时间：2023-12-20 15:18:25
导语：在对角线的规律的撰写旅程中，学习并吸收他人佳作的精髓是一条宝贵的路径，好期刊汇集了九篇优秀范文，愿这些内容能够启发您的创作灵感，引领您探索更多的创作可能。
一、明确数学变式教学理论
无论应用怎样的教学方法，教师都需要先了解其理论基础．数学变式教学同样具备其独有的理论基础．对于人类的生长周期，我们能够应用逻辑学中的“运算”进行划分，其中，人类的智力成长周期可以分为四个阶段，依次是感触规律阶段、规律探索阶段、运算作用阶段、运算规律操作阶段．根据智力成长的周期特性，我们不难发现，学习其实是需要准备的，尤其是对数学知识这种抽象性很强的知识，更需要学生做出充分的准备和积极的探究．初中生的智力成长正在运算作用阶段，逐渐向运算规律操作阶段发展，当然，这不是绝对的，每个学生都不一样，有些学生能力较强已经发展到运算规律操作阶段，而有些学生则还处于规律探索阶段．因此，初中阶段，学生的思维能力正在发展，对于学生理解能力的培养是非常重要的．数学中有很多概念和符号都比较抽象，学生在理解时会出现很大难度，难以快速地形成系统的知识框架．目前，很多初中数学教师在课堂教学中，应用文字讲解加符号教学的方式进行教学，这对学生知识理解的帮助作用是微乎其微的．学生在难以理解知识的情况下，智力成长也会受到阻碍，从而导致学习效率无法提高，初中数学教学失去意义．在初中数学变式教学中，其教学活动是围绕着培养学生理解能力这一主题展开的，通过教学知识的理论与应用，将传统的理论教学变成应用教学．
二、发挥变式教学的作用
在明确变式教学的理论基础后，还需要在实际的教学过程中进行应用，充分发挥其作用．变式教学的基本教学思路是，在教学中增加一题多变、一法多用、一题多解等模式的应用，通过培养学生的思维理解能力，提供教学有效性．在初中数学变式教学中，对于某一知识难点的理解，教师不能沿用过去硬性灌输的低效方法，应当将理论与应用相结合，围绕同一理论知识，设计多种类型的题目，然后引导学生在解题的过程中，理解其中蕴含的数学理论知识，这样学生能够对数学理论知识有非常透彻的理解，将来无论遇到什么样的题型，学生都能发掘其理论知识本质，从根本找出解决的方法．在变式教学中需要用到非常多的例题，看起来与题海战术有相似之处，但两者的本质是完全不同的，变式教学引用例题，不是为了让学生见到更多题型，按套路解题，而是在教学抽象理论知识的时候，通过灵活多变的题目，将枯燥乏味的理论知识演绎出来，让学生运算规律操作得到充分的锻炼．在初中数学中应用变式教学，可以有以下三个作用．
其一，数学理论知识的变式突显教学的重点．变式教学能够很好的促进数学理论知识教学．在初中数学变式教学中，对于数学抽象理论知识的教学，无论是定理、概念、性质还是公式，都可以与其应用教学结合起来，首先从比较具有特殊性的问题入手，将抽象的理论知识具象化，让学生对知识有初步的了解，然后再逐渐发展到一般性的问题当中，对理论知识进行普适性讲解，从而易化学生对知识的理解，帮助学生快速掌握．
其二，数学变式教学有助于学生思维能力的提高．初中数学变式教学的实质是对理论知识的教学，在教学的过程中，学生的思维理解力一直在提升，对知识的深入探究，也能锻炼学生的思维深度．在变式教学中，通过反例的列举，能够从另一个角度，将知识的本质更清晰地反映出来，同时，学生在学习的过程中，将反例与原问题对比分析，能够提高学生的思维批判性，增强学生的判断能力;数学变式教学中，一题多解、一法多用以及一题多变等模式，能够将各类问题的多个角度展现在学生面前，学生在学习的过程中，能够有效提升自身的思维全面性和敏捷性．
晶闸管可控电抗器（TCRs）由两个反并联的晶闸管串联一个电抗器组成，它是静止无功补偿中的重要组成元件[1]。TCRs作为可变电感，可快速、平滑地调节所吸收的无功功率，因此它和晶闸管投切电容器（TSC）一起成为电力系统中无功补偿和电压调节的重要手段[2,3]。然而，从电能质量方面考虑，TCRs作为开关型电力电子器件，在运行过程中，将大量的谐波电流注入系统，是电力系统中重要的非线性谐波源[4,5]。
分析TCRs产生的谐波，主要有四类方法。①恒流源法：基于TCRs的典型谐波频谱和特定运行工况的基波潮流结果，根据恒流源法的公式计算得出TCRs注入系统的谐波电流[6-8]，该方法在目前的谐波分析中应用广泛。②诺顿等效电路模型：在恒流源模型的基础上并联表征TCRs谐波电压和谐波电流自耦合效应的导纳[9,10]，但未考虑谐波电压和谐波电流之间的互耦合作用。③基于传递函数的模型：TCRs中背靠背的晶闸管交替导通和关断，任一晶闸管导通时定义开关函数为1，所有晶闸管都关断时定义开关函数为0[11-13]；基于此传递函数，在频域中推导得出TCRs的谐波模型[14]。该模型通过两个导纳矩阵将TCRs各次谐波电压和谐波电流的耦合关系展示出来，模型准确但计算复杂。④时域法：用微分方程描述TCRs电压和电流之间的关系，通过求解微分方程得出TCRs注入系统的谐波电流[15]。该方法准确，但对大系统来说，搭建模型所需的工作量大且仿真运行时间长。
以上各谐波模型的提出均以在谐波潮流中应用为主，缺乏对TCRs谐波特性的分析。而研究TCRs的谐波产生特性，将有助于对谐波源建模采取合理的近似和简化以及谐波潮流分析的进行。频域中TCRs的谐波矩阵模型[14]通过完全解析的公式将TCRs端口各次谐波电压和谐波电流之间的耦合关系直观地展示出来。本文将基于TCRs的谐波耦合矩阵模型，对TCRs的谐波产生特性进行深入分析。研究发现，TCRs的每次谐波电流均由三部分组成：由基波电压产生、由同次谐波电压产生以及由不同次谐波电压的耦合作用产生的谐波电流。本文首先分析了谐波电流各组成部分的贡献大小，在此基础上提出了TCRs的忽略谐波电压共轭影响的模型、解耦的模型和恒流源模型，给出了各简化模型的解析计算公式，并研究了触发延迟角对简化模型精度的影响。
2TCRs的谐波耦合矩阵模型
TCRs多按三角形联结方式在三相电路中使用，如图1所示。3及3的倍数次谐波经三相电感环流而不注入交流系统。根据三相TCRs的工作原理和传递函数，可在频域中推导出其谐波耦合矩阵模型[14]式中，h=1,5,7,…,H，H为所计算的谐波最高次数，hI和hV分别为TCRs端口的h次谐波电流和电压相量，hV为hV的共轭分量，Y和Y是TCRs的谐波耦合矩阵模型。矩阵各元素的解析表达式为式中，为晶闸管的触发延迟角；L为TCRs中的电抗值。模型表明，TCRs的谐波电流不仅由其端口的谐波电压产生，而且也与其谐波电压共轭分量有关。该模型将TCRs端口的谐波电压和它所产生的谐波电流之间的耦合关系通过Y和Y两矩阵直观地体现出来，且矩阵的各元素以完全解析的公式给出。通过分析谐波耦合矩阵元素的特点，可对TCRs的谐波产生机制进行分析。
3TCRs的谐波耦合矩阵特性分析
首先给出Y+、Y各元素相对大小的直观比较（见图2，触发延迟角为20°）。所有元素均以1,1Y（幅值最大的元素）为基准进行标幺化，对比结果以百分比的形式给出。由图可知，Y的对角线元素、第一行、第一列以及Y的第一行元素有较大的幅值，说明这些元素所对应的电压分量在TCRs的谐波电流产生中起主要作用。
3.1基波电压的作用
Y+、Y的第一列元素共同表征了TCRs端电压的基波分量对TCRs各次谐波电流产生的影响。因Y的第一列元素为零，该影响完全由Y+的第一列元素决定。由式（2）可知，h,1Y的幅值有如下形式：式中，sin(h1)的取值在（0,1）的范围内；h,1Y的幅值随谐波电流次数h的增大，以21h的速度递减。如果供电电源中不含谐波，TCRs产生的谐波电流随谐波次数减小的速度将大于整流装置[13]。由式（3）可知，任一元素幅值均是触发延迟角的函数，图3示出了h,1Y随触发延迟角和谐波次数的变化规律（所有元素均以1,1Y为基准进行标幺化）。这一列元素不含任何谐波的作用，是恒流源模型的解析计算公式。因此可将式（1）所示的完整模型分为基波电压（恒流源模型，Shh,11IYV）与谐波电压的作用两部分，如式（4）所示。
3.2谐波电压对基波电流的作用
TCRs的基波电流主要由基波电压通过1,1Y产生（1,1Y即为TCRs基频下的等效导纳），但Y+和Y的第一行均有非零元素，表明TCRs将供电端的部分谐波电压转化为基波电流送入系统。h,1Y元素的幅值为该幅值随谐波次数的增大以1h的速度递减。图4所示为了元素幅值随触发延迟角和谐波电压次数的变化规律。研究发现，随触发延迟角的增大，1,1Y并不总是第一行中幅值最大的元素，如当70时，1,5Y成为幅值最大的元素。但从电力系统实际考虑，单次谐波电压畸变率一般小于5%，因此该转化作用对基波潮流的影响不大。
