量的预设，就不可能有十分精彩的生成。
研究教材、教法是教学预设的重心。《数学课程标准(实验稿)》明确指出：“数学教学活动必须建立在学生认知发展水平和已有知识经验基础之上。”这就要求教师在研究教材、教法同时，加强对学生的研究，在关注内容组织与过程安排同时，关注学生的认知基础，关注学习能力、情感、态度和价值观的培养。越是优秀的教师，设计教案的水平与质量越高。预设一个高质量的教案，既是教师经验的积累，也是教学机智的展现，其间蕴涵着教师的教育教学智慧。预设教案，可以更好地发挥教师主导、学生主体的作用，提高教学效益，一个不争的事实就是现实的课堂大多还是预设成功的。
2.3.2 生成是预设的升华
生成是预设的精彩呈现，生成是预设的超越和发展。预设，仅仅是一种“假设”，因此，预设的目的不是为了约束学生的思维，更不是防止课堂发生意外，而是为了更好地引导学生标新立异，服务于学生的挑战与创新，为了更有效地生成，实现教学相长的目的。
真实的课堂应该面对学生真实的认知起点，展现学生真实的学习过程，让每名学生都有所发展；真实的课堂不能无视学生的学习基础；真实的课堂不能死抱着教案进行一问一答。当然没有预设教案，也就说不上动态生成。所谓动态生成，是指教师在课堂上以学生有价值、有创见的问题与想法等细节为契机，及时调整或改变预设计划，遵循学生的学习问题展开教学而获得成功。只有在实施预设教案的进程中，教师随时捕捉学生的疑问、想法、创见等精彩瞬间，因势利导改变原来的教学程序或内容，自然地变为动态生成，才能产生事半功倍的效果。而在动态生成中，教师还要高屋建瓴，甄别优劣，选择恰当的问题作动态生成的“课眼”，引导教学进程。让课堂教学在健康有效的轨道上发展。
2.3.3 预设生成对立统一
课堂教学的预设与生成是相互联系、相互补充、相互促进的辩证关系。也就是说预设和生成是对立统一体：预设与生成具有统一的一面，课堂教学既需要预设，也需要生成，预设与生成是课堂教学的两翼，两者具有互补性。
但是，预设与生成也有其对立的一面，两者体现的教学理念和价值追求不一样，追求的教学目标不一样。预设重视的是显性、结果性、标准性的目标，生成则关注隐性、过程性、个性化的目标。预设过度必然导致对生成的忽视，挤占生成的时间和空间；生成过多也必然影响预设目标的实现以及教学计划的落实。
从实践层面上，不少有价值的生成是对预设的背离、反叛、否定，还有一些则是随机偶发的神来之笔，生成和预设无论从内容、性质还是从时间、空间讲都具有反向性。正是基于这一点，我们特别强调，无论是预设还是生成，都要服从于有效的教学和学生的发展。
数学课堂教学需要预设，但是，教师如果按照预设方案机械地加以实施，就会排斥学生的个性思考，限制学生对预设目标的超越，抹杀学生的创造智慧。所以精心预设又必须通过课堂生成才能实现其价值。因此，必须处理好预设与生成的关系，在精心预设的基础上针对教学实际进行灵活调整，追求有效生成，从而让数学课堂在预设与生成的融合中充满灵动的魅力。过于强调预设与过分追求生成都是两个要不得的“极端”!前者将课堂禁锢在死的教案上，课堂缺乏生命的活力；后者容易信马由缰，教学目标的达成往往会大打折扣，甚至遭到严重阻碍，一个有效与灵动的课堂，必然是预设与生成的完美统一，预设中孕育着生成，生成中丰富着预设，实现预设与生成之间的动态平衡。
3 操作与实践
叶澜教授指出：“要从生命的高度、用动态生成的观点看课堂教学，课堂教学应被看作是师生人生中一段重要的生命经历，是他们生命的、有意义的构成部分，要把个体生命发展的主动权还给学生。”教师在教学中，一方面要不断地捕捉、判断、重组从学生那里涌现出来的各种各样的信息。并把有价值的新信息和新问题纳入教学过程，使之成为教学的亮点，成为学生智慧的火种；另一方面要采取灵活机智的手段，有效处理课堂教学的“生成”。
3.1 精心预设，诱导生成