3.3TCRs的谐波自导纳
Y+对角线元素表征h次谐波电压与h次谐波电流之间的自耦合效应，即TCRs的谐波自导纳，计算公式如下：推导发现，对角线元素的幅值以1/h的速度递减，与值为πL[32(2π)]的电抗具有相同的特性，表明TCRs在谐波频率下等值为πL[32(2π)]的感性电抗。但该值与TCRs在基频下的电抗并不相同。由式（2）可知，基频下TCRs的电抗值L1为式（6）和式（7）可作为TCRs诺顿等效电路模型中自导纳的修正公式[10]。
3.4谐波电压与谐波电流的互耦合
TCRs谐波电压与谐波电流之间的互耦合效应，即某次谐波电压对另外一次谐波电流的影响，可由分析Y+的非对角线元素得出。Y+的非对角元素幅值为元素的幅值随谐波次数h的增大而递减，同时元素还随hk递减。hk是h次谐波电压与k次谐波电流之间的距离，距离越近，h,kY越大。为衡量互耦合作用的强弱，定义参数K+为因谐波电压和谐波电流都是奇次，hk一定是偶数，因此K+必具有如下形式：K+随两耦合谐波次数的距离而变化，同时也随触发延迟角变化，其变化规律如图5所示。分析式（9）和图5可得出以下结论：（1）对于h次谐波电流，（hk）次谐波电压对其产生的影响与（h+k）次谐波电压产生的影响具有相同的幅度。（2）对任意触发延迟角和hk组合，K+总小于1，即在Y+矩阵的任一行（h＞1），对角线元素总是幅值最大的元素。（3）对任意触发延迟角，hk值越小，对应的导纳矩阵的元素幅值越大，即离对角线元素越近，谐波电压与谐波电流的耦合作用越强。（4）当触发延迟角接近90°时，K+接近1，此时对角线元素变得非常小（见式（2）），所以TCRs的谐波耦合作用是很弱的。
3.5谐波电压共轭的贡献大小研究
为研究TCRs端口谐波电压共轭对其谐波电流产生的影响，定义K为Y元素h,kY与Y+对角线元素h,hY幅值之比K随谐波电压和谐波电流次数之和hk变化，当k=h=5时,hk取得最小值。图6为K随触发延迟角的变化规律。可见，K比K+更小。当触发延迟角60≤时，K小于0.2。这表明，TCRs供电端电压的共轭分量在TCRs谐波电流产生中的作用要远小于其端电压相量。
4TCRs的谐波分析简化模型
通过以上对TCRs谐波耦合矩阵元素的取值规律和物理意义的分析，得出TCRs的谐波产生有如下特点：（1）Y+第一列元素表征TCRs端电压基波分量对TCRs谐波电流产生的影响。此列元素不含任何谐波电压的作用，是恒流源模型的计算公式。（2）Y+对角线元素总是每行中幅值最大的（h＞1），且离对角线越近的非对角线元素幅值越大。这表明，对任一次谐波电流，同次谐波电压与其产生的自耦合效应要强于不同次谐波电压与其的互耦合效应，互耦合的程度随谐波电压和谐波电流距离的增大而减小。（3）TCRs供电端电压的共轭分量对TCRs谐波电流产生的作用远小于其端电压相量。
基于谐波耦合矩阵元素的取值规律以及TCRs的谐波产生特性，可对TCRs的谐波模型进行简化。（1）Y+模型：忽略谐波电压共轭对各次谐波电流产生的影响+IYV（12）（2）解耦模型：在Y+模型的基础上，进一步忽略Y+的非对角线元素，即忽略谐波电压和谐波电流的互耦合作用，并将基波电压对谐波电流产生的影响表示为恒流源这是TCRs的解耦谐波模型，为电流源ShI并联上谐波自导纳。在谐波潮流中采用此模型时可使得各次谐波潮流独立计算，计算量将大为减小。（3）恒流源模型：在解耦模型的基础上，进一步忽略各次谐波电压和谐波电流之间的自耦合效应，只考虑基波电压的影响，可得出TCRs的恒流源模型，其谐波电流的解析计算公式与式（13）中的ShI相同。恒流源模型由于计算简单方便，是目前各类谐波分析中广泛采用的模型。
5触发延迟角对简化模型精度的影响
由式（2）可知，任一元素均是触发延迟角的函数，触发延迟角将影响各简化模型的精度。根据TCRs的运行机理，在0～90°范围内变化。当系统的供电电压总畸变率为9.68%时，对各模型的精度进行了分析（MatlabSimulink仿真电路参数见表1）。图7给出为10°、40°、80°时，各简化模型与精确模型的仿真波形结果对比。可见触发延迟角较小时，各简化模型和完整模型吻合程度都较高，随触发延迟角的增大，简化模型的精度降低。为精确衡量三种简化模型的准确度，定义E为简化模型和完整模型之间的误差式中，hI为由完整模型得出的h次谐波电流值；hI为由各简化模型得出的h次谐波电流值。表2给出了不同触发延迟角时各简化模型与完整模型之间的误差E。当触发延迟角70≤时，Y+模型、解耦模型以及恒流源模型的精度都较高；但当触发延迟角70>时，简化模型的结果和完整模型的结果有差异，这是因为随着触发延迟角的增大，谐波电压和谐波电流之间的耦合程度增强。然而，随触发延迟角增大，TCRs产生的谐波电流实际值也将非常小。因此在工程应用中，若对模型精度要求不高，在较大触发延迟角下仍可采用各简化模型。简化模型的意义在于，可减小谐波潮流计算中形成导纳矩阵的工作量，加快计算速度。特别是当利用TCRs的解耦模型时，各次谐波频率下的谐波潮流可解耦计算，计算量将大为减小。
一、生成式探究
所谓生成式探究是指在课堂教学过程中，对动态生成的问题进行的局部探究。课堂是教师教学的主阵地，是学生获得知识的主渠道。在这个动态过程中，学生作为认知的主体，会带着自己的认知结构参与课堂活动，从而使课堂生成了许多课前没有预料到的情况，当情况发生时，教师要针对生成的问题类型进行有效的处理，其中有些问题进行局部探究是一种很好的选择。第一，动态生成的问题情境，学生具有迫切地想探究事物本质属性的认知心理，通过探究使学生能够揭开问题的本质。第二，探究有助于增强学生的主体意识。在课堂探究中，每一个学生都有机会发表自己的认识和观点，每一个学生都能对其他学生的观点进行评价，这样有利于调动学生的学习积极性、主动性、自觉性，从而发挥学生的主体作用，增强学生的主体意识。第三，探究有利于培养学生的观察能力，有利于培养学生发现问题、解决问题的能力，有利于培养学生创新能力。例如：点到直线距离概念教学。
案例1。
师：很多同学在运动会上跳过远，跳远时，裁判员是如何测量运动员成绩的？（不犯规的情况下）
生1：从起跳点鞋的后跟测到落地点鞋的后跟。
生2：不对，是从起跳点鞋的前尖测到落地点鞋的前尖。
生3：你们两个说的都不对，是从落入沙坑鞋的后跟测到起跳板的。（同学认为生3说的正确。）
师：如何从落入沙坑鞋的后跟测到起跳板？
生4：用皮尺测量。
师：如何测？起跳板是一块板，有一定的长度和宽度，测到不同的位置，运动员的成绩是一样的吗？
生5：不一样，不公平。
生6：从落入沙坑鞋的后跟测到起跳板前边，并且皮尺要垂直于起跳木板。
师：为什么要垂直于起跳板前边？
生7：不垂直成绩不唯一，而且都比垂直的远。（联结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短）
师：皮尺相当于一条线段，起跳木板前边相当于一条直线的一部分。实际上是一条满足什么条件线段的长度是运动员的成绩？
生7：落入沙坑鞋的后跟到起跳板前边所在直线的垂线段的长度。
师：这实际就是一条直线外一点到一条直线的距离，叫做点到直线的距离。请同学给出定义。
生8：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这个点到直线的距离。
思考：以上是一个概念的教学过程，动态生成的探究问题，通过教师根据问题变化情况，由教师提出局部探究的主题，学生进行局部探究的过程。首先教师提出问题，跳远时，裁判员是如何测量运动员成绩的？整个问题在学生的回答的过程中，动态生成的第一个探究问题是当学生得到“是从落入沙坑鞋的后跟测到起跳板的”，一部分学生感觉得到答案了。这时教师反问到“如何测？起跳板是一块板，有一定的长度和宽度，测到不同的位置，运动员的成绩是一样的吗？”引发了学生的探究，然后经过学生的争辩，最终得到了问题的答案。
以上通过教师、学生思维的相互碰撞，使学生的思维得到激活，最后对如何科学合理测量成绩达成共识。最后给出点到直线距离定义，水到渠成。在此过程中，学生如数学家一样，以主人身分去发现问题、探究解决问题，培养了学生的创新能力。