预设是课堂教学的基本要求，也是生成的起点。生成往往基于预设，以预设为基础，是对预设的丰富、拓展或调节和重建。精心预设，课前尽可能预计和考虑学生学习活动的各种可能性。在课堂上创造条件，诱导高水平的、精彩的生成，尽量减少低水平的生成。
3.1.1 预设学情
对课堂教学的预设首先要从学生人手。奥苏伯尔曾指出：“从教育心理学最基本的原理看，影响学习最重要的因素是学生已经知道了什么.”每个人的知识经验、认知水平、课前准备的程度等皆不相同，这就要求教师在预设时了解他们，然后预测可能发生的一些课堂变化，并思考其对策.新课程强调数学在生活生产实践中的应用，可以利用和日常生活密切相关的现象来整合教学资源。
案例1：
日常生活资源
①观察到的生活现象，如商场的促销活动，阶梯电价等现象；
②从事生产实践时观察体验到的现象，如去银行办理储蓄业务时利息的计算，购房时的公积金贷款等；
③学生自身体验的现象，如平时爱喝的易拉罐饮料为何要设计成圆柱形等。
学生比较熟悉，可以增加学生的亲切感，缩短师生的距离，但同时学生对这些知识常常“知其然而不知其所以然”，教师创设情境之后，学生就有一探究竟的心理，从而成功地激发学生探究的兴趣和主动性，也可以为课堂的“生成”打下扎实的基础，彰显学生主体。
3.1.2 预设教材
预设的前提是教师首先要对教材有一个深刻的理解和准确的把握，要对数学知识产生与发展的过程有一个充分了解，在预设中要将数学的本质内容进行体现，同时要将教材中能够激发学生探究、思考的有效信息进行挖掘与展现，使预设更具开放性和针对性，为有效生成奠定基础。
案例2：
推导等比数列前n项和Sn的公式。
教师引导学生讲解课本上介绍的推导方法，有以下预设：
①回顾等比数列定义。
②利用合比性质推导。
③老师鼓励学生寻找其他证明方法。
④将预设③变形为错位相减法。
⑤举例说明为什么采用错位相减法而不用预设③的方法。
在上面的预设片段中，老师希望通过引导与鼓励，调动学生参与问题讨论的积极性，预设的教学目标就能够在动态生成的过程逐步形成了。
3.1.3 预设疑难
新课标要求学生“在交流讨论中，敢于提出自己的看法，做出自己的判断”。做到不唯书，不唯师，敢就教材的“疑惑处”“模糊处”提出自己的看法，做出自己的判断。这些意外问题的出现，使生成的教学资源更具偶然性，让我们一时难以驾驭。所以，教师备课时应对易引起学生质疑的地方进行深入预设。
如此层层深入链接，分析归纳，不断深化，有效地训练和培养了学生思维的深刻性。如果学生在解决问题时，也能将题目进行分解、设问，相信思维的链接会变得越来越连贯、自然。
3.1.4 预设空间
预设空间即为生成预留空间。新课标倡导课程资源的开发和利用，重视科学探究方法的培养。认为科学学习的外延与生活的外延等同，要求我们拓展科学学习的领域，使学生在不同内容和不同方法的相互交叉、渗透与整合中开阔视野。
具体说来就是要求学生通过查阅大量资料和阅读生活这部无字词典来获取信息以帮助自己更好地学习。因为学生拓展学习的方法、途径与内容丰富多彩，极易生成新的难以预测的教学资源。这就要求我们要用学生的眼光对易于拓展的内容进行预设，了解他们可能使用的拓展方法与途径，做到胸有成竹。
案例4：
函数课前预习
笔者在函数新课之前布置了如下预习作业：
①了解函数名称的由来；
②与函数定义相关的中外数学家的简历；
③查阅历史上函数的定义（至少两种）；
④回顾初中函数定义（变量说），预习高中函数定义；
⑤完成导学案预习作业。
通过学生查阅相关资料，使学生对函数概念有初步了解，知道函数相关史料，减轻了学生对函数这一抽象数学概念学习的压力。
预设空间也经常通过弹性预设来实现。弹性预设是指无论是教学目标还是教学过程都更加关注学生的个性差异，进行不同类型不同层次的预设，避免将预设重点放在学科知识上，忽略学生的情感体验和能力培养。弹性化设计以生成为目的，对于教学过程中的细节问题，如具体的活动时间、标准的解题答案等等不必做量化规定或者是刚性处理，而是将更多时间与空间留给学生质疑、探究、尝试与开发，同时也为教师适应教学环境、调整教学步骤，争取更多空间。
案例5：
对于本题的证明，有的学生采用比较法、分析法、综合法，有的还利用二次函数的求最值、三角代换、构造直角三角形等途径证明，甚至于有的同学将a+b=1，a≥0，b≥0作为平面直角坐标系内的线段，用解析几何知识进行求证……一节课下来，可谓精彩纷呈，学生的思考深度、思辨能力甚至超出了老师的预期。
现代心理学研究指出，学生的学习过程不仅是一个知识的过程，而且也是一个发现问题、分析问题、解决问题的过程。因此，新课程强调生成空间，弹性预设可以为课堂教学活动展开提供多种“渠道”，为教学中的动态生成拓展广阔的空间。
但不可否认，尽管我们进行了充分的，并且是以生为本的人性化预设，有时课堂上的许多情况我们还是无法预知的。正如布鲁姆所说：人们无法预料教学所产生的成果的全部范围。因为教学是一门艺术。所以当我们面对无法预设的课堂生成时，要树立正确的课堂观，灵活应对并使用课堂上的生成性资源，且做到及时记载，及时反思，为下一次的预设作好铺垫，打好基石。所以，笔者以为预设与生成不是水火不融，而是水火交融，似一对孪生兄弟。
3.2 依据生成，调整方案
余文森教授指出：“生成性是我们新课程课堂教学的基本特性、基本的价值追求，它要从原来的‘特例’走向现在的常态。”对教师来说，课堂教学并不只是课前设计和教案的展示过程。而是不断思考、不断调节、不断更新的生成过程，这个过程也就是师生富有个性的创造过程。教学活动的发展有时和预设相吻合，更多时候则和预设有差异，甚至截然不同。因此，教师应该灵活选择、整合乃至放弃教学预设，机智生成新的教学方案，使教学更加精彩。
3.2.1 找准起点，因人施教
案例6：
一元二次不等式解法
这是我校高三文科B班的一节复习课中的一个题目：解关于x的不等式x2－2x－3≥0。
预设：因式分解、据口诀写答案。
生成：学生板演出现了如下解法，由（x－1）2≥4得x－1≥±2……
显然学生的基础知识不扎实，但却出现了另一种常见的方法：配方法，因此老师就按照此法继续解下去，结合一元二次函数的图像总结出口诀，殊途同归。
在此过程中老师并没有直接批判学生的错误，而是先表扬学生的配方法，较好地生成新的教学起点和因人施教的切入点。
3.2.2 由此及彼，回旋升华
课堂教学中，学生有时会有一些“奇谈怪论”，如果教师能够及时捕捉其中有意义的信息，适当地调整教学方案，由此及彼，顺势生成，就一定会让课堂出现意料之外的闪光点。
案例7：
三角函数线
学生在课堂上用三角函数线证明：x<sinx<tanx，(0<x<π/2)，老师连续抽问了三位同学，都认为只要比较正弦线、弧长、正切线的长度即可，但始终不知与弧长怎么比较长短。老师再叫一位同学，同学答说用“直尺量一量”就好了，教室内哄堂大笑，老师对此一笑置之，然后就开始用面积法讲解了。
案例8：
二面角
在《数学》必修2的“二面角”教学过程中，在讲解“二面角的平面角”的概念后，笔者要求学生在二面角的模具上画出该二面角的平面角，“请同学们来讲解、展示自己的杰作！”，笔者语音一停，许多学生都高兴地讲解、展示自己的杰作，
但有一位学生出乎教师的预料：
生成：他在二面角的模具上画出一个平面角，虽然满足角的顶点在棱上、角的两边分别在两个半平面内，但角的两边却不与棱垂直。
调整：针对该学生的画法，笔者并不是简单地对其进行对与错的评判，而是巧妙地借用这一生成性资源进行指导，向学生提出问题：“为什么角的两边一定要与棱垂直呢？若以棱a上任意一点O为端点，在两个面内作与棱成等角θ（0<θ<90°）的两条射线OA1，OB1由空间等角定理知，∠A1OB1也是存在且唯一的，为什么不用这样的角定义二面角的平面角呢?”