二、递进式探究
所谓递进式探究，是指利用递进式变式题组创设问题情境，进行的探究。递进式变式题组是指在课堂教学中，为了达到某一教学目的，根据学生的认知规律，合理有效地设计一组数学问题，且这组数学问题又有一定的内在逻辑联系，即前一个问题是后一个问题的特殊情况，后一个问题是前一个问题的一般的情况，这样由特殊到一般的题目组合称为递进式变式题组。这种递进式变式题组，层层递进，由浅入深，由简到繁，循序渐进，螺旋式上升，有利于学生对问题本质的深刻理解，进而掌握规律。规律是事物发展过程中本身所固有的必然联系。规律是客观存在的，是不以人们的意志为转移的，人们只能发现规律，利用规律，不能改变规律。苏霍姆林斯基说“人的内心里有一种根深蒂固的需要，总想感到自己是发现者、研究者、探寻者”。数学教学中有很多规律需要学生去探究，教学中要鼓励学生去探究规律并掌握规律，教师要为学生的学习创设探究情境，建立探究的氛围，促进探究的开展，把握探究的深度，这样才能调动学生探究的积极性，激活学生探究的潜能，以寻到规律。
案例2：幂的乘方法则的探究过程，给出如下递进式变式题组，以使学生自主探究规律。
（1）（23）4=2（） （2）（a3）4=a（ ）
（3） （2m）n =2（） （4）（am）n=a（）
思考：显然（1）是底数、指数都是具体数，学生很容易利用乘方的意义得到问题的答案。接下来（2）（3），在（1）的基础上，（2）把底数由具体数变成了字母，（3）把指数由具体数变成了字母。（4）是在（2）（3）的基础上，把底数、指数都变成了字母，得到了一个一般的幂的乘方的规律。在以上探究过程中，充分运用一组递进式变式题组，由特殊到一般地进行探究，使学生跳一跳就能摘到果子，从而使学生能够顺利地得到乘法法则，同时建构数学认知结构。
三、类比式探究
所谓类比式探究，是指当新知识与已有的知识之间有相同或相似之处时，运用类比推理进行的探究。第一，类比推理作为一种合情推理的方法，在数学知识的发现中发挥着巨大的作用。波利亚曾说过：“类比是伟大的引路人”，并在《怎样解题》中说：“在求解（求证）一个问题时，如果能成功地发现一个比较简单的类比题，那么这个类比问题可以引导我们到达原问题的解答”。第二，《标准》对类比方法提出了教学建议，“通过观察、实验、归纳、类比、推断获得猜想”。第三，通过类比有利于学生的知识发生正迁移，利用已有的旧知识，来认知新知识，有利于使学生头脑中建立完善的知识网络，从而加深对数学知识的理解。例如，通过平方根和立方根知识，让学生类比探讨n次方根知识。通过分数的基本性质，让学生类比探讨分式的基本性质。通过全等三角形的判定方法，来探索相似三角形的判定方法等。
四、实验式探究
所谓实验式探究，是指利用实验的方式进行的探究。《标准》指出：学生学习应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程。除接受学习外，动手实践、自主探索与合作交流同样是学习数学的重要方式。学生应当有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程。通过数学实验，使学生把所学的知识用于生产、生活、实际，体验知识和形成过程，用数学的思维方式去观察世界、感悟世界。在函数教学后，设计探究活动。
案例3：一天中，8时至12时，一个电线杆的影子长度与时间之间是否存在函数关系？
（1）收集数据
（2）分别以时间为横坐标，影子长度为纵坐标，在平面直角坐标系中，分别描出各点，并用光滑曲线将这些点连接起来。
（3）影子长度L是时间t的函数吗？为什么？
思考：实验性探究要与学生的生活紧密结合。因为要探究的问题是学生没有解决过的问题，对学生有一定的挑战性，但如能与学生的生活经验相结合，有利于问题的解决。一是学生生活经验经内化后，成为了学生进行认知的固着点，这样有利于学生进行新的建构。二是要与学生的学习内容相结合。这样便于学生利用已有的知识进行深入的研究。三是实验本身要有很强的可操作性，这样更有利于学生的实验操作，获得知识。上述实验性探究在函数教学后，让学生自主进行探究，首先可使学生加深对函数概念的深层次理解，同时掌握进行实验研究的基本方法。其次让学生体会到数学是平平常常的、自自然然的、就在我们身边，就在我们生活中。
五、推理式探究
所谓推理式探究，是指通过逻辑推理的方式进行的探究活动。《标准》指出：义务教育阶段的数学课程是培养公民素质的基础课程，具有基础性、普及性和发展性。数学课程能使学生掌握必备的基础知识和基本技能；培养学生的抽象思维和推理能力；培养学生的创新意识和实践能力。李大潜院士认为：“老是量，就倒退到尼罗河时代去了”，价值在于理性思维，从公理出发的演绎推理。姜伯驹院士在政协的提案指出：“三角形内角和等于180°这样的基本定理，让学生用剪刀将三个角进行拼接实验。只知其然不知其所以然，如何培养思辨能力？”可见在数学教学中培养学生的推理能力是数学教学的核心任务之一，有很多知识是需要学生通过理性推理获得，因此教学中，教师要创造条件，让学生通过逻辑推理的方式去获得知识，这是培养学生的独立思考能力、创新能力非常重要的方法之一。
案例4：平行四边形一条对角线所在直线上的两个不同点（非平行四边形对角线的交点，两个点同时在一条对角线上或同时在一条对角线的延长线上）如果分别到这条对角线两个端点的距离相等，那么这两点与平行四边形另外两个顶点的连线构成的四边形是什么图形？
分析：探究此命题分五种情况，二种情况是两点都在对角线上（非端点，非对角线交点），另二种情况是两点都在对角线的延长线上，还有一种情况是两个点就是对角线的两个端点，这时命题显然是成立的，因此下面只对另外四种情况进行证明。
情况1：如图1，已知？荀ABCD中，E，F是对角线AC上的两点，且AE=CF。探索四边形BEDF形状，并证明。
证明：联结BD交AC于点O，因为四边形ABCD是平行四边形，所以OA=OC，OB=OD，又因为AE=CF，所以OA-AE=OC-OF，即OE=OF，所以四边形BEDF是平行四边形。
情况2：如图2，已知？荀ABCD中，E、F是对角线AC所在直线上的两点，且AE=CF，探索四边形BEDF形状。
证明：联结BD，因为四边形ABCD是平行四边形，所以OA=OC，OB=OD
又因为AE=CF，所以AE+OA=CF+OC，即OE=OF，所以四边形BEDF是平行四边形。
情况3：如图1，已知？荀ABCD中，E，F是对角线AC上的两点，且AF=CE。
探索四边形BEDF形状。
分析：由AF=CE，所以AF-EF=CE-EF，所以AE=CF，从而问题转化为情况1。
情况4：如图2，已知？荀ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E、F是直线AC上的两点，并且AF=CE，探索四边形BEDF形状。
分析：由AF=CE，所以AF-AC=CE-AC，所以CF=AE，从而问题转化为情况3。
综合以上情况，四边形BEDF是平行四边形。
思考：一是推理性探究，探究问题要在学生的最近发展区内。让学生跳一跳，就能摘到果子，获得成功的体验，并在成功的快乐中，充分激活学生的潜能。二是探究的问题应该有代表性、典型性，是一类问题的突出代表，具有共性特点。目的是尽量做到能用典型问题这一把“钥匙”开一类“锁”，以达到“做一题，通一类，会一片”的效果。三是上述数学问题只要满足本命题的条件，都可通过证明平行四边形的策略进行解决，此法是解决这类问题的一个通法。数学问题多种多样、千变万化，但有很多问题的本质都是相同的，只不过把它的非本质属性变化了一下，对这些问题加以归纳、概括其本质属性，就会得到解决此类问题通用解题方法，从而达到举一反三、事半功倍的教学效果。
总之，在教学中一是要结合学生的生活经验，二是要结合学生的数学认知结构，三是要考虑问题研究的价值。科学合理地选择探究性的问题，使学生经历发现、操作、实验、归纳、猜想、验证等数学活动，从而培养学生的探究精神、探究能力和创新能力。
参考文献
关键词：教学问题再创造本质
日本著名数学教育家米山国藏认为，把问题简单化是学习数学的最基本精神. 无论是生活中的问题，还是数学本身比较复杂的问题，简单化是发现数学规律的有效途径. 教师在其间建立适当的路标，引导学生由简单到复杂学习，由低层次到高层次去学习、去生成新的再创造问题.