升华：学生陷于沉思之中，教师进一步引导学生利用量角器及活动角通过变化活动角与二面角的棱的位置关系，测量、观察这些角的变化规律，通过进一步的观察、测量，学生终于认识到当我们用一个垂直于二面角α-l-β的棱l的平面去截两个半平面，与两个半平面的交线分别是两条射线组成的平面角的大小是确定的，而当我们随意用一个平面去截两个半平面，与两个半平面的交线组成的平面角的大小是不确定的，这样就难于刻画该二面角的大小,通过进一步的反思与探究，学生终于理解了“为什么角的两边一定要与棱垂直”。
在案例7中教师对“直尺量一量”这种方法一笑置之的处理不够妥当，虽说弧长没法用直尺丈量，但却可以用弦长来近似，再进一步联想到三角形面积就很自然了。
在案例8中教师的耐心指导，激发了学生的学习热情,教师把疑问留给学生，促使他们反思，使他们的思维更趋向严谨与科学；教师把问题交还给学生，让他们在探究中不断修正，正确的认识在探究中逐渐生成，使他们逐步理解“二面角的平面角”定义的合理性。
在以上两例中，教师对生成采用了完全不同的处理方式，效果自然也是天壤之别。前者藐视教学生成，强推自己的方法；后者则耐心处理，使数学概念在脑海中得到回旋升华。
3.3 利用生成，巧妙引导
《数学课程标准》在“课程资源开发与利用建议”中指出：“合理地利用生成性资源有利于提高教学的有效性。”在教学过程中，随时都可能出现教师预料不到的情况和问题，因此教师要善于抓住课堂中的生成，把“课堂生成”转化为“教学资源”，及时调整教学预设，形成新的教学方案，从而使课堂教学变得更加精彩、更加有效。教学中的生成性资源主要有三个来源：一是学生突然提出的问题，包括有价值的问题和偏离课堂目标的问题；二是学生回答问题或讨论中突然出现的“闪光点”或错误见解、错误理解；三是教学中出现的突发事件。
叶澜教授指出：“教学过程中教师要把学生看作教学资源的重要构成和生成者，教师是课堂教学过程中呈现信息的重组者。”教学中，学生的回答超出自己的预设，这是值得教师欣喜的事情，这个时候，教师一定要相信自己，要紧紧抓住课堂生成的契机，利用生成资源，进行巧妙引导。
3.3.1 化错为利，促进优化
一位教育家说过：“教室就是让学生出错的地方。”出错是每个学生的权利，错误不过是学生在数学学习过程中所作的某种尝试，是他们最朴实的思想、最真实的暴露，是非常正常的。课堂是学生出错的地方，错误是伴随着学生一起成长的。因此对学生的差错，教师要认真对待，耐心等待，要帮助学生改正错误，要把学生在课堂上出现的差错当作一种动态生成的教学资源，化错为利，促进优化。
在数学教学过程中，学生头脑中难免会出现一些错误信息，这正暴露了学生的真实思维，反映出学生建构新知识时的障碍。优秀的教师善于从学生的错误中发现合理的因素，把学生从错误引向正确，或将错就错，将错误暴露无遗，使学生自己发现产生错误的原因，从而牢固构建知识体系。
新课标要求我们预设应着眼于生成，生成指导预设。预设与生成的互动才能使课堂教学在对传统精华的继承中实现新的超越，才能使教学中师生的智慧像生命之树的枝叶一样交相辉映，才能使课堂彰显生命的活力。
3.3.2 偶发事件，合理利用
在课堂教学活动中，突然发生一些事件，如有人随便插嘴、学生间或师生间冲突等，不但偏离了教学预设，甚至严重打乱了教学秩序.当突发事件发生时，我们无法回避.如果处理不当，不但打乱了正常的教学秩序，还可能伤害学生的感情，降低教师在学生心中的地位.在这种情况下，如果我们换个视角，认为这是教学生涯一次可遇不可求的经历，是课堂动态生成的教育教学资源，坦然处之，一定能化险为夷。
案例9：
圆柱体与火腿肠的故事
笔者听过“圆柱体的体积”这课的教学.教师上课后首先复习了长方体的体积公式、圆的面积公式，然后就提出：那么我们如何计算圆柱体的体积呢?
生成：正当大家苦思冥想的时候，一位学生突然说：“老师，吃根火腿肠就知道了！”
合理利用：老师犹豫了一下还是叫这位同学来解释怎么回事。
“我是这样想的，这是一个火腿肠，我想把它横着切成一个个圆片，分给你们吃。”
霎时间，下面的同学都笑了，七嘴八舌地议论开了，我想这个回答也应该出乎老师的意料吧!