在几种常见课型中，如何体现再创造教学的本质？譬如：概念课中，如何让学生理解概念本身乃至概念背后所体现的学科思想方法；习题课中如何通过题目训练学生思维的发散；如何分解综合题，设计问题串，把习题还原成挑战学生认知过程的探索问题；复习课中如何整合知识形成体系，引领学生站在一定的高度看问题.
一、学科概念形象的再创造
学科概念是掌握该学科知识体系的基石，通过生活实例、演示实验给学生提供一个平台，让学生在问题情境中体验概念形成的过程.
在新人教版第五章相交线与平行线的“三线八角”教学中，面对刚刚接触几何的学生，教学中除了揭示定义的数学本质外，借助于直观的形象的教具以丰富学生的感性认识，概括出“三线八角”的识别要领：如图1，同位角∠1与∠2成“F”型.如图2，内错角∠3与∠4成“Z”型.如图3，同旁内角∠5与∠6成放倒的“U”型， 让学生充分地理解概念。
在概念学习过程中，教学生以学习方法，有利于学生学习能力的培养.
二、一题多解、一题多变，解法的再创造
在“平行四边形的判定”的例题教学中，设计如下：如图4，ABCD,点E、F在对角线BD上,BE=DF,求证：四边形AECF为平行四边形。
1、给学生一定的时间进行解题探究，让每个有想法的学生“说题”
【生1】：先证明两次三角形全等（ABE≌CDF,ADF≌CBE），得两组相等边(AE=CF,AF=CE)，再利用“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”证明四边形AECF为平行四边形.
【生2】：只用一次三角形全等（ABE≌CDF），得到AE=CF，进一步证明AE∥CF，再利用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”得出结论“四边形AECF为平行四边形”.
【生3】：“连接AC、BD相交于点O”，利用“平行四边形的对角线互相平分”得到OA=OC,0B=OD;结合BE=DF，进一步得到OE=OF,再利用“对角线互相平分的四边形是平行四边形”证明.
【生4】：可不可以利用“平行四边形是中心对称图形”证明啊？（可以）又如何表达呢？…
通过以上“一题多解”的说题,充分展示学生的思维过程,各种不同的证明方法得以唤醒与巩固。
2、借助变式训练，引导学生思维向纵深发展
【变式1】如图5，如果E、F在对角线BD的延长线上，连接AE、EC、CF、FA，能否证这个四边形是平行四边形？通过这个变式，揭示 “等量加等量(或等量减等量)还是等量”.
【变式2】如果再增加两个点，也就是说“有四个点在两条对角线或它们的延长线上”，你能构造图形吗？学生给出四种图形,如图6所示：
【老师点评】：这些变式的解题方法都是从“对角线”来证明，这些
图形里外都是平行四边形，是一种典型的“母子关系”.
其他同学还有别的想法吗？有一位学生，提供了图7：
【学生】已知平行四边形ABCD是中心对称图形。
直线绕着点O旋转到任意位置，都可以得到相等线段.设分别与AD、BC相交于点E、F，可证OE=OF,在对角线BD的延长线上截取BM=DN,则有四边形EMFN是平行四边形.
【老师】百变不离其宗――四边形的“对角线”，这是编题的最本质所在.
通过说题及例题变式，引导学生归纳题目的共性，多题归一，产生以题带类的教学效果.
三、思维方式的再创造
1、选题具有针对性、典型性和灵活性
在复习课中选例能针对教学的重点、难点和考点，有代表性，同时贴近学生的“最近发展区”，能起到示范引路、方法指导的作用. 还应在情境设问、立意等方面作变化，从不同角度使学生对知识和方法有更深入的理解. 在二次函数复习课中。
例如：如图8，抛物线y=ax2+bx-2与x轴交于两个不同的点A(－1，0)，B(m，0)，与y轴交于点C，且∠ACB＝90°。
(1)求m的值和抛物线的解析式；
(2)已知点D(1，n)在抛物线上，过点A的直线y=x+1交抛物线于另一点E． 在x轴上是否存在点P，以点P，B，D为顶点的三角形与AEB相似，若存在，求点P的坐标，若不存在，请说明理由。
2、 巧用课堂提问，激活学生思维
第一、调度好新旧认知的联结点，第二、促进思维活动的良好起步，设计问题，先热身训练。
【问题6】探点一：连结DB，在x轴上，点P有否可能在点B右侧？
(只要观察∠DBx与∠EBA是否有可能相等,即求∠DBx的大小和∠EBA的取值范围)
探点二：在x轴上的点B左侧是否存在点P?
四、发掘“土定理”，以题带类，结论的再创造
数学的最大特征就是简约性. 再创造的价值不仅仅是把某一个题目做出，而是要不断寻求数学理性思维的生长点，选择最佳途径，从而进入新的探求境界，努力培养学生用数学的意识和数学建模的能力.
在初三复习课时，通过例题练习让学生领悟到某些知识点之间的联系，还要帮助学生整合知识块，归纳出一些“土定理”，对学生寻求一类题型的思路有导向作用. 以相似基本图形“三线一等角”土定理的课堂设计为例：
1、先给出基本图形的特殊情况，让学生认识到模型的特征.
如图13,已知：∠A=∠B=∠DEC=90°, 你能得出哪些结论？
【老师】如果这“三等角”∠A=∠B=∠DEC=.(如图16)，还能得出上述结论吗？说出你的理由.
【归纳】 “一线三等角定理” ：
如图13，点E在直线AB上，且∠A=∠B=∠DEC，则ADE∽BEC文字叙述为：如果顶点在一条直线上的三个角相等，那么它们所在的两个三角形相似.点评：这个“土定理”有普遍意义，它有利于我们在相似三角形中寻找解题思路.