过了一会儿，一个学生提问：切火腿肠，和圆柱体的体积有什么关系啊?
“有啊，这个圆柱体的火腿肠的体积就是每一个圆片的面积乘上圆片的个数。”这样解释完，下面的学生有的在笑，有的在议论，还有的在思考。
这时，这位教师不慌不忙地提问这位学生：请你给大家解释一下，圆片是什么?
圆片的个数又是什么?“圆片就是圆柱的底面积，圆片的个数就是圆柱的高。”话音刚落，掌声响了起来……这既顺应了学生的好奇心，又发挥了学生的聪明才智，收到了良好的教学效果。
我们还必须看到，课堂上生成的资源因素具有方向上的不确定性。不同的方向，教育价值的大小不同，有的还可能产生负面效应。因此，教师在课堂生成中要注意把握好方向，适时地做出反应和调整，既要让学生充分感受心灵的自由，又要潜移默化地渗透主流社会的意识形态；既要大胆猜测，放飞想象，又要尊重事实，讲究科学；既要教师的宽容和学生的自主，又要有教师的引导和学生的自律。
3.3.3 呵护创新，拓展延伸
叶澜教授指出：“课堂应是向未知方向挺进的旅程，随时都有可能发现意外的通道和美丽的风景，而不是一切都必须遵循固定的路线而没有激情的行程。”在教学中，教师应鼓励学生主动探究、大胆假设、操作验证、质疑问难、创新生成。在探究中，学生独特的见解、创新的解题思路和方法等都是可以利用的生成资源，教师应呵护他们的创新，并加以拓展延伸，发展创新思维。
新教材中都设立了探究性材料，为学生形成积极主动、多样的学习方式创造了有利条件，但要将课堂真正动起来，不能只局限于教材提供的探究性材料，更应从教材的例习题、平时的练习题、课堂的生成等挖掘探究性素材，引导学生主动从事观察、实验、猜测、验证、推理与合作交流等数学活动，使学生体验数学知识的发现与创造的历程，从而引领动态课堂的有效生成。
4 成效分析
4.1 共建师生和谐课堂
通过精心预设，诱导生成；依据生成，调整方案；利用生成，巧妙引导等多种手段使学生的主体意识得到真正凸现，为学生创造一个学习知识的平台，唤起学生学习的动机，激起学生学习的欲望，从而让学生能在课堂上不断生成新知识。在一定程度上实现真正的互动和合作：教师与学生、学生与学生、学生与文本在教学过程中实现多种视界的沟通、汇聚、融合，从而使各自的认识偏见得以纠正，并产生新的视界。
4.2 提高教师教育智慧
教师能用心去发现学生发言的闪光点，追溯思维的起因，并用一种开放的心态，充分利用学生的问题资源，在提炼成有效资源后，带着学生一起去分析，一起去讨论，一起去分享。提高了课堂应变能力，并时刻关注并及时捕捉课堂上师生、生生互动中产生的有探究价值的新信息、新问题，重新调整教学结构，重组信息传递方式，把师生互动和探索引向纵深，使课堂再产生新的思维碰撞和思维交锋，从而再有所发现，有所拓展，有所创新，促进教学的不断生成和发展。
5 反思
5.1 摒弃无效生成
强调生成的动态性，意味着上课不是执行教案而是教案再创造的过程；不是把心思放在教材、教参和教案上，而是放在观察学生、倾听学生、发现学生并与学生积极互动上.它要求教师在课堂教学活动中不能拘泥于课前的预设，要根据实际情况，随时对设计做出有把握的调整、变更。因此动态生成不是盲目地生成，它必须围绕“课程与教学目标”来生成，必须考虑学校教育时间的有限性。
5.2 注重应变能力
苏联教育学家马卡连柯说：教育技巧的特征之一就是随机应变的能力。有了这种品质，教师才能使教学避免陷入呆板，才能正确分析现时课堂的情况，从而找到适当的方法加以正确地运用。但是这种技巧的形成绝非一蹴而就，而是一个厚积薄发的过程。这个过程要求教师必须不断学习，增强专业修养和文化底蕴，有意识地对自己的课堂教学行为进行审视，提高对动态生成的课程资源的捕捉和利用能力。
总之，我们在课堂中要平衡课堂的两翼预设与生成，运用多种教学策略，有效引领课堂的生成，构建和谐的课堂，让课堂真正“动”起来，让教学真正“真”起来，让学生真正“活”起来，打造真正的高效课堂。
参考文献
［1］普通高中数学课程标准[M].人民教育出版社，2004，5.
［2］沈涛.探索中学数学有效教学的策略[J].现代教育科学，2007，2.
［3］熊文中.关于数学有效教学模式的构想[J].中学数学教学，2007，2.
关键词：核心内容；探究性教学；有效性
新课标强调，要为学生提供开阔的探索空间. 将“二分法”这一求方程近似解的具体数学方法，放在“函数”这一大背景中来，引导学生认识其作用、操作方法与局限性，在教学过程中，学生多层次体验数学知识的形成过程，多角度审视函数知识的地位与作用.
教材分析
二分法是高中新课程的新增内容.这节内容安排在函数、函数的性质、函数的零点之后，在内容上衔接了函数零点与方程的根的关系，体现了函数的思想以及函数与方程的联系. 求函数零点近似解的计算方法很多，二分法是其中一种常用方法，它的特点是操作简单，具有通性，蕴涵了数值逼近的思想、算法思想以及数形结合的思想方法，并为数学3中算法内容的学习做了铺垫.
学情分析
学生已学习过的函数包括：正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数，同时已掌握求函数零点准确值的一些方法，对函数与方程的关系有了一定认识. 用二分法求函数零点近似解是利用函数图象的连续性，不断逼近函数零点，从而求得对应方程近似解的一种计算方法，因此，通过学分法可进一步培养学生有意识地运用函数图象、性质分析解决问题的能力.
由此得出本节的教学目标为：
（1）了解二分法是求函数零点近似解的一种方法，掌握用二分法求函数零点的一般步骤.
（2）通过师生、生生合作交流，共同探索、概括结论和规律的过程，使学生体会由特殊到一般的认知规律，体验无限逼近的过程.
通过上一节的学习，学生对方程的根的存在性有一定的了解.主要的困难有两个：
①对二分法这种算法思想的理解；②对用二分法求方程近似解的一般步骤的归纳.
所以本节的重点定位为：对二分法基本思想的理解，学习用二分法求函数零点近似解的一般步骤；难点：零点所在区间的确定，对二分法算法思想的理解.
教学设计及教学过程分析
（一）关于情境设置
案例一
问题1：从猜价格引入CCTV2“幸运52”片段：
主持人李咏说道：猜一猜这架家用型数码相机的价格. 参赛选手：2000！李咏：高了！选手：1000！李咏：低了！选手：1500！李咏：还是低了！……
问题1：你知道这件商品的价格在什么范围内吗？
问题2：若接下来让你猜的话，你会猜多少价格比较合理呢？
问题2：从A地到B地的电缆有5个接点.现在某处发生故障，需及时修理.假设故障出在接点之间的线路上，接点处是完好的. 一定要把故障缩小在两个接点之间，至少需要检查多少次？
图1
每次取中点，将区间一分为二，再经比较，按需要留下其中一个小区间的方法叫二分法，也叫对分法，常用于查找电线、水管、气管等管道线路故障.
提出问题：如何求方程lnx+2x-6=0的根？能否利用函数的有关知识来求它的根呢？
函数f（x）=lnx+2x-6的零点转化为方程lnx+2x-6=0的根.
设计问题1：你能找出零点落在下列哪个区间吗？
A. （1，2） B. （2，3）
C. （3，4） D. （4，5）
追问：如何找到这个零点？你能继续缩小零点所在的区间吗？引导取区间的中点，由此引入课题.
点评：此案例的优点是目标直指二分法的操作，从学生熟悉的游戏出发，学生参与度高，兴趣浓，课堂气氛活跃，但不足之处是淡化二分法的数学思想实质，容易导致课堂热热闹闹，课后思想一片空白.
案例二
1. 从实际问题的解决引入
现有一边长为10米的正方形铁板，如果从铁板的四个角各裁去一个相同的小正方形，然后焊接成一个长方体型的无盖容器，为使容积为68立方米，裁去的小正方形边长应为多少米？（精确到0.1）
图2
2. 学生经过思考，讨论后交流解决方法. 从三次方程的求根问题引出数学发展史中探求高次方程的根的研究，介绍解方程的数学史：秦九韶的数学贡献；1545年意大利的卡尔达诺在论著《大法》中给出的一元三次方程的求根公式；十九世纪，阿贝尔和伽罗瓦的研究表明高于4次的代数方程不存在求根公式，即不存在用四则运算及根号表示的一般的公式解，感受数学研究的价值及思想方法.