【变换题目的条件】：
简单化是发现数学规律的有效途径. 教师的任务是在其间建立适当的路标，在问题驱动下引导学生由简单到复杂学习，由低层次到高层次去学习、去生成新的再创造问题.教学中关注思维形成的过程，为再创造学习寻找生长点；学会借题发挥，重视高层次的思维、深层次的知识和实质性的对话. 努力培养学生对问题的剖析能力、促成以题带类的本质性迁移，把借助数学内容的学习让学生去发挥数学资源的再创造价值作为追求的最高境界。
参考文献：
关键词：数学思想方法；渗透；中职数学教学
在中职数学教学中，有数形结合、化归、分类讨论、对应等多种数学思想方法。采用平铺直叙的方式教授，无法提高学生的学习兴趣，甚至有可能增加学生的学习负担。E.卡尔康曾经说过：“思维就是对事物是什么的探究。”我们可以采用探究式教学模式，有步骤、有策略地渗透数学思想方法，逐步提高学生的思维能力，激发学习兴趣。在数学教学中，我们可以通过以下几点来渗透数学思想方法。
一、创设问题情境，蕴涵数学思想方法
现代思维科学认为，问题是思维的起点，任何思维过程都是指向某一具体的问题的。而问题又是创造的前提，一切的发明创造都是从问题开始的。问题情境是指问题呈现的知觉方式；问题情境又是课堂教学的一种“气氛”，它能够促使学生积极主动地、自由地去想象、思考、探索，去解决问题或者发现规律，并可伴随一种积极的情感体验。
在学生学习某种新知识之前，如果让他们先了解这种知识在生活中的原型，那么他们对新知识的理解就会更自然、深刻和全面，学习态度也会表现得更加主动。通过创设问题情境，构建适当的认知差，引起学生的认知冲突，非常有利于激发学生的探索心理。
二、探索发现问题，渗透数学思想方法
弗赖登塔尔认为：学习数学的唯一方法是实行“再创造”，也就是由学生本人把要学的东西自己去发现或创造出来，教师的任务则是引导和帮助学生去进行这种再创造的工作，而不是把现成的知识灌输给学生。因此，教师通过渗透数学思想方法，引导学生自主探索，给予学生充分的时间和空间去观察、测量、动手操作，使他们对周围环境和事物产生直接的感知，进一步地发现和创造所学的数学知识。
进入问题情境后，学生开始审题，这是弄清问题的一个过程。学生首先要通过阅读和思考，明确已知条件是否充分、多余或矛盾。教师再通过渗透数学思想方法，引导学生去发现问题。
三、探究解题策略，运用数学思想方法
教师在组织学生去分析已知、未知和所求的数学关系后，学生就会尝试寻找解决问题的途径。在知识探求的过程中，特别注意的是要让学生自己去观察、归纳、类比、联想和论证，逐步通过试探或试验来提出各种解题策略，运用数学思想方法获取深层知识，最后在教师的引导下，确定问题的最终解决办法。
例题1：一个九边形有多少条对角线？
在解这道题时，一开始，学生因为对九边形不熟悉，无法入手。教师可以先提出简单的问题，如四边形有多少条对角线，然后以长方形或者正方形为例，讲解一个，就很容易发现长方形有2条对角线，正方形也有2条对角线，显然对角线的条数和四边形的形状没有关系，而是跟四边形的顶点个数有关，而四边形有4条边，就有了4个顶点，每两个顶点连接有一条线段，就有C24=6条线段，而其中每相邻的顶点连结不构成对角线，因此有6-4=2条对角线。然后教师引导学生用类比的思想，去推算如果是五边形又有多少条对角线这样的问题，最后让学生去解决一开始的问题，学生自然而然会得到正确的答案：九边形有C24-9=27条对角线。最后教师指出，这里我们运用了从特殊到一般，从简单到复杂，以及类比数学思想方法，使学生能够感觉这些方法的神奇。
四、反思解题过程，评价数学思想方法
一个好的小结不只是对课堂教学内容的简单回顾，还是对所运用的数学思想方法的总结提炼。通过学生自己总结，不但促进了学生对知识的理解，培养了他们的数学表达能力和概括能力，而且通过归纳反思，使他们把握住知识的脉搏，找到知识之间的内在联系。这对于学生构建良好的认知结构大有裨益，也让学生能够从中感悟数学的美。教师还可以“借题发挥”，引起学生思维的发散，开拓他们思维的视野。进行适当的变式教学，让学生得出最佳的思维途径，优化思维方法，进而培养学生的分析推理能力。
例如，在解完上道例题后，教师可引导学生进行回顾，通过反思学生发现类比、联想等数学方法使他们从纷乱复杂的思维中，找到了清晰的思路，从而顺利地解决了问题。在评价数学思想方法时，给予一定的同类型问题，或者变式，使学生通过比较对照，看清了问题的本质。比如说，教师可以继续提出这样的问题：画出一个九边形的所有对角线，最多会有多少个交点？显然，有了刚才的解决问题的经验，学生一般不会再拿一个九边形来画出所有的对角线，然后再去数。聪明的学生自然而然地想到先弄个简单一点的图试试，比如先拿正方形等来做尝试。在这个过程中，学生已经不知不觉地把这种化复杂为简单，从特殊到一般的数学思想应用到学习中去了。
参考文献：
［1］曾华涛．试析数学思想方法在教学中的渗透．江西教育，2002（19）：24.
(1)激发学生潜能,鼓励探索创新。建构主义学习理论认为,知识不是通过教师传授而得到的,而是学习者在一定的社会文化背景下,借助其他人(包括教师、家长、同学)的帮助,利用必要的学习资源,主动地采用适合自身的学习方法,通过意义建构的方式而获得的。这要求教师在课堂教学中,要根据教学内容创设情境,激发学生的学习热情,挖掘学生的潜能,鼓励学生大胆创新与实践。要让学生在自主探索和合作交流过程中获得基本数学知识和技能,使他们觉得每项知识都是他们实践创造出来的,而不是教师强加给他们的。例如求多边形的内角和一节的教学,可以先复习三角形的内角和知识,然后再提问:我们如何利用已有的三角形知识来解决多边形的内角和问题?学生经过讨论不难得出:①想办法把多边形转化为三角形;②具体转化方法采用添线来分割多边形,使之成为若干个三角形。在此基础上,继续提问:①你们有哪些具体的分割方法(从一个顶点出发连对角线、从一边上任一点出发连不相邻的顶点、从多边形内任一点出发连各顶点等)呢?②从一个顶点出发连对角线可以有多少条?那么一个多边形一共应有多少条对角线?③根据对角线的条数你能确定是几边形吗?④你还能得出其他结论吗?通过学生思考探索,他们会总结出许多解决多边形的内角和的方法,还探索了多边形对角线的有关知识,活跃了学生的思维,锻炼了他们的创新能力。
(2)转变教育观念,发扬教学民主。数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上。在教学过程中教师要转变思想,更新教育观念,把学习的主动权交给学生,鼓励学生积极参与教学活动。教师要走出演讲者的角色,成为全体学生学习的组织者、激励者、引导者、协调者和合作者。学生能自己做的事教师不要代劳,教师的主要任务应是在学生的学习过程中,在恰当的时候给予恰当的引导与帮助,要让学生通过亲身经历体验数学知识的形成和应用过程来获取知识,发展能力。
(3)联系生活实际,培养学习兴趣。某些学生不想学习或讨厌学习,是因为他们觉得学习枯燥无味,认为学习数学就是把那些公式、定理、法则和解题规律记熟,然后反反复复地做题。新教材的内容编排切实体现了数学来源于生活又服务于生活的思想,通过生活中的数学问题或我们身边的数学事例来阐明数学知识的形成与发展过程。在教学过程中,教师要利用好教材列举的与我们生活息息相关的数学素材和形象的图表来培养学生的学习兴趣。教师要尊重学生,热爱学生,关心学生,经常给予学生鼓励和帮助。学习上要及时总结表彰,使学生充分感受到成功的喜悦,感受到学习是一件愉快的事情。教师要通过自己的教学,使学生乐学、愿学、想学,感受到学习是一件很有趣的事情,值得为学习而勤奋,不会有一点苦的感觉。
一、选择题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分）1．下列图案是我国几家银行的标志，其中是中心对称图形的为( ) 2．如果分式 中的x、y都扩大到原来的3倍，那么分式的值( )A．扩大到原来的3倍 B．扩大到原来的6倍 C．不变 D．不能确定3．下列说法中，错误的是( ) A．平行四边形的对角线互相平分 B．菱形的对角线互相垂直C．矩形的对角线相等 D．正方形的对角线不一定互相平分4．下列运算正确的是( ) A． B． C． D． 5． 四边形ABCD的对角线AC=BD，顺次连接该四边形的各边中点所得的四边形是( ) A．矩形 B．菱形 C．平行四边形 D． 正方形6．下列事件：（1）如果a、b都是实数，那么a+b=b+a；（2）从分别标有数字1～10的10张小标签中任取1张，得到8号签；（3）同时抛掷两枚骰子，向上一面的点数之和为13；（4）射击1次，中靶．其中随机事件的个数有( )A．0个 B．1个 C．2个 D．3个二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分）7．当x 时，分式 无意义． 8．从一副扑克牌中拿出6张：3张“J”、2张“Q”、1张“K”，洗匀后将它们背面朝上．从中任取1张，恰好取出 的可能性（填“J”或“Q”或“K”） ．9．“对角线不相等的四边形不是矩形”，这个命题用反证法证明应假设 ．10．计算 的结果是 ．11．如图，在周长为10 cm的ABCD中，AB≠AD，AC、BD相交于点O，OEBD交AD于点E，连接BE，则ABE的周长为 ．
12．若x-y≠0, x-2y=0,则分式 的值 ．13．若矩形的两条对角线的夹角为60°，一条对角线与短边的和为3，则矩形长边的长等于 ．14．分式 与 的最简公分母是 ．15．在一只不透明的袋中装有红球、白球若干个，这些球除颜色外形状大小均相同．八（2）班同学进行了“探究从袋中摸出红球的概 率”的数学活动，下表是同学们收集整理的试验结果：试验次数n 100 150 200 500 800 1000摸到红球的次数m 68 111 136 345 564 701 0.68 0. 74 0.68 0.69 0.705 0 .701根据表格，假如你去摸球一次，摸得红球的概率大约是 （结果精确到0.1）．16．如图，正方形ABCD的边长是2，∠DAC的平分线交DC于点E，若点P、Q分别是 AD和AE 上的动点，则DQ+PQ的最小值为 ．三、解答题（本大题共有10小题，共102分．解答时应写出必要的步骤）17．（本题满分12分）计算：（1） ； （2） ． 18．（本题满分8分）下列事件：（1）从装有1个红球和2个黄球的袋子中摸出的1个球是白球；（2）随意调查1位青 年，他接受过九年制义务教育；（3）花2元买一张体育彩票，喜中500万大奖；（4）抛掷1个小石块，石块会下落．估计这些事件的可能性大小，在相应位置填上序号．一定会发生的事件： ；发生的可能性非常大的事件： ；发生的可能性非常小的事件： ；不可能发生的事件： ．19．（本题满分8分）如图，等边三角形ABC的三个顶点 都在圆上．这个图形是中心对称图形吗？如果是，指 出它的对称中心，并画出该图关于点A对称的图形； 如果不是，请在圆内补上一个三角形，使整个图形成 为中心对称图形（保留画图痕迹），并指出所补三角形 可以看作由ABC怎样变换而成的．20．（本题满分8分）观察下列等式： ， ， ，……（1）按此规律写出第5个等式；（2）猜想第n个等式，并说明等式成立的理由．21．（本题满分10分）一只不透明的袋子中装有1个白球、2个黄球和3个红球，每个球除颜色外都相同，将球摇匀，从中任意摸出1个球． （1）能够事先确定摸到的球的颜色吗？ （2）你认为摸到哪种颜色的球的概率？ （3）改变袋子中白球、黄球、红球的个数，使摸到这三种颜色的球的概率相等 ．22．（本题满分10分）有一道题“先化简，再求值： ．其中a = - ”马小虎同学做题时把“a = - ”错抄成了“a = ”，但他的计算结果却与别 的同学一致，也是正确的，请你解释这是怎么回事?