3. 学生讨论对各种方法的认识和体会通过解决社会实践中的问题，明白求方程近似根的必要性，从而引出课题.
从复习数学知识和原理入手：
1. 求方程f（x）=0的解，可转化为求函数y=f（x）的零点，即为求函数y=f（x）的图象与x轴的交点的横坐标.
2. 零点存在的判定法则
如果函数y=f（x）在一个区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 f（a）・f（b）
归纳：像这种每次取区间中的点，将区间一分为二，再经比较，按需要留下其中一个小区间的方法称为二分法.给出用二分法求函数零点近似解的步骤.
点评：此案例的优点是从实际问题出发，在解决问题中渗透数学史教育，让学生感受数学的思想方法及价值，体会求方程近似解的必要性，激发学生探寻解决问题的办法，从而导入二分法，探究过程围绕数学思想核心，数学味浓，不足之处是引入二分法有些突然，解决实际问题耗费大量时间，课堂的互动略显沉闷，教学有效性不易落实.
案例三
1. 复习思考：
（1）函数的零点；（2）零点存在的判定；（3）零点个数的求法.
2. 思考问题：
请同学们观察下面的两个方程，说一说你会用什么方法来求解方程：
（1）x2-2x-6=0；
（2）lnx+2x-6=0.
对于方程（1），可以利用一元二次方程的求根公式求解，？摇但对于方程（2），我们却没有公式可用来求解.？摇？摇？摇？摇
复习引入：函数f（x）=lnx+2x-6在区间（2，3）内有零点，如何找出这个零点？
提出生活中的问题：12枚金币中有一枚略轻，是假币，如何找出？
（探究二分法的概念：一分为二）
（1）用天平称3次就可以找出这个稍重的球.
（2）要找出稍重的球，尽量将稍重的球所在的范围尽量的缩小，我们通过不断地“平分球”、“锁定”、“淘汰”的方法逐步缩小稍重的球所在的范围，直到满意为止.
（3）这种“平分球”的方法，就是“二分法”的体现.
游戏：请你模仿李咏主持一下幸运52，请同学们猜一下下面这部手机的价格.
进而提出：利用我们猜价格的方法，你能否求解方程lnx+2x-6=0？如果能求解的话，怎么去解？从而引出课题.
点评：此案例的优点是从求方程的解受阻设置悬念，找到知识的生长点，由找假币、猜价格游戏引出二分法，既反映了数学的思想实质，又注重了方法寻找的类比、探究过程，重视数学的思想方法在探究过程中的渗透，强化教材知识间的前后联系，教学实施井然有序，如果加入数学史的介绍，效果会更佳.
（二）关于二分法求方程的近似解
（1）对于函数f（x）=lnx+2x-6，首先用图象确定零点的初始区间（2，3）
用计算器或计算机作出x和f（x）的对应值表，用EXCEL软件演示，用几何画板动态演示.
（2）每种方法都用到了哪些数学知识，怎样想到用这些知识？
利用几何画板、图形计算器画图功能的方法，依赖的技术含量多于数学思想.
利用计算机软件Exsel、图形计算器、计算器的列表计算功能的方法，利用了函数零点存在性的知识，运算次数较多.
计算器的加减乘除功能的二分法利用了函数与方程的转化思想，二分过程中随着一次次的取中点，计算中点函数值，判断符号，取新区间……使零点所在的区间一步步缩小，区间的两个端点一步步向函数的零点逼近.
对比分析指出
①合理利用信息技术提高工作效率，实质上是计算机软件在进行大量函数值计算，进而描点画图；结果近似值的精确度取决于软件的精确度，在解决实际问题中受到软件的精确度的限制.
②列表计算功能的使用使得计算有了一定的方向性和规律性，只计算精确度要求的值即可.
③二分法的计算次数设计合理，当提高精确度要求时，只要继续算下去就一定能达到，可以无限次进行端点向零点的逼近，数学思想简单，逻辑性很强.
（三）二分法求方程的近似解的条件
如果函数y=f（x）的图象如图4所示，能否用二分法求出它的所有零点的近似解？
图4
（注：二分法对不变号零点不适用，从辩证的角度看待一种方法）
本节体现的数学思想方法：
（1）数形结合的思想；
（2）函数与方程的思想；
（3）逐步逼近的思想；
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