23．（本题满分10分）如图，ABC中，O是AC上的任意一点（不与点A、C重合），过点 O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F． （1）求证：OE=OF； （2）当点O运动到何处时，四边形AECF是 矩形，并证明你的结论． 24．（本题满分10分） （1）已知 计算结果是 ，求常数m的值； （2）已知 计算结果是 ，求常数A、B的值．25．（本题满分12分）把一张矩形纸片ABCD按 如图方式折叠，使顶点B和点D重合，折痕 为EF．若AB = 3 cm，BC =4 cm． （1）求线段DF的长； （2）连接BE，求证：四边形BFDE是菱形； （3）求线段EF的长． 26．（本题满分14分）如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠B=60°，点P、Q分别是边BC、CD上的动点（不与端点重合），且BP=CQ． （1）图中除了ABC与ADC外，还有哪些三角 形全等，请写出来； （2）点P、Q在运动过程中，四边形APCQ的面 积是否变化，如果变化，请说明理由；如果 不变，请求出面积； （3）当点P在什么位置时，PCQ的面积， 并请说明理由． 一、选择题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分） 三、解答题（共10题，102分.下列答案仅供参考，有其它答案或解法，参照标准给分．）17．（本题满分12分）（1）原式 = （2分）= （2分）=- （2分）；（2）原式 = （2分）= （2分）= （2分）．18．（本题满 分8分）（4）；（2）；（3）；（1）（每空2分）.19．（本题满分8分）不是中心对称图形（2分）；所补三角形如图所示（4分）；所补的三角形可以看作是由ABC绕点O旋转60°而成的（2分）．20．（本题满分8分）（1） （2分）； （2）猜想： （n是正整数）（3分）．注： 扣1分． ， （2 分）， （1分）．21．（本题满分10分）（1）不能事先确定摸到的球是哪一种颜色（3分）；（2）摸到红球的概率（3分）；（3）只要使袋子中的白球、黄球、红球的个数相等即可（4分）．22．原式= （2分）= （2分）= （2分）．因为当a = - 或a = 时， 的结果均为5（2分），所以马小虎同学 做题时把“a = - ”错抄成了“a = ”也能得到正确答案9（2分）．23．（本题满分10分）（1）MN∥BD，∠ FEC=∠ECB．∠ACE=∠ECB，∠FEC=∠ACE，OE=OC(3分)．同理，OF=OC(1分)．OE=OF(1分)． （2）当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形(1分)．由对角线互 相平分，可得四边形AECF是平行四边形 (2分) ．再证明∠ECF=90°，即可得平行四边形AECF是矩形 (2分) ． 25．（本题满分12分）（1）由折叠知，BF=DF．在RtDCF中，利用勾股定理可求得，DF= cm（4分）； （2）证得DE=DF（2分），得四边形BFDE是平行四边形（1分），得四边形BFDE是菱形（1分）；（3）连接BD，得BD=5cm，利用 ，易得EF= cm（4分）．
例1如图1，图中三角形的个数是（ ）.
A．8 B．9 C．10 D．11
解析：分别以某一条线段为三角形的边依次找出三角形．选B．
点评：数三角形时不能重复，也不能遗漏．注意按一定的顺序找．
例2当三角形内部有1个点时，如图2-1，互不重叠的三角形的数目为3；当三角形内部有2个点时，如图2-2，互不重叠的三角形的数目为5．
（1）当三角形内部有3个点时，互不重叠的三角形的数目为；
（2）当三角形内部有4个点时，互不重叠的三角形的数目为；
（3）当三角形内部有n个点时，互不重叠的三角形的数目为；
（4）互不重叠的三角形的数目能否为2007，若能，请求出三角形内部点的个数；若不能，请说明理由．
解析：（1）作出图形如图2-3，互不重叠的三角形的数目为7；
（2）根据提供的例子，探索规律，得到9；
（3）2n＋1；
（4）2n＋1＝2007，n＝1003.当四边形内部有1003个点时，共有2007个三角形．
考点二、三角形三边的关系
例3已知四组线段的长分别如下，以各组线段为边，能组成三角形的是（ ）.
A．1，2，3 B．2，5，8
C．3，4，5D．4，5，10
解析：三条线段能否构成一个三角形，关键在于判定它们是否符合三角形三边的不等关系.
对于A，由于1＋2＝3，所以不能组成三角形；对于B，由于2＋5＜8，所以不能组成三角形；对于D，由于4＋5＜10，所以不能组成三角形．故选C．
点评： 若想用两根长为a、b（a＞b）的木棒，构成一个三角形，则第三根木棒的长度应介于a－b和a＋b之间．
例4（1）下列各组条件中，不能组成三角形的是（ ）.
A.a＋1、a＋2、a＋3（a＞3）
B.3cm、8cm、10cm
C.三条线段之比为1:2:3
D.3a、5a、2a＋1（a＞1）
（2）以长为3cm，5cm，7cm，10cm的四根木棍中的三根木棍为边，可以构成三角形的个数是（ ）.
A．2个B．3个C．4个D．5个
解析：（1）根据三角形三边关系可知只有C选项不满足条件.故选C.（2）以四根木棍中的三根木棍为边可以组成：3，5，7；3，5，10；3，7，10；5，7，10四种情况．其中只有两种情况能组成三角形．故选A．
考点三、三角形的稳定性
例5下列图形中具有稳定性的有（ ）.
A.只有（1），（2） B.只有（3），（4）
C.只有（4），（5） D.（1），（2），（3），（4），（5）
解析：三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性．故选B．
例6下列由几根木条用钉子钉成的模型，其中在同一平面内不具有稳定性的是（ ）.
解析：A、B、D选项的图形都是由三角形组成的，具有稳定性，而C选项的图形是由四边形组成的，不具有稳定性.故选C．
考点四、三角形内角和定理
解析：设∠B＝x°，则∠A＝3x°，∠C＝4x°，从而x＋3x＋4x＝180，x＝22.5．
即∠B＝22.5°，∠A＝67.5°，∠C＝90°．
点评：在一个三角形中，当已知三个角的关系时，可通过列方程的方法分别求出三个角的度数．
例8如图3，点O是ABC内一点，∠A＝80°，∠1＝15°，∠2＝40°，则∠BOC等于（ ）.
A. 95°B. 120°
C. 135° D. 65°
解析： ∠BOC＝180°－（∠OBC＋∠OCB）＝180°－[180°－（∠1＋∠2＋∠A）]＝∠1＋∠2＋∠A＝135°．
点评：解决本题的关键是运用整体思想.在BOC中，虽然∠OBC、∠OCB不能单独求出来，但是我们可以求出∠OBC＋∠OCB．
例9 （1）如图4，有一块直角三角板XYZ放置在ABC上，恰好三角板XYZ的两条直角边XY、XZ分别经过点B、C．直角顶点X在ABC内部，若∠A＝30°，则∠ABC＋∠ACB＝______度，∠XBC＋∠XCB＝_______度；
（2）如图5，改变直角三角板XYZ的位置，使三角板XYZ的两条直角边XY、XZ仍然分别经过点B、C，直角顶点X还在ABC内部，那么∠ABX＋∠ACX的大小是否变化？若变化，请举例说明；若不变化，请求出∠ABX＋∠ACX的大小．
解析：（1）∠ABC＋∠ACB＝180°－∠A＝180°－30°＝150°，
∠XBC＋∠XCB＝180°－∠X＝180°－90°＝90°；
（2）∠ABX＋∠XBC＋∠XCB＋∠ACX＋∠A＝180°，
又∠XBC＋∠XCB＝180°－∠X＝180°－90°＝90°，∠A＝30°，
∠ABX＋∠ACX＝180°－90°－30°＝60°.
∠B＋∠C＝120°.
∠B－∠C＝20°，
∠B＝70°，∠C＝50°．
考点五、三角形的外角
例11下图能说明∠1＞∠2的是（ ）.
解析：利用三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角即可判断出答案．故选C．
点评：比较角的大小有多种方法，如对顶角相等，三角形外角和定理以及平行线的性质等．
例12一个零件的形状如图6所示，按规定∠A应等于90°，∠B和∠D应分别是20°和30°，李叔叔量得∠DCB＝142°，就断定这个零件不合格，你能说出道理吗？
解析：连接AC，并延长至E，则∠1＝∠3＋∠D，∠2＝∠4＋∠B，∠DCB＝∠3＋∠4＋∠D＋∠B＝140°≠142°，所以这个零件不合格.
考点六、多边形的对角线
例13观察图7-1～图7-3， 并回答问题.
①四边形、五边形、六边形各有几条对角线？从中你能得到什么规律？
②根据规律，你知道七边形有多少条对角线吗？
③你知道n边形有多少条对角线吗？
点评：同学们可以记住多边形的对角线数目公式，以便更好地解题．
例14从多边形的一个顶点出发，可引12条对角线，则这个多边形的边数为（ ）.
A．12B．13C．14 D．15
解析：根据上题的结论可知，设这个多边形为n边形，则n－3＝12，所以n＝15．故选D.
考点七、多边形的内角、外角
例15正五边形的一个内角的度数是_______．
例16如果一个多边形的内角和等于外角和的2倍，那么这个多边形的边数n＝_______．
解析：设这个多边形的边数为n，则（n－2）×180°＝2×360°．所以n＝6．
点评：所以利用代数的方法解几何题往往很简便．
例17小华从点A出发向前走10m，再向右转36°，然后继续向前走10m，再向右转36°，他以同样的方法继续走下去，能回到点A吗？若能，当他走回到点A时共走多少米？若不能，说明理由．
解析： 36°可以看成是一个正多边形的外角，它正好是正十边形．故能回到A点，共走了100m．
例18如图8，已知∠DAB＋∠D＝180°，AC平分∠DAB，且∠CAD＝25°，∠B＝95°.
（1）求∠DCA的度数；（2）求∠ECA的度数．
解析： ∠DAB＋∠D＝180°， AB∥CD.
∠DCA＝∠CAB＝∠CAD ＝25°，∠ECA＝∠CAB＋∠B＝120°．
例19（1）若两个多边形的边数之比是1:2，这两个多边形的内角和为1980°，求这两个多边形的边数．
解析：设一个多边形的边数为x，则另一个多边形的边数为2x.180（x－2）＋（2x－2）・180＝1980，x＝5，所以这两个多边形分别为五边形和十边形．
考点八、平面镶嵌
例20装饰大世界出售下列形状的地砖：①正方形；②长方形；③正五边形；④正六边形．若只选购其中某一种地砖镶嵌地面，可供选用的地砖有（ ）.
A. ①②③ B. ①②④
C. ②③④ D. ①③④
解析：用一种图形镶嵌，有三角形，正方形，长方形，正六边形等．故选B．
例21如果在一个顶点周围用两个正方形和n个正三角形恰好可以进行平面镶嵌，则n的值是（ ）.
A． 3B． 4C． 5D． 6
解析：用两种或两种以上正多边形镶嵌，其顶点处几个角的和是360°．
90×2＋60n＝360，n＝3.
根据前文所述，我国南宋著名数学家杨辉是世界上第一个对幻方进行详尽数学研究并取得丰硕成果的学者。在杨辉所著的《续古摘奇算法》两卷中，除了呈现3阶幻方的研究成果之外，还构造出4阶至10阶幻方。书中，杨辉称4阶幻方为“花十六图”或“四四图”，并给出了两个实例（阴、阳两图）及阴图（图1）的具体构造法，令人叹为观止。
后人经过研究发现，杨辉构作的4阶幻方中，数字分布的对称性和均匀性不仅表现在数字之和，甚至还体现在数字的平方和以及立方和方面。
1947年，德国学者阿尔弗雷德・莫斯纳在《数学评论》上发表文章《一个神奇幻方》。在这篇文章中，他给出了一个4阶幻方（图2），宣称这个幻方存在独特奇妙的性质：
首先，第1行和第4行上的数字的平方和相等，即122+132+12+82= 92+162+42+52 =378。类似的，第2行和第3行上数字的平方和也相等，即62+32+152+102= 142+72+22+112=370。因此，幻方上半部和下半部8个数字的平方和相等，即：378+370=748。
其次，第1列和第4列上数字的平方和也相等，即 122+62+72+92=82+102+112+52=310。类似的，第2列和第3列上数字的平方和也相等，即 132+32+22+162=12+152+142+42=438。因此，幻方左半部和右半部8个数字的平方和也相等，而且也等于748。
第三，两条对角线上的8个数字以及非对角线上的8个数字的平方和也都等于748。与此同时，两条对角线上的8个数字以及非对角线上的8个数字的立方和都等于9248。
最后，两条对角线上的数字的平方和以及立方和分别相等;而且，对角线上4个数字的立方和4624竟然还是一个平方数。这个特性是杨辉幻方所不具备的。
对“莫斯纳幻方”稍加分析，就可发现，它其实是杨辉4阶幻方之阴图（图1）的一个变形：把杨辉4阶幻方从左侧开始算的第2列变为图2右侧第1列，图1左侧第1列变为图2右侧第3列……再把第1行和第4行、第2行和第3行互换。因此，许多专业人士都认为，“莫斯纳幻方”源自杨辉4阶幻方。尽管这一说法尚无定论，但应该承认，经过变换以后的“莫斯纳幻方”确有过人之处。
素数幻方
所谓素数幻方，是指幻方中出现的数全都是素数。因为元素必须是素数的限定，所以这种幻方显然无法满足从1～n2个连续自然数的要求。这种非连续数幻方是由著名科普大师杜德尼在1900年首先提出的。可以想见，素数幻方的苛刻要求致使其构造起来非常困难。当然，这并不意味着构造素数幻方无迹可循。杜德尼自己就给出一个3阶素数幻方（图3），幻和为111。其后，又有人构造出4阶素数幻方（图4），幻和为102。
必须指出，在20世纪初，1还被当作素数，所以这两个幻方中都包含1。自从明确1不是素数以后，人们又重新构造了3阶和4阶的素数幻方（图5、6），幻和分别为177和120。颇有意趣的是，不管是否把1当成素数，能构成3阶素数幻方的幻方常数总是大于4阶的。
除此之外，幻方研究者还成功构造出一些特别的素数幻方（图7、8）。在图7的这个3阶素数幻方中，最小的素数是59，最大的素数是659，其他素数的末位数字都是9，仿佛珍品标签一般饶有趣味。图8中的素数末位数字不仅和图7一样，而且9个元素还构成等差数列，公差为210，这就更难能可贵了。
不难看出，这些幻方中的素数并不连续，所以人们又开始琢磨能否用9个连续素数构成3阶幻方。难度可想而知，世界数学科普大师马丁・加德纳还曾为此悬赏100美元，奖给首位成功者。这笔奖金最终被一位名叫哈里・尼尔逊的计算机专家获得。他利用美国加利福尼亚大学的一台克雷超级计算机，通过程序设计攻克了这个难题，而且一次性提供了22个答案。
图9就是其中和常数最小的一个3阶素数幻方。在这个幻方中的9个连续素数，每个都已经超过14.8亿。更叫人瞠目的是，日本著名幻方研究家寺村周太郎经过长期不懈努力，于1979年11月7日终于构造成一个高达10阶的素数幻方，其中的元素竟然全是连续素数，中间也没有跳过一个。如此难得的机巧，简直可以用玄之又玄和匪夷所思来形容。也难怪此幻方一经问世就震动业界，被公认为是幻方研究中的一个重要里程碑。
玉挂幻方
1986年，在上海浦东陆家嘴附近发现的古墓中，出土了一块玉挂。玉挂的反面刻着16 个古代阿拉伯数字。经过专家破译还原，人们惊讶地发现，这竟然是一个4阶幻方（图10）。
看起来，这个玉挂中的数字秘密――构成4阶幻方已然揭晓;但数学家研究发现，其中充满玄机的神奇特性远不止于此。只要稍加计算验证，就能领会“玉挂幻方”超凡脱俗和奇妙独特的个性：
在这个幻方中，每行、每列及对角线上4个数字之和都等于34。更为特别的是，即便包括“折断”后连成的对角线，每条对角线上的4个数字之和仍是34。比如：14+12+5+3=34，13+16+4+1=34;5+9+12+8=34，11+13+4+6=34等。显然，只有在这种情况下，对角线才真正同行、同列平起平坐，取得了完全平等的地位。因此，具有这种性质的幻方被称为“完全幻方”。任何一个3阶幻方都不具备这个特性，这是由于完全幻方最起码要4阶。
在这个幻方中，取出任何一个2×2的小正方形，其中的4个数字之和竟然也都等于34。要达成此点殊为不易，从而更显卓尔不群。
在这个幻方中，任何一个3×3小正方形，其四角数字之和也都等于常数34。如此一而再、再而三的非凡特性，简直叫人拍案叫绝。
如若将此幻方看成象棋棋盘进行飞“象”，那么，不管“象”从哪一点出发飞到哪一点，这两个点所对应的数字（同左下或同右下）之和都等于17。这就更如天外飞仙，妙不可言了。
无独有偶，伦敦的南凯星顿大英博物馆里，也收藏了一件在印度传教的弗洛斯特牧师的特殊遗物――一块精美的玉挂。据称，他难得闲暇中的唯一消遣就是研究幻方。
这块玉挂上的咒语和图案尽管晦涩难懂，但经过破译，确认了其为由1～64组成的幻和为260的8阶幻方（图11）。但当初，人们并没有完全领会其中的精妙，其中最为玄妙和神奇的特性，竟然与国际象棋中马、象的走法有关。为直观说明，把幻方扩倍延展并截取如下（图12）：
（1）国际象棋中马的走法是“一直一拐”，类似于中国象棋中的“马走日字”;而且同样，上下左右不受限制。也正因为此，马可以从任一起点出发，沿着一种固定跳法走下去，最终必定跳回出发点。当然，这也需要把单个棋盘不断扩倍延展。
令人惊奇的是，玉挂幻方竟然也有类似“马步还原”的特性。即在玉挂幻方中任取一数作为起点，按马步前进，经过8步必然回到起点数，经过的8个数字之和与幻和相等。
（2）国际象棋中的象走直线，长短不受限制。若在玉挂幻方中任取一数为起点，按象步前进，仍只需8步就必然回到起点数，经过的8个数字之和同样与幻和相等。
反幻方
有位美国著名科普作家写到：“有些外星人正在做一道数学题：在4×4的正方形里填上1～16个自然数，不准重复，也不准雷同或遗漏。要求每行、每列、每条对角线上的4个数字之和都不相等，而且这些和必须是连续的自然数。假使你在它们之前先做出来了，你就可以获得100万美元的奖励。”姑且不论这位作家的文字是真实可信还是哗众取宠，其中提及的反幻方问题倒是实实在在，值得细细琢磨。
所谓反幻方，是指把n2个连续自然数填入n×n的小方格中，使其中每行、每列及对角线上的数字之和都不相等。这与幻方的基本要求刚好相反，所以它被人们称为“反幻方”。
需要说明的是，最简单的反幻方是3阶。因为把1～4填入2×2小正方形中，无论怎样排列，行、列或对角线总会出现1+4=2+3，始终不能符合反幻方的要求，所以2阶反幻方根本不存在。
稍加试验可知，符合条件的3阶反幻方屡见不鲜。有人曾做过统计，即使旋转后重叠的8种幻方算作同一个，3阶反幻方也有3120个。这表明，构造出3阶反幻方并非难事。于是，研究者又给它们增添了更为苛刻的要求，其中比较有趣的附加条件是：填入3×3正方形中的自然数1～9必须按顺序首尾相连，成为螺旋形状。美国数学科普大师马丁・加德纳经过研究发现，符合条件的反幻方只有两个（图13、14）。鉴于“物以稀为贵”，这样按序连接“一条龙”的螺旋反幻方又被称为“完美反幻方”。
需要指出的是，迄今为止的研究表明，反幻方的制作还没有简单的系统方法。因此，更高阶反幻方的构造仍具备相当难度。明白了这一点，现在回到前文的那则4阶反幻方问题，其难度显而易见，但也并非完全无解，至少作者给出了一个正确答案（图15）。稍加计算不难发现：各行、各列以及对角线上的和数分别为30、31、38、37、35、36、32、33、34、29， 刚好是从29到38的10个连续自然数。正所谓，不走寻常路，也得细琢磨。
六角幻方
随着幻方研究的深入，突破幻方常规要求的奇异幻方也开始出现，甚至打破了一般幻方在n×n方格中构成的限制，但仍保留了幻方最为本质也最为经典的要求，即相应连线上的各数之和必须相等。比如下面这个花费了52年光阴才与世人见面的“六角幻方”。
它的发明人是一位名叫克里福德・亚当斯的英国铁路职工。亚当斯是一个铁杆的幻方迷，从1910年就开始琢磨构造六角幻方（图16），即把1～19填入六角形数阵中，使水平、右斜、左斜的各5根连线上的数字之和都相等。
当亚当斯开始动手尝试时才发现，完成构造并非自己想象得那么容易。于是，他认真刻苦地潜心研究，甚至随身带了19块纸板剪成的小六角形，把所有空余时间都用在数字纸板的摆弄上。这一摆就摆到了1957年。40年的努力依然一无所获，但无尽的失败和漫长的挫折并没有使他退却。退休后的亚当斯仍顽强坚持、勤奋钻研。之后，过度的劳累迫使亚当斯住进了医院，即便躺在病床上，他也没有停止琢磨摆弄。
功夫不负有心人，亚当斯最终在医院摆成了六角幻方，欣喜若狂的他立刻找来纸笔记下摆法。当亚当斯康复出院时，命运女神却与他开了个残酷的玩笑――记录答案的纸弄丢了。倔强的亚当斯没有灰心，他坚信，既然第一次能摆出来，就一定有成功的第二次。就这样，亚当斯在1962年终于实现了自己的诺言，成功弥补了5年前的遗憾。
图17就是亚当斯构造完成的六角幻方。可以验证如下：水平方向上5条连线上的数字之和分别为：15+14+9=38，13+8+6+11=38，10+4+5+1+18=38，12+2+7+17=38，16+19+3=38;右斜方向上5条连线上的数字之和分别为：15+13+10=38，14+8+4+12=38，9+6+5+2+16=38，11+1+7+19=38，18+17+3=38;左斜方向上5条连线上的数字之和分别为：9+11+18=38，14+6+1+17=38，15+8+5+7+3=38，13+4+2+19=38，10+12+16=38。
六角幻方公之于世7年后，有一位叫阿莱尔
的大学生利用电子计算机，仅仅用了17秒就得到同样的结果;同时还证实，六角幻方仅此一例。
两相对照，给人们的启发是：人类的思维虽然没有机器来得快，但人类知难而上、永不放弃的精神是机器无法比拟的。而这才是取得一切成功的关键。
幻方的作用
在1977年美国发射的宇宙飞船“旅行者1号”和“旅行者2号”上，除了携带有向外星人致意的问候讯号外，还载有一些图片，其中就有代表人类文明的勾股定理和4阶幻方图。科学家相信，这些简明扼要、一目了然的图片，应该可以超越语言和文字的障碍，与外星生命进行交流和沟通。
幻方能将抽象枯燥的数字排列后形成奇特现象或规律，它是如此形象生动、趣味盎然，既直观通俗，又引人入胜。时常操练这种妙趣横生的思维游戏，不仅可以强化对数字的深刻理解，培养学习数学的兴趣;而且，可以开发智力，拓宽思路。
